精品解析：甘肃省天水市麦积区2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年甘肃省天水市麦积区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（10小题，每小题4分，共计40分） 1. 下列说法正确的是（　　） A. 1的立方根是 B. 0.09的平方根是0.3 C. D. 的算术平方根是 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中的假命题是（　　） A. 同位角相等，两直线平行 B. 两直线平行，同位角相等 C. 同旁内角互补 D. 平行于同一条直线的两条直线互相平行 4. 以如下、、的值为三边长，无法构成直角三角形的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. 5. 下列因式分解正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，若添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，则这个条件是( ) A. ∠A＝∠D B. BC＝EF C. ∠ACB＝∠F D. AC＝DF 7. 因为，可以肯定，也就是在与之间．依据这一方法，对，可以肯定，也就是在与之间，可以得到的近似值．那么的估算结果中正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 学期末数学复习时，教师要求学生回归教材，挖掘教材数学价值．再次研做教材第75页练习2时，在图形和现有已知条件下，这道题还隐含着丰富的数学信息，复习到更多的数学知识．以下四个叙述中错误的是（　　） A. 与是．因为已知，考查了直角三角形的定义 B. 连接，则是等腰三角形．因为已经证明了，考查了等腰三角形的定义 C. 连接，则是等边三角形．因为由图形可以直观发现，考查了等边三角形的定义 D. 是线段的垂直平分线．考查了线段垂直平分线的判定定理 9. 根据相应的条件，不能判断分别给出的两个三角形全等的是（ ）． A. 如图1，线段与相交于点O，，与 B. 如图2，，与 C. 如图3，线段相交于点E，已知，与 D. 如图4，已知，与 10. 如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接，并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（ ） ①是的平分线；②；③点在的垂直平分线上；④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（8小题，每小题4分，共计32分） 11. 的立方根是___，若，则a叫做x的___． 12. 读出数学符号的意义，对于正确理解题意，联想相关知识点，从形式上可以读作“负a”，但读作“a的相反数”更能揭示的意义．请类比读出下列符号的意义：，还可以读作：______；读作：_________． 13. 计算________（计算结果用科学记数法表示）． 14. 一个等腰三角形周长是，其中一边长是，则另外两条边长分别是________． 15. 若多项式因式分解后结果是，则的值是______． 16. 若，，则_____． 17. 如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形，，，的面积之和为，则最大的正方形的边长为 ________． 18. 根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法．简称为“无字证明”．例如，利用图形面积的不同计算方法，可以验证很多代数恒等式，你可以写出的代数恒等式是________________．（任选1图作答．回答时请注明图形序号，如图1、图2） 三、解答题． 19. 基础计算，直接写出结果： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 20. 把下列多项式分解因式： （1） （2） 21. 先化简，再求值：，其中，． 22. 为响应眉山市委市政府创建“全国卫生城市”的工作，某乡镇拟在两个村庄、与两条公路、附近修建一个垃圾中转站，要求垃圾中转站到两条公路、的距离相等，到两个村庄、的距离也相等并且运送距离和最短，那么点应选在何处？请在图中用尺规作图作出点的位置（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 23. 高尔基说：“书，是人类进步的阶梯”，阅