精品解析：海南省定安县2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

定安县2024-2025学年度第一学期期末考试 九年级数学科试题 （考试时间：100分钟； 满分：120分） 一、选择题（本大题共12小题，共36分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 如图，点P表示的数的绝对值是（ ） A. B. 2 C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其左视图为（ ） A. B. C. D. 4. 菲尔兹奖（Fields Medal）是数学领域的国际最高奖项之一，每四年颁发一次，每次授予2至4名有卓越贡献的数学家．以下数据是部分获奖者获奖时的年龄（单位：岁）：32，35，29，33，40，35，则这组数据的众数、中位数分别是（ ） A. 35，31 B. 35，34 C. 33，31 D. 32，34 5. 年6月6日，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 若代数式的值为5，则等于（ ） A. 3 B. C. 7 D. 7. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后点D恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为，则点E的坐标是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD＝AC，∠B＝25°，则∠ACB的度数为（　　） A. 105° B. 100° C. 95° D. 90° 11. 如图，菱形中，，是的中点，是对角线上的一个动点，若的最小值是，则长为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，已知正方形ABCD的边长为4 ，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF， EF交DC于F, 设BE=，FC=，则当点E从点B运动到点C时，关于的函数图象是( ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共12分） 13. 分解因式：________． 14. 阿基米德曾说过：“给我一个支点和一根足够长的杆子，我就能撬起整个地球．”这句话的意思是利用物理学中的杠杆原理，只要有合适的支点和合适的工具，就可以把地球轻松搬动．如图1，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图2中，杠杆的D端被向上翘起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点O），则的长为______cm． 15. 如图，四边形是的内接四边形，，则_________． 16. 如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，已知，连接，则________若，，则________． 三、解答题（本大题共6小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）解不等式组：． 18. 为了响应“足球进校园”的号召，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买个品牌的足球和个品牌的足球共需元，购买个品牌的足球和个品牌的足球共需元，求，两种品牌的足球的单价． 19. 某校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分为四类（A．特别好，B．好，C．一般，D．较差）后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图）．请根据统计图解答下列问题： （1）本次调查采取了________方式（普通或抽查），王老师一共调查了________名学生； （2）扇形统计图中A类的圆心角度是________________°； （3）假定全校各班实施新课程改革效果一样，全校共有学生2400人，请估计该校新课程改革效果达到A类的有多少学生； （4）为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率． 20. 为维护国家主权和领土完整，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图，正在向东执行巡航任务的海监船在B处测得灯塔A在北偏东方向上距离4海里处，继续航行一段距离后在点D处测得灯塔A在北偏东方向． （1）填空： ________； ________； （2）若继续向东航行一段距离后到达点C，当灯塔A在海监船C处的正北方时，求的距离； （3）求的值（结果保留根号）． 21. 如图1，图2，正方形的边长为1，P是对角线上一动点，连接、，过P作交射线与点N． （1）求证：． （2）①若点N在边上，如图1，判断的形状，并说明理由； ②若点N在边的延长线上，如图2，①中的结论还成立吗？若成立给出理由． （3）若N为边的中点，求的长． 22. 抛物线分别与x轴、y轴交于点A、点、点，连接，P是抛物线上一点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图，设点P的横坐标是． ①求四边形的面积； ②作直线，交于点D，求证：点D是线段的中点； （3）若与互为余角，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定安县2024-2025学年度第一学期期末考试 九年级数学科试题 （考试时间：100分钟； 满分：120分） 一、选择题（本大题共12小题，共36分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 如图，点P表示的数的绝对值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数轴上的点，绝对值，解题的关键在于根据负数的绝对值是其相反数．根据负数的绝对值是其相反数解答即可． 【详解】解：∵表示， ∴， 故选B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的除法及合并同类项，熟练掌握运算性质是解题的关键．分别根据同底数幂相乘、积的乘方，、同底数幂相除及合并同类项法则对各选项计算后利用排除法求解． 【详解】解：A、，故本选项错误； B、不是同类项不能合并，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，故本选项正确． 故选：D． 3. 如图，是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形， 故选：D． 4. 菲尔兹奖（Fields Medal）是数学领域的国际最高奖项之一，每四年颁发一次，每次授予2至4名有卓越贡献的数学家．以下数据是部分获奖者获奖时的年龄（单位：岁）：32，35，29，33，40，35，则这组数据的众数、中位数分别是（ ） A. 35，31 B. 35，34 C. 33，31 D. 32，34 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数，根据众数和中位数的定义即可求解，掌握众数和中位数的定义是解题的关键． 【详解】解：在数据32，35，29，33，40，35中，35出现的次数最多， ∴这组数据的众数是35， 把这组数据从小到大排列为：29，32，33，35，35，40，居于中间的两个数为33，35， ∴中位数为， 故选：B． 5. 