专题05 勾股定理中的方程思想和最值问题（7题型）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（沪科版）

专题05 勾股定理中的方程思想和最值问题 1、台阶中的最值问题 2、正方体中的最值问题 3、长方体中的最值问题 4、圆柱(锥)中的最值问题 压轴题型一：方程思想在勾股定理中的应用 1．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．某校八年级（1）班的小明和小亮为了测得风筝的垂直高，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.65米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)21.6米 (2)8米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，用勾股定理解三角形，准确运用勾股定理是解题的关键． （1）先根据勾股定理求出来的长，然后加上小明的身高即可； （2）先根据降低的高度求出的长，然后根据勾股定理求出的长，然后用风筝线长减去的长即可求出结果． 【详解】（1）在中， 由勾股定理得， 由，得 米． ∴风筝的垂直高度为米； （2）如图，设下降后的点为F， ∵ ∴， 在中 由勾股定理得，． 由得． 米， 他应该往回收线8米． 2．如图所示，在中，，，，点P以的速度从点A开始沿边向点B移动，点Q以的速度从点B开始沿边向点C移动，且点P，Q分别从点A，B同时出发．若有一点到达目的地，则另一点同时停止运动．要使P，Q两点之间的距离等于，则需要经过多少秒？ 【答案】需要经过秒 【分析】本题主要考查勾股定理以及一元二次方程的应用．根据勾股定理列出方程是解题的关键． 设经过，、之间的距离等于，先用含的代数式分别表示和的长度，进一步利用勾股定理建立方程求得答案即可； 【详解】解：设经过，、之间的距离等于， 由已知可得： ，， ， ， ， 解得：， (不合题意，舍去)， ， 答：需要经过秒； 3．在中，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是． (1)如图①，如果点和顶点重合，求的长； (2)如图②，如果是的中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此题的关键． （1）由折叠可得，设，则，再由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）由题意得，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：， 设，则， ， ∴由勾股定理得：， ， 解得：， ． （2）解：∵点落在的中点， ， 设，则， ， ∴由勾股定理得：， ， 解得：， 即的长为：． 4．如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动．设点的运动时间为． (1)求的长； (2)当时，求的长； (3)若点在的平分线上，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）利用股定理即可求解； （2）根据点的运动路径及速度表示出，再利用勾股定理即可解答； （3）过点作于，利用角平分线的性质可知，再证，推出，最后利用股定理解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ； （2）解：如图， 由（2） 得 点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动，，， 当时，， ∵，， ∴； （3）解：当点在的角平分线上时，过点作于，如图所示， 平分，，， ．， 又， ． ，则． ∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动，，， ， ∴， 在中，即， 解得． 点在的平分线上时，． 压轴题型二：最短路径--正方体中的最值 √满分技法 5．棱长分别为，的两个正方体如图放置，点A，B，C在同一直线上，顶点E在棱BF上，点P是棱DK的靠近点D的三等分点．一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最短距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面展开最短问题．求出两种展开图的值，比较即可判断． 【详解】解：如图，，有两种展开方法： 方法一：， 方法二：． 故需要爬行的最短距离是． 故选：D． 6．如图，是一个棱长为的封闭正方体盒子，一只蚂蚁如果要沿着正方体的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点，那么它爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面展开图最短路径问题、勾股定理的应用等知识点，得出正确的展开图是解题的关键． 先将点A和点B所在的各面展开为矩形，根据“两点之间线段最短”知为矩形的对角线的长即为蚂蚁沿正方体表面爬行的最短距离；然后利用勾股定理求得的长． 【详解】解：将点A和点B所在的各面展开为矩形，为矩形对角线的长， 如图所示： ∵矩形的长为6、宽为3， ∴． 故选B． 7．固定在地面上的一个正方体木块如图①所示，其棱长为4，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点爬行到点的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据两点之间线段最短，将图②展开，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，正方体上表面的对角线为，将图②展开，连接交于点，线段的长度即为蚂蚁爬行的最短路程， 由题意可知：为等边三角形，为等腰直角三角形， ，，， ， ， ， 正方体的棱长为4， ，， 在中，， 在中，， ． 故选：A． 8．如图，正方体盒子的棱长为2，的中点为M，一只蚂蚁从M点沿正方体的表面爬到点，蚂蚁爬行的最短距离是（    ） A． B．3 C．5 D．2＋ 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用， 结合题意可知，将正方体展开，分析可知蚂蚁从M爬到有四种情况（如下图），根据两点之间线段最短以及正方体的棱长可知，的最短长度即为所求． 【详解】解：蚂蚁从M爬到有四种情况：前面→上面，前面→右面，下面→后面，下面→右面，如图所示： 第种情况：， 第种情况：， 综上可知，蚂蚁爬行的最短距离是， 故选A． 压轴题型三：最短路径--长方体中的最值 √满分技法 9．如图，长方体鱼缸（无盖）的长，宽，高分别为，一只壁虎从外表面点A出发，沿长方体表面爬到内侧点E处，点E在棱上且距离上沿（即），壁虎爬行最短路程是（   ）．（鱼缸厚度忽略不计） A．130 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最短路径问题，勾股定理．延长到点，使，连接，交于点P，连接．则．的最小值为的长．利用勾股定理求出的长度即为壁虎爬行最短路程． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接，交于点P，连接． 则．的最小值为的长． ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 10．如图是一个长、宽、高分别为4，2，1的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（    ） A．5 B．5．4 C．6．1 D．7 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用．解题关键是展开长方体将A，B放在同一平面，展开的方式不同，蚂蚁爬行的路线就不同，有三种情况，可分别求出值，找到最短路线；分三种情况展开，将A和B放在同一平面内，根据两点之间线段最短和勾股定理可求得的长度，取最小值即可． 【详解】由于长方体的平面展开方式不唯一，故分以下三种情况进行讨论： （1）把前面右面组成一个长方形，连接，如图， ； （2）把前面上面组成一个长方形，连接，如图， ； （3）把左面上面组成一个长方形，连接，如图， ， ， 最短路径的长为， 故选：A． 11．如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线长是（    ）    A． B．10 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，将长方体纸箱按照不同方式展开，分别根据勾股定理求出不同展开图中的长，再找到其中最短者即为蚂蚁所行的最短路程．解题的关键是将长方体展开，构造直角三角形，然后利用勾股定理解答． 【详解】解：如图（1）所示：    图一： ； 如图（2）所示： ． 由于， 所以最短路径为10． 故选：． 12．如图，在一个长为，宽为的长方形木板上，放着一根长方体木块，木块较长的棱和木板的宽平行且棱长大于，木块从正面看是边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发到达边中点需要走的最短路程为（    ）． A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理与最短路径问题，将木块展开，然后根据两点之间线段最短利用勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，将木块展开， 由题意，得：展开后长方形的长为，， 则：蚂蚁从点出发到达边中点需要走的最短路程为； 故选B． 压轴题型四：最短路径--圆柱体中的最值（同侧） √满分技法 13．如图，圆柱形容器高为，在其外壁距离下底面的处有一只蚂蚁，它想吃到正对面外壁距离上底面的B处的一滴蜂蜜，其中圆柱的底面周长为，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算．先把圆柱的侧面展开得其侧面展开图，由勾股定理求得的长． 【详解】解：如图，将圆柱的侧面沿过点的一条母线剪开，得到长方形连接, 则线段的长就是蚂蚁爬行的最短距离， 故. 故选：B. 14．已知圆柱体的底面周长为，是底面圆的直径，高，一只蚂蚁从A点出发，沿着圆柱体的表面爬行到C点的最短距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查最短路径问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理计算出的长即为最短距离． 【详解】解：底面周长为， ， ， 故选A． 15．如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在圆柱的下底面的内壁处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿的点处的一滴蜂蜜，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用最短距离，将杯子侧面展开，连接，则的长为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，利用勾股定理求出即可求解，找出蚂蚁到达蜂蜜的最短路径是解题的关键． 【详解】解：如图，将杯子侧面展开，连接，则的长为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离， 由题意得，，，， ∴， ∴蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为， 故选：．    16．如图，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点A爬到点B，圆周率取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，圆柱的侧面展开图的长方形的长为，长方形的宽等于圆柱的高，根据题意，爬行到对面的意义即为求图中的长，利用勾股定理解答即可． 本题考查了圆柱体的侧面展开最短路径问题，勾股定理，正确确定展开图中个线段的长度是解题的关键． 【详解】解：根据题意，设圆柱的侧面展开图为长方形，，，， 如图所示：， 故选：A． 压轴题型五：最短路径--圆柱体中的最值（异侧） √满分技法 →→→→ 17．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为，在容器内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿的点处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将容器侧面展开，建立关于上边沿的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度为最短路径，构造直角三角形，依据勾股定理可以求出底面周长的一半，乘以2即为所求． 【详解】解：如下图， 将容器侧面展开，作关于EF的对称点，连接，则即为最短距离， 根据题意，可知，， ∴． 所以底面圆的周长为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平面展开——最短路径问题以及勾股定理等知识，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 18．如图，一个圆柱形玻璃杯的高为10cm，底面半径为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁处的爬行最短路线的长为 ．（杯壁厚度不计） 【答案】 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开，轴对称距离最短，勾股定理，熟练掌握圆柱的侧面展开，勾股定理，轴对称距离最短问题是解题的关键． 将杯子侧面展开，作点A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即最短，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于的对称点， ∴为矩形， ∵底面半径半径为， ∴底面周长为， ∴， 根据题意得，， ∴， 连接，则即为最短距离， ． 故答案为：． 19．如图，圆柱形容器的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 ． 【答案】/130厘米 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 将容器侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图，将容器侧面展开，作A关于的对称点，连接交于F，则即为最短距离． ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点A处， ∴， ∴在直角中，． 故壁虎捕捉蚊子的最短距离为． 20．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为 （杯壁厚度不计）． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，轴对称的性质和勾股定理，将杯平面展开，作B点纵向的对称点C，连接，即为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程，根据勾股定理求出最后结果即可． 【详解】解：如图，将杯平面展开，作B点纵向的对称点C，连接，即为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程， 由题意得，， ， ∴， 根据勾股定理有： ∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为， 故答案为：． 压轴题型六：台阶中的最值 √满分技法 21．一个台阶如图，阶梯每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点最短路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了平面展开最短路径问题．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答 ． 【详解】解：如图所示： 台阶平面展开图为长方形，，， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：， 故选：D． 22．如图，是一个三级台阶，它每一级的长、宽、高都分别为，，．和是这个台阶上两个相对的点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先画出台阶的平面展开图，可知是长方形，长为，宽为，根据两点之间，线段最短，可得蚂蚁沿台阶面爬行到点的最短路程是线段的长，利用勾股定理求出的长即可求解，找出蚂蚁沿台阶面爬行的最短路径是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， ∵两点之间，线段最短 ∴蚂蚁沿台阶面爬行到点的最短路程是线段的长， ∴， ∴， 故选：． 23．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题的是平面展开﹣最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．先将图形平面展开，再由勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm， 由勾股定理得：， 解得：． 故选：C． 24．如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为、、．和是台阶两个相对的端点，在点有一只蚂蚁，想到点去觅食，那么它爬行的最短路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，勾股定理．根据题意画出台阶的侧面展开图，再根据勾股定理求出的长即可得出结论． 【详解】解：如图所示， ， ． 故选C． 压轴题型七：构造勾股定理求最值 25．综合与实践 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． (1)把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，．用含、、的式子分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理．上述图形的面积满足的关系式为________，经化简，可得到勾股定理． (2)如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）； (3)在（2）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求出的距离． (4)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) (3)千米 (4) 【分析】（1）根据可得四边形为直角梯形，则，根据，可得，则，由，可得，，进而可得，再根据可得，据此即可得出答案； （2）连接，过点作于点，根据，可得四边形是矩形，进而可得千米，千米，于是可得千米，然后利用勾股定理即可求得、两个村庄之间的距离； （3）由题意可知，点在的垂直平分线上，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求；设千米，则千米，在和中，分别利用勾股定理表示出和，然后通过建立方程，解方程即可求出的距离； （4）根据轴对称—最短路线的求法即可求出：先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则就是代数式的最小值；然后利用轴对称的性质、矩形的判定与性质及勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：依题意得：，，，， ， ， 四边形为直角梯形， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 整理，得：， 故答案为：； （2）解：如图，连接，过点作于点， ，， 四边形是矩形， 千米，千米， 千米， 千米， 两个村庄的距离为千米， 故答案为：； （3）解：由题意可知，点在的垂直平分线上， 如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求， 设千米，则千米， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 解得：， 即：千米； （4）解：如图，， 先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点， 设， 则就是代数式的最小值， 代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点， 由轴对称的性质可得：， ，，， 四边形是矩形， ，， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值， 代数式的最小值为： ． 【点睛】本题是四边形—三角形综合题，主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用（包括：选址使到两地距离相等、求最短路径等），轴对称—最短路线问题，线段的垂直平分线，矩形的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，这是解本题的关键，而构造出直角三角形则是解本题的难点． 26．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【思想应用】已知m，n均为正实数，且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设，． ①用含m的代数式表示 ，用含n的代数式表示 ； ②据此写出的最小值 ． (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是 ． (3)【拓展应用】已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，写出的最小值 ． 【答案】(1)①，；② (2)20 (3) 【分析】本题考查了勾股定理得应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①由勾股定理计算即可得解；②连接，由①得：，而（当且仅当、、共线时取等号），作交的延长线于，则四边形为长方形，得出，，再由勾股定理计算即可得解； （2）设，，，，则，由勾股定理可得，，从而得出，而（当且仅当、、共线时取等号），作交的延长线于，则，则四边形为长方形，得出，，再由勾股定理计算即可得解； （3）画出边长为1的正方形，在边上截取出长为，．的线段，则，，，，从而得出，利用两点之间线段最短可知：（当且仅当、、、共线时取等号），再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：①在中，， 在中，， 故答案为：，； ②连接， 由①得：， 而（当且仅当、、共线时取等号）， 作交的延长线于，如图1， 则， ∴四边形为长方形， ，， 在中，， 的最小值为，即的最小值为； （2）解：如图， 设，，，，则， 在中，， 在中，； ， 而（当且仅当、、共线时取等号）， 作交的延长线于，则， ∴四边形为长方形， ，， 在中，， 的最小值为20，即的最小值为20． （3）解：画出边长为1的正方形，在边上截取出长为，．的线段，作图如下： 则，，，， ， 利用两点之间线段最短可知：（当且仅当、、、共线时取等号）， ， 的最小值为， 的最小值为． 27．（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”．小强同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和4的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是______． （2）类比计算：已知均为正数，且．求的最小值． （3）迁移问题：已知平面直角坐标系中，，，，直接写出的最小值． 【答案】（1）10（2）17（3） 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段和最值问题，解题的关键在于能够准确读懂题意，利用勾股定理求解． （1）先根据题意利用勾股定理求出，，则，要想的值最小，则的值最小，即当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为，由此利用勾股定理求出的值即可； （2）如图所示，，利用勾股定理求出，然后同（1）求解即可； （3）过点A作y轴的对称点，连接，交y轴于点P，得，当三点共线时，的值最小，最小值为的长，由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图所示，， 在中，， 在中，， ∴， ∴要想的值最小，则的值最小， ∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为， 过点B作交延长线于F， ∵， ∴由长方形的性质得，， ∴， ∴， ∴的最小值为10， 故答案为：10； （2）如图所示，， 在中，， 在中，， ∴， ∴要想的值最小，则的值最小， ∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为， 过点B作交延长线于F， ∵， ∴由长方形的性质得，， ∴， ∴， ∴的最小值为17， （3）过点A作y轴的对称点，连接，交y轴于点P，如图， 由对称性知，， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵， ∴， 又， ∴， ∴的最小值为． 28．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以互相转化．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)（思想应用）已知，均为正实数，且，求的最小值．通过分析，爱思考的小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示______，用含的代数式表示______； ②据此直接写出的最小值为______； (2)（类比应用）已知为正实数，根据上述的方法，求代数式的最小值． 【答案】(1)①、；②5 (2)13 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，两点之间线段最短的知识， (1)利用勾股定理得到，由题图知，，利用三角形三边的关系得(当且仅当、、共线时取等号),作交的延长线于,如图，易得四边形为矩形，利用勾股定理计算出,从而得到即的最小值； (2)如图，设,则,利用勾股定理得到，根据三角形三边的关系得到(当且仅当、、共线时取等号),作交的延长线于,如图，易得四边形为矩形，利用勾股定理计算出，即可得到的最小值； 掌握勾股定理的运算，最短路径的运用，合理作出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：在中，, 在中，， 由题图知，, ∴(当且仅当、、共线时取等号), 作交的延长线于,如图, ∵，， ∴四边形为矩形， , 在中，, 的最小值为5, 即的最小值为5； 故答案为：，5； （2）解：如图，，，，设，则， 在中，, 在中，, ∴, 由知，(当且仅当、、共线时取等号),作交的延长线于,如图，可得四边形为矩形， ,, 在中，, 的最小值为13, ∴的最小值为13. 1．如图：长方体的长、宽、高分别是12，8，30，在中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是（   ） A．15 B．25 C．35 D．45 【答案】B 【分析】本题考查了平面展开-最短路线问题和勾股定理，关键是知道求那一条线段的长． 根据题意画出图形，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图展开，连接，则线段的长就是小虫爬的最短路线， 在中，，， 由勾股定理得：． 故选：B． 2．某打印社团制作了一根盘龙金箍棒，如图，把金箍棒看成圆柱体，它的底面周长是，龙头部分沿最短路径绕金箍棒盘旋1圈升高，则龙头部分的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查平面展开——最短路径问题，勾股定理．正确画出图形是解题关键．根据题意画出图形，利用圆柱侧面展开图，结合勾股定理求出即可． 【详解】解：如下图，则， ， 即龙头不符的长为， 故选：． 3．年月日是第七个中国农民丰收节，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型，如图，现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕圈到达柱顶正上方（从点到点，为的中点），则装饰带的长度最短为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的展开图求最短距离问题，画出圆柱的展开图，连接，由勾股定理即可求解，正确画出展开图是解题的关键. 【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，连接， ∴即为最短， ∴，， ∴， 故选：． 4．一个台阶如图所示，阶梯每一层高，宽，长，一只蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了平面展开最短路径问题．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答 ． 【详解】解：如图所示： 台阶平面展开图为长方形，，， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：， 故选：B． 5．如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点 A出发，经过3个面爬行到点B，则它运动的最短路径的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最短路径问题以及勾股定理，先将正方体展开，然后找出最短路线，利用勾股定理直接计算即可． 【详解】解：如图，将正方体的三个侧面展开，连接，则最短， ∴． 故选：C． 6．将长方形纸片按如图所示折叠，已知，则蚂蚁在纸片上从点处爬到点处需要走的最短路程是（   ） A． B． C．10 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用和两点之间线段最短等问题，解题关键是展开该矩形纸片．本题可以利用勾股定理计算展开后的长度，则即为所求． 【详解】解：如图，展开长方形，由题意得，，， ∴， ∴蚂蚁在纸片上从点处爬到点处需要走的最短路程是， 故选∶ ． 7．如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，以及勾股定理，正确画出侧面展开图，确定两点之间线段最短是解题的关键． 先画出侧面展开图，根据两点之间践段最短，利用勾股定理求出线段的长即可． 【详解】将将第一层小正方体的顶面和正面，以及第二层小正方体的顶面和正面展开，如下图， 连接， 则最短路径 故答案为：5． 8．如图，圆柱形杯子（无盖）的高为，底面周长为，已知蚂蚁在外壁A处（距杯子上沿）发现一滴蜂蜜在杯子内壁处（距杯子下沿），则蚂蚁从A处爬到处的最短距离（杯子厚度忽略不计）为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 将杯子侧面展开，作点A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图所示，将杯子侧面展开，作点A关于的对称点， 连接，则即为最短距离， ∵， ∴ ∴． 故答案为20． 9．勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题： (1)如图，请你用两种不同方法表示梯形的面积，从而验证勾股定理． (2)如图，在直线的同侧有两个点、，已知点和点到直线的距离分别为2和5，且．现要在直线上取点，使得的值最小． ①请用无刻度直尺和圆规在图2中确定点的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ②直接写出的最小值为_________； (3)借助上面的思考过程，直接写出的最小值为_______． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② (3) 【分析】本题考查轴对称—最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）由梯形，三角形面积公式即可证明问题； （2）①根据轴对称的性质，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，； ②根据勾股定理求出，根据矩形的性质分别求出，，根据勾股定理求出，得到，结合题意计算即可； （3）作关于直线的对称点，连接与直线交于点，则的最小值为，然后根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：由题意可知，梯形的面积第一种表示方法： ， 第二种表示方法： ， 则， ∴； （2）①作关于直线的对称点，连接与直线交于点， 由轴对称可知，， ∴，当点在上时取等号， 故，点即为所求； ②作，，相交于点，作于点，连接， 则，， 在中，，， ∴， 在中，， ∴的最小值为， 故答案为：； （3）如图，作于，于，，，，，则， ∴， 作关于直线的对称点，连接与直线交于点，类比（2）可知，此时最小，最小值为， 作于，则， 由勾股定理得，，即最小为， ∴的最小值为， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 勾股定理中的方程思想和最值问题 1、台阶中的最值问题 2、正方体中的最值问题 3、长方体中的最值问题 4、圆柱(锥)中的最值问题 压轴题型一：方程思想在勾股定理中的应用 1．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．某校八年级（1）班的小明和小亮为了测得风筝的垂直高，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.65米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 2．如图所示，在中，，，，点P以的速度从点A开始沿边向点B移动，点Q以的速度从点B开始沿边向点C移动，且点P，Q分别从点A，B同时出发．若有一点到达目的地，则另一点同时停止运动．要使P，Q两点之间的距离等于，则需要经过多少秒？ 3．在中，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是． (1)如图①，如果点和顶点重合，求的长； (2)如图②，如果是的中点，求的长． 4．如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动．设点的运动时间为． (1)求的长； (2)当时，求的长； (3)若点在的平分线上，求的值． 压轴题型二：最短路径--正方体中的最值 √满分技法 5．棱长分别为，的两个正方体如图放置，点A，B，C在同一直线上，顶点E在棱BF上，点P是棱DK的靠近点D的三等分点．一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最短距离是（   ） A． B． C． D． 6．如图，是一个棱长为的封闭正方体盒子，一只蚂蚁如果要沿着正方体的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点，那么它爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 7．固定在地面上的一个正方体木块如图①所示，其棱长为4，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点爬行到点的最短路程为（    ） A． B． C． D． 8．如图，正方体盒子的棱长为2，的中点为M，一只蚂蚁从M点沿正方体的表面爬到点，蚂蚁爬行的最短距离是（    ） A． B．3 C．5 D．2＋ 压轴题型三：最短路径--长方体中的最值 √满分技法 9．如图，长方体鱼缸（无盖）的长，宽，高分别为，一只壁虎从外表面点A出发，沿长方体表面爬到内侧点E处，点E在棱上且距离上沿（即），壁虎爬行最短路程是（   ）．（鱼缸厚度忽略不计） A．130 B． C． D． 10．如图是一个长、宽、高分别为4，2，1的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（    ） A．5 B．5．4 C．6．1 D．7 11．如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线长是（    ）    A． B．10 C． D． 12．如图，在一个长为，宽为的长方形木板上，放着一根长方体木块，木块较长的棱和木板的宽平行且棱长大于，木块从正面看是边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发到达边中点需要走的最短路程为（    ）． A．10 B． C． D． 压轴题型四：最短路径--圆柱体中的最值（同侧） √满分技法 13．如图，圆柱形容器高为，在其外壁距离下底面的处有一只蚂蚁，它想吃到正对面外壁距离上底面的B处的一滴蜂蜜，其中圆柱的底面周长为，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ） A． B． C． D． 14．已知圆柱体的底面周长为，是底面圆的直径，高，一只蚂蚁从A点出发，沿着圆柱体的表面爬行到C点的最短距离是（   ） A． B． C． D． 15．如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在圆柱的下底面的内壁处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿的点处的一滴蜂蜜，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（   ）    A． B． C． D． 16．如图，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点A爬到点B，圆周率取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 压轴题型五：最短路径--圆柱体中的最值（异侧） √满分技法 →→→→ 17．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为，在容器内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿的点处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为（    ） A． B． C． D． 18．如图，一个圆柱形玻璃杯的高为10cm，底面半径为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁处的爬行最短路线的长为 ．（杯壁厚度不计） 19．如图，圆柱形容器的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 ． 20．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为 （杯壁厚度不计）． 压轴题型六：台阶中的最值 √满分技法 21．一个台阶如图，阶梯每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点最短路程是（    ） A． B． C． D． 22．如图，是一个三级台阶，它每一级的长、宽、高都分别为，，．和是这个台阶上两个相对的点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程为（　　） A． B． C． D． 23．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（　　） A． B． C． D． 24．如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为、、．和是台阶两个相对的端点，在点有一只蚂蚁，想到点去觅食，那么它爬行的最短路程是（    ） A． B． C． D． 压轴题型七：构造勾股定理求最值 25．综合与实践 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． (1)把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，．用含、、的式子分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理．上述图形的面积满足的关系式为________，经化简，可得到勾股定理． (2)如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）； (3)在（2）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求出的距离． (4)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 26．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【思想应用】已知m，n均为正实数，且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设，． ①用含m的代数式表示 ，用含n的代数式表示 ； ②据此写出的最小值 ． (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是 ． (3)【拓展应用】已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，写出的最小值 ． 27．（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”．小强同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和4的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是______． （2）类比计算：已知均为正数，且．求的最小值． （3）迁移问题：已知平面直角坐标系中，，，，直接写出的最小值． 28．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以互相转化．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)（思想应用）已知，均为正实数，且，求的最小值．通过分析，爱思考的小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示______，用含的代数式表示______； ②据此直接写出的最小值为______； (2) （类比应用）已知为正实数，根据上述的方法，求代数式的最小值． 1．如图：长方体的长、宽、高分别是12，8，30，在中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是（   ） A．15 B．25 C．35 D．45 2．某打印社团制作了一根盘龙金箍棒，如图，把金箍棒看成圆柱体，它的底面周长是，龙头部分沿最短路径绕金箍棒盘旋1圈升高，则龙头部分的长为（   ） A． B． C． D． 3．年月日是第七个中国农民丰收节，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型，如图，现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕圈到达柱顶正上方（从点到点，为的中点），则装饰带的长度最短为（   ） A． B． C． D． 4．一个台阶如图所示，阶梯每一层高，宽，长，一只蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是（   ） A． B． C． D． 5．如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点 A出发，经过3个面爬行到点B，则它运动的最短路径的长为（   ） A． B． C． D． 6．将长方形纸片按如图所示折叠，已知，则蚂蚁在纸片上从点处爬到点处需要走的最短路程是（   ） A． B． C．10 D． 7．如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是 ． 8．如图，圆柱形杯子（无盖）的高为，底面周长为，已知蚂蚁在外壁A处（距杯子上沿）发现一滴蜂蜜在杯子内壁处（距杯子下沿），则蚂蚁从A处爬到处的最短距离（杯子厚度忽略不计）为 ． 9．勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题： (1)如图，请你用两种不同方法表示梯形的面积，从而验证勾股定理． (2)如图，在直线的同侧有两个点、，已知点和点到直线的距离分别为2和5，且．现要在直线上取点，使得的值最小． ①请用无刻度直尺和圆规在图2中确定点的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ②直接写出的最小值为_________； (3)借助上面的思考过程，直接写出的最小值为_______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$