2.2 第1课时等差数列的前n项和(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

想一想： 方法二：防+++a。+=750, d=-4.d是直线y=k+(a-d)的斜率 ∴a1+2d+a1+3d+a,+4d+a1+5d+a,+6d=750, m-n a1+4d=150,a:+aw=a1+d+a,+7d=2(a1+4d) 练一练： =300. 1.(1)V(2)V(3)V 对点训练2：(1)A(a+a:+,)+(4+a6+a,)= 2-1因为4，=5,4，=1，故d=3=g=-1 2(+a+%). 7-3 即58+(a+a6+a）=88。 知识点2 所以a3+a。+a=30. (1)等差数列”+b (2)24方法一：.a1+30.+0s=120.∴.5a1=120 2 .g=24,.2a-ao=(ax+an）-ao=ag=24. 练一练： 方法二：a1+3a,+a1s=120,,1+3(a1+7)+(4+ 1.C设6.=3a.+2,则b1-b,=3a。4+2-3a.-2=14d)=120, 3(a1-an)=3d .a1+7d=24. 2.12由等差数列的性质得+1=2，则g,+2=2×7 .24y-aw=41+7d=24. 得，=12. 例3：设四个数分别为a-3d.a-d.a+d.a+3d. 关键能力·攻重难 则：{a-3)+(a-d0+(a++(a+3动0=26① 例1：方法一：设等差数列1a.的公差为d, l(a-d)(a+d)=40 ② as=a,+14d,ao=a,+59d, 64 ①.得a=号代入②，得d=±号四个数为25,8，川 a,+14d=8,解得 =15 或11.8.5.2 141+59d=20. d-15 对点训练3：设这三个数为a+d,a,a-d(d>0). am=a,+741=倍+74×音=24 4 a场。a-小：解得侣登所以这三个数 是6,4,2 方法二：14.1为等差数列， 例4：B .05,a0,a4s,和，a5也为等差数列 课堂检测·固双基 设其公差为d,则as为首项，ae为第4项， 1.A5+w=,+n=3. 六a=4s+3d,即20=8+3d,解得d=4. 2.C因为(a1+a）+(a,+a6)=(a1+a6)+(a+a,)=4n4= 0s=am+d=20+4=24. 12,所以a,=3. 方法三：am=as+(60-15)d。 3.AB设这四个数分别为a-3d,a-d,u+d,u+3d,则 d=n-=4 60-1515 -3+4-d+a+d++3-28解得{了或-7. (a-d)(a+d)=40. 1d=-3. n=aw+(75-60)d=20+15×号=24 所以这四个数依次为-2,4,10,16或16,10,4，-2 4.90因为数列1a,,16.都是等差数列，所以a。+b.1也构成 对点训练1：7方法一：设等差数列：a,的公差为d, 了等差数列，所以(a,+b6)-(41+b,)=(a,+b)-(42+ 由题意，得+=3， b),所以a+b1=90. la1+7d=6. 5.因为2b=a+e,a+b+e=15,所以3b=15,b=5.设等差数列 5 a=2· a,b,e的公差为d,则a=5-d,c=5+d.由2lg(b-1)=lg(a+ 1)+lg(c-1)知： d=2 2g4=g(6-d)+lg(4+d0. 从而16=(6-d)(4+d),即d-2d-8=0. =a+9=+号-7 所以d=4或d=-2 所以a,b.c三个数分别为1,5,9或7,5,3. 方法二：设等差数列|a.的公差为d, 4-4=6d=3d=2 2.2等差数列的前n项和 4m=,+2d=6+2×2=7, 第1课时 等差数列的前n项和 例2：(1)Aa,是等差数列.2a,=,+4w,故a:=2必备知识·探新知 ×6-3=9. 知识点 (2)35方法一：设数列引a.|,b.的公差分别为d1,d2,因 (a1+a.)】 为m+=(a,+2d)+(b+2d)=(41+b)+2(d+山)=7 2 naund 2 +2(d+d)=21, 想一想： 所以d+d2=7,所以a,+b=(4,+b)+2(d+d)=21 求等差数列的前m项和时，若已知首项，末项和项数，则选 +2×7=35. 方法二：因为数列1a。},b.都是等差数列. 用公式S=(“,“):若已知首项、公差和项数，则选用公式 2 所以数列a,+b也构成等差数列，所以2(4+b）=(a +b,)+(a5+6),所以2×21=7+as+b6,所以a+6=35. S.=naun-Dd 2 (3)D方法一：+m4++%+,=750, 练一练： ∴.5a=750. 1.D设公差为山，由0+2以=15解得4，=d=5, .a=150..a2+a,=2a5=300. la,+6d=35. -128 所以s=9a,+”×d=25, 10100 Se_10 即10010 110100 2.C由题意及等差数列前n项和公式知S,=,+ 100-10 10 (n-)d=2n2=200,所以n=10, 所以S,m=-110. 2 方法三：设等差数列1a,|的公差为d, 3.140由等差数列的性质得@1+a。=5+46=28,故其前 S1响=a1+:+…+ao+an+02++a1m=(a1+a2+ 10项之和So=10(a,+）-5×28=40. +am）+[(a1+10d)+(a3+10d)+…+(am+10d)]=Sn+ 2 Sm+100×10d, 关键能力·攻重难 又Sm-103m=10,×94-_10,×94=10-10×100. 2 2 例1：1：4=号d=- 即100d=-22,所以S1o=-110. 对点训练2：(1)D,等差数列a.满足：a2=2. 2 S。-S.-3=54(n>3) m2-7m-60=0,解得m=12或m=-5(舍去) S。=100, a.e=号-合×l=4 六d,+a.1+a2=54(n>3) 又{a,为等差数列. （2)S-a（a,+8_,512=-1022.解得m=4 ∴3a。-t=54(n≥2) 2 2 a.-1=18(n≥2)， 又a。=41+(n-1)d,.-52=1+3d,.d=-171. 又42=2,5n=100, (3)方法一：5，=54，+54=24. ÷s=a+”,”.2+18)n=100 2 2 2 ,.5n1+10d=24. ∴，n=10.故选D 0+24 (2)29因为等差数列a.{共2n+1项.其中奇数项和为 319,偶数项和为290，记奇数项之和为S,偶数项之和为S,则 4+=2m,+4d=2a+2)=袋 S,-82=(a1+4+45+…+2m+1）-(a,+4+06+…+n）= a1+nd=a.t=319-290=29. 方法二55(a,1=24. 例3：(1)8由等差数列的性质，得，+a+=3>0,4s 2 >0. 8 a1+4=5 又因为a,+ao<0,所以a%+a<0,所以ag<0,所以S> S,S>S,即数列}a,{的前8项和最大 a+a=叫+a=号 41+2d=8. (2)①设公差为d,由题意得 对点训练1：(1)C等差数列a.中，a,+4=12,所以等 差数列0，的前6项之和为：=6x(a,+a）_6×(a,+a】 r41+2d=8, 2 2 _6×12=36 +2= 解得d=-2, {a,=l2,a,=-2n+14. 2 (2)A设这个等差数列的公差为d,首项为a1,则S,=4a ②由①得3.=n12+)4-2n.-n'+13n 4经31=3.8=8，+8=1，解得d=活 例2：(1)BS.-S.4=a,+a。-1+a-2+a。3=80. S4=a1+:+a+a=40, 当a取与最接近的整数，即6或7时，3有最大值，最大 两式相加得4(a1+0,)=120,∴a1+a。=30. 值为5。=S,=-7+13×7=42 由s=+0=210.n=14 对点训练3：(1)20方法一：对任意nEN·,都有S,≤S 2 成立，即S为S。的最大值.因为a,+a+a=99,a+a,+a,= ②c肥岭等完器 93,所以a4=33,,=31,放公差d=-2,a。=4:+(n-4)d=41 (3)方法一：因为Sa,Sm-SaS0-S0,…,Sm-S0Sm 2,当S取得最大值时，对任意∈N满足{CC0解得m Sm成等差数列，设公差为d,前10项的和为：10×100+0x9 =20. 2 即满足对任意#eN°，都有S≤S成立的k的值为20. =10,所以d=-22, 方法二：同方法一可得公差d=-2,a,=a4+(n-4)d=41 所以前1项的和S。=11×100+山104=1×1O0+ 2 -2,期a=1时，4=39，所以8=号2+(a-号)=-2+ 1x10x(-22)=-1I0 40n=-(m-20)2+400,即当n=20时，S.取得最大值.从而满 足对任意n∈N”,都有S,≤S成立的k的取值为20， 方法二：设等差数列a的公差为d, (2)73=S,所以其对称轴为n=3,业=7，知n=7时 则片=。-)+4，所以数列侣}成等差数列 2 n S,取最大值 S1oo Ste Si Sico 例4：41=S,=6, 所以10010_10-100 n≥2时，a。=S。-S。-1=(n2+3n+2)-[(n-1)2+ 100-10110-100 :3(n-1)+2]=2n+2. -129 4-合2.2显然46-60- 当n≥2，ncN时，a。=S,-S,-1 所以5。-S-4=-25S-① 2,÷1a.不是等差数列 课堂检测·固双基 因为a,=2,所以$5-≠0， ①式的两边同除以S,S.得： 1.BS= 1(a+an)_11(a,+a_1×16=88. 2 2 2 2B由已知可得+51=2， S S. 2即2 15a1+10d=30, 6 所以数列日是首项为2.公差为2的等差数列。 a1=3 解得 所以 =2+2n-10-2.博：8=高 4 d=-3 六8=84，+824=32 则a.=-254=2n-n≥2， 2 3.Can=Sn-Snt=2,am1=S1-Sn=3,公差d=a1-an 因为4，=弓不清足4.=2a-n≥2)，所以数列的 =3-2=1由3=m(“,*=0,得4=-0=-2 2 通项公式为a,= 2n=1, 六am=-2+(m-1)·1=2,解得m=5. 1 4.95因为数列4。为等差数列，则由题意得 2n(n-1h≥2 对点训练1：(1)Ba,=5。-51=2”-2-=2(n≥2)， 624+45解得化；4 [a,+2d+a1+3d=7 ,则Sw=10u,+ 又S1=2=2,1=2-=1.不符 2,n=1, 10x94=10×(-4)+45x3=95. 2 a,={2-1,n≥2 %=2-=22=128. 第2课时等差数列习题课 (2)A由S·Sn--S-1·√S=2S.·S1(n≥ 必备知识·探新知 2),两边同除以√S·S。-,得√S-√S-1=2:而S,=41=1, 知识点1 .√S。=1+2(n-1)=2n-1,∴.S.=4n2-4n+1:再根据a,= S.-S1 d [S,n=1 S,-S。-4(n≥2)，得a,=8n-8(n≥2)，所以am=8×10-8 15-S-1,n≥2 =72. 练一练： 2n-8当n≥2时，a。=S。-S-1=(n2-7n)-[(m-1)月 （a02niw≥2 由题意知，当n=1时，a,=S,=0, -7(n-1)]=2m-8. 当n≥2时，S=-2+1①. 而a,=S=-6,也符合上式 Sn-1=-(m-1)2+1② 所以4.=2n-8. 所以①-②，得an=S。-S,-1=-2n+1. 知识点2 a1=0不适合a,=-2n+1. {}位) 0,n=1, ,a。= 1-2n+1,n≥2. 练一练： u(n+1) 1 D因为a,Fn(n+万产方n+ 2 例2因为a。n+1n+7*44 2 所以么.=2.2 agan=什nh 8 2 2 关键能力·攻重难 因此数列么的前a项和为3=8（十-）+8（宁-） 例1：(1)Aa,=5,-S=42-1-3+1=7. (2)n=1时a=5=-号+1-1=-是 对点训练2：(1)C设数列a.的公差为d, 当n≥2时4，=S-及=-子2+n-1 已知得，+2解得山=1，d=1, la1+5d=6. [-(a-1)产+(a-)-小-3+，因为4=-受不适 所以4，=1+(n-1)×1=n,所以，1 1 aa,1n(n+1)=元 合a,=-3n+ n+ 2=1, 所以a。= 因此L +…+=1-分+-+ .5 -3+2，≥2 11 1-20 (3)因为a.+25.·5.-1=0, 2027=1-7-2 所以an=-25,·S.-1 (2)①设等差数列1a的公差为d. 当m=1时，“=2 由0=0+2d=7, 得/0,3， 1a5+a,=2a.=2a,+10d=26.1d=2, -130# # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # ２． ２　 等差数列的前ｎ项和 第１课时　 等差数列的前ｎ项和 !"#$%&'( 学习目标 １．理解等差数列前ｎ项和的推导方法． ２．掌握等差数列的前ｎ项和公式． 核心素养 １．借助教材实例了解等差数列前ｎ项和公式的推导过程．培养逻辑推理素养． ２．借助教材掌握ａ１，ａｎ，ｄ，ｎ，Ｓｎ的关系，培养数学运算素养． )*+,%-.+ 等差数列的前ｎ项和公式 已知量首项，末项与项数 首项，公差与项数 求和公式 Ｓｎ ＝ 　 　 　 　 Ｓｎ ＝ 　 　 　 　 　 　 ［提醒］　 在等差数列前ｎ项和公式中已知 其中三个量可求另外两个量，即“知三求二” 想一想： 求等差数列的前ｎ项和时，如何根据已知 条件选择等差数列的前ｎ项和公式？ 练一练： １．已知Ｓｎ为等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和，若 ａ３ ＝ １５，ａ７ ＝ ３５，则Ｓ９ ＝ （Ｄ ） Ａ． ４５０ Ｂ． ４００ Ｃ． ３５０ Ｄ． ２２５ ２．已知数列｛ａｎ｝为等差数列，首项ａ１ ＝ ２， 公差ｄ ＝ ４，前ｎ项和Ｓｎ ＝ ２００，则ｎ ＝ （Ｃ ） Ａ． ８ Ｂ． ９ Ｃ． １０ Ｄ． １１ ３．已知等差数列｛ａｎ｝满足ａ５ ＋ ａ６ ＝ ２８，则 其前１０项的和为１４０　                       ． /012%345 题型探究 题型一有关等差数列前ｎ项和公式的计算 １．已知等差数列｛ａｎ｝中： （１）ａ１ ＝ ３２，ｄ ＝ － １ ２，Ｓｍ ＝ － １５，求ｍ及ａｍ； （２）ａ１ ＝ １，ａｎ ＝ － ５１２，Ｓｎ ＝ － １ ０２２，求ｄ； （３）Ｓ５ ＝ ２４，求ａ２ ＋ ａ４ ． ［分析］　 （１）Ｓｍ ＝ ｍａ１ ＋ ｍ（ｍ － １）２ ｄ，解方 程求得ｍ，再利用通项公式ａｍ ＝ ａ１ ＋（ｍ － １）ｄ， 求ａｍ． （２）Ｓｎ ＝ ｎａ１ ＋ ｎ（ｎ － １） ２ ｄ， ａｎ ＝ ａ１ ＋（ｎ － １）ｄ{ ， 解方程组求             ｄ． !"% ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # （３）可以利用Ｓｎ ＝ ｎａ１ ＋ ｎ（ｎ － １）２ ｄ求解，也 可以利用Ｓｎ ＝ ｎ（ａ１ ＋ ａｎ）２ ，求得ａ１ ＋ ａ５，再利用 等差数列的性质求得ａ２ ＋ ａ４ ． 　 　 ［尝试作答           ］ 　 　 ［规律方法］　 等差数列中基本量计算的两 个技巧 （１）利用基本量求值．等差数列的通项公式 和前ｎ项和公式中有五个量ａ１，ｄ，ｎ，ａｎ和Ｓｎ，一 般是利用公式列出基本量ａ１ 和ｄ的方程组，解 出ａ１和ｄ，便可解决问题．解题时注意整体代换 的思想． （２）利用等差数列的性质解题．等差数列的 常用性质：若ｍ ＋ ｎ ＝ ｐ ＋ ｑ（ｍ，ｎ，ｐ，ｑ∈Ｎ ＋），则 ａｍ ＋ ａｎ ＝ ａｐ ＋ ａｑ，常与求和公式Ｓｎ ＝ ｎ（ａ１ ＋ ａｎ）２ 结合使用． 　 　 对点训练? （１）在等差数列｛ａｎ｝中， 已知ａ３ ＋ ａ４ ＝ １２，则数列｛ａｎ｝的前６项之和为 （Ｃ ） Ａ． １２ Ｂ． ３２ Ｃ． ３６ Ｄ． ７２ （２）设一个等差数列的前４项和为３，前８ 项和为１１，则这个等差数列的公差为（Ａ ） Ａ． ５１６ Ｂ． ５ ８ Ｃ． ５ ４ Ｄ． ５ ２ 题型二 等差数列前ｎ项和的性质 ２．（１）已知等差数列｛ａｎ｝前ｎ项和为Ｓｎ，Ｓ４ ＝ ４０，Ｓｎ ＝ ２１０，Ｓｎ －４ ＝ １３０，则ｎ ＝ （Ｂ ） Ａ． １２　 　 　 　Ｂ． １４　 　 　 　Ｃ． １６　 　 　 　Ｄ． １８ （２）两个等差数列｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝，若 ａ１ ＋ ａ２ ＋…＋ ａｎ ｂ１ ＋ ｂ２ ＋…＋ ｂｎ ＝ ７ｎ ＋ ２ ｎ ＋ ３ ，则 ａ７ ｂ７ ＝ （Ｃ ） Ａ． ５１１４ Ｂ． ５１ ８ Ｃ． ９３ １６ Ｄ． ９３ １２ （３）已知等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，且 Ｓ１０ ＝ １００，Ｓ１００ ＝ １０，试求Ｓ１１０ ． ［分析］　 （１）求ｎ想到Ｓｎ ＝ ｎ（ａ１ ＋ ａｎ）２ ＝ ｎ（ａｍ ＋ ａｎ －ｍ ＋１） ２ Ｓｎ － Ｓｎ －４ ＝ ａｎ ＋ ａｎ －１ ＋ ａｎ －２ ＋ ａｎ －３，ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ＋ ａ４ａ１ ＋ ａｎ． （２）求值想到Ｓｎ ＝ ｎ（ａ１ ＋ ａｎ）２ 若ｍ ＋ ｎ ＝ ｐ ＋ ｑ则ａｍ ＋ ａｎ ＝ ａｐ ＋ ａｑａｎｂｎ ＝ Ｓ２ｎ －１ Ｓ′２ｎ －１ ． （３）求Ｓ１１０想到Ｓｎ，Ｓ２ｎ － Ｓｎ，Ｓ３ｎ － Ｓ２ｎ，…构成 公差为ｎ２ｄ的等差数列Ｓ１０ ＝ １００，Ｓ１００ ＝ １０ 项数和公差． 　 　 ［尝试作答          ］ 　 　 ［规律方法］　 等差数列前ｎ项和的性质 （１）等差数列｛ａｎ｝中，Ｓｎ，Ｓ２ｎ － Ｓｎ，Ｓ３ｎ － Ｓ２ｎ… 也构成等差数列． （２）若｛ａｎ｝与｛ｂｎ｝均为等差数列，且前ｎ项 和分别为Ｓｎ与Ｓ′ｎ，则ａｎｂｎ ＝ Ｓ２ｎ －１ Ｓ′２ｎ －１ ． （３）若等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，则数 列Ｓｎ{ }ｎ 是等差数列，且首项为ａ１，公差为ｄ２ ． （４）项的个数的“奇偶”性质                                                                        ． !"& # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # ｛ａｎ｝为等差数列，公差为ｄ． ①若共有２ｎ项，则Ｓ２ｎ ＝ ｎ（ａｎ ＋ ａｎ ＋１）； Ｓ偶－ Ｓ奇＝ ｎｄ；Ｓ偶Ｓ奇＝ ａｎ ＋１ ａｎ ； ②若共有２ｎ ＋ １ 项，则Ｓ２ｎ ＋１ ＝ （２ｎ ＋ １）ａｎ ＋１； Ｓ偶－ Ｓ奇＝ － ａｎ ＋１；Ｓ偶Ｓ奇＝ ｎ ｎ ＋ １． （５）等差数列｛ａｎ｝中，若Ｓｎ ＝ ｍ，Ｓｍ ＝ ｎ（ｍ ≠ｎ），则Ｓｍ ＋ ｎ ＝ －（ｍ ＋ ｎ）． （６）等差数列｛ａｎ｝中，若Ｓｎ ＝ Ｓｍ（ｍ≠ｎ），则 Ｓｍ ＋ ｎ ＝ ０． 对点训练? （１）已知等差数列｛ａｎ｝满 足：ａ２ ＝ ２，Ｓｎ － Ｓｎ －３ ＝ ５４（ｎ ＞ ３），Ｓｎ ＝ １００，则ｎ ＝ （Ｄ ） Ａ． ７　 　 　 　Ｂ． ８ Ｃ． ９ Ｄ． １０ （２）等差数列｛ａｎ｝共２ｎ ＋ １项，其中奇数项 和为３１９，偶数项和为２９０，则ａｎ ＋１ ＝ ２９　 ． 题型三 等差数列前ｎ项和的最值 ３．（１）若等差数列｛ａｎ｝满足ａ７ ＋ ａ８ ＋ ａ９ ＞ ０，ａ７ ＋ ａ１０ ＜ ０，则当ｎ ＝ ８　 　 时，｛ａｎ｝的前ｎ项 和最大． （２）记Ｓｎ为等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和，已 知ａ３ ＝ ８，Ｓ４ ＝ ３６． ①求｛ａｎ｝的通项公式； ②当ｎ为何值时，Ｓｎ 有最大值？并求其最 大值． ［分析］　 求Ｓｎ的最大值，可以利用数列的 通项公式求解，也可以利用前ｎ项和的函数特 性求解． 　 　 ［尝试作答         ］ 　 　 ［规律方法］　 等差数列前ｎ项和最值的两 种求法 （１）转折项法． ①当ａ１ ＞ ０，ｄ ＜ ０时，由不等式组 ａｎ≥０， ａｎ ＋１≤０{ ， 可求得Ｓｎ取最大值时的ｎ值． ②当ａ１ ＜ ０，ｄ ＞ ０时，由不等式组 ａｎ≤０， ａｎ ＋１≥０{ ， 可求得Ｓｎ取最小值时的ｎ值． （２）利用二次函数求Ｓｎ的最值． 知道公差不为０的等差数列的前ｎ项和Ｓｎ 可以表示成Ｓｎ ＝ ａｎ２ ＋ ｂｎ（ａ≠０）的形式，我们可 将其变形为Ｓｎ ＝ ａ ｎ ＋ ｂ２( )ａ ２ － ｂ ２ ４ａ． ①若ａ ＞ ０，则当ｎ ＋ ｂ２( )ａ ２ 最小时，Ｓｎ 有最 小值； ②若ａ ＜ ０，则当ｎ ＋ ｂ２( )ａ ２ 最小时，Ｓｎ 有最 大值． 对点训练? （１）设数列｛ａｎ｝为等差数 列，其前ｎ项和为Ｓｎ，已知ａ１ ＋ ａ４ ＋ ａ７ ＝ ９９，ａ２ ＋ ａ５ ＋ ａ８ ＝ ９３，若对任意ｎ∈Ｎ，都有Ｓｎ≤Ｓｋ 成 立，则ｋ的值为２０　 　 　 ． （２）已知等差数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ １３，Ｓ３ ＝ Ｓ１１ ． 那么当ｎ ＝ ７　 　 　 　 ，Ｓｎ取最大值． 易错警示 　 　 由和求项注意验证首项 ４．已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ ｎ２ ＋ ３ｎ ＋ ２，判断｛ａｎ｝是否为等差数列． ［错解］　 ∵ ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ －１ ＝（ｎ２ ＋ ３ｎ ＋ ２）－ ［（ｎ － １）２ ＋ ３（ｎ － １）＋ ２］＝ ２ｎ ＋ ２． ａｎ ＋１ － ａｎ ＝［２（ｎ ＋ １）＋ ２］－（２ｎ ＋ ２）＝ ２ （常数）， ∴数列｛ａｎ｝是等差数列． ［误区警示］　 ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ －１是在ｎ≥２的条 件下得到的，ａ１是否满足需另外计算验证． 　 　 ［正解                                                                            ］ !"' ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 6789%:;< １．在等差数列｛ａｎ｝中，已知ａ４ ＋ ａ８ ＝ １６，则该数 列前１１项的和Ｓ１１ ＝ （Ｂ ） Ａ． ５８ Ｂ． ８８ Ｃ． １４３ Ｄ． １７６ ２．设数列｛ａｎ｝是等差数列，其前ｎ项和为Ｓｎ，若 ａ６ ＝ ２且Ｓ５ ＝ ３０，则Ｓ８等于 （Ｂ ） Ａ． ３１ Ｂ． ３２ Ｃ． ３３ Ｄ． ３４ ３．设等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，若Ｓｍ －１ ＝ － ２，Ｓｍ ＝ ０，Ｓｍ ＋１ ＝ ３，则ｍ ＝ （Ｃ ） Ａ． ３ Ｂ． ４ Ｃ． ５ Ｄ． ６ ４．（２０２４·新课标Ⅱ卷）记Ｓｎ 为等差数列｛ａｎ｝ 的前ｎ项和，若ａ３ ＋ ａ４ ＝ ７，３ａ２ ＋ ａ５ ＝ ５，则Ｓ１０ ＝ 　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［５             ］ 第２课时　 等差数列习题课 !"#$%&'( 学习目标 １．会利用数列的前ｎ项和Ｓｎ求数列的通项公式ａｎ． ２．会使用裂项相消法求数列的前ｎ项和． ３．掌握各项含有绝对值的等差数列前ｎ项和的计算方法． 核心素养 １．等差数列前ｎ项和公式Ｓｎ求ａｎ．培养数学运算素养． ２．借助裂项相消法求和的方法学习，培养直观想象素养． )*+,%-.+ 知Ｓｎ求ａｎ 　 　 已知数列的前ｎ项和Ｓｎ，若ａ１ 适合ａｎ，则 通项公式ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ －１　 ，若ａ１ 不适合ａｎ，则 　 　 　 　 　 ． 练一练： 若数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ ｎ２ － ７ｎ，则 ｛ａｎ｝的通项公式是ａｎ ＝ ２ｎ － ８　 ． 裂项相消法求和 　 　 形如　 　 　 （ｂｎ － ａｎ ＝ ｄ，ｄ为常数）的数列适 合用裂项求和，其裂项形式为１ａｎｂｎ ＝ 　 　 　 　 ．练一练： 数列｛ａｎ｝中，ａｎ ＝ １ｎ（ｎ ＋ １），其前ｎ项和是 Ｓｎ，则Ｓ６ ＝ （Ｄ ） Ａ． １４２ Ｂ． ５ ６ Ｃ． １ ３０ Ｄ． ６                ７ /012%345 题型探究 题型一已知数列的前ｎ项和Ｓｎ求通项ａｎ １．（１）数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ ｎ２ － １，则 ａ４ ＝ （Ａ ） Ａ． ７　 　 　 　 　Ｂ． ８　 　 　 　 　Ｃ． ９　 　 　 　 　Ｄ． １７ （２）数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ － ３２ ｎ ２ ＋ ｎ － １，求数列｛ａｎ｝的通项公式； （３）已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ满足ａ        １ !"(