4.1.3 独立性与条件概率的关系(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教B版2019)

练案［１０］ 第四章　 概率与统计 ４． １　 ［４． １． ３　 独立性与条件概率的关系］ Ａ组·素养自测 一、选择题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（多选）下列事件中，Ａ，Ｂ是相互独立事件的 是 （　 ） Ａ．一枚硬币掷两次，Ａ表示“第一次为正面”， Ｂ表示“第二次为反面” Ｂ．袋中有２个白球，２个黑球，不放回地摸两 球，Ａ表示“第一次摸到白球”，Ｂ表示“第 二次摸到白球” Ｃ．掷一枚骰子，Ａ表示“出现点数为奇数”，Ｂ 表示“出现点数为３或４” Ｄ．掷一枚骰子，Ａ表示“出现点数为奇数”，Ｂ 表示“出现点数为偶数” ２．设两个独立事件Ａ和Ｂ都不发生的概率为 １ ９，Ａ发生Ｂ不发生的概率与Ｂ发生Ａ不发生 的概率相同，则事件Ａ发生的概率Ｐ（Ａ）是 （Ｄ ） Ａ． ２９ Ｂ． １ １８ Ｃ． １ ３ Ｄ． ２ ３ ３．三个元件Ｔ１，Ｔ２，Ｔ３ 正常工 作的概率分别为１２， ３ ４， ３ ４， 且是互相独立的．将它们中某两个元件并联 后再和第三个元件串联接入电路，在如图的 电路中，电路不发生故障的概率是 （Ａ ） Ａ． １５３２ Ｂ． ９ ３２ Ｃ． ７ ３２ Ｄ． １７ ３２ ４．从甲袋内摸出１个白球的概率为１３，从乙袋内 摸出１个白球的概率是１２，从两个袋内各摸１ 个球，那么概率为５６的事件是 （Ｃ ） Ａ． ２个球都是白球 Ｂ． ２个球都不是白球 Ｃ． ２个球不都是白球 Ｄ． ２个球中恰好有１个白球 ５．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队 只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两 局才能得到冠军，若两队胜每局的概率相同， 则甲队获得冠军的概率为 （Ｄ ） Ａ． １２ Ｂ． ３ ５ Ｃ． ２ ３ Ｄ． ３ ４ 二、填空题 ６．在甲盒内的２００个螺杆中有１６０个是Ａ型，在 乙盒内的２４０个螺母中有１８０个是Ａ型．若从 甲、乙两盒内各取一个，则能配成Ａ型螺栓的 概率为　 　 　 　 ． ７．甲、乙两个袋子中有红、白两种颜色的小球，这些 小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有４个红 球、２个白球，乙袋装有１个红球、５个白球，现分 别从甲、乙两袋中各抽取１个球，则取出的两个 球都是红球的概率为　 　 　 　 ． ８．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的 人越来越多．某自行车租车点的收费标准是 每车每次租车时间不超过两小时免费，超过 两小时的部分每小时收费标准为２元（不足１ 小时的部分按１小时计算），有甲、乙两人相 互独立来该租车点租车骑游（各租一车一 次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别 为１４， １ ２，两小时以上且不超过三小时还车的 概率分别为１２， １ ４；两人租车时间都不会超过 四小时．求甲、乙两人所付的租车费用相同的 概率为　 　 　 　 ． 三、解答题 ９．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种 考试方案． 方案一：考三门课程，至少有两门及格为考试 通过． 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两 门都及格为考试通过．                                                                假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概 —０９７— 率分别为０． ５，０． ６，０． ９，且三门课程考试是否 及格相互之间没有影响． 求：（１）该应聘者用方案一考试通过的概率； （２）该应聘者用方案二考试通过的概率． １０．甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种 零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙 机床加工的零件不是一等品的概率为１４，乙 机床加工的零件是一等品而丙机床加工的 零件不是一等品的概率为１１２．甲、丙两台机 床加工的零件都是一等品的概率为２９ ． （１）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零 件是一等品的概率； （２）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检 验，求至少有一个一等品的概率． Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．甲、乙两人独立解某道数学竞赛题，已知该题 被甲单独解出的概率为０． ６，被甲、乙至少一 人解出的概率为０． ９２，则该题被乙单独解出 的概率是 （Ｄ ） Ａ． ０． ３２ Ｂ． ０． ２ Ｃ． ０． ６８ Ｄ． ０． ８ ２．某闯关游戏规则如下：在主办方预设的６个问 题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即 停止答题，闯关成功，假设某选手正确回答每 个问题的概率都是０． ６，且每个问题的回答结 果相互独立，则该选手恰好回答了４个问题就 闯关成功的概率等于 （Ｂ ） Ａ． ０． ０６４ Ｂ． ０． １４４ Ｃ． ０． ２１６ Ｄ． ０． ４３２ ３．（多选）设两个独立事件Ａ和Ｂ都不发生的概 率为１９，Ａ发生Ｂ不发生的概率与Ｂ发生Ａ不 发生的概率相同，则下列说法正确的是 （　 ） Ａ．事件Ａ与Ｂ发生的概率相同 Ｂ． Ｐ（Ａ）＝ １３ Ｃ． Ｐ（Ｂ）＝ ２３ Ｄ． Ｐ（ＡＢ）＝ ２９ ４．（多选）设同时抛掷两个质地均匀的四面分别 标有１，２，３，４的正四面体一次．记事件Ａ ＝ ｛第一个四面体向下的一面出现偶数｝；事件 Ｂ ＝｛第二个四面体向下的一面出现奇数｝；事 件Ｃ ＝｛两个四面体向下的一面同时出现奇数 或者同时出现偶数｝，则 （　 ） Ａ． Ｐ（Ａ）＝ Ｐ（Ｂ）＝ Ｐ（Ｃ） Ｂ． Ｐ（ＡＢ）＝ Ｐ（ＡＣ）＝ Ｐ（ＢＣ） Ｃ． Ｐ（ＡＢＣ）＝ １８ Ｄ． Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ｃ）＝ １８ 二、填空题 ５．台风在危害人类的同时，也在保护人类，台风 给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水 荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡． 甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，                                                                       在同一时 —０９８— 刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率 分别为０． ８，０． ７，０． ９，各卫星间相互独立，则 在同一时刻至少有两颗预报准确的是 　 　 　 　 ． ６．事件Ａ，Ｂ，Ｃ相互独立，如果Ｐ（ＡＢ）＝ １６，Ｐ（ＢＣ） ＝ １８，Ｐ（ＡＢ Ｃ）＝ １ ８，则Ｐ（Ｂ）＝ 　 　 　 　 ，Ｐ（ＡＢ） ＝ 　 　 　 　 ． ７．荷花池中，有一只青蛙在成品字 形的三片荷叶上跳来跳去（每次 跳跃时，均从一片荷叶跳到另一 个荷叶），而且逆时针方向跳的概 率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示． 假设现在青蛙在Ａ荷叶上，则跳三次之后停 在Ａ荷叶上的概率是　 　 　 　 ． 三、解答题 ８．已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的 概率为０． ２． （１）假定有５门这种高炮控制某个区域，求敌 机进入这个区域后未被击中的概率； （２）要使敌机一旦进入这个区域后有０． ９以 上的概率被击中，需至少布置几门高炮？ ９．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备 选的１０道试题中，甲能答对其中的６道题，乙 能答对其中的８道题．规定每次考试都从备选 题中随机抽出３道题进行测试，至少答对２道 题才算合格． （１）分别求甲、乙两人考试合格的概率； （２）求甲、乙两人至少有一人考试合格的 概率                                                                     ． —０９９— ９．记Ｂｉ ＝｛球取自ｉ号罐｝（ｉ ＝ １，２，３，），Ａ ＝｛取得红球｝，显然Ａ 的发生总是伴随着Ｂ１，Ｂ２，Ｂ３ 之一同时发生，即Ａ ＝ ＡＢ１ ＋ ＡＢ２ ＋ ＡＢ３，且ＡＢ１，ＡＢ２，ＡＢ３两两互斥， Ｐ（Ａ ｜Ｂ１）＝ ２３ ，Ｐ（Ａ ｜Ｂ２）＝ ３ ４ ，Ｐ（Ａ ｜Ｂ３）＝ １ ２ ， 所以Ｐ（Ａ）＝ Ｐ（ＡＢ１）＋ Ｐ（ＡＢ２）＋ Ｐ（ＡＢ３）＝ ３ ｉ ＝ １ Ｐ（Ｂｉ）Ｐ（Ａ ｜Ｂｉ） ＝ １３ × ２ ３ ＋ １ ３ × ３ ４ ＋ １ ３ × １ ２ ＝ ２３ ３６ ． １０．设Ａ表示“被诊断为肺结核”，Ｃ表示“患有肺结核”． 由题意得，Ｐ（Ｃ）＝ ０． ００１，Ｐ（Ｃ）＝ ０． ９９９，Ｐ（Ａ ｜ Ｃ）＝ ０． ９５， Ｐ（Ａ ｜Ｃ）＝ ０． ００２．由贝叶斯公式知， Ｐ（Ｃ ｜Ａ）＝ Ｐ（Ｃ）Ｐ（Ａ ｜Ｃ） Ｐ（Ｃ）Ｐ（Ａ ｜Ｃ）＋ Ｐ（Ｃ）Ｐ（Ａ ｜Ｃ）＝ ４７５ １ ４７４． Ｂ组·素养提升 １． Ｂ　 设Ａ ＝“考生答对”，Ｂ ＝“考生知道正确答案”， 由全概率公式： Ｐ（Ａ）＝ Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ ｜ Ｂ）＋ Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ ｜ Ｂ）＝ １３ × １ ＋ ２ ３ × １ ４ ＝ １２ ． 又由贝叶斯公式： Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ ｜Ｂ）Ｐ（Ａ） ＝ １ ３ １ ２ ＝ ２３ ． 故选Ｂ． ２． Ｂ　 用Ａ表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用Ｂｋ 表示丢失 的一箱为ｋ，ｋ ＝ １，２，３分别表示英语书、数学书、语文书． 由全概率公式得Ｐ（Ａ）＝３ ｋ ＝ １ Ｐ（Ｂｋ）Ｐ（Ａ ｜ Ｂｋ）＝ １２· Ｃ２４ Ｃ２９ ＋ １５· Ｃ２５ Ｃ２９ ＋ ３１０· Ｃ２５ Ｃ２９ ＝ ８３６ ． Ｐ（Ｂ１ ｜ Ａ）＝ Ｐ（Ｂ１）Ｐ（Ａ ｜Ｂ１）Ｐ（Ａ） ＝ １ ２· Ｃ２４ Ｃ２９ Ｐ（Ａ） ＝ ３ ３６ ÷ ８ ３６ ＝ ３ ８ ．故 选Ｂ． ３． Ｃ　 设事件Ａ ＝｛第一次抽出的是黑球｝，事件Ｂ ＝｛第二次抽 出的是黑球｝，则Ｂ ＝ ＡＢ ＋ ＡＢ，由全概率公式Ｐ（Ｂ）＝ Ｐ（Ａ） Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＋ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ ｜ Ａ）．由题意Ｐ（Ａ）＝ ｂａ ＋ ｂ，Ｐ（Ｂ ｜ Ａ）＝ ｂ ＋ ｃ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ，Ｐ（Ａ）＝ ａ ａ ＋ ｂ，Ｐ（Ｂ ｜ Ａ）＝ ｂ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ，所以Ｐ（Ｂ）＝ ｂ（ｂ ＋ ｃ） （ａ ＋ ｂ）（ａ ＋ ｂ ＋ ｃ）＋ ａｂ （ａ ＋ ｂ）（ａ ＋ ｂ ＋ ｃ）＝ ｂ ａ ＋ ｂ． ４． ＡＢＣ　 Ｐ（Ｄ１）＝ ０． ０２，Ｐ（Ｄ２）＝ ０． ０５，Ｐ（Ｄ３）＝ ０． ００５，Ｐ（Ｓ ｜Ｄ１） ＝ ０． ４，Ｐ（Ｓ ｜Ｄ２）＝ ０． １８，Ｐ（Ｓ ｜Ｄ３）＝ ０． ６， 由全概率公式得Ｐ（Ｓ）＝３ ｉ ＝ １ Ｐ（Ｄｉ）Ｐ（Ｓ ｜Ｄｉ） ＝ ０． ０２ × ０． ４ ＋ ０． ０５ × ０． １８ ＋ ０． ００５ × ０． ６ ＝ ０． ０２． 由贝叶斯公式得： Ｐ（Ｄ１ ｜ Ｓ）＝ Ｐ（Ｄ１）Ｐ（Ｓ ｜Ｄ１）Ｐ（Ｓ） ＝ ０． ０２ × ０． ４ ０． ０２ ＝ ０． ４， Ｐ（Ｄ２ ｜ Ｓ）＝ Ｐ（Ｄ２）Ｐ（Ｓ ｜Ｄ２）Ｐ（Ｓ） ＝ ０． ０５ × ０． １８ ０． ０２ ＝ ０． ４５， Ｐ（Ｄ３ ｜ Ｓ）＝ Ｐ（Ｄ３）Ｐ（Ｓ ｜Ｄ３）Ｐ（Ｓ） ＝ ０． ００５ × ０． ６ ０． ０２ ＝ ０． １５． ５．甲　 设Ａ１，Ａ２，Ａ３表示产品来自甲、乙、丙车间，Ｂ表示产品为 次品的事件，易知Ａ１，Ａ２，Ａ３ 是样本空间Ω中的事件，且有 Ｐ（Ａ１）＝ ０． ４５，Ｐ（Ａ２）＝ ０． ３５，Ｐ（Ａ３）＝ ０． ２，Ｐ（Ｂ ｜ Ａ１）＝ ０． ０４， Ｐ（Ｂ ｜Ａ２）＝ ０． ０２，Ｐ（Ｂ ｜Ａ３）＝ ０． ０５． 由全概率公式得Ｐ（Ｂ）＝ Ｐ（Ａ１）Ｐ（Ｂ ｜Ａ１）＋ Ｐ（Ａ２）Ｐ（Ｂ ｜ Ａ２）＋ Ｐ（Ａ３）Ｐ（Ｂ ｜ Ａ３）＝ ０． ４５ × ０． ０４ ＋ ０． ３５ × ０． ０２ ＋ ０． ２ × ０． ０５ ＝ ０． ０３５． 由贝叶斯公式得Ｐ（Ａ１ ｜Ｂ）＝ ０． ４５ × ０． ０４０． ０３５ ≈０． ５１４， Ｐ（Ａ２ ｜Ｂ）＝ ０． ３５ × ０． ０２０． ０３５ ≈０． ２００， Ｐ（Ａ２ ｜Ｂ）＝ ０． ２０ × ０． ０５０． ０３５ ≈０． ２８６， 所以，该次品由甲车间生产的可能性最大． ６． ０． ５　 设Ａ１为“第一次去甲超市购物”，Ｂ１ 为“第一次去乙超 市购物”，Ａ２为“第二次去甲超市购物”，则Ω ＝ Ａ１∪Ｂ１ 且Ａ１ 与Ｂ１互斥，得Ｐ（Ａ１）＝ Ｐ（Ｂ１）＝ ０． ５，Ｐ（Ａ２ ｜Ａ１）＝ ０，４，Ｐ（Ａ２ ｜ Ｂ１）＝ ０． ６． 由全概率公式得 Ｐ（Ａ２）＝ Ｐ（Ａ１）Ｐ（Ａ２ ｜Ａ１）＋ Ｐ（Ｂ１）Ｐ（Ａ２ ｜Ｂ１） ＝ ０． ５ × ０． ４ ＋ ０． ５ × ０． ６ ＝ ０． ５． ∴老王第二次去甲超市购物的概率为０． ５． ７． ｍｍ ＋ ｎ· ｍ ＋ ｋ ｍ ＋ ｎ ＋ ｋ· ｎ ｍ ＋ ｎ ＋ ２ｋ· ｎ ＋ ｋ ｍ ＋ ｎ ＋ ３ｋ 　 设Ｒｉ（ｉ ＝ １，２，３， ４）表示第ｉ次取到红球的事件，Ｒｉ（ｉ ＝ １，２，３，４）表示第ｉ次取 到白球的事件．则有 Ｐ（Ｒ１Ｒ２Ｒ３Ｒ４）＝Ｐ（Ｒ１）Ｐ（Ｒ２ ｜Ｒ１）Ｐ（Ｒ３ ｜（Ｒ１Ｒ２））Ｐ（Ｒ４ ｜（Ｒ１Ｒ２Ｒ３）） ＝ ｍｍ ＋ ｎ· ｍ ＋ ｋ ｍ ＋ ｎ ＋ ｋ· ｎ ｍ ＋ ｎ ＋ ２ｋ· ｎ ＋ ｋ ｍ ＋ ｎ ＋ ３ｋ． ８．记事件Ａ为“题答对了”，事件Ｂ为“知道正确答案”，则按题 意有Ｐ（Ａ ｜Ｂ）＝ １，Ｐ（Ａ ｜Ｂ）＝ ０． ２５． （１）此时有Ｐ（Ｂ）＝ Ｐ（Ｂ）＝ ０． ５，所以由贝叶斯公式得 Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ ｜Ｂ） Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ ｜Ｂ）＋ Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ ｜Ｂ） ＝ ０． ５ × １０． ５ × １ ＋ ０． ５ × ０． ２５ ＝ ０． ８． （２）此时有Ｐ（Ｂ）＝ ０． ２，Ｐ（Ｂ）＝ ０． ８，所以由贝叶斯公式得 Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ ｜Ｂ） Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ ｜Ｂ）＋ Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ ｜Ｂ） ＝ ０． ２ × １０． ２ × １ ＋ ０． ８ × ０． ２５ ＝ ０． ５． ９．设事件Ａ０ ＝｛发送信号为０｝，事件Ａ１ ＝｛发送信号为１｝，事件 Ｂ０ ＝｛收到信号为０｝，事件Ｂ１ ＝｛收到信号为１｝．因为收到信 号为０时，除来自发送信号为０外，还由于干扰原因，发送信 号为１时，接收的信号也可能为０，因此导致事件Ｂ０发生的原 因有事件Ａ０ 与Ａ１，且它们互不相容，故Ａ０ 与Ａ１ 构成一完备 事件组．由题意有Ｐ（Ａ０）＝ Ｐ（Ａ１）＝ １２ ，Ｐ（Ｂ０ ｜Ａ０）＝０． ７，Ｐ（Ｂ０ ｜ Ａ１）＝０． １， 故Ｐ（Ｂ０）＝ Ｐ（Ａ０）Ｐ（Ｂ０ ｜ Ａ０）＋ Ｐ（Ａ１）Ｐ（Ｂ０ ｜ Ａ１）＝ １２ × ０． ７ ＋ １ ２ × ０． １ ＝ ０． ４． 由贝叶斯公式得收到信号０时，发出的信号是０的概率为 Ｐ（Ａ０ ｜Ｂ０）＝ Ｐ（Ａ０）Ｐ（Ｂ０ ｜Ａ０）Ｐ（Ｂ０） ＝ ０． ８７５． 练案［１０］ Ａ组·素养自测 １． ＡＣ　 把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结 果不受先后次序的影响，故Ａ中Ａ，Ｂ事件是相互独立事件；                                                                       Ｂ —１５９— 中是不放回地摸球，显然Ａ事件与Ｂ事件不相互独立；对于 Ｃ，Ａ事件为出现１，３，５点，Ｐ（Ａ）＝ １２ ，在事件Ｂ的条件下，事 件Ａ发生的概率Ｐ（Ａ ｜Ｂ）＝ １２ ＝ Ｐ（Ａ），事件Ａ，Ｂ相互独立；Ｄ 中两事件是互斥事件，不是相互独立事件． ２． Ｄ　 由Ｐ（Ａ∩Ｂ）＝ Ｐ（Ｂ∩Ａ）得Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）＝ Ｐ（Ｂ）·Ｐ（Ａ）， 即Ｐ（Ａ）［１ － Ｐ（Ｂ）］＝ Ｐ（Ｂ）［１ － Ｐ（Ａ）］， ∴ Ｐ（Ａ）＝ Ｐ（Ｂ）．又Ｐ（Ａ∩Ｂ）＝ １９ ， ∴ Ｐ（Ａ）＝ Ｐ（Ｂ）＝ １３ ． ∴ Ｐ（Ａ）＝ ２３ ． 故选Ｄ． ３． Ａ　 记“三个元件Ｔ１，Ｔ２，Ｔ３正常工作”分别为事件Ａ１，Ａ２，Ａ３， 则Ｐ（Ａ１）＝ １２ ，Ｐ（Ａ２）＝ ３ ４ ，Ｐ（Ａ３）＝ ３ ４ ． 不发生故障的事件为（Ａ２∪Ａ３）∩Ａ１， ∴不发生故障的概率为 Ｐ ＝ Ｐ［（Ａ２∪Ａ３）∩Ａ１］ ＝［１ － Ｐ（Ａ２）·Ｐ（Ａ３）］·Ｐ（Ａ１） ＝（１ － １４ × １ ４ ）× １ ２ ＝ １５ ３２ ． 故选Ａ． ４． Ｃ　 从甲袋内摸出白球与从乙袋内摸出白球两事件相互独立， 故两个球都是白球的概率为Ｐ１ ＝ １３ × １ ２ ＝ １ ６ ， ∴两个球不都是白球的概率为Ｐ ＝ １ － Ｐ１ ＝ ５６ ． ５． Ｄ　 设Ａｉ（ｉ ＝ １，２）表示继续比赛时，甲在第ｉ局获胜，Ｂ事件 表示甲队获得冠军． 方法一：Ｂ ＝ Ａ１ ＋ Ａ１Ａ２，故Ｐ（Ｂ）＝ Ｐ（Ａ１）＋ Ｐ（Ａ１）Ｐ（Ａ２）＝ １２ ＋ １２ × １ ２ ＝ ３ ４ ． 方法二：Ｐ（Ｂ）＝ １ － Ｐ（Ａ１Ａ２）＝ １ － Ｐ（Ａ１）Ｐ（Ａ２）＝ １ － １２ × １ ２ ＝ ３４ ． ６． ３５ 　 “从２００个螺杆中，任取一个是Ａ型”记为事件Ｂ． “从 ２４０个螺母中任取一个是Ａ型”记为事件Ｃ，则Ｐ（Ｂ）＝ Ｃ １ １６０ Ｃ１２００ ， Ｐ（Ｃ）＝ Ｃ １ １８０ Ｃ１２４０ ． ∴ Ｐ（Ｂ∩Ｃ）＝ Ｐ（Ｂ）·Ｐ（Ｃ）＝ Ｃ １ １６０ Ｃ１２００ ·Ｃ １ １８０ Ｃ１２４０ ＝ ３５ ． ７． １９ 　 由题意知，“从甲袋中取出红球”和“从乙袋中取出红球” 两个事件相互独立，且从甲袋中取出红球的概率为４６ ＝ ２ ３ ， 从乙袋中取出红球的概率为１６ ，所以所求事件的概率为 ２ ３ × １ ６ ＝ １ ９ ． ８． ５１６ 　 由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概 率分别为１４ ， １ ４ ． 设甲，乙两人所付的租车费用相同为事件Ａ， 则Ｐ（Ａ）＝ １４ × １ ２ ＋ １ ２ × １ ４ ＋ １ ４ × １ ４ ＝ ５ １６， 即甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为５１６ ． ９．记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为Ａ，Ｂ，Ｃ， 则Ｐ（Ａ）＝ ０． ５，Ｐ（Ｂ）＝ ０． ６，Ｐ（Ｃ）＝ ０． ９． （１）应聘者用方案一考试通过的概率为Ｐ１ ＝ Ｐ（ＡＢ Ｃ）＋ Ｐ（ＡＢＣ）＋ Ｐ（Ａ ＢＣ）＋ Ｐ（ＡＢＣ）＝ ０． ５ × ０． ６ × ０． １ ＋ ０． ５ × ０． ６ × ０． ９ ＋ ０． ５ × ０． ４ × ０． ９ ＋ ０． ５ × ０． ６ × ０． ９ ＝ ０． ７５． （２）应聘者用方案二考试通过的概率为Ｐ２ ＝ １３ Ｐ（ＡＢ）＋ １ ３ Ｐ（ＢＣ）＋ １ ３ Ｐ（ＡＣ）＝ １ ３ × ０． ５ × ０． ６ ＋ １ ３ × ０． ６ × ０． ９ ＋ １ ３ × ０． ５ × ０． ９ ＝ ０． ４３． １０．（１）设Ａ、Ｂ、Ｃ分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是 一等品的事件． 由题设条件有 Ｐ（Ａ Ｂ）＝ １４ ， Ｐ（Ｂ Ｃ）＝ １１２， Ｐ（ＡＣ）＝ ２９      ， 即 Ｐ（Ａ）·［１ － Ｐ（Ｂ）］＝ １４ ，　 　 　 ① Ｐ（Ｂ）·［１ － Ｐ（Ｃ）］＝ １１２， ② Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｃ）＝ ２９ ．      ③ 由①、③得Ｐ（Ｂ）＝ １ － ９８ Ｐ（Ｃ），代入②得 ２７［Ｐ（Ｃ）］２ － ５１Ｐ（Ｃ）＋ ２２ ＝ ０． 解得Ｐ（Ｃ）＝ ２３或 １１ ９ （舍去）． 将Ｐ（Ｃ）＝ ２３分别代入③、②可得Ｐ（Ａ）＝ １ ３ 、 Ｐ（Ｂ）＝ １４ ， 即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别 是１３ 、 １ ４ 、 ２ ３ ． （２）记Ｄ为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有 一个一等品的事件，则 Ｐ（Ｄ）＝ １ － Ｐ（Ｄ）＝ １ －［１ － Ｐ（Ａ）］［１ － Ｐ（Ｂ）］［１ － Ｐ（Ｃ）］ ＝ １ － ２３ × ３ ４ × １ ３ ＝ ５ ６ ． 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等 品的概率为５６ ． Ｂ组·素养提升 １．Ｄ　 设该题被乙单独解出的概率为Ｐ，由题意可知甲、乙都没有解 出该题的概率为１ － ０． ９２ ＝（１ － ０． ６）（１ － Ｐ），解得Ｐ ＝ ０． ８，故 选Ｄ． ２． Ｂ　 选手恰好回答了４个问题就闯关成功表示第２个问题不 正确，第３、４个问题回答正确．故Ｐ ＝ ０． ６ × ０． ４ × ０． ６ × ０． ６ ＋ ０． ４ × ０． ４ × ０． ６ × ０． ６ ＝ ０． １４４． ３． ＡＣＤ　 因为事件Ａ，Ｂ相互独立，由Ｐ（ＡＢ）＝ Ｐ（Ａ Ｂ）可得［１ － Ｐ（Ａ）］Ｐ（Ｂ）＝ Ｐ（Ａ）［１ － Ｐ（Ｂ）］，即Ｐ（Ａ）＝ Ｐ（Ｂ）． 又Ｐ（Ａ　Ｂ）＝ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）＝ １９                                                                       ， —１６０— ∴ Ｐ（Ａ）＝ １３ ，即１ － Ｐ（Ａ）＝ １ ３ ，∴ Ｐ（Ａ）＝ ２ ３ ． ∴ Ｐ（ＡＢ）＝ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）＝ １ －( )２３ × ２３ ＝ ２９ ． 结合选项可知ＡＣＤ正确，故选ＡＣＤ． ４． ＡＢＤ　 由题意知Ｐ（Ａ）＝ １２ ，Ｐ（Ｂ）＝ １ ２ ，Ｐ（Ｃ）＝ １ ２ ，所以 Ｐ（Ａ）＝ Ｐ（Ｂ）＝ Ｐ（Ｃ），故Ａ正确； 又事件Ａ，Ｂ，Ｃ两两独立，所以Ｐ（ＡＢ）＝ １２ × １ ２ ＝ １ ４ ，Ｐ（ＡＣ） ＝ １２ × １ ２ ＝ １ ４ ，Ｐ（ＢＣ）＝ １ ２ × １ ２ ＝ １ ４ ，所以Ｐ（ＡＢ）＝ Ｐ（ＡＣ） ＝ Ｐ（ＢＣ），故Ｂ正确； 事件Ａ，Ｂ，Ｃ不可能同时发生，故Ｐ（ＡＢＣ）＝ ０，故Ｃ错误； Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ｃ）＝ １２ × １ ２ × １ ２ ＝ １ ８ ，故Ｄ正确． ５． ０． ９０２　 设甲、乙、丙预报准确依次记为事件Ａ，Ｂ，Ｃ，不准确记 为Ａ，Ｂ，Ｃ， 则Ｐ（Ａ）＝ ０． ８，Ｐ（Ｂ）＝ ０． ７，Ｐ（Ｃ）＝ ０． ９，Ｐ（Ａ）＝ ０． ２，Ｐ（Ｂ）＝ ０． ３，Ｐ（Ｃ）＝ ０． １， 至少两颗预报准确的事件有ＡＢ Ｃ，Ａ ＢＣ，ＡＢＣ，ＡＢＣ，这四个事 件两两互斥且独立．所以至少两颗预报准确的概率为Ｐ ＝ Ｐ（Ａ ∩Ｂ∩Ｃ）＋ Ｐ（Ａ∩Ｂ∩Ｃ）＋ Ｐ（Ａ∩Ｂ∩Ｃ）＋ Ｐ（Ａ∩Ｂ∩Ｃ） ＝０．８ ×０．７ ×０．１ ＋０．８ ×０．３ ×０． ９ ＋０． ２ ×０． ７ ×０． ９ ＋０． ８ ×０． ７ × ０．９ ＝ ０． ０５６ ＋ ０． ２１６ ＋ ０． １２６ ＋ ０． ５０４ ＝ ０． ９０２． ６． １２ 　 １ ３ 　 因为Ｐ（ＡＢ Ｃ）＝ Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ｃ）＝ １ ６ Ｐ（Ｃ）＝ １ ８ ，所以 Ｐ（Ｃ）＝ ３４ ，即Ｐ（Ｃ）＝ １ ４ ．又Ｐ（ＢＣ）＝ Ｐ（Ｂ）·Ｐ（Ｃ）＝ １ ８ ，所 以Ｐ（Ｂ）＝ １２ ，Ｐ（Ｂ）＝ １ ２ ． 又Ｐ（ＡＢ）＝ １６ ，则Ｐ（Ａ）＝ １ ３ ， 所以Ｐ（ＡＢ）＝ Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｂ） ＝ １ －( )１３ × １２ ＝ １３ ． ７． １３ 　 由已知逆时针跳一次的概率为 ２ ３ ，顺时针跳一次的概率 为１３ ．则逆时针跳三次停在Ａ上的概率为Ｐ１ ＝ ２ ３ × ２ ３ × ２ ３ ＝ ８２７，顺时针跳三次停在Ａ上的概率为Ｐ２ ＝ １ ３ × １ ３ × １ ３ ＝ １ ２７ ．所以跳三次之后停在Ａ上的概率为Ｐ ＝ Ｐ１ ＋ Ｐ２ ＝ ８ ２７ ＋ １ ２７ ＝ １３ ． ８．（１）设敌机被第ｋ门高炮击中的事件为Ａｋ（ｋ ＝ １，２，３，４，５）， 那么５门高炮都未击中敌机的事件为Ａ１·Ａ２·Ａ３·Ａ４·Ａ５ ． 因为事件Ａ１，Ａ２，Ａ３，Ａ４，Ａ５相互独立，所以敌机未被击中的概 率为Ｐ（Ａ１·Ａ２·Ａ３·Ａ４·Ａ５）＝ Ｐ（Ａ１）·Ｐ（Ａ２）·Ｐ（Ａ３）· Ｐ（Ａ４）·Ｐ（Ａ５）＝（１ － ０． ２）５ ＝ ( )４５ ５ ． 所以敌机未被击中的概率为( )４５ ５ ． （２）需要布置ｎ门高炮才能有０． ９以上的概率被击中，可得敌 机被击中的概率为１ － ( )４５ ｎ ， 所以令１ － ( )４５ ｎ ＞ ０． ９，所以( )４５ ｎ ＜ １１０， 两边取常用对数，得ｎ ＞ １１ － ３ｌｇ ２≈１０． ３， 因为ｎ∈Ｎ，所以ｎ ＝ １１．所以至少需要布置１１门高炮才能 有０． ９以上的概率击中敌机． ９．（１）设甲、乙两人考试合格的事件分别为Ａ、Ｂ，则Ｐ（Ａ）＝ Ｃ２６Ｃ １ ４ ＋ Ｃ ３ ６ Ｃ３１０ ＝ ６０ ＋ ２０１２０ ＝ ２ ３ ， Ｐ（Ｂ）＝ Ｃ ２ ８Ｃ １ ２ ＋ Ｃ ３ ８ Ｃ３１０ ＝ ５６ ＋ ５６１２０ ＝ １４ １５ ． （２）解法一：因为事件Ａ、Ｂ相互独立，所以甲、乙两人至少有 一人考试合格的概率为 Ｐ ＝ Ｐ（Ａ Ｂ）＋ Ｐ（ＡＢ）＋ Ｐ（ＡＢ）＝ Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｂ）＋ Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｂ） ＋ Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｂ）＝ ２３ × １ １５ ＋ １ ３ × １４ １５ ＋ ２ ３ × １４ １５ ＝ ４４ ４５ ． 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为４４４５ ． 解法二：因为事件Ａ、Ｂ相互独立，所以甲、乙两人考试均不合 格的概率为 Ｐ（Ａ　Ｂ）＝ Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｂ）＝ １ －( )２３ × １ － １４( )１５ ＝ １４５ ． 所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 Ｐ ＝ １ － Ｐ（Ａ　Ｂ）＝ １ － １４５ ＝ ４４ ４５ ． 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为４４４５ ． 练案［１１］ Ａ组·素养自测 １． ＡＢ　 Ａ选项中轮船数Ｘ的取值可以一一列出，故Ｘ为离散型 随机变量；Ｂ选项中某超市５月份每天销售额Ｘ可以一一列 出，故为离散型随机变量；Ｃ选项中实际测量值与规定值之间 的差值无法一一列出，不是离散型随机变量；Ｄ选项中水位在 （０，２９］这一范围内变化，无法一一列出，故不是离散型随机 变量． ２． Ｄ　 同时抛掷３个硬币，正面向上的个数可能为０、１、２、３． ３． Ｂ　 号码之和可能为２，３，４，５，６，７，８，９，１０，共９个．故选Ｂ． ４． Ｄ　 由于赢了得３分，平局得１分，输了得０分，故ξ ＝ ３有两 种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次，故选Ｄ． ５． Ｃ　 由题意，事件Ｙ ＝ ４是Ｘ ＝ － ２与Ｘ ＝ ２的并事件，所以Ｐ（Ｙ ＝ ４）＝ Ｐ（Ｘ ＝ － ２）＋ Ｐ（Ｘ ＝ ２）＝ ０． ２ ＋ ０． ３ ＝ ０． ５． ６． １３ 　 事件Ｘ ＞ ４表示点数朝上的为５点或６点，所以Ｐ（Ｘ ＞ ４） ＝ Ｐ（Ｘ ＝ ５）＋ Ｐ（Ｘ ＝ ６）＝ １６ ＋ １ ６ ＝ １ ３ ． ７．第６次能打开房门　 Ｘ可能取值为１，２，３，…，１０． Ｘ ＝ ｎ表示第ｎ次能打开房门． ８． ０． ７　 因为Ｐ（Ｙ ＞ ７）＝ Ｐ（３ ＋ ２Ｘ ＞ ７）＝ Ｐ（Ｘ ＞ ２）＝ ０． ３， 所以Ｐ（Ｘ≤２）＝ １ － ０． ３ ＝ ０． ７． ９．（１）ξ取值范围为｛０，１，２，３｝． （２）｛ξ ＝ １｝表示的事件为：第一次取得次品，第二次取得 正品． １０．（１）ξ的取值范围为｛０，１，２，３，４，５｝． ξ ＝ ０，１，２，３，４，５分别表 示５次罚球中命中０次，１次，２次，３次，４次，５次． （２）由题意可知η ＝ ２ξ． 又ξ∈｛０，１，２，３，４，５｝，∴ η∈｛０，２，４，６，８，１０｝． Ｂ组·素养提升 １． ＣＤ　 选项Ａ，Ｂ表述的都是随机事件；选项Ｃ，Ｄ是随机变量， 可能的取值均为０，１，２                                                                       ． —１６１—