1.1.5 多项式的乘法——多项式乘多项式 教案 2024—2025学年湘教版数学七年级下册

1.1.5 多项式乘多项式 ——新授课 一、教材分析 本节课是湘教版初中数学七年级下册第一章第一节《整式的乘法》中的内容，本节主要学习多项式与多项式相乘的运算法则，即先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项 式的每一项，再把所得的积相加。本节是整式乘法的进一步延伸，也是学习一元二次方程、因式分解及分式运算的重要基础，属于初中代数核心内容之一。 二、学情分析 已有基础：学生熟悉单项式乘法及多项式加减法，但对多项式乘法的整体性和系统性缺乏认知。虽然具备初步的代数运算能力，但符号处理（如负号、系数相乘）易出错。 潜在困难： 1.计算能力不足：部分学生因有理数运算基础薄弱，导致多项式乘法中系数计算错误。 2.法则理解偏差：容易漏乘某些项或混淆运算顺序。 3.几何直观欠缺：难以通过图形辅助理解多项式乘法的几何意义。 三、教学目标 1.掌握多项式乘法的法则，能正确进行多项式乘法运算。 2.熟练运用法则解决实际问题（如几何面积计算）。 3.经历从实际问题到代数法则的推导过程，体会转化思想。 4.在逐步纠错中培养严谨的运算习惯，增强学习信心。 四、重点难点 重点：理解并掌握多项式乘多项式的法则。 难点：理解多项式与多项式相乘的法则及正确运用法则进行计算。 五、教学方法 讲授法、练习法、问答法 六、教学过程 一、问题导入 【问题】①号长方形的长为ab，宽为a、 ②号长方形的长为bc，宽为a、 ③号长方形的长为b，宽为ab, ④号长方形的长为bc，宽为b,求这四个长方形拼成的大长方形的面积。 法1： 解：①号长方形的面积:a·ab=a2b, ②号长方形的面积:a·bc=abc, ③号长方形的面积:b·ab=ab2, ④号长方形的面积:b·bc=b2c, 故大长方形的面积为a2b+abc+ab2+ b2c. 法2: 解： 长方形ABCD的宽为a+b, 长方形ABCD的长为ab+bc, 故大长方形的面积为 (a+b)(ab+bc)= a2b+abc+ab2+ b2c. 【回顾】乘法对加法的分配律： (a+b)×c=a×c+b×c a×(b+c)=a×b+a×c 【规定】多项式与多项式相乘的法则，目标是使整式的乘法满足乘法对加法的分配律. 二、探究新知 【思考】 怎样计算多项式x-2y与多项式3x+y的乘积？ 解：(x-2y)(3x+y)=x·(3x+y)+(-2y)·(3x+y) =x·3x+x·y+(-2y)·3x+(-2y)·y =3x2+xy-6xy-2y2 =3x2-5xy-2y2. 【归纳】 法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn (a,b,m,n都是单项式) 一般步骤： 1.用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项 2.把所得的积相加 3.有同类项的合并同类项 4.把结果整理成某一字母的降幂排列 三、例题探究 例13计算：(1) (2x + y)(x－3y)；(2) (5x－2)(3x2－x－5). 解：(1) 原式= 2x·x+2x·(－3y) + y·x+ y·(－3y) = 2x2－6xy + xy－3y2 = 2x2－5xy－3y2. (2) 原式=15x³－5x²－ 25x－6x²＋2x＋10 =15x³－5x²－6x²－25x＋2x＋10 =15x³－11x²－23x＋10. 例14 计算：(1) (x－y)(x2＋xy＋y2)； (2) (x＋y)(x2－xy＋y2). 解：(1) (x－y)(x2＋xy＋y2) = x3＋x2y＋xy2－yx2－xy2－y3 = x3－y3. (2) (x＋y)(x2－xy＋y2) = x3－x2y＋xy2＋x2y－xy2＋y3 = x3＋y3. 【做一做】(1)设a，b，c都是正数，计算(a+b)(a+c)的结果. (2)一个长方形的长为a+b，宽为a+c，试着画出长方形，并利用这个长方形解释(1)的结果. 解：(1)( a+b )( a+c )=a2+ac+ba+bc. (2)该长方形的面积为( a+b )( a+c )， ∵组成该长方形的四个小长方形的面积分别为a2、ac、ba、bc， ∴( a+b )( a+c )=a2+ac+ba+bc. 四、课堂练习 1.计算：(1) (x－2y)(4x+3y)； (2) (x－5y)(3x－y); (3) (x + y)(x2+xy+y2)； (4) (3x－y)(2x2+5xy－4y2). 2.用不同的方法计算右边几何图形的面积，可得等式( ) A. (2a+b)(a+b)=2a2+b2　　　     B. (2a+b)(a+b)=2a2+2ab+b2　 C. (2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2　　　     D. (2a+b)(a+b)=2a2+3ab+2b2　 3.计算(a-2)(-a+1)的结果是 (　    ) A.a2-a-2　　　     B.-a2-a-2　　　    C.-a2+3a-2　　　    D.a2+3a-2 4.如果（2x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，那么m的值为 (　    ) A.−6 B. -3 C. 0 D. 1 5.如图,一边及其邻边长为a,b的长方形的周长为14,面积为10,则(a+1)(b+1)的值为(　    ) A.20　　　　 B.18　　　　 C.16　　　　 D.14 6.如果关于x的多项式x-2与x2+mx+1的乘积中不含x的一次项,求m的值. 五、课堂小结 什么是多项式乘多项式的法则，在运用过程中需注意什么？多项式乘多项式的一般步骤是什么？ 六、作业布置 课堂作业：P14 T7 家庭作业：《学法》P11-12 A组（基础一般），P12 B、C组（基础较好） 学科网（北京）股份有限公司 $$