专题07 解直角三角形的应用（解答题22题）（16区16题）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编（上海专用）

专题07 解直角三角形的应用（解答题22题） 1．（2025·上海松江·一模）图1是一款高清视频设备．图2是该设备放置在水平桌面上的示意图，垂直于水平桌面，垂足为点，点处有一个摄像头．经测量，厘米，厘米，． 图1             图2 (1)求摄像头到桌面的距离； (2)如果摄像头可拍摄的视角，且，求桌面上可拍摄区域的宽度（的长）． （参考数据：，．） 2．（2025·上海静安·一模）舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩垂直于地面，且在一直线上（如图②所示）．如果在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，且桩与桩的高度差为米，两桩的距离为米． (1)舞狮人从跳跃到，随后再跳跃至，所成的角 ； (2)求桩与桩的距离的长．（结果精确到米） 3．（2025•浦东新区一模）上海世博文化公园的双子山是近期游客的热门打卡地．某校实践小组利用所学知识测量双子山主峰的高度，他们设计了两个测量方案，并利用课外时间完成了实地测量．下面是两个方案的示意图及测量数据． 测量项目 CD α β 方案一 10m 12° 11.5° 方案二 1.3m 12° 11.7° 任务一：请选择其中一种方案，求出双子山主峰AB的高度（结果保留1位小数）．参考数据见下表： 三角比角度 sin cos tan cot 12° 0.208 0.978 0.213 4.705 11.5° 0.199 0.980 0.204 4.915 11.7° 0.203 0.979 0.207 4.829 任务二：上海世博文化公园官网上显示：双子山主峰的高度为48米．请你用一句话简单说明你求出的高度与48米不一致的原因：　 　． 4．（2025·上海奉贤·一模）桔槔是古代汉族的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处．这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度． 如图所示，线段代表固定支架，点D、点C分别代表重物和水桶，线段是无弹力、固定长度的麻绳，绳长米，木质杠杆米． (1)当水桶C的位置低于地面米（如图1所示），支架与绳子之间的距离是米，且，求这个桔槔支架的高度； (2)向上提水桶C上升到地面上方米（如图2所示），求此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度． 5．（2025·上海青浦·一模）图1是某商场地下车库的出入口，车辆出入时，通常情况下只需升起“出口”或“入口”的道闸．特殊情况，两个道闸也可以同时升起．图2是其示意图，道闸升起过程中对边始终保持平行（如图中升起的道闸），升起的最高点不超过顶部．矩形门的高米，宽米．矩形闸机的宽米，矩形道闸的宽米，道闸底部距地面的高度米．顶点G、M、Q、P在同一条直线上，边，边与之间的缝隙可以忽略不计． (1)求道闸升起的最大角的正切值； (2)一辆高为1.8米、宽为1.9米的小货车想进入这个地下车库，是否需要同时升起两个道闸？请说明理由． 6．（2025·上海徐汇·一模）小杰在学习了“特殊锐角的三角比”后，认为的三角比不必死记硬背，只需利用一副三角板就可推导出的三角比，相信大家都有这个共识；小杰在这个认识的基础上，他利用一副特制的三角板，研究推导出了，的三角比． (1)计算：； (2)小杰的一副特制的三角板，如图1，在和中，，：小杰的想法是：将和的边和重合，拼接成如图2所示的四边形．请利用图2，求和的值． 7．（2025·上海黄浦·一模）某校初三学生开展主题为“测量校园内树木高度的方案设计”的数学综合与实践活动． 甲、乙、丙三位同学制作出一个简易测高仪．取两根小木条钉在一起，使它们互相垂直，其中木条长，木条长，长（接头处忽略不计）．为了便于校正竖直位置，在点B处悬挂一个铅垂，如图1所示，这样就制作出一个简易测高仪． 任务：测量校园内某棵大树的高度（树顶端M与树根部N的距离）． 工具：简易测高仪、卷尺（如图2所示）． 要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示． 第一次实践 实践操作 甲手持测高仪，C端朝上D端朝下，从测高仪的点A经过点C望向树顶端M，调整人到树的距离，使得点M恰好与点C、A在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好接触地面的点E的位置，如图3所示． 