2.2 第1课时等差数列的前n项和(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

练案［５］ 第一章　 数列 § ２　 ［２． ２　 第１课时　 等差数列的前ｎ项和］ Ａ组·基础自测 一、选择题 １．设等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，若ａ４ ＋ Ｓ５ ＝ ２，Ｓ７ ＝ １４，则ａ１０ ＝ （Ｃ ） Ａ． １８ Ｂ． １６ Ｃ． １４ Ｄ． １２ ２．设Ｓｎ是等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和，若ａ１ ＋ ａ３ ＋ ａ５ ＝ ３，则Ｓ５ ＝ （Ａ ） Ａ． ５ Ｂ． ７ Ｃ． ９ Ｄ． １１ ３．设公差不为０的等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为 Ｓｎ，若ａ５ ＝ ３ａ３，则Ｓ９Ｓ５ ＝ （Ｄ ） Ａ． ９５ Ｂ． ５ ９ Ｃ． ５３ Ｄ． ２７ ５ ４．已知等差数列｛ａｎ｝的公差为４，其项数为偶 数，所有奇数项的和为１５，所有偶数项的和为 ５５，则这个数列的项数为 （Ｂ ） Ａ． １０ Ｂ． ２０ Ｃ． ３０ Ｄ． ４０ ５．（多选）已知｛ａｎ｝为等差数列，Ｓｎ 为前ｎ项 和，Ｓ５ ＜ Ｓ４，Ｓ５ ＝ Ｓ６，Ｓ７ ＞ Ｓ６，则下列说法正确的 是 （Ａ ） Ａ． ｄ ＞ ０ Ｂ． ａ６ ＝ ０ Ｃ． Ｓ５和Ｓ６均为Ｓｎ的最大值 Ｄ． Ｓ８ ＞ Ｓ４ 二、填空题 ６．若等差数列｛ａｎ｝的前５项和Ｓ５ ＝ ２５，且ａ４ ＝ ３，则ａ７ ＝ － ３　 ． ７．等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，若ａ２ ＋ ａ１７ ＝ ２０，则Ｓ１８ ＝ １８０　 ． ８．数列｛ａｎ｝与｛ｂｎ｝均为等差数列，其前ｎ项和 分别为Ｓｎ 与Ｔｎ，若ＳｎＴｎ ＝ ３ｎ ＋ １ ｎ ＋ ３ ，则 ａ２ ＋ ａ２０ ｂ７ ＋ ｂ１５ ＝ 　 　 　 ，使得ａｎｂｎ为整数的ｎ值的个数为２　 　 ． 三、解答题 ９．若等差数列｛ａｎ｝的公差ｄ ＜ ０，且ａ２·ａ４ ＝ １２， ａ２ ＋ ａ４ ＝ ８．求： （１）数列｛ａｎ｝的首项ａ１和公差ｄ； （２）数列｛ａｎ｝的前１０项和Ｓ１０的值                                                              ． —０８５— １０．记Ｓｎ为等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和，已知ａ１ ＝ － ７，Ｓ３ ＝ － １５． （１）求｛ａｎ｝的通项公式； （２）求Ｓｎ的最小值． Ｂ组·能力提升 一、选择题 １．（２０２３·全国甲卷）记Ｓｎ 为等差数列｛ａｎ｝的 前ｎ项和．若ａ２ ＋ ａ６ ＝ １０，ａ４ａ８ ＝ ４５，则Ｓ５ ＝ （Ｃ ） Ａ． ２５ Ｂ． ２２ Ｃ． ２０ Ｄ． １５ ２．设Ｓｎ是等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和，若ａ８ａ９ ＝ １７ １５， 则Ｓ１５Ｓ１７ ＝ （Ｃ ） Ａ． ２ Ｂ． － １ Ｃ． １ Ｄ． ０． ５ ３．（多选）等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，ａ１ ＜ ０，Ｓ６ ＝ Ｓ１３，则 （Ａ ） Ａ． ａ１０ ＝ ０ Ｂ． ａｎ ＋１ ＜ ａｎ Ｃ．当Ｓｎ ＞ ０时，ｎ的最小值为２０ Ｄ． Ｓ２ ＜ Ｓ１６ 二、填空题 ４．若一个等差数列前３项的和为３４，最后三项 的和为１４６，且所有项的和为３９０，则这个数列 有１３　 项． ５．在等差数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ １，其前ｎ项和为Ｓｎ， 若Ｓ６ － ３Ｓ２ ＝ ２４，则Ｓ１０ ＝ １００　 ． 三、解答题 ６．在①ａ７ ＋ ａ８ ＝ ４３，②｛ａｎ｝的前７项和为７７，③ ａ１ ＋ ａ２ ＝ ａ３ － １这三个条件中任选一个，补充 在下面问题中，并解答问题．已知等差数列 ｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ ２，　 　 　 　 　 ． （１）求｛ａｎ｝的通项公式； （２）在｛ａｎ｝中每相邻两项之间插入４个数，使 它们与原数列的数构成新的等差数列｛ｂｎ｝， 则ｂ１０１是不是数列｛ａｎ｝的项？若是，它是｛ａｎ｝ 的第几项？若不是，ａｋ ＜ ｂ１０１ ＜ ａｋ ＋１，求ｋ的值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解 答计分． Ｃ组·创新拓展 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题： “今有金瞂（即金杖），长五尺，斩本一尺，重四 斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？” 意思是：“现有一根金杖，长５尺，一头粗，一 头细，在粗的一端截下１尺，重４斤；在细的 一端截下１尺，重２斤；问依次每一尺各重多 少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，现 将该金杖截成长度相等的１５段，记第ｎ段的 重量为ａｎ斤（ｎ ＝ １，２，…，１５），且ａ１ ＜ ａ２ ＜… ＜ ａ１５，若ｂｎ ＝ ａ[ ]ｎ ·ａｎ（其中ａ[ ]ｎ 表示不超过 ａｎ的最大整数），则数列｛ｂｎ｝的所有项的和为 　 　 　 　                                                                       ． —０８６— ∴ ｄ ＝ １９ ， ａ１５ １５ ＝ ａ３ ３ ＋ １２ｄ ＝ ２．故ａ１５ ＝ ３０． 方法二：由于数列ａｎ{ }ｎ 是等差数列，故２ × ａ９９ ＝ ａ３３ ＋ ａ１５１５， 即ａ１５１５ ＝ ２ × １２ ９ － ２ ３ ＝ ２，故ａ１５ ＝ ３０． ２． Ｃ　 当ｎ≥２时，ａｎ ＋ １ ＋ ａｎ ＝ ２ｎ ＋ １①， 则ａｎ ＋ ２ ＋ ａｎ ＋ １ ＝ ２ｎ ＋ ３②， ② －①得：ａｎ ＋ ２ － ａｎ ＝ ２，所以该数列从第２项起，偶数项和奇 数项都成等差数列，且它们的公差都是２，由ａｎ ＋ １ ＋ ａｎ ＝ ２ｎ ＋ １ 可得ａ３ ＝ ５ － ａ，ａ４ ＝ ａ ＋ ２， 因为数列｛ａｎ｝单调递增，所以有ａ１ ＜ ａ２ ＜ ａ３ ＜ ａ４， 即１ ＜ ａ ＜ ５ － ａ ＜ ａ ＋ ２，解得３２ ＜ ａ ＜ ５ ２ ． 所以ａ的取值范围为３２ ，( )５２ ． ３． ＢＤ　 设方程（ｘ２ － ２ｘ ＋ ｍ）（ｘ２ － ２ｘ ＋ ｎ）＝ ０的四个根分别为 ａ１，ａ２，ａ３，ａ４，则数列ａ１，ａ２，ａ３，ａ４是首项为１４的等差数列，设 其公差为ｄ， 由等差数列的性质可得ａ１ ＋ ａ４ ＝ ａ２ ＋ ａ３， ①若ａ１，ａ４为方程ｘ２ － ２ｘ ＋ ｍ ＝ ０的两个根，则ａ２，ａ３ 为方程 ｘ２ － ２ｘ ＋ ｎ ＝ ０的两个根， 由根与系数的关系可得ａ１ ＋ ａ４ ＝ １４ ＋ ａ４ ＝ ２，可得ａ４ ＝ ７ ４ ，ｄ ＝ ａ４ － ａ１ ３ ＝ １ ２ ，则ａ２ ＝ ３ ４ ，ａ３ ＝ ５ ４ ， 此时ｍ ＝ ａ１ａ４ ＝ ７１６，ｎ ＝ ａ２ａ３ ＝ １５ １６， 则ｍ － ｎ ＝ － １２ ； ②若ａ１，ａ４为ｘ２ － ２ｘ ＋ ｎ ＝ ０的两个根，ａ２，ａ３为方程ｘ２ － ２ｘ ＋ ｍ ＝ ０的两个根， 同理可得ｍ ＝ １５１６，ｎ ＝ ７ １６，则ｍ － ｎ ＝ １ ２ ． 综上所述，ｍ － ｎ ＝ ± １２ ． ４． ４　 ∵等差数列｛ａｎ｝中，ａ２２ ＋ ２ａ２ａ８ ＋ ａ６ａ１０ ＝ １６， ∴ ａ２２ ＋ ａ２（ａ６ ＋ ａ１０）＋ ａ６ａ１０ ＝ １６， ∴ （ａ２ ＋ ａ６）（ａ２ ＋ ａ１０）＝ １６，∴ ２ａ４·２ａ６ ＝ １６， ∴ ａ４ａ６ ＝ ４． ５． ３　 ５２ 　 设第三行的四个数的公差为ｄ３，由ａ３１ ＝ １，ａ３４ ＝ ７，得 ｄ３ ＝ ７ － １ ４ － １ ＝ ２， 所以ａ３２ ＝ １ ＋ ２ ＝ ３． 因为第二列的四个数成等差数列， 所以ａ２２是ａ１２，ａ３２的等差中项， 所以ａ２２ ＝ ａ１２ ＋ ａ３２２ ＝ ２ ＋ ３ ２ ＝ ５ ２ ． ６．（１）因为ａ４ ＋ ａ５ ＝ ａ３ ＋ ａ６ ＝ １６， 所以ａ３ａ６ ＝ ５５， ａ３ ＋ ａ６ ＝ １６{ ， 又因为｛ａｎ｝递增，所以ａ３ ＝ ５，ａ６ ＝ １１． （２）设｛ａｎ｝的公差为ｄ， 所以ａ１ ＋ ２ｄ ＝ ５， ａ１ ＋ ５ｄ ＝ １１{ ，解得ａ１ ＝ １，ｄ ＝ ２， 所以ａｎ ＝ ａ１ ＋（ｎ － １）ｄ ＝ ２ｎ － １（ｎ∈Ｎ）． Ｃ组·创新拓展 ∵ ｂ１ｂ２ｂ３ ＝ １ ８ ，又ｂｎ ＝ ( )１２ ａｎ，∴ ( )１２ ａ１·( )１２ ａ２·( )１２ ａ３ ＝ １８ ． ∴ ( )１２ ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ＝ １８ ，∴ ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ＝ ３， 又｛ａｎ｝成等差数列∴ ａ２ ＝ １，ａ１ ＋ ａ３ ＝ ２， ∴ ｂ１ｂ３ ＝ １ ４ ，ｂ１ ＋ ｂ３ ＝ １７ ８ ， ∴ ｂ１ ＝ ２， ｂ３ ＝{ １８或ｂ１ ＝ １ ８ ， ｂ３ ＝ ２ { ，即ａ１ ＝ － １，ａ３{ ＝ ３ 或ａ１ ＝ ３，ａ３ ＝ － １{ ， ∴ ａｎ ＝ ２ｎ － ３或ａｎ ＝ － ２ｎ ＋ ５． 练案［５］ Ａ组·基础自测 １． Ｃ　 设｛ａｎ｝的公差为ｄ， 由 ａ１ ＋ ３ｄ ＋ ５ａ１ ＋ ５ × ４ ２ ｄ ＝ ２， ７ａ１ ＋ ７ × ６ ２ ｄ ＝ １４ { ， 可得６ａ１ ＋ １３ｄ ＝ ２， ａ１ ＋ ３ｄ ＝ ２{ ， 解得ａ１ ＝ － ４， ｄ ＝ ２{ ， 所以ａ１０ ＝ － ４ ＋ ９ × ２ ＝ １４． ２． Ａ　 ∵ ａ１ ＋ ａ３ ＋ ａ５ ＝ ３ａ３ ＝ ３，∴ ａ３ ＝ １， ∴ Ｓ５ ＝ ５（ａ１ ＋ ａ５） ２ ＝ ５ × ２ａ３ ２ ＝ ５ａ３ ＝ ５．故选Ａ． ３． Ｄ　 Ｓ９ Ｓ５ ＝ ９（ａ１ ＋ ａ９） ２ ５（ａ１ ＋ ａ５） ２ ＝ ９（ａ１ ＋ ａ９） ５（ａ１ ＋ ａ５）＝ ９ａ５ ５ａ３ ＝ ９５ × ３ ＝ ２７ ５ ． ４． Ｂ　 设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ，项数为ｎ，前ｎ项和为Ｓｎ，因 为ｄ ＝ ４，Ｓ奇＝ １５，Ｓ偶＝ ５５，所以Ｓ偶－ Ｓ奇＝ ｎ２ ｄ ＝ ２ｎ ＝ ４０，所以 ｎ ＝ ２０，即这个数列的项数为２０． ５． ＡＢＤ　 ∵ Ｓ５ ＜ Ｓ４，∴ ａ５ ＜ ０，∵ Ｓ５ ＝ Ｓ６，∴ ａ６ ＝ ０，∵ Ｓ７ ＞ Ｓ６，∴ ａ７ ＞ ０，由以上结论知Ａ，Ｂ正确，Ｃ错误；对于Ｄ，Ｓ８ － Ｓ４ ＝ ａ５ ＋ ａ６ ＋ ａ７ ＋ ａ８ ＝ ２（ａ６ ＋ ａ７）＞ ０，∴ Ｓ８ ＞ Ｓ４，Ｄ正确． ６． － ３ 　 已知等差数列｛ａｎ｝的前５项和Ｓ５ ＝ ２５，所以Ｓ５ ＝ ５（ａ１ ＋ ａ５） ２ ＝ ５ａ３ ＝ ２５，解得ａ３ ＝ ５．已知ａ４ ＝ ３，则公差ｄ ＝ ａ４ － ａ３ ＝ － ２．所以ａ７ ＝ ａ３ ＋ ４ｄ ＝ ５ － ８ ＝ － ３． ７． １８０　 因为ａ１ ＋ ａ１８ ＝ ａ２ ＋ ａ１７ ＝ ２０， 所以Ｓ１８ ＝ １８ ×（ａ１ ＋ ａ１８）２ ＝ １８ ×（ａ２ ＋ ａ１７） ２ ＝ １８０． ８． ８３ 　 ２ 　 由等差数列的性质可得 ａ２ ＋ ａ２０ ｂ７ ＋ ｂ１５ ＝ ａ１ ＋ ａ２１ ｂ１ ＋ ｂ２１ ＝ ２１（ａ１ ＋ ａ２１） ２１（ｂ１ ＋ ｂ２１）＝ ２Ｓ２１ ２Ｔ２１ ＝ ３ × ２１ ＋ １２１ ＋ ３ ＝ ８ ３ ， ａｎ ｂｎ ＝ ２ａｎ ２ｂｎ ＝ ａ１ ＋ ａ２ｎ － １ ｂ１ ＋ ｂ２ｎ － １ ＝ （２ｎ － １）（ａ１ ＋ ａ２ｎ － １） （２ｎ － １）（ｂ１ ＋ ｂ２ｎ － １） ＝ Ｓ２ｎ － １ Ｔ２ｎ － １ ＝ ３（２ｎ － １）＋ １ ２ｎ ＋ ２ ＝ ６ｎ － ２ ２ｎ ＋ ２ ＝ ３ｎ － １ｎ ＋ １ ＝ ３（ｎ ＋ １）－ ４ ｎ ＋ １ ＝ ３ － ４ ｎ ＋ １， 若ａｎｂｎ为整数，且ｎ ＋ １≥２，故４能被ｎ ＋ １整除，故ｎ ＋ １ ＝ ２或 ４，解得ｎ ＝ １或３， 所以，使得ａｎｂｎ为整数的ｎ值的个数为２． ９．（１）根据题意，                                                                       得 —１５６— ａ２ ＋ ａ４ ＝（ａ１ ＋ ｄ）＋（ａ１ ＋ ３ｄ）＝ ８， ａ２·ａ４ ＝（ａ１ ＋ ｄ）·（ａ１ ＋ ３ｄ）＝ １２{ ，解得 ａ１ ＝ ８， ｄ ＝ － ２{ ． （２）Ｓ１０ ＝ １０ａ１ ＋ １０ ×（１０ － １）２ ｄ ＝ １０ × ８ ＋ １０ × ９ ２ × （－ ２）＝ － １０． １０．（１）设｛ａｎ｝的公差为ｄ，由已知， ａ１ ＝ － ７， Ｓ３ ＝ ３ａ１ ＋ ３ｄ ＝ － １５{ ，所以ｄ ＝ ２， 所以｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝ ２ｎ － ９． （２）由（１）得Ｓｎ ＝ － ７ｎ ＋ ｎ（ｎ － １）２ × ２ ＝ ｎ ２ － ８ｎ ＝（ｎ － ４）２ － １６，所以当ｎ ＝ ４时，Ｓｎ取得最小值－ １６． Ｂ组·能力提升 １． Ｃ　 方法一：设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ，首项为ａ１，依题意 可得， ａ２ ＋ ａ６ ＝ ａ１ ＋ ｄ ＋ ａ１ ＋ ５ｄ ＝ １０，即ａ１ ＋ ３ｄ ＝ ５， 又ａ４ａ８ ＝（ａ１ ＋ ３ｄ）（ａ１ ＋ ７ｄ）＝ ４５，解得ｄ ＝ １，ａ１ ＝ ２， 所以Ｓ５ ＝ ５ａ１ ＋ ５ × ４２ × ｄ ＝ ５ × ２ ＋ １０ ＝ ２０．故选Ｃ． 方法二：ａ２ ＋ ａ６ ＝ ２ａ４ ＝ １０，ａ４ａ８ ＝ ４５，所以ａ４ ＝ ５，ａ８ ＝ ９， 从而ｄ ＝ ａ８ － ａ４８ － ４ ＝ １，于是ａ３ ＝ ａ４ － ｄ ＝ ５ － １ ＝ ４， 所以Ｓ５ ＝ ５ａ３ ＝ ２０．故选Ｃ． ２． Ｃ　 因为在等差数列｛ａｎ｝中，ａ８ａ９ ＝ １７ １５， 所以Ｓ１５Ｓ１７ ＝ １５（ａ１ ＋ ａ１ ５） ２ １７（ａ１ ＋ ａ１７） ２ ＝ １５（ａ１ ＋ ａ１５） １７（ａ１ ＋ ａ１７）＝ １５ × ２ａ８ １７ × ２ａ９ ＝ １５１７· ａ８ ａ９ ＝ １． ３． ＡＣ　 因为Ｓ６ ＝ Ｓ１３，所以ａ７ ＋ ａ８ ＋…＋ ａ１３ ＝ ０，所以ａ１０ ＝ ａ１ ＋ ９ｄ ＝ ０，即ａ１ ＝ － ９ｄ，又ａ１ ＜ ０，所以ｄ ＞ ０，Ａ对，Ｂ错；当Ｓｎ ＝ ｎａ１ ＋ ｎ（ｎ － １） ２ ｄ ＝ ｎ（－ ９ｄ）＋ ｎ（ｎ － １） ２ ｄ ＞ ０，解得ｎ ＞ １９，所以 ｎｍｉｎ ＝ ２０，所以Ｃ对；Ｓ１６ － Ｓ２ ＝ １６ａ１ ＋ １６ × １５２ ｄ －（２ａ１ ＋ ｄ）＝ １４ａ１ ＋ １１９ｄ ＝ － ７ｄ ＜ ０，所以Ｓ１６ ＜ Ｓ２，Ｄ错． ４． １３　 设这个等差数列为｛ａｎ｝，由题意得 ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ＝ ３４，　 　 　 　 　 　 ① ａｎ ＋ ａｎ － １ ＋ ａｎ － ２ ＝ １４６，　 　 　{ ② ① ＋②得３（ａ１ ＋ ａｎ）＝ １８０，∴ ａ１ ＋ ａｎ ＝ ６０． ∴ Ｓｎ ＝ ｎ（ａ１ ＋ ａｎ） ２ ＝ ３０ｎ ＝ ３９０，∴ ｎ ＝ １３． ５． １００　 因为数列｛ａｎ｝为等差数列， 所以数列Ｓｎ{ }ｎ 为等差数列， 设其公差为ｄ，由Ｓ６６ － Ｓ２ ２ ＝ ４ｄ ＝ ４，解得ｄ ＝ １， 又因为Ｓ１１ ＝ ａ１ ＝ １， 所以Ｓｎｎ ＝ ｎ，即Ｓｎ ＝ ｎ ２，所以Ｓ１０ ＝ １００． ６．（１）设｛ａｎ｝的公差为ｄ．因为ａ１ ＝ ２，所以ａｎ ＝ ２ ＋（ｎ － １）ｄ，Ｓｎ ＝ ｎａ１ ＋ ｎ（ｎ － １） ２ ｄ ＝ ２ｎ ＋ ｎ（ｎ － １） ２ ｄ． 若选①，因为ａ７ ＋ ａ８ ＝ ４３，所以２ ＋ ６ｄ ＋ ２ ＋ ７ｄ ＝ ４ ＋ １３ｄ ＝ ４３， 解得ｄ ＝ ３，故ａｎ ＝ ３ｎ － １． 若选②，因为｛ａｎ｝的前７项和为７７， 所以２ × ７ ＋ ７ × ６２ ｄ ＝ １４ ＋ ２１ｄ ＝ ７７，解得ｄ ＝ ３，故ａｎ ＝ ３ｎ － １． 若选③，因为ａ１ ＋ ａ２ ＝ ａ３ － １，ａ１ ＋ ａ２ ＝ ２ ＋ ２ ＋ ｄ ＝ ２ ＋ ２ｄ － １，解 得ｄ ＝ ３，故ａｎ ＝ ３ｎ － １． （２）由已知数列｛ａｎ｝的第ｎ项是数列｛ｂｎ｝的第ｎ ＋ ４（ｎ － １）＝ ５ｎ － ４项，令５ｎ － ４ ＝ １０１，解得ｎ ＝ ２１， 故ｂ１０１是数列｛ａｎ｝的第２１项． Ｃ组·创新拓展 ８６ ９ 　 由题意，由细到粗每段的重量成等差数列｛ａｎ｝，设公差 为ｄ， 则ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ＝ ２， ａ１３ ＋ ａ１４ ＋ ａ１５ ＝ ４{ ， ３ａ１ ＋ ３ｄ ＝ ２， ３ａ１ ＋ ３９ｄ ＝ ４{ ，解得ａ１ ＝ １１１８，ｄ ＝ １１８， 所以ａｎ ＝ ｎ ＋ １０１８ ．所以ａ[ ]ｎ ＝ ０，１≤ｎ≤７， １，８≤ｎ≤１５{ ． 因此数列｛ｂｎ｝的所有项的和为ａ８ ＋ ａ９ ＋ …＋ ａ１５ ＝ １８ ＋ １９ ＋…＋ ２５ １８ ＝ ８６ ９ ． 练案［６］ Ａ组·基础自测 １． Ａ　 因为｛ａｎ｝是等差数列，ａ１ ＋ ａ３ ＝ １２，ａ２ ＋ ａ４ ＝ １８， 所以２ａ１ ＋ ２ｄ ＝ １２， ２ａ１ ＋ ４ｄ ＝ １８{ ，解得 ｄ ＝ ３， ａ１ ＝ ３{ ， 则ａｎ ＝ ３ ＋（ｎ － １）× ３ ＝ ３ｎ， 数列ａ３，ａ６，ａ９，…，ａ３ ｎ构成首项为ａ３ ＝ ９，公差为９的等差数列， 则ａ３ ＋ ａ６ ＋ ａ９ ＋…＋ ａ３ ｎ ＝９ｎ ＋ １２ ｎ（ｎ －１）×９ ＝ ９ ２ （ｎ ２ ＋ ｎ）． ２． Ｃ　 当ｎ≤３时，ａｎ≤０，ｂｎ ＝ ｜ ａｎ ｜ ＝ － ａｎ ＝ ６ － ２ｎ，即ｂ１ ＝ ４，ｂ２ ＝ ２，ｂ３ ＝ ０． 当ｎ ＞ ３时，ａｎ ＞ ０，ｂｎ ＝ ｜ ａｎ ｜ ＝ ａｎ ＝ ２ｎ － ６，即ｂ４ ＝ ２，ｂ５ ＝ ４，ｂ６ ＝ ６，ｂ７ ＝ ８，所以｛ｂｎ｝的前７项和为４ ＋ ２ ＋ ０ ＋ ２ ＋ ４ ＋ ６ ＋ ８ ＝ ２６． ３． Ｄ　 Ｓｋ ＋ ２ － Ｓｋ ＝ ａｋ ＋ １ ＋ ａｋ ＋ ２ ＝ ２ａｋ ＋ １ ＋ ２ ＝ ２４． 故ａｋ ＋ １ ＝ ２ｋ ＋ １ ＝ １１． ∴ ｋ ＝ ５． ４． Ｂ　 由Ｓ１０ － Ｓ５ ＝ ａ６ ＋ ａ７ ＋ ａ８ ＋ ａ９ ＋ ａ１０ ＝ ５ａ８ ＝ ０，则ａ８ ＝ ０， 则等差数列｛ａｎ｝的公差ｄ ＝ ａ８ － ａ５３ ＝ － １ ３ ，故ａ１ ＝ ａ５ － ４ｄ ＝ １ － ４ × －( )１３ ＝ ７３ ．故选Ｂ． ５． ＣＤ　 对于Ａ，当ｎ ＝ １时，ａ１ ＝ Ｓ１ ＝ １２ － １１ × １ ＋ １ ＝ － ９，当ｎ≥ ２时，ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １ ＝（ｎ２ － １１ｎ ＋ １）－［（ｎ － １）２ － １１（ｎ － １）＋ １］＝ ２ｎ － １２， 检验ｎ ＝ １时，２ × １ － １２ ＝ － １０≠ａ１， 所以ａｎ ＝ － ９，ｎ ＝ １，２ｎ － １２，ｎ≥２{ ，故Ａ错误； 对于Ｂ，因为ａｎ ＝ － ２ｎ ＋ １１， 则｜ ａｎ ｜ ＝ １１ － ２ｎ，ｎ ＜ ６，２ｎ － １１，ｎ≥６{ ， 所以数列｜ ａｎ{ }｜ 的前１０项和为９ ＋ ７ ＋ ５ ＋ ３ ＋ １ ＋ １ ＋ ３ ＋ ５ ＋ ７ ＋ ９ ＝ ５０，故Ｂ错误； 对于Ｃ，由ａｎ ＝ － ２ｎ ＋ １１可知数列｛ａｎ｝是等差数列，则Ｓｎ ＝ ９ － ２ｎ( )＋ １１ ｎ ２ ＝ － ｎ ２ ＋ １０ｎ， 易知ｎ ＝ ５时，Ｓｎ的最大值为２５，故Ｃ正确； 对于Ｄ，因为数列｛ａｎ｝为等差数列，且ａ１ ０１２ ＜ ０，ａ１ ０１２ ＋ ａ１ ０１３ ＞ ０， 所以Ｓ２ ０２３ ＝ ａ１ ＋ ａ( )２ ０２３ × ２ ０２３２ ＝ ２ ０２３ａ１ ０１２ ＜ ０， Ｓ２ ０２４ ＝ ａ１ ＋ ａ( )２ ０２４ × ２ ０２４                                                                       ２ —１５７—