年6月6日，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值． 根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1． 【详解】解：大于1，用科学记数法表示为，其中，， ∴用科学记数法表示为， 故选：B． 6. 若代数式的值为5，则等于（ ） A. 3 B. C. 7 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出方程，然后按照解一元一次方程的步骤求出x的值即可． 【详解】解：根据题意得：， 移项得，， 合并同类项得，， 故选：C． 【点睛】本题考查了代数式求值，解一元一次方程，根据题意列出方程是解题的关键． 7. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式方程的求解方法解题，注意检验根的情况 【详解】两边同时乘以(x-1)，可得：1=x-1 解得x=2； 经检验x=2是原方程的根； 故选:C． 【点睛】本题考查分式方程的解法；熟练掌握分式方程的方法是解题的关键． 8. 在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质，正确得出的度数是解题关键．先根据平行线的性质求出，根据直角求出的度数，再根据平行线的性质得出的度数． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后点D恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为，则点E的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折变换，勾股定理，坐标与图形性质．先根据点D的坐标得到，，再由折叠的性质得到，，利用勾股定理求出，则，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】∵四边形是长方形，点D的坐标为， ∴，， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD＝AC，∠B＝25°，则∠ACB的度数为（　　） A. 105° B. 100° C. 95° D. 90° 【答案】A 【解析】 【分析】利用线段垂直平分线的性质得出DC＝BD，再利用三角形外角的性质以及三角形内角和定理得出即可． 【详解】解：由题意可得：MN垂直平分BC， 则DC＝BD， 故∠DCB＝∠DBC＝25°， 则∠CDA＝25°+25°＝50°， ∵CD＝AC， ∴∠A＝∠CDA＝50°， ∴∠ACB＝180°﹣50°﹣25°＝105°． 故选：A． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握性质是解题的关键. 11. 如图，菱形中，，是的中点，是对角线上的一个动点，若的最小值是，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是最短路线问题，菱形的性质，解直角三角形等知识点，由菱形的性质得出点是点关于的对称点是解答本题的关键． 连接，因为四边形是菱形且，所以是等边三角形，由于菱形的对角线互相垂直平分，所以点是点关于的对称点，，连接，由等边三角形的性质可知，再根据解直角三角形的知识即可求出的长． 【详解】解：四边形是菱形， 与关于直线对称， 如下图，连接交于，则点即为所求， ， 即就是的最小值， ，， ， 是的中点， ， ， ， 故选：B． 12. 如图，已知正方形ABCD的边长为4 ，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF， EF交DC于F, 设BE=，FC=，则当点E从点B运动到点C时，关于的函数图象是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得到Rt△ABE∽Rt△ECF，继而得到y与x的函数关系式，由解析式得到函数的图象． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴， 即， ∴，， 故选． 【点睛】本题考查二次函数的解析式的求法和函数图象的识别，属于基础题． 二、填空题（本大题共4小题，共12分） 13. 分解因式：________． 【答案】b(a-b). 【解析】 【详解】试题分析：直接提公因式b即可，即原式=b(a-b). 考点：因式分解-提公因式法. 14. 阿基米德曾说过：“给我一个支点和一根足够长的杆子，我就能撬起整个地球．”这句话的意思是利用物理学中的杠杆原理，只要有合适的支点和合适的工具，就可以把地球轻松搬动．如图1，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图2中，杠杆的D端被向上翘起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点O），则的长为______cm． 【答案】21 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确地构造相似三角形是解题的关键．首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度． 【详解】解：由题意得，， ， ， ， ， cm． 故答案为：21． 15. 如图，四边形是的内接四边形，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形对角互补是解题的关键． 根据圆周角定理求出，再根据圆内接四边形的性质求出． 【详解】解：由圆周角定理得：， 四边形是的内接四边形， ， ， 故答案为：． 16. 如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，已知，连接，则________若，，则________． 【答案】 ①. ##度 ②. 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠，三角形外角的性质，相似三角形的判定和性质，掌握折叠的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据矩形的性质，折叠的性质得到，则，，由三角形的外角的性质得到，可得，如图所示，过点作于点，则，可证，得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵将矩形沿折叠，使点落在边上的点处， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点，则， ∵， ∴， ∴， 故答案为：①；② ． 三、解答题（本大题共6小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的运算、解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． （1）先根据算术平方根，绝对值，零指数幂，乘方化简，最后计算加法即可解答； （2）先分别解出每个不等式的解集，再求出它们的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解：（1）原式； （2）解不等式得：， 解不等式得：， 所以原不等式组的解集为： ． 18. 为了响应“足球进校园”的号召，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买个品牌的足球和个品牌的足球共需元，购买个品牌的足球和个品牌的足球共需元，求，两种品牌的足球的单价． 【答案】一个品牌的足球需元，则一个品牌的足球需元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 设一个品牌的足球需元，则一个品牌的足球需元，根据“购买个品牌的足球和个品牌的足球共需元，购买个品牌的足球和个品牌的足球共需元”列出方程组并解答即可． 