专题06 整式的乘法（5题型）-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（沪科版2024）

专题06 整式的乘法 1 单项式的乘法 概念：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 【注意】 （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 2 单项式与多项式相乘的运算法则 概念：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 【注意】 （1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式 的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 3 多项式与多项式相乘的运算法则 概念：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 【注意】多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并。 特殊的二项式相乘：. 4同底数幂的除法法则 概念：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且） 【注意】 （1） 同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算. （2） 被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3） 当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 5 零指数幂 概念：任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0） 【注意】底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积。因此常数项也叫0次单项式. 6 单项式除以单项式法则 概念：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 【注意】 （1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式. （2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项 式的结果仍为单项式. 7多项式除以单项式法则 概念：多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 即 【注意】 （1） 由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式. 利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化. 压轴题型一：单项式乘多项式的应用 √满分技法 1 单项式的乘法 概念：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 【注意】 （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 2 单项式与多项式相乘的运算法则 概念：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 【注意】 （1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式 的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 1．为改善居住环境，某社区计划修建一个广场，广场的平面图（单位：）如图所示． (1)用含m，n的代数式表示该广场的面积S． (2)若m，n满足，求该广场的面积S． (3)在（2）的条件下，若一款地砖的价格为元/，铺设地砖的人工费为元/，则为该广场铺满这款地砖一共要花费多少钱？ 2．李先生购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地板砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m），解答下列问题： (1)用含x的式子表示客厅的面积； (2)用含x的式子表示地面总面积： (3)若铺地板砖的平均费用为100元，求当时，铺地板砖的总费用为多少元？ 3．学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把x，y看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)已知，，且的值与的取值无关，求的值． (2)有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时，的值始终保持不变，请求出的值． 4．如图，正方形和正方形平放在一起（A、B、E三点在同一条直线上）．    (1)若两个正方形的面积分别是16和9，直接写出边的长为 ． (2)若正方形的边长为，正方形的边长为． ①求图中阴影部分的面积．（用含a和b的代数式表示） ②在①的条件下，如果，，求阴影部分的面积． 压轴题型二：化简求值问题 √满分技法 多项式与多项式相乘的运算法则 概念：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 【注意】多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并。 特殊的二项式相乘：. 5．已知的展开式中不含和项． (1)求的值； (2)先化简，再求值：． 6．先化简，再求值：，且单项式与是同类项． 7．（1）已知，求的值． （2）若无意义，且先化简再求的值． 8．七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与的取值无关，求的值，”通常的解题方法是把看作未知数，看作已知数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以.则. 【理解应用】 (1)若关于的代数式的值与的取值无关，试求的值； (2)6张如图1的长为，宽为的小长方形纸片，按图2方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分(两个矩形)用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为，如果当的长度变化时，始终保持不变，则应满足的关系是什么？ 【能力提升】 (3)在(2)的条件下，用6张长为，宽为的矩形纸片，再加上张边长为的正方形纸片，张边长为的正方形纸片(都是正整数)，拼成一个大的正方形(按原纸张进行无空隙，无重叠拼接)，则当的值最小时，拼成的大正方形的边长为多少(用含的代数式表示)？并求出此时的的值. 压轴题型三：多项式的图形类问题 √满分技法 多项式与多项式相乘的运算法则 概念：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 【注意】多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并。 特殊的二项式相乘：. 多项式除以单项式法则 概念：多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 即 【注意】 （2） 由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式. 利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化. 9．我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数. 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算.因此. (1)的商是______，余式是______. (2)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求值. (3)已知一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图）.另有长方形C的一边长为，若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长. 10．［知识回顾] 有这样一类题： 代数式的值与x的取值无关，求a的值； 通常的解题方法； 把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． ［理解应用] (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知的值与x无关，求y的值； (3)（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当AB的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 11．阅读理解下列材料： “数形结合”是一种非常重要的数学思想．在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．所谓“等积法”就是用不同的方法表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．如图1，从整体看是一边长为的正方形，其面积为．从局部看由四部分组成，即：一个边长为的正方形，一个边长为的正方形，两个长、宽分别为，的长方形．这四部分的面积和为．因为它们表示的是同一个图形的面积，所以这两个代数式应该相等，即． 同理，图2可以得到一个等式：． 根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图3可得等式：___________； (2)由图4可得等式：____________； (3)若，，，且，，求的值． ①为了解决这个问题，请你利用数形结合思想，仿照前面的方法在下方空白处画出相应的几何图形，通过这个几何图形得到一个含有，，的等式． ②根据你画的图形可得等式：______________； ③利用①的结论，求的值． 12．在长方形ABCD内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，当时求的值（用含a、b的代数式表示）． 压轴题型四：多项式中的规律问题 13．我国南宋时期有一位杰出的数学家杨辉，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 第一行 第二行       各项系数和为 第三行            各项系数和为 第四行              各项系数和为 …… …… …… …… 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请根据上述规律，解决以下问题： (1)多项式展开式共有______项，第二项的系数为______，各项系数和为______； (2)如图，在“杨辉三角”中，选取部分数1，3，6，……，记，，……请完成下列问题：    ①计算； ②计算； ③请直接写出的值． 14．小华同学在计算后，爱思考的他发现：是x项的系数，与通过计算后的结果对比，x项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算，，x项的系数为；用他发现的方法计算：，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． (1)直接写出相乘，积中x项的系数 (2)若，直接写出的值； (3)若的积中不含x项，求p的值； (4)拓展应用：某超市计划购进A，B两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案．这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示， A B 进价（元/箱） 24 30 售价（元/箱） 48 57 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱B型号矿泉水，向社会福利机构捐款m元，A型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进A型号矿泉水有a箱，超市获得的利润为w元，用含a，m的式子表示w，并求m的值． 15．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)请在图中括号内的数为______； (2)展开式共有______项，第19项系数为______； (3)根据上面的规律，写出的展开式：______； (4)利用上面的规律计算：； (5)假如今天是星期五，那么再过天是星期几？（写过程） 16．阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： 【观察】 【归纳】； 【应用】计算 解：令，， 则 结合上述材料，完成下列问题： (1)证明等式：； (2)应用（1）中所证明等式，计算； (3)若多项式，满足，，用一个含，的式子表示出，之间的数量关系． 压轴题型五：整式的四则运算 17．先阅读，再回答问题： 要比较代数式A、B的大小，可以作差A-B，比较差的取值，当A-B>0时，有A>B；当A-B=0时，有A=B；当A-B<0时，有A<B．”例如，当a<0时，比较 的大小．可以观察因为当a<0时，-a>0，所以当a<0时， ． （1）已知M=，比较M、N的大小关系． （2）某种产品的原料提价，因而厂家决定对于产品进行提价，现有三种方案∶ 方案1：第一次提价p%，第二次提价q%； 方案2：第一次提价q%，第二次提价p%； 方案3：第一、二次提价均为 如果设原价为a元，请用含a、p、q的式子表示提价后三种方案的价格． 方案1： ；方案2： ；方案3：_______ 如果p，q是不相等的正数，三种方案哪种提价最多？ 18．按下列程序计算，把答案填写在表格里，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律？ （1）填写表内空格： 输入 3 2 －2 … 输出答案 0 … （2）你发现的规律是____________． （3）用简要过程说明你发现的规律的正确性． 19．因为，所以．这说明能被整除，同时也说明多项式有一个因式为；另外，当多项式的值为．阅读上述材料回答问题： （1）由可知，当_时，多项式的值为； （2）一般地，如果一个关于字母的多项式当时，的值为，那么与代数式之间有一定的关系，这种关系是：_____； （3）已知关于的多项式能被整除，试求的值． 20．（图1），把边长为b的正方形放在长方形ABCD中，其中正方形的两条边分别在AD，CD上，已知AB＝a（a＜2b），BC＝4a． （1）请用含a、b的代数式表示阴影部分的面积； （2）将另一长方形BEFG放入（图1）中得到（图2），已知BE＝a，BG＝b； ①长方形AGPH的面积是长方形ECNM面积的6.5倍，求的值； ②若长方形PQMF的面积为2，求阴影部分的面积（用含b的代数式表示）． 1．把形状、大小完全相同，长为y，宽为x的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n，且）的盒子底部，有如下两种摆法（如图②③），盒子底部未被卡片覆盖的部分用阴影表示． (1)图②中阴影部分的周长为______（用含m，n的式子表示）； (2)图③中，若，请直接写出m，n的长（用含x，y的式子表示）； (3)若图②中阴影部分的面积为480，，且，在（2）的条件下，求图③中的长． 2．已知为有理数，现规定一种新运算，满足． 求的值； 求的值； ，探索与两个式子是否相等，说明理由． 3．如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影A，B两块外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为． (1)分别用含，的代数式表示阴影A，B两块的周长，并计算阴影A，两块的周长和． (2)分别用含，的代数式表示阴影A，B两块的面积，并计算阴影A，的面积差． (3)当取何值时，阴影A与阴影的面积差不会随着的变化而变化，并求出这个值． 4．对于代数式，不同的表达形式能表现出它不同的性质，若代数式，代数式，改变x的值，代数式A，B有不同的取值，如下表： x 0 1 2 3 4 0 3 8 15 24 35 0 3 8 15 24 观察表格发现：当时，，当时，，我们把这种现象称为代数式B参照代数式A取值延后，相应的延后值为1． (1)若代数式D参照代数式A取值延后，相应的延后值为2，求代数式D； (2)若代数式参照代数式A的取值延后，求相应的延后值； (3)若代数式参照代数式取值延后，求的值． 5．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例，如图所示为这个“三角形”的构造法则：两腰上的数都是，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在“三角形”中，第三行的三个数，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数，，，，恰好对应展开式中的系数． (1)根据上面的规律，写出的展开式； (2)利用上面的规律计算：； (3)的展开式的系数和为 ； (4)运用：若今天是星期三，经过天后是星期 ． 6．方法探究：同学们在学习数学过程中，遇到难题可以考虑从简单到特殊的情况入手，例如：求的值．分别计算下列各式的值： (1)填空： ； ； ； 由此可得 ； (2)计算： ； (3)根据以上结论，计算： 7．填空： ； ； ； … (1) ； (2)猜想： ；（其中为正整数，且） (3)利用（2）中的猜想的结论计算： ① ②． 8．定义一种新运算，对任意数，，，例如：，． (1)设（为常数） 已知关于的方程为一元一次方程，求：的值及方程的解． 已知与为关于x的多项式，，的值满足，若中不含一次项，求：的值． (2)如果数对满足，我们称数对为“嘉幸数”，已知数对与均为“嘉幸数”，求代数式的值． 9．定义一种新的运算“”： ；     ；     ；     ；     ；     ；     ；     ；     ；     ； (1)仔细观察，归纳“”运算法则：两数进行“”运算时，______； 特别地，0与任何数进行“”运算，或任何数与0进行“”运算，结果为______； (2)计算：； (3)已知，，，试判断的值是否大于0？并说明理由． 10．对于任意一个四位正整数m，若m的各位数字都不为0，且千位数字与百位数字不相等，十位数字与个位数字不相等，那么称这个数为“互异数”．将一个“互异数”m的任意一个数位上的数字去掉后得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为Fm．例如，“互异数”m=1234，去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：234、134、124、123，这四个三位数之和为234+134+124+123=615，615÷3=205，所以F(1234)=205． (1)计算F(1345)和F(8132)； (2)若“互异数”n=8900+10x+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x、y都是正整数），F(n)也是“互异数”且F(n)能被8整除，求n的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 整式的乘法 1 单项式的乘法 概念：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 【注意】 （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 2 单项式与多项式相乘的运算法则 概念：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 【注意】 （1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式 的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 3 多项式与多项式相乘的运算法则 概念：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 【注意】多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并。 特殊的二项式相乘：. 4同底数幂的除法法则 概念：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且） 【注意】 （1） 同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算. （2） 被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3） 当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 5 零指数幂 概念：任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0） 【注意】底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积。因此常数项也叫0次单项式. 6 单项式除以单项式法则 概念：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 【注意】 （1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式. （2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项 式的结果仍为单项式. 7多项式除以单项式法则 概念：多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 即 【注意】 （1） 由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式. 利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化. 压轴题型一：单项式乘多项式的应用 √满分技法 1 单项式的乘法 概念：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 【注意】 （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 2 单项式与多项式相乘的运算法则 概念：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 【注意】 （1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式 的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 1．为改善居住环境，某社区计划修建一个广场，广场的平面图（单位：）如图所示． (1)用含m，n的代数式表示该广场的面积S． (2)若m，n满足，求该广场的面积S． (3)在（2）的条件下，若一款地砖的价格为元/，铺设地砖的人工费为元/，则为该广场铺满这款地砖一共要花费多少钱？ 【答案】(1) (2) (3)元 【分析】（1）由花坛的面积等于大长方形面积减去小长方形面积表示出S即可； （2）利用非负数的性质求出m与n的值，代入S中计算即可得到结果； （3）用单价×面积×单个人工费用进行计算求解． 【详解】（1）解：根据题意得： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 即该花坛的面积为． （3）解：（元） 答：为该广场铺满这款地砖一共要花费元． 【点睛】此题考查整式的加减——化简求值，解题关键是熟练掌握运算法则． 2．李先生购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地板砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m），解答下列问题： (1)用含x的式子表示客厅的面积； (2)用含x的式子表示地面总面积： (3)若铺地板砖的平均费用为100元，求当时，铺地板砖的总费用为多少元？ 【答案】(1)平方米 (2)平方米 (3)3900元 【分析】本题考查了代数式求值，列代数式，解决本题的关键是熟练运用长方形的面积公式． （1）客厅地面面积是长方形，长方形的面积=长×宽，代入数据、字母解答即可； （2）地面的总面积=客厅的总面积+卧室的面积+厨房的面积+卫生间的面积，每个房间的地面面积是长方形，长方形的面积=长×宽，代入数据、字母解答即可； （3）将代入到，求出面积，再乘以单价即可． 【详解】（1）客厅的面积平方米； （2）地面总面积 （平方米）； （3）当时， ； （元）； 答：铺地板砖的总费用是3900元． 3．学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把x，y看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)已知，，且的值与的取值无关，求的值． (2)有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时，的值始终保持不变，请求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减，熟练掌握整式混合运算运算法则是解题关键． （1）先计算可得到，根据题意可知x项的系数为0，据此即可作答； （2）设，由图可知，，则，根据当的长变化时，的值始终保持不变，可知的值与x的值无关，即有，即可得出答案． 【详解】（1）解： ， 的值与无关， ，即； （2）解：设，由图可知，， ， 当的长变化时，的值始终保持不变． 取值与无关， ， ， ． 4．如图，正方形和正方形平放在一起（A、B、E三点在同一条直线上）．    (1)若两个正方形的面积分别是16和9，直接写出边的长为 ． (2)若正方形的边长为，正方形的边长为． ①求图中阴影部分的面积．（用含a和b的代数式表示） ②在①的条件下，如果，，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)①；②6 【分析】本题考查了整式的混合运算、割补法求不规则图形的面积，找到图形中的面积之间关系是解题的关键． （1）先根据面积求出各个的边长，再利用线段的和差即可得出答案； （2）①根据题意得出，根据三角形面积公式将字母代入并化简即可得出答案； ②直接将，代入①所求的式子计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意，得，， ， 故答案为：； （2）解：① ； ②由①可知， 当，时， 原式 阴影部分的面积为6． 压轴题型二：化简求值问题 √满分技法 多项式与多项式相乘的运算法则 概念：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 【注意】多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并。 特殊的二项式相乘：. 5．已知的展开式中不含和项． (1)求的值； (2)先化简，再求值：． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用多项式乘多项式法则计算，根据结果不含和项，确定出与的值即可； （2）利用多项式乘多项式法则计算，把m与n的值代入计算即可求出值． 【详解】（1） ， ， 根据展开式中不含和项可得， 解得； （2）原式 ． 因为， 所以原式． 6．先化简，再求值：，且单项式与是同类项． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的乘法，求代数式的值，同类项的定义；先按照整式乘法法则展开，再合并同类项，得，结合单项式与是同类项，得出，即，代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ； ∵与是同类项， ∴， 即， ∴． 7．（1）已知，求的值． （2）若无意义，且先化简再求的值． 【答案】（1）-1；（2）-6. 【分析】(1)先分别对等式和代数式进行变形，即可发现解答思路. (2)先化简，再利用作答. 【详解】解：（1）化简为： = =12-2×1 =-1 （2）∵无意义， ∴a+2=0，即a=-2 又∵ ∴b= = = =-5b+a =-5×-2 =-6 【点睛】本题考查的是整式的化简求值，解此类题的关键在于对已知整式和等式进行变形或求出字母的值.. 8．七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与的取值无关，求的值，”通常的解题方法是把看作未知数，看作已知数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以.则. 【理解应用】 (1)若关于的代数式的值与的取值无关，试求的值； (2)6张如图1的长为，宽为的小长方形纸片，按图2方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分(两个矩形)用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为，如果当的长度变化时，始终保持不变，则应满足的关系是什么？ 【能力提升】 (3)在(2)的条件下，用6张长为，宽为的矩形纸片，再加上张边长为的正方形纸片，张边长为的正方形纸片(都是正整数)，拼成一个大的正方形(按原纸张进行无空隙，无重叠拼接)，则当的值最小时，拼成的大正方形的边长为多少(用含的代数式表示)？并求出此时的的值. 【答案】(1)；(2)；(3)边长为，当，时，的值最小. 【分析】（1）根据仿例进行运算即可； （2）当的长度变化时，始终保持不变，说明S的取值与BC的长度无关，求出S与C的关系，按照仿例计算即； （3）先表示出拼成的大正方形的面积，根据（2）中a、b的关系进行变形，求出面积是b的倍，因为都是正整数，故为平方数，最小值为25，据此可求解. 【详解】（1） ∵此代数式的值与无关，则，解得： （2）设 令左上角矩形面积为，右下角矩形面积为， ∵当的长度变化时，的值不变 ∴的取值与无关 ∴ 即 （3）由题意得：拼成一个大的正方形的面积 由(2)知： ∴ 因为大正方形的边长一定是的整数倍 ∴是平方数 ∵都是正整数 ∴最小是25，即 ∴，或，或， 此时 则当的值最小时，拼成的大的正方形的边长为，此时，. 【点睛】本题主要考查了整式的乘法，整式的化简求值，解答本题的关键是理解题目中字母x的取值无关的意思． 压轴题型三：多项式的图形类问题 √满分技法 多项式与多项式相乘的运算法则 概念：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 【注意】多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并。 特殊的二项式相乘：. 多项式除以单项式法则 概念：多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 即 【注意】 （2） 由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式. 利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化. 9．我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数. 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算.因此. (1)的商是______，余式是______. (2)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求值. (3)已知一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图）.另有长方形C的一边长为，若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长. 【答案】(1)，． (2) (3) 【分析】（1）根据多项式除以多项式的法则计算． （2）根据多项式除以多项式的法则计算． （2）通过面积关系求长方形的边长． 【详解】（1）解：用竖式计算如下， 的商是，余式是． ∴答案为：，． （2）多项式能被整除，则 ∴a+4-（-2）=0，-b-（-2）=0． ∴a=-6，b=2． ∴ab=（-6）2=36． （3）长方形A的周长为：2（x+2+x-2）=4x． 长方形B的周长为：2（x-2+a+x+2+6）=4x+2a+12． ∵长方形B的周长是A周长的2倍． ∴4x+2a+12=8x． ∴a=2x-6． ∴长方形B的面积为：（x+2+6）（x-2+2x-6）=（x+8）（3x-8） =3x2+16x-64． ∴长方形C的面积为：3x2+16x-140． ∴长方形C的另一边长为：（3x2+16x-140）÷（x+10）=3x-14． ∴长方形C的另一边长为：3x-14． 【点睛】本题考查多项式除以多项式，抓住整除的定义找到系数的关系是求解本题的关键． 10．［知识回顾] 有这样一类题： 代数式的值与x的取值无关，求a的值； 通常的解题方法； 把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． ［理解应用] (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知的值与x无关，求y的值； (3)（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当AB的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （2）先根据整式的加减化简整式，再根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （3）设，先求出，从而可得，再根据“当的长变化时，的值始终保持不变”可知的值与的值无关，由此即可得． 【详解】（1）解： ， 关于的多项式的值与的取值无关， ， 解得； （2） ， 的值与无关， ， 解得； （3）解：设， 由图可知，，， 则 ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与的值无关， ， ． 【点睛】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键． 11．阅读理解下列材料： “数形结合”是一种非常重要的数学思想．在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．所谓“等积法”就是用不同的方法表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．如图1，从整体看是一边长为的正方形，其面积为．从局部看由四部分组成，即：一个边长为的正方形，一个边长为的正方形，两个长、宽分别为，的长方形．这四部分的面积和为．因为它们表示的是同一个图形的面积，所以这两个代数式应该相等，即． 同理，图2可以得到一个等式：． 根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图3可得等式：___________； (2)由图4可得等式：____________； (3)若，，，且，，求的值． ①为了解决这个问题，请你利用数形结合思想，仿照前面的方法在下方空白处画出相应的几何图形，通过这个几何图形得到一个含有，，的等式． ②根据你画的图形可得等式：______________； ③利用①的结论，求的值． 【答案】(1)（a+2b）2=a2+4ab+4b2； (2)（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2； (3)①见解析；②（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；③29． 【分析】（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积=各长方形的面积之和求解即可； （2）直接求得长方形的面积，然后再根据长方形的面积=各长方形的面积之和求解即可； （3）①根据题意画出图形即可； ②直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积=各矩形的面积之和求解即可； ③将a+b+c=9，ab+bc+ac=26代入②中得到的关系式，然后进行计算即可． 【详解】（1）大正方形的面积可表示为=（a+2b）2， 大正方形的面积=各个长方形的面积之和=a2+4ab+4b2， 所以（a+2b）2=a2+4ab+4b2， 故答案为：（a+2b）2=a2+4ab+4b2； （2）大长方形的面积可表示为=（2a+b）（a+2b）， 大长方形的面积=各个长方形的面积之和=2a2++5ab+2b2， 所以（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2， 故答案为：（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2； （3）①所画图形如下： ②正方形的面积可表示为=（a+b+c）2； 正方形的面积=各个矩形的面积之和=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca， 所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca． 故答案为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca； ③∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca， ∴a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+bc+ca）=92-26×2=81-52=29． 【点睛】本题考查的是多项式乘多项式应用，利用面积法列出等式是解题的关键． 12．在长方形ABCD内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，当时求的值（用含a、b的代数式表示）． 【答案】 【分析】设，则，根据图形得出，再根据整式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：设，则， 【点睛】本题考查了列代数式和整式的混合运算，解题的关键是：能灵活运用整式的运算法则进行计算． 压轴题型四：多项式中的规律问题 13．我国南宋时期有一位杰出的数学家杨辉，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 第一行 第二行       各项系数和为 第三行            各项系数和为 第四行              各项系数和为 …… …… …… …… 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请根据上述规律，解决以下问题： (1)多项式展开式共有______项，第二项的系数为______，各项系数和为______； (2)如图，在“杨辉三角”中，选取部分数1，3，6，……，记，，……请完成下列问题：    ①计算； ②计算； ③请直接写出的值． 【答案】(1)8，7，128 (2)①357；②；③4051 【分析】本题考查数字变化类，多项式的乘法； （1）根据“杨辉三角”中第三行中的数据，将展开后，各项的系数和所呈现的规律进行计算即可． （2）①根据规律得出，进而将代入进行计算即可求解； ②将已知式子裂项为，即可求解； ③根据进行计算即可求解． 【详解】（1）根据“杨辉三角”可知， 第2行，展开后，各项的系数和为， 第3行，展开后，各项的系数和为， 第4行，展开后，各项的系数和为， 第5行，展开后，各项的系数和为， 第6行，展开后，各项的系数和为， 第7行，展开后，各项的系数依次为、、、、、、，各项的系数和为 第8行， 展开后，各项的系数依次为、、、、、、、 各项的系数和为 展开后，各项的系数和为， ∴多项式展开式共有项，第二项的系数为，各项系数和为128； 故答案为：8，7，128． （2）①由题意得：、、 ∴ ∴ ②由题意得：、、 ∴ ∴ ③ 14．小华同学在计算后，爱思考的他发现：是x项的系数，与通过计算后的结果对比，x项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算，，x项的系数为；用他发现的方法计算：，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． (1)直接写出相乘，积中x项的系数 (2)若，直接写出的值； (3)若的积中不含x项，求p的值； (4)拓展应用：某超市计划购进A，B两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案．这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示， A B 进价（元/箱） 24 30 售价（元/箱） 48 57 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱B型号矿泉水，向社会福利机构捐款m元，A型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进A型号矿泉水有a箱，超市获得的利润为w元，用含a，m的式子表示w，并求m的值． 【答案】(1)13，详见解析 (2)2024，详见解析 (3)，详见解析 (4)，，详见解析 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的运算及应用等知识点， （1）由题干中计算方法即可得解； （2）由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和，根据规律即可得解； （3）由题干中计算方法即可得解； （4）根根题意列出式子，由无论a为多少，w都不变，得出m的值，即可得解； 理解多项式乘以多项式所得的多项式每一项的系数及题干中得出的规律是解决问题的关键． 【详解】（1）由题中计算方法知：， 故答案为：13； （2）∵是由2024个相乘， 又由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和， ∴它的展开式的一次项系数为2024个1的和， ∴； （3）由题干中计算方法知：中x的系数为， ∵x的系数为零， ∴， ∴； （4）∵设购进A型号矿泉水有a箱， ∴购进B型号矿泉水有箱， ∴ ， ∵无论a为多少，w都不变， ∴中，a的系数为0， ∴, ∴，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，都为元， ∴，． 15．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)请在图中括号内的数为______； (2)展开式共有______项，第19项系数为______； (3)根据上面的规律，写出的展开式：______； (4)利用上面的规律计算：； (5)假如今天是星期五，那么再过天是星期几？（写过程） 【答案】(1) (2)； (3) (4) (5)四 【分析】本题考查了完全平方公式的延伸，数字的变化规律，罗列分析出规律是解答本题的关键． （1）根据表中数据特点解题即可； （2）罗列后按照规律展开式中共有项, 当时，倒数第三项的系数是 ，代入数据计算即可； （3）根据图示顺推即可得到展开式； （4）根据展开式，令 时代入展开式即可得到所求代数式的值； （5）将变形为展开后前项和是的倍数，所以 除结果的余数为，则有假如今天是星期五，那么再过 天是星期四． 【详解】（1）解：图中括号内的数为， 故答案为：； （2），展开式有项； ，展开式有 项，倒数第三项系数为； ，展开式有 项，倒数第三项系数为 ； ，展开式有项，倒数第三项系数为； 展开式有项，倒数第三项系数为 ； ……； 以此类推，展开式中共有项, 当时，倒数第三项的系数 ； 展开式共有项，第项系数为 ； 故答案为：；； （3）根据图示， 故答案为：； （4） ∴当时，， ； （5） (、、、、是一列常数) , ， 刚好是的整数倍， ∴除结果的余数为， ∴假如今天是星期五，那么再过天是星期四. 故答案为：四． 16．阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： 【观察】 【归纳】； 【应用】计算 解：令，， 则 结合上述材料，完成下列问题： (1)证明等式：； (2)应用（1）中所证明等式，计算； (3)若多项式，满足，，用一个含，的式子表示出，之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探究； （1）观察等式找到规律，根据规律即可求解； （2）根据（1）的结论，令，，代入，即可求解； （3）分别表示出，观察式子，即可求解． 【详解】（1）解： …… ∴ （2）计算 解：令，， 则 （3）解：∵ ∴ 当时， ∵ ∴ 当时， ∵， ∴ ∴ 压轴题型五：整式的四则运算 17．先阅读，再回答问题： 要比较代数式A、B的大小，可以作差A-B，比较差的取值，当A-B>0时，有A>B；当A-B=0时，有A=B；当A-B<0时，有A<B．”例如，当a<0时，比较 的大小．可以观察因为当a<0时，-a>0，所以当a<0时， ． （1）已知M=，比较M、N的大小关系． （2）某种产品的原料提价，因而厂家决定对于产品进行提价，现有三种方案∶ 方案1：第一次提价p%，第二次提价q%； 方案2：第一次提价q%，第二次提价p%； 方案3：第一、二次提价均为 如果设原价为a元，请用含a、p、q的式子表示提价后三种方案的价格． 方案1： ；方案2： ；方案3：_______ 如果p，q是不相等的正数，三种方案哪种提价最多？ 【答案】（1）当x>0时， M<N；当x<0时， M>N；当x=0时， M=N； （2）方案1：a(1+m)(1+n)=a(1+m+n+mn) 方案2：a(1+m)(1+n)=a(1+m+n+mn) 方案3： 方案3提价最多 【分析】（1）作差比较即可； （2）根据各方案中的提价百分率，分别表示出提价后的单价，得到方案1：a（1+p）（1+q）；方案2：a（1+q）（1+p）；方案3：a（1+）2，方案1和2显然相同，用方案3的单价减去方案1的单价，提取a，利用完全平方公式及多项式乘以多项式的法则化简，去括号合并后再利用完全平方公式变形，根据p不等于q判定出其差为正数，可得出a（1+）2＞a（1+q）（1+p），进而确定出方案3的提价多． 【详解】解：（1）∵M=(x-2)(x-16)=x2-18x+32， N=(x-4)(x-8)=x2-12x+32 ∴M-N=-6x 当x>0时，-6x<0，M<N （2）方案1：a(1+p%)(1+q%)； 方案2：a(1+p%)(1+q%)； 方案3： 设p%=m，q%=n，则提价后三种方案的价格分别为 方案1：a(1+m)(1+n)=a(1+m+n+mn) 方案2：a(1+m)(1+n)=a(1+m+n+mn) 方案3： ， 所以方案3提价最多． 【点睛】本题主要考查了列代数式以及整式的混合运算以及因式分解，熟练掌握整式的乘法法则及因式分解是解题的关键． 18．按下列程序计算，把答案填写在表格里，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律？ （1）填写表内空格： 输入 3 2 －2 … 输出答案 0 … （2）你发现的规律是____________． （3）用简要过程说明你发现的规律的正确性． 【答案】（1）0，0，0；（2）输入任何数的结果都为0；（3）理由见解析 【详解】（1）利用计算程序：x→平方→+x→÷2→-x2→-x→答案，即可求出结果． （2）由前几项都为0可得出规律：输入任何数的结果都为0． （3）根据程序可写出关于x的方程式，此方程式的值为0，所以无论x取任何值，结果都为0． 解：（1）当x=2时，（x2+x）÷2-x2-x=（4+2）÷2-2-1=0， 当x=-2时，（x2+x）÷2-x2-x=（4-2）÷2-2+1=0， 当x=时，（x2+x）÷2-x2-x=（+）÷2--=0， 故答案为：0，0，0； （2）输入任何数的结果都为0； （3）因为， 所以无论x取任何值，结果都为0，即结果与字母x的取值无关． 19．因为，所以．这说明能被整除，同时也说明多项式有一个因式为；另外，当多项式的值为．阅读上述材料回答问题： （1）由可知，当_时，多项式的值为； （2）一般地，如果一个关于字母的多项式当时，的值为，那么与代数式之间有一定的关系，这种关系是：_____； （3）已知关于的多项式能被整除，试求的值． 【答案】（1）2或－1；（2）多项式M能被整除；（3）k的值为3 【分析】（1）根据题意可知当因式或的值为0时，多项式的值为0，由此可得答案； （2）当时，的值为，由此可判断是多项式M的一个因式； （3）根据题意可知是多项式的一个因式，结合（1）（2）两问可知当时，，由此可得k的值． 【详解】解：（1）∵， ∴当或时，， 即：当或时，， 故答案为：2或－1； （2）根据题意可知：是多项式M的一个因式， 故答案为：多项式M能被整除； （3）根据题意可知：当时，， 即：当时，， 则， 解得， 答：k的值为3． 【点睛】本题考查了整式的除法，是一道推理题，掌握好整式的除法法则是解题的关键． 20．（图1），把边长为b的正方形放在长方形ABCD中，其中正方形的两条边分别在AD，CD上，已知AB＝a（a＜2b），BC＝4a． （1）请用含a、b的代数式表示阴影部分的面积； （2）将另一长方形BEFG放入（图1）中得到（图2），已知BE＝a，BG＝b； ①长方形AGPH的面积是长方形ECNM面积的6.5倍，求的值； ②若长方形PQMF的面积为2，求阴影部分的面积（用含b的代数式表示）． 【答案】（1）4a2-b2；（2）①；② 【分析】（1）用大长方形面积减去小正方形面积，即可； （2）①用代数式表示出AG=a-b，AH=4a-b，CE =a，结合“长方形AGPH的面积是长方形ECNM面积的6.5倍”列出等式，即可求解；②由“长方形PQMF的面积为2”，可得a=2b-2，结合影部分面积=长方形AGPH面积+长方形ECNM面积，即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意得：阴影部分的面积=a∙4a-b2； （2）①∵AB=a，BG=b， ∴AG=a-b， ∵AD=BC=4a，DH=b， ∴AH=4a-b， ∵BE＝a，BC=4a， ∴CE=4a-a=a， ∵长方形AGPH的面积是长方形ECNM面积的6.5倍， ∴（a-b）（4a-b）=6.5×a×（a-b）， ∴3a=4b， ∴=； ②如图2，PQ=EF-EM=b-（a-b）=2b-a，QM=QN-MN=b-a， ∵长方形PQMF的面积为2， ∴（2b-a）（b-a）=2，即：， ∴a-2b=±2， ∵a＜2b， ∴a-2b=-2，即：a=2b-2， ∵图2中阴影部分面积=长方形AGPH面积+长方形ECNM面积=（a-b）（4a-b）+a（a-b） =． 【点睛】本题主要考查几何图形与代数式，方程综合，掌握整式的混合运算，用整式表示阴影部分面积，是解题的关键． 1．把形状、大小完全相同，长为y，宽为x的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n，且）的盒子底部，有如下两种摆法（如图②③），盒子底部未被卡片覆盖的部分用阴影表示． (1)图②中阴影部分的周长为______（用含m，n的式子表示）； (2)图③中，若，请直接写出m，n的长（用含x，y的式子表示）； (3)若图②中阴影部分的面积为480，，且，在（2）的条件下，求图③中的长． 【答案】(1) (2)，； (3)． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解第3问的关键是时，图③中阴影部分的面积也为480． （1）利用平移的性质知，阴影部分的周长就是大长方形的周长，据此求解即可； （2）由，代入，再结合图形即可求解； （3）由图②中阴影部分的面积为480，求得；根据时，图③中阴影部分的面积也为480，得到，再将，代入，通过计算即可求解． 【详解】（1）解：利用平移的性质得， 图②中阴影部分的周长为， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，即，， 即，； （3）解：∵图②中阴影部分的面积为480，且， ∴，即， 又时，图③中阴影部分的面积也为480， ∴， 将代入得， 整理得， 再将和，代入得， 整理得， 再将代入得， 解得，， ∴，解得， ∴． 2．已知为有理数，现规定一种新运算，满足． 求的值； 求的值； ，探索与两个式子是否相等，说明理由． 【答案】（1）8；（2）240；（3）不相等，理由见解析． 【分析】（1）先根据新运算列出运算式子，再计算含乘方的有理数混合运算即可得； （2）利用两次新运算进行转化，再计算即可得； （3）先根据新运算列出运算式子，再计算整式的加减法与乘法即可得． 【详解】（1）， ， ； （2）， ， ， ， ， ； （3）两个式子不相等，理由如下： ， ， 则， ， ， ， 因为， 所以， 所以与两个式子不相等． 【点睛】本题考查了含乘方的有理数混合运算、整式的加减法与乘法，读懂题意，掌握新运算的定义是解题关键． 3．如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影A，B两块外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为． (1)分别用含，的代数式表示阴影A，B两块的周长，并计算阴影A，两块的周长和． (2)分别用含，的代数式表示阴影A，B两块的面积，并计算阴影A，的面积差． (3)当取何值时，阴影A与阴影的面积差不会随着的变化而变化，并求出这个值． 【答案】(1)阴影A的周长为：，∴阴影的周长为：，则其周长和为：； (2)阴影A的面积为：，阴影的面积为：，阴影A，的面积差为： ； (3)当y=5时，阴影A与阴影的面积差不会随着的变化而变化，这个值是100． 【分析】（1）由图可知阴影A的长为（），宽为（），阴影的长为，宽为，从而可求解； （2）结合（1），利用长方形的面积公式进行求解即可； （3）根据题意，使含x的项提公因式x，再令另一个因式的系数为，从而可求解． 【详解】（1）解：（1）由题意得：阴影A的长为（），宽为（）， ∴阴影A的周长为： ∵阴影的长为，宽为， ∴阴影的周长为：， ∴其周长和为：； （2）∵阴影A的长为（），宽为（）， ∴阴影A的面积为：． ∵阴影的长为，宽为， ∴阴影的面积为：， ∴阴影A，的面积差为：． （3）∵阴影A与阴影的面积差不会随着的变化而变化， 阴影A，的面积差． ∴当，即时，阴影A与阴影的面积差不会随着的变化而变化． 此时：阴影A，的面积差． 【点睛】本题主要考查列代数式，代数式求值，与某个字母无关型问题，解答的关键是根据图表示出两个长方形的长与宽． 4．对于代数式，不同的表达形式能表现出它不同的性质，若代数式，代数式，改变x的值，代数式A，B有不同的取值，如下表： x 0 1 2 3 4 0 3 8 15 24 35 0 3 8 15 24 观察表格发现：当时，，当时，，我们把这种现象称为代数式B参照代数式A取值延后，相应的延后值为1． (1)若代数式D参照代数式A取值延后，相应的延后值为2，求代数式D； (2)若代数式参照代数式A的取值延后，求相应的延后值； (3)若代数式参照代数式取值延后，求的值． 【答案】(1)； (2)3； (3)． 【分析】（1）根据题意，延后值为2，即将改为，化简即可； （2）设延后值为k，将延后的代数式等于，使得各项系数相等，解方程即可； （3）设延后值为m，使得各项系数相等，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意， （2）解：设相应的延后值为k，得： ， 化简得：， ，解得， 当时，成立， ∴相应的延后值是3． （3）解：设相应的延后值为m，得：， 化简得：， ， 将代入，可得 ∴． 【点睛】本题考查了代数式求值，多项式的系数中字母求值，理解题意，清楚的列出代数式，并进行求解是解题的关键． 5．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例，如图所示为这个“三角形”的构造法则：两腰上的数都是，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在“三角形”中，第三行的三个数，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数，，，，恰好对应展开式中的系数． (1)根据上面的规律，写出的展开式； (2)利用上面的规律计算：； (3)的展开式的系数和为 ； (4)运用：若今天是星期三，经过天后是星期 ． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)四． 【分析】（）根据规律即可求解； （）根据规律即可求解； （）由展开式找到系数和的规律，即可求解； （）根据规律展开后看最后一项即可求解； 本题考查了数字类变化规律，读懂题意并根据所给的式子找到规律是解题的关键． 【详解】（1）解：由规律可得，； （2）解：由规律可得， ； （3）解：由展开式可得， 当时，系数和为， 当时，系数和为， 当时，系数和为， 当时，系数和为， ， ∴的展开式的系数和为， 故答案为：； （4）解：， ∵， ∴的余数为， ∴若今天是星期三，经过天后是星期四， 故答案为：四． 6．方法探究：同学们在学习数学过程中，遇到难题可以考虑从简单到特殊的情况入手，例如：求的值．分别计算下列各式的值： (1)填空： ； ； ； 由此可得 ； (2)计算： ； (3)根据以上结论，计算： 【答案】(1)，，，； (2)； (3)． 【分析】（）根据多项式乘以多项式运算法则计算即可； （）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （）根据得出的规律将原式变形，计算得到结果，即可做出判断． 【详解】（1）， ， ， 由此可得：， 故答案为：，，，； （2）， 故答案为：； （3）， , ， ． 【点睛】此题考查了多项式的乘法、平方差公式以及探索数字规律，弄清题意，找出题目中因式多项式与乘积多项式之间的特征关系律是解题的关键． 7．填空： ； ； ； … (1) ； (2)猜想： ；（其中为正整数，且） (3)利用（2）中的猜想的结论计算： ① ②． 【答案】(1) (2) (3)①，② 【分析】（1）根据题中条件总结归纳即可求解； （2）根据题中条件总结归纳即可求解； （3）①根据题中条件可得，即可求出答案；②由题意可得：，从而求得答案． 【详解】（1）解：根据上式总结归纳得：， 故答案为：； （2）解：根据上式猜想得：， 故答案为：； （3）解：① ∴， ∴原式； ②由题意可得：， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了新定义下的运算，灵活运用题中条件是解题关键． 8．定义一种新运算，对任意数，，，例如：，． (1)设（为常数） 已知关于的方程为一元一次方程，求：的值及方程的解． 已知与为关于x的多项式，，的值满足，若中不含一次项，求：的值． (2)如果数对满足，我们称数对为“嘉幸数”，已知数对与均为“嘉幸数”，求代数式的值． 【答案】(1)，；； (2)． 【分析】（1）根据规定的新运算可知，又因为方程为一元一次方程，可得为一元一次方程，根据一元一次方程的定义可知、，从而求出的值，把的值代入方程中可得方程为，解方程即可； 根据可以求出，根据中不含一次项可以求出的值，把、的值代入计算求值即可； （2）根据“嘉幸数”的定义列方程求出、的值，根据整式的运算法则把代数式化简，再把、的值代入化简后的代数式计算即可． 【详解】（1）解：， 又方程为一元一次方程， 为一元一次方程， ， 解得：， 方程为， 解得：， ，； 解：的值满足， ， ， ， 解得：， ，， ， 整理得：， 不含一次项， ， 解得：， ； （2）解：数对为“嘉幸数”， ， 整理得：， 解得：， 数对为“嘉幸数”， ， 整理得：， 解得：， ， 当，时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查了新运算、一元一次方程的定义、同底数幂的乘法、整式的化简求值、有理数的混合运算．解决本题的关键是理解题目中规定的新运算，根据规定的新运算，把指定的运算转化为一般的运算；理解“嘉幸数”的意义，根据“嘉幸数”列方程求出字母的值． 9．定义一种新的运算“”： ；     ；     ；     ；     ；     ；     ；     ；     ；     ； (1)仔细观察，归纳“”运算法则：两数进行“”运算时，______； 特别地，0与任何数进行“”运算，或任何数与0进行“”运算，结果为______； (2)计算：； (3)已知，，，试判断的值是否大于0？并说明理由． 【答案】(1)同号相乘，异号相除，0 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）根据题目中的例子可以总结出“”运算的运算法则即可； （2）根据（1）中的结论求解即可； （3）先分别运算A和B，然后求和判断正负即可． 【详解】（1）解：由题意可得，“”运算法则：两数进行“”运算时，同号相乘，异号相除; 0与任何数进行“”运算，或任何数与0进行“”运算，结果为0． 故答案为：同号相乘、异号相除，0． （2）解： = = = =． （3）解：,理由如下： ∵ ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算、新定义、整式的四则混合运算等知识点，解审清题意、归纳出“”运算法则是解答本题的关键． 10．对于任意一个四位正整数m，若m的各位数字都不为0，且千位数字与百位数字不相等，十位数字与个位数字不相等，那么称这个数为“互异数”．将一个“互异数”m的任意一个数位上的数字去掉后得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为Fm．例如，“互异数”m=1234，去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：234、134、124、123，这四个三位数之和为234+134+124+123=615，615÷3=205，所以F(1234)=205． (1)计算F(1345)和F(8132)； (2)若“互异数”n=8900+10x+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x、y都是正整数），F(n)也是“互异数”且F(n)能被8整除，求n的值． 【答案】(1)， (2)8991 【分析】(1)根据新定义计算，即可分别求得； (2) 首先可求得，再根据能被8整除，1160能被8整除，可得能被8整除，且，，x，y都是正整数，，可得且，分类讨论即可求得． 【详解】（1）解：， ； （2）解：“互异数”n=8900+10x+y， 去掉千位：900+10x+y， 去掉百位：800+10x+y， 去掉十位：890+y， 去掉个位：890+x ， 能被8整除，1160能被8整除， 能被8整除，且，，x，y都是正整数，， 且， 当7x+y=8时，，不合题意； 当7x+y=16时，，不合题意； 当7x+y=24时，，不合题意； 当7x+y=32时，，不合题意； 当7x+y=40时，，不合题意； 当7x+y=48时，，不符合题意； 当7x+y=56时，，符合题意； 当x取1至6时，，不合题意， 当x=7时，y=7，不合题意； 当7x+y=64时，，符合题意； 当x取1至7时，，不合题意， 当x=8时，y=8，不合题意； 当x=9时，y=1，此时n=8900+90+1=8991； 当7x+y=72时，，符合题意； 当x取1至8时，，不合题意， 当x=9时，y=9，不合题意； 综上，n的值为8991． 【点睛】本题考查了新定义下的运算，理解新定义，采用分类讨论的思想是解决此类题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$