示意图3 获取数据 乙负责测量，得到点B到地面的垂直距离，还需要测量得到的相关数据有：___． 解决问题 利用得到的数据表示树的高度： __________． 反思：这种方法需要能够一直走到大树的底下，有时因为有障碍物，无法走到大树底下．于是三位同学讨论如果不走到大树底下也可以测量出大树的高度，经过讨论得到第二种测量方案，具体如下： 第二次实践 实践操作 甲重复第一次实践操作，然后将测高仪的D端朝上C端朝下，从测高仪的点A经过点D望向树顶端M，向后走调整人到树的距离，使得点M恰好与点D、A在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好接触地面的点F的位置．丙提醒甲注意：两次测量时点B到地面的垂直距离保持不变；点E、F和树根部N三点要保持在同一直线上，如图4所示． 示意图4 获取数据 点B到地面的垂直距离，乙还需要测量得到的相关数据有：__________． 解决问题 利用得到的数据表示树的高度．（写出求解过程） 8．（2025·上海金山·一模）如图，和都是直角三角形纸片，且和不相似．其中，，，（）．是否存在经过锐角顶点的一条直线，能把和分割成两个三角形，使分割得的两个三角形中有一个三角形（记这个三角形的面积为）与没有分割的三角形相似． (1)如果存在，请写出你的分割方案（只要写出一个方案即可），并证明方案的正确性； (2)按照你写出的分割方案，求出的值（可以用或或或的代数式表示）． 9．（2025·上海嘉定·一模）火车作为我国重要的交通运输形式之一，其轨道的平顺性和稳定性直接影响列车的运行安全．我国目前轨道检测的主要方法是机械检测，通过使用机械传感器和无损检测设备（包括激光三角位移传感器、超声波传感器等）来测量轨道的各种参数（几何尺寸、轨距、高差和曲率），从而判断轨道是否有损伤或缺陷．某校科创活动小组率先就“激光三角位移计”这一设备开展了学习与探究： 阅读概述 激光三角位移计是由半导体激光向目标物照射激光，聚集目标物反射的光，并在光接收元件上成像．一旦离目标物的距离发生改变，聚集反射光的角度也会改变，成像的位置也随之改变．可以通过成像的位移来计算物体实际的移动距离． 发现原理 被测量物体从初始位置移动到最终位置，需要测量的是参考平面与目标测量平面的距离，也就是图中点与点之间的距离．假设激光通过接收透镜后仍按照原直线方向传播，最后在光学成像设备上成像． 建立模型 如图，直线直线直线，直线垂直于和，垂足分别为和，线段与线段交于点，． 探究（1） 设，请用含和的式子表示点到直线的距离． 探究（2） 已知，，，求的长度．（结果精确到个位，，，） 10．（2025·上海闵行·一模）如图，一种遮阳伞的截面由主伞骨和、支伞骨和以及伞柄组成，伞柄垂直于地面且平分，厘米，，厘米．使用遮阳伞时，可以通过调节点在伞柄上的位置来确定的大小．当点、、三点在同一直线上时，遮阳伞完全打开，此时达到最大为．（参考数据：，，，计算结果保留根号） (1)当厘米， ⅰ）在遮阳伞完全打开时，求、之间的距离． ⅱ）在伞打开的过程中（从变到），点上升了_____厘米． (2)设的度数为，在平行的太阳光照射下，遮阳伞能遮住的地面长为_____（用式子表示）；如果想通过只改变一个条件来增大遮阳伞遮住地面的长，你的建议是_____． 11．（2025·上海普陀·一模）如图，已知小河两岸各有一栋大楼与，由于小河阻碍无法直接测得大楼的高度．小普同学设计了如下的测量方案：将激光发射器分别置于地面点E和点F处，发射的两束光线都经过大楼顶端A，并分别投射到大楼最高一层的顶端C和其底部G处，并测得，，．（点D、B、E、F在同一水平线上） (1)小普同学发现，根据现有数据就能测出大楼的高度，试求出大楼的高度； (2)为了能测得大楼的高度，小普同学又获信息：这两栋大楼每层的高度都相同，大楼共有五层．据此信息能否测得大楼的高度？如果可以，试求出大楼的高度；如果不可以，说明理由． （参考数据：，，，，，） 12．（2025·上海崇明·一模）九年级数学活动小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点处竖直上升米到达处，测得实验楼顶部的俯角为，综合楼顶部的俯角为，已知实验楼高度为米，且图中点在同一平面内，求综合楼的高度． （参考数据：；，精确到米．） 13．（2025·上海杨浦·一模）定义：如图1，已知点、是的边上的两个定点，点是边上的一个动点，当时，称点是线段的最佳视野点．如图2，某商业广场上安装了一块巨型显示屏，点到水平地面的距离为5米，在水平地面的处有一个自动扶梯，点、、在同一直线上．已知自动扶梯的坡度是，点到点的距离是10米．    (1)当行人行走在水平地面时，发现点恰好是屏幕的最佳视野点，且从点测得点的仰角为．求的长；（忽略行人的高度） (2)在（1）的条件下，如果要在自动扶梯上找到屏幕的最佳视野点，有人说“最佳视野点就是屏幕的垂直平分线与的交点”．你同意这个说法吗？请通过计算说明理由．（忽略行人的高度） 14．（2025·上海虹口·一模）根据以下素材，完成任务． 探究淋浴喷头的位置 素材1 图1是一种淋浴喷头，淋浴喷头固定器装在升降杆上的某处，手柄与固定器的连接处记为点（点与墙之间的距离忽略不计）．图2视作淋浴喷头喷水后的截面示意图，线段为手柄，射线为水流，与的夹角为，手柄与墙的夹角为淋浴喷头的“调整角”，记为．已知长为． 素材2 图3中的矩形是淋浴房的截面图，，．为了方便在淋浴房里淋浴，规定淋浴时，人一直站在处，． 素材3 我们把人竖直站立时，头顶以下处记为这个人的“舒适喷淋点”，即“舒适喷淋点”到地面的距离等于人的身高减．已知小明的身高是，他爸爸和妈妈的身高分别是和．某次爸爸洗澡时，将淋浴喷头固定器调整至如图12的点处，“调整角”为，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”处（即爸爸身高-30）． 素材4 参考数据：，，，． 问题解决 任务一 （1）求图3中，淋浴喷头手柄与固定器的连接处点到地面的距离． 任务二 （2）爸爸洗完澡后，不改变固定器的位置（即不变），把淋浴喷头的“调整角”调整至，然后小明进淋浴房洗澡．①小明发现水流无法喷在他的“舒适喷淋点”处，请通过计算说明理由；②下降固定器（将固定器下降后的位置记为点）后，小明发现水流可以喷在他的“舒适喷淋点”处，求此时固定器下降的距离（精确到）． 15．（2025·上海宝山·一模）为了方便居民出入小区，小区业委会决定对大门口的一段斜坡进行改造．原坡面是矩形（如图1），米，米，斜坡的坡角为．计划将斜坡改造成坡比为的斜坡（如图2所示），坡面的宽度不变． (1)求改造后斜面底部延伸出来的部分（）的长度； (2)改建这条斜坡需要多少立方米的混凝土材料？ 16．（2025·上海长宁·一模）如图是某地下车库的剖面图，某综合实践小组将无人机放在坡道起点A处，让无人机飞到点处，与底板平行，测得米，此时在点处又测得坡道上的点的俯角为．接着让无人机飞到点处，，与底板平行，测得米． (1)求坡道的坡度； (2)已知地面、地下车库的顶板都与底板平行且它们到底板的距离相等，无人机从点飞到点处，，测得米，此时在点处测得点的俯角为，在不考虑其他因素的前提下，有一辆高度为3米的货车能否进入该地下车库？请说明理由． （参考数据：，，） 试卷第1页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 解直角三角形的应用（解答题22题） 1．（2025·上海松江·一模）图1是一款高清视频设备．图2是该设备放置在水平桌面上的示意图，垂直于水平桌面，垂足为点，点处有一个摄像头．经测量，厘米，厘米，． 图1             图2 (1)求摄像头到桌面的距离； (2)如果摄像头可拍摄的视角，且，求桌面上可拍摄区域的宽度（的长）． （参考数据：，．） 【答案】(1)摄像头到桌面的距离是 (2)桌面上可拍摄区域的宽度为 【分析】本题主要考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识，构造直角三角形，正确运用锐角三角函数的计算及相似三角形的判定的方法及性质是解题的关键． （1）过点作，过点作，垂足分别为点、，可得，由可算出，由即可求解； （2）过点作，垂足为，则有，设，，则，，，再证，由相似三角形的性质可得，由即可求解． 【详解】（1）解：过点作，过点作，垂足分别为点、， ，， ， ，， ， ， ． 答：摄像头到桌面的距离是． （2）解：过点作，垂足为， ，， 设，，则，，， ，， ， ， 解得：， ， 答：桌面上可拍摄区域的宽度为． 2．（2025·上海静安·一模）舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩垂直于地面，且在一直线上（如图②所示）．如果在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，且桩与桩的高度差为米，两桩的距离为米． (1)舞狮人从跳跃到，随后再跳跃至，所成的角 ； (2)求桩与桩的距离的长．（结果精确到米） 【答案】(1) (2)米 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形的运用，理解并掌握解直角三角形的计算是解题的关键． （1）根据仰俯角，平角为即可求解； （2）过点作，分别交于点，则四边形、、都是矩形，设米，则米，在中，由函数函数的计算，得到，在中，，得到，由，即可求解． 【详解】（1）解：在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和， ∴， 故答案为：； （2）解：过点作，分别交于点， ∵，，， ∴， ∴四边形、、都是矩形， ∴， 设米，则米， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴ ， 解得， （米）， 答：桩与桩的距离的长约为米． 3．（2025•浦东新区一模）上海世博文化公园的双子山是近期游客的热门打卡地．某校实践小组利用所学知识测量双子山主峰的高度，他们设计了两个测量方案，并利用课外时间完成了实地测量．下面是两个方案的示意图及测量数据． 测量项目 CD α β 方案一 10m 12° 11.5° 方案二 1.3m 12° 11.7° 任务一：请选择其中一种方案，求出双子山主峰AB的高度（结果保留1位小数）．参考数据见下表： 三角比角度 sin cos tan cot 12° 0.208 0.978 0.213 4.705 11.5° 0.199 0.980 0.204 4.915 11.7° 0.203 0.979 0.207 4.829 任务二：上海世博文化公园官网上显示：双子山主峰的高度为48米．请你用一句话简单说明你求出的高度与48米不一致的原因：　 　． 【分析】（1）选择方案一，设BC长x米，根据α的正切值表示出AB的长，进而根据β的正切值为相等关系列出方程求解即可；选择方案二，设BC为x米，根据β的正切值表示出AE的长，进而根据α的正切值为相等关系列出方程求解即可； （2）可从测量的角度出发回答问题． 【解答】解：（1）选择方案一： 由题意得：AB⊥BD， ∴∠B＝90°， 设BC长x米，则BD长（x+10）米， ∵∠α＝12°， ∴AB＝x•tanα≈0.213x米， ∵∠β＝11.5°， ∴（x+10）•tan11.5°＝0.213x， 即0.204（x+10）＝0.213x， 解得：x≈226.67， ∴AB≈48.3米； 选择方案二： 由题意得：∠AED＝∠ABC＝90°． 设BC为x米，则DE为x米． ∵β＝11.7°， ∴AE＝x•tanβ≈0.207x米， ∵α＝12°， ∴AB＝x•tanα≈0.213x米， 由题意得：BE＝CD＝1.3米， ∴0.207x+1.3＝0.213x， 解得：x≈216.67， ∴AB≈46.2米． （2）测量有误差（答案不唯一）． 【点评】本题考查解直角三角形的应用．应用所给角的正切值表示出相应线段的长度或得到能解决问题的相等关系是解决本题的关键． 4．（2025·上海奉贤·一模）桔槔是古代汉族的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处．这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度． 如图所示，线段代表固定支架，点D、点C分别代表重物和水桶，线段是无弹力、固定长度的麻绳，绳长米，木质杠杆米． (1)当水桶C的位置低于地面米（如图1所示），支架与绳子之间的距离是米，且，求这个桔槔支架的高度； (2)向上提水桶C上升到地面上方米（如图2所示），求此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）过点A作于点N，利用余切函数的定义，平行线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，余弦函数，解直角三角形的即可． （2）如图2，过点A作于点Q，过点C作于点P，过点O作于点K，则米，四边形是矩形，解直角三角形解答即可． 【详解】（1）解：如图1，过点A作于点N， ∵，， ∴（米）， ∴（米）， ∴， ∵，米， ∴，米， ∴米， 设与地面的交点为G， 则米，四边形是矩形， ∴， ∵米， ∴米， ∴米． （2）解：如图2，过点A作于点Q，过点C作于点P， 过点O作于点K， 则米，四边形是矩形， ∴米， ∵米， ∴米， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴米， 根据（1）得（米）， ∴此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度为米． 【点睛】本题考查了余切函数，余弦函数，勾股定理，矩形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握三角函数的应用是解题的关键． 5．（2025·上海青浦·一模）图1是某商场地下车库的出入口，车辆出入时，通常情况下只需升起“出口”或“入口”的道闸．特殊情况，两个道闸也可以同时升起．图2是其示意图，道闸升起过程中对边始终保持平行（如图中升起的道闸），升起的最高点不超过顶部．矩形门的高米，宽米．矩形闸机的宽米，矩形道闸的宽米，道闸底部距地面的高度米．顶点G、M、Q、P在同一条直线上，边，边与之间的缝隙可以忽略不计． (1)求道闸升起的最大角的正切值； (2)一辆高为1.8米、宽为1.9米的小货车想进入这个地下车库，是否需要同时升起两个道闸？请说明理由． 【答案】(1) (2)需要同时升起两个道闸，理由见解析 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用： （1）设道闸升起的最高点为点，当点在线段上时，道闸升起的角最大．延长交于点，在中，勾股定理求出，正切的定义求出，平行线的性质，得到，即可得出结果； （2）设只升起一个道闸，当最高点在线段上时，在线段上取车宽（米），过点作，交于，垂足为，交于点，在中，求出的值，进而求出的值，与车高进行比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设道闸升起的最高点为点，当点在线段上时，道闸升起的角最大．延长交于点．根据题意，可知： （米）． （米）． 在中， （米）， ． ． ． 即道闸升起的最大角的正切值为． （2）设只升起一个道闸，当最高点在线段上时， 在线段上取车宽（米），过点作，交于，垂足为，交于点．则（米），（米）． ∵， ∴， 在中， （米）， （米）． 车高1.8米米米， 只起一个道闸，小轿车不能通过． 需要同时升起两个道闸． 6．（2025·上海徐汇·一模）小杰在学习了“特殊锐角的三角比”后，认为的三角比不必死记硬背，只需利用一副三角板就可推导出的三角比，相信大家都有这个共识；小杰在这个认识的基础上，他利用一副特制的三角板，研究推导出了，的三角比． (1)计算：； (2)小杰的一副特制的三角板，如图1，在和中，，：小杰的想法是：将和的边和重合，拼接成如图2所示的四边形．请利用图2，求和的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，解直角三角形： （1）将特殊角的三角函数值代入进行计算即可； （2）过点F分别作于点G、于点H，解直角三角形，求出的长，证明，求出的长，在中，利用三角函数进行求解即可． 【详解】（1）原式； （2）过点F分别作于点G、于点H， 在中，， ， 在中，, , 又 又 ∴四边形是矩形， ， 在中， 7．（2025·上海黄浦·一模）某校初三学生开展主题为“测量校园内树木高度的方案设计”的数学综合与实践活动． 甲、乙、丙三位同学制作出一个简易测高仪．取两根小木条钉在一起，使它们互相垂直，其中木条长，木条长，长（接头处忽略不计）．为了便于校正竖直位置，在点B处悬挂一个铅垂，如图1所示，这样就制作出一个简易测高仪． 任务：测量校园内某棵大树的高度（树顶端M与树根部N的距离）． 工具：简易测高仪、卷尺（如图2所示）． 要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示． 第一次实践 实践操作 甲手持测高仪，C端朝上D端朝下，从测高仪的点A经过点C望向树顶端M，调整人到树的距离，使得点M恰好与点C、A在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好接触地面的点E的位置，如图3所示． 示意图3 获取数据 乙负责测量，得到点B到地面的垂直距离，还需要测量得到的相关数据有：___． 解决问题 利用得到的数据表示树的高度： __________． 反思：这种方法需要能够一直走到大树的底下，有时因为有障碍物，无法走到大树底下．于是三位同学讨论如果不走到大树底下也可以测量出大树的高度，经过讨论得到第二种测量方案，具体如下： 第二次实践 实践操作 甲重复第一次实践操作，然后将测高仪的D端朝上C端朝下，从测高仪的点A经过点D望向树顶端M，向后走调整人到树的距离，使得点M恰好与点D、A在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好接触地面的点F的位置．丙提醒甲注意：两次测量时点B到地面的垂直距离保持不变；点E、F和树根部N三点要保持在同一直线上，如图4所示． 示意图4 获取数据 点B到地面的垂直距离，乙还需要测量得到的相关数据有：__________． 解决问题 利用得到的数据表示树的高度．（写出求解过程） 【答案】第一次实践需要测量得到的相关数据有：，的高度：．第二次实践需要测量得到的相关数据有：，，过程见解析． 【分析】第一次实践，由，，，，得到， 进而得到，即可求解， 第二次实践，设，由，得到，由，得到，即可求解， 本题考查了三角函数的应用，解题的关键是：根据题意正确列式． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 第一次实践需要测量得到的相关数据有：， 利用得到的数据表达树的高度：． 第二次实践需要测量得到的相关数据有：， 解决问题：设， 由题意可知，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．（2025·上海金山·一模）如图，和都是直角三角形纸片，且和不相似．其中，，，（）．是否存在经过锐角顶点的一条直线，能把和分割成两个三角形，使分割得的两个三角形中有一个三角形（记这个三角形的面积为）与没有分割的三角形相似． (1)如果存在，请写出你的分割方案（只要写出一个方案即可），并证明方案的正确性； (2)按照你写出的分割方案，求出的值（可以用或或或的代数式表示）． 【答案】(1)存在，见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形： （1）根据锐角的正切值可以得到，故过点的直线交边于点，使得，即可； （2）根据相似的性质，求出的长，利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：存在，分割方案：（答案不唯一）如图： 过点的直线交边于点，使得，         证明：，，，，， ，，，， ， 即， ，                      ，， ； （2） ，                                               ，，， ，                                               ． 9．（2025·上海嘉定·一模）火车作为我国重要的交通运输形式之一，其轨道的平顺性和稳定性直接影响列车的运行安全．我国目前轨道检测的主要方法是机械检测，通过使用机械传感器和无损检测设备（包括激光三角位移传感器、超声波传感器等）来测量轨道的各种参数（几何尺寸、轨距、高差和曲率），从而判断轨道是否有损伤或缺陷．某校科创活动小组率先就“激光三角位移计”这一设备开展了学习与探究： 阅读概述 激光三角位移计是由半导体激光向目标物照射激光，聚集目标物反射的光，并在光接收元件上成像．一旦离目标物的距离发生改变，聚集反射光的角度也会改变，成像的位置也随之改变．可以通过成像的位移来计算物体实际的移动距离． 发现原理 被测量物体从初始位置移动到最终位置，需要测量的是参考平面与目标测量平面的距离，也就是图中点与点之间的距离．假设激光通过接收透镜后仍按照原直线方向传播，最后在光学成像设备上成像． 建立模型 如图，直线直线直线，直线垂直于和，垂足分别为和，线段与线段交于点，． 探究（1） 设，请用含和的式子表示点到直线的距离． 探究（2） 已知，，，求的长度．（结果精确到个位，，，） 【答案】（1）（2）60 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键： （1）过点作于点，对顶角结合同角的余角相等，得到，解直角三角形，求出的长即可； （2）作，交于点，解直角三角形，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：过点作于点，则：，， ∵， ∴， ∴， 在中，； （2）作，交于点 ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．（2025·上海闵行·一模）如图，一种遮阳伞的截面由主伞骨和、支伞骨和以及伞柄组成，伞柄垂直于地面且平分，厘米，，厘米．使用遮阳伞时，可以通过调节点在伞柄上的位置来确定的大小．当点、、三点在同一直线上时，遮阳伞完全打开，此时达到最大为．（参考数据：，，，计算结果保留根号） (1)当厘米， ⅰ）在遮阳伞完全打开时，求、之间的距离． ⅱ）在伞打开的过程中（从变到），点上升了_____厘米． (2)设的度数为，在平行的太阳光照射下，遮阳伞能遮住的地面长为_____（用式子表示）；如果想通过只改变一个条件来增大遮阳伞遮住地面的长，你的建议是_____． 【答案】(1)i）； (2)；增大主伞骨的长度 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，解直角三角形等，理解题意，正确作出辅助线是解题关键． （1）i）连接，由题意得：，根据三角函数求出的长度，再利用，求出的长； ii）分别求出时和时的长度，作差即可得到点M上升的高度； （2）用l和α表示的长度，即可得到的长；如可以通过增大主伞骨的长度，来增大遮阳伞遮住地面的长． 【详解】（1）解：i）连接，由题意得：， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即、之间的距离为； ii）当时，， 当时，， ∴上升的高度为：， 故答案为：； （2）解：连接，遮阳伞完全打开，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如果想通过只改变一个条件来增大遮阳伞遮住地面的长，我的建议是增大主伞骨的长度， 故答案为：；增大主伞骨的长度． 11．（2025·上海普陀·一模）如图，已知小河两岸各有一栋大楼与，由于小河阻碍无法直接测得大楼的高度．小普同学设计了如下的测量方案：将激光发射器分别置于地面点E和点F处，发射的两束光线都经过大楼顶端A，并分别投射到大楼最高一层的顶端C和其底部G处，并测得，，．（点D、B、E、F在同一水平线上） (1)小普同学发现，根据现有数据就能测出大楼的高度，试求出大楼的高度； (2)为了能测得大楼的高度，小普同学又获信息：这两栋大楼每层的高度都相同，大楼共有五层．据此信息能否测得大楼的高度？如果可以，试求出大楼的高度；如果不可以，说明理由． （参考数据：，，，，，） 【答案】(1)大楼的高度为 (2)能，大楼的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练利用三角函数解直角三角形是解本题的关键． （1）设大楼的高度为．利用正切函数的定义用表示出和的长，再利用，列式计算即可求解； （2）根据题意先求得，设为，则，利用正切函数的定义用表示出和的长，再利用，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：设大楼的高度为． ∵， ∴，． ∵， ∴． 解得． 答：大楼的高度为15m； （2）解：由大楼的高度为，共有五层，且这两栋大楼每层的高度都相同， 可得， 设为，则， ∵， ∴，． ∵， ∴． 解得． 答：大楼的高度为． 12．（2025·上海崇明·一模）九年级数学活动小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点处竖直上升米到达处，测得实验楼顶部的俯角为，综合楼顶部的俯角为，已知实验楼高度为米，且图中点在同一平面内，求综合楼的高度． （参考数据：；，精确到米．） 【答案】约为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，作，垂足为，由题意可得，，米，， 米，即得，分别解和，求出、即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：作，垂足为，则， 由题意可知：，，米，， 米， ∴米， 在中，， 米 ， ， 在中，， 米， 米， 答：综合楼的高度约为米． 13．（2025·上海杨浦·一模）定义：如图1，已知点、是的边上的两个定点，点是边上的一个动点，当时，称点是线段的最佳视野点．如图2，某商业广场上安装了一块巨型显示屏，点到水平地面的距离为5米，在水平地面的处有一个自动扶梯，点、、在同一直线上．已知自动扶梯的坡度是，点到点的距离是10米．    (1)当行人行走在水平地面时，发现点恰好是屏幕的最佳视野点，且从点测得点的仰角为．求的长；（忽略行人的高度） (2)在（1）的条件下，如果要在自动扶梯上找到屏幕的最佳视野点，有人说“最佳视野点就是屏幕的垂直平分线与的交点”．你同意这个说法吗？请通过计算说明理由．（忽略行人的高度） 【答案】(1)的长是10米 (2)不同意，理由见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角． （1）连接，由题意得，，，设为，则为，根据点H恰好是屏幕的最佳视野点列方程求出x即可解答； （2）作的垂直平分线交于，交于点，分别延长与交于点，分别求出，，，计算得出，从而判断点不是屏幕的最佳视野点． 【详解】（1）解：如图，连接，    由题意得，，，， 设，则，， ∵点恰好是屏幕的最佳视野点， ∴， ∴， 解得：（舍去），， ∴（米）， ∴（米）， ∴的长是10米； （2）解：不同意．理由如下： 作的垂直平分线交于，交于点，分别延长与交于点，    由题意，可得：，， ∵自动扶梯的坡度是， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点不是自动扶梯上的最佳视野点． 14．（2025·上海虹口·一模）根据以下素材，完成任务． 探究淋浴喷头的位置 素材1 图1是一种淋浴喷头，淋浴喷头固定器装在升降杆上的某处，手柄与固定器的连接处记为点（点与墙之间的距离忽略不计）．图2视作淋浴喷头喷水后的截面示意图，线段为手柄，射线为水流，与的夹角为，手柄与墙的夹角为淋浴喷头的“调整角”，记为．已知长为． 素材2 图3中的矩形是淋浴房的截面图，，．为了方便在淋浴房里淋浴，规定淋浴时，人一直站在处，． 素材3 我们把人竖直站立时，头顶以下处记为这个人的“舒适喷淋点”，即“舒适喷淋点”到地面的距离等于人的身高减．已知小明的身高是，他爸爸和妈妈的身高分别是和．某次爸爸洗澡时，将淋浴喷头固定器调整至如图12的点处，“调整角”为，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”处（即爸爸身高-30）． 素材4 参考数据：，，，． 问题解决 任务一 （1）求图3中，淋浴喷头手柄与固定器的连接处点到地面的距离． 任务二 （2）爸爸洗完澡后，不改变固定器的位置（即不变），把淋浴喷头的“调整角”调整至，然后小明进淋浴房洗澡．①小明发现水流无法喷在他的“舒适喷淋点”处，请通过计算说明理由；②下降固定器（将固定器下降后的位置记为点）后，小明发现水流可以喷在他的“舒适喷淋点”处，求此时固定器下降的距离（精确到）． 【答案】（1）；（2）①理由见解析；② 【分析】本题考查解直角三角形的应用．把所给的角度整理到直角三角形中并进行解答是解决本题的关键． （1）作于点N，延长交于点M，利用的正弦值和余弦值可得和的长度，进而可得的长度，那么根据的正切值可得的长度，那么的长度即为的长度减去的长度； （2）①利用的正弦值和余弦值可得和的长度，进而可得的长度，那么根据的正切值可得的长度，那么的长度即为NE的长度减去的长度； ②设点A移动到了点，易得进而求得的长度，取的长度，减去的长度，即为固定器下降的距离． 【详解】解：（1）作于点N，延长交于点M，则， ∵爸爸身高是，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”C处， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：点A到地面的距离约为； （2）①当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵小明的身高是， ∴小明的舒适距离， ∵， ∴水流无法喷在小明的“舒适喷淋点”处； ②设点A移动到了点，此时在小明的“舒适喷淋点”， ∴， 由题意得：， ∴， ∴． 答：固定器下降的距离约为． 15．（2025·上海宝山·一模）为了方便居民出入小区，小区业委会决定对大门口的一段斜坡进行改造．原坡面是矩形（如图1），米，米，斜坡的坡角为．计划将斜坡改造成坡比为的斜坡（如图2所示），坡面的宽度不变． (1)求改造后斜面底部延伸出来的部分（）的长度； (2)改建这条斜坡需要多少立方米的混凝土材料？ 【答案】(1)改造后斜面底部延伸出来的部分（）的长度为米 (2)改建这条斜坡需要立方米的混凝土材料 【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，数形结合，正确地作出辅助线利用三角函数定义求解是解题的关键． （1）过作交的延长线于，根据直角三角形的性质得到（米），（米），由，得到（米），于是得到米； （2）根据三角形的面积公式得到平方米，于是得到结论． 【详解】（1）解：过作交的延长线于，如图所示： ∵米， ∴（米），（米）， 在中，， ∴（米）， ∴米， 答：改造后斜面底部延伸出来的部分（）的长度为米； （2）解：∵平方米， ∴立方米， 答：改建这条斜坡需要立方米的混凝土材料． 16．（2025·上海长宁·一模）如图是某地下车库的剖面图，某综合实践小组将无人机放在坡道起点A处，让无人机飞到点处，与底板平行，测得米，此时在点处又测得坡道上的点的俯角为．接着让无人机飞到点处，，与底板平行，测得米． (1)求坡道的坡度； (2)已知地面、地下车库的顶板都与底板平行且它们到底板的距离相等，无人机从点飞到点处，，测得米，此时在点处测得点的俯角为，在不考虑其他因素的前提下，有一辆高度为3米的货车能否进入该地下车库？请说明理由． （参考数据：，，） 【答案】(1) (2)该货车能进入该地下车库，理由见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． （1）由题意得：，，如图：过点作于点，易证四边形是矩形，则、；然后在和中解直角三角形即可解答； （2）由题意得：，再在中解直角三角形可得，如图：过点作于点，根据勾股定理和解直角三角形可得，设，则，则，解得，进而求得，最后与3米比较即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， 如图：过点作于点， ∴ ∴四边形是矩形． ∴， 在中，， ∴  解得：． ∴ 在中，， ∴， ∴． （2）解：由题意得： 在中，，，， ∴， 如图：过点作于点， 在中，，，， 设，则， ∴，解得 ∴， ∵  即该货车能进入该地下车库． 试卷第1页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$