【详解】解：设一个品牌的足球需元，则一个品牌的足球需元， 根据题意得：， 解得：， 答：一个品牌的足球需元，则一个品牌的足球需元． 19. 某校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分为四类（A．特别好，B．好，C．一般，D．较差）后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图）．请根据统计图解答下列问题： （1）本次调查采取了________方式（普通或抽查），王老师一共调查了________名学生； （2）扇形统计图中A类的圆心角度是________________°； （3）假定全校各班实施新课程改革效果一样，全校共有学生2400人，请估计该校新课程改革效果达到A类的有多少学生； （4）为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）抽查；20人 （2）54 （3）360名 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了列表求概率、条形统计图与扇形统计图等知识点，从条形统计图与扇形统计图中正确获取信息是解答本题的关键． （1）先确定调查方式，由题意可得：王老师一共调查学生：（名）； （2）扇形统计图中A类的圆心角度是用A类所占的百分比乘以即可得出； （3）全校总学生人数乘以A所占的百分比； （4）据题意列出表格，再利用表格求得所有等可能的结果与恰好选中一名男生和一名女生的情况，继而求得答案． 【小问1详解】 解：本次调查采取了抽查方式， 王老师一共调查了：名学生． 【小问2详解】 解：A类学生所占百分比为：， 则扇形统计图中A类的圆心角度是． 【小问3详解】 解： (名) 答：估计该校新课程改革效果达到A类学生有360人． 【小问4详解】 解：D类男生：（名）， 列表如下：A类中的两名男生分别记为和， 男 男 女A 男D 男男D 男男D 女A男D 女D 男女D 男女D 女A女D 共有6种等可能的结果，其中，一男一女的有3种，所以所选两位同学恰好是一位男生和一位女生的概率为． 20. 为维护国家主权和领土完整，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图，正在向东执行巡航任务的海监船在B处测得灯塔A在北偏东方向上距离4海里处，继续航行一段距离后在点D处测得灯塔A在北偏东方向． （1）填空： ________； ________； （2）若继续向东航行一段距离后到达点C，当灯塔A在海监船C处的正北方时，求的距离； （3）求的值（结果保留根号）． 【答案】（1）， （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）根据方位角以及三角形的外角性质，进行列式计算，即可作答； （2）根据含角的直角三角形的性质即可求解； （3）利用等角对等边得，再结合勾股定理进行列式计算，即可求解； 【小问1详解】 解：∵在B处测得灯塔A在北偏东方向上距离4海里处， ∴， ∵在点D处测得灯塔A在北偏东方向 ∴， 则， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：如图： 在中，，海里， ∴海里； 【小问3详解】 解：依题意，在中，， ∴， ∴（海里）， 由勾股定理得：（海里）， ∴（海里）． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，勾股定理，等边对等角和含角的直角三角形的性质，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握含角的直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键． 21. 如图1，图2，正方形的边长为1，P是对角线上一动点，连接、，过P作交射线与点N． （1）求证：． （2）①若点N在边上，如图1，判断的形状，并说明理由； ②若点N在边的延长线上，如图2，①中的结论还成立吗？若成立给出理由． （3）若N为边的中点，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）①是等腰直角三角形，理由见解析；②仍然成立，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，，可得，从而可得结论； （2）①是等腰直角三角形．由，可得，，而，，结合，可得，是等腰直角三角形；②如图，记的交点为，连接，同①理可得结论； （3）过P作分别交、于E、F，证明，可得，，证明是等腰直角三角形，再进一步解答即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：①是等腰直角三角形． 理由如下：在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，，而， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形； ②①中得结论仍然成立． 理由如下：如图，记的交点为，连接， 同理可得，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∵， ∴是等腰直角三角形； 【小问3详解】 解：过P作分别交、于E、F， 则四边形是矩形，，， ∴， ∵，， ∴， ∵N是的中点， ∴， ∴， 在正方形中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，熟记基础图形的性质是解本题的关键． 22. 抛物线分别与x轴、y轴交于点A、点、点，连接，P是抛物线上一点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图，设点P的横坐标是． ①求四边形的面积； ②作直线，交于点D，求证：点D是线段的中点； （3）若与互为余角，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）①15 ②证明：过点C作轴，交直线于点E． 设直线的函数解析式为，由 题意得：，解得 ∴直线的函数解析式为． 在中，当时，． ∴点． ∴． ∵轴， ∴． ∴． ∴，即点D是线段的中点． （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数与几何图形 的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，利用相似三角形的性质和分类讨论思想求解是解答的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得点P和点A坐标，①连接，利用坐标与图形以及三角形的面积公式求解即可；②过点C作轴，交直线于点E，先利用待定系数法求得直线的函数解析式为，进而求得点．证明，利用相似三角形的性质得到，可得结论； （3）过点B作于点F，先由题意求得，．过点P作轴于点G，设点，则，，根据余角性质得到，证明得到，即，然后分情况解方程即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：，解得：， ∴抛物线的函数解析式是； 【小问2详解】 解：在中，当时，． ∴点． 由解得，． ∴点． ①连接， 则； ②略 【小问3详解】 解：由题意知：，．过点B作于点F，则，． 过点P作轴于点G，则， 设点，则，， 当与互为余角时，则，又， ∴，又， ∴, ∴，即， ∴，即． 当时，解得：（舍去），． 这时点P的坐标是． 当时，解得：（舍去），． 这时点P的坐标是． 综上所述，点P的坐标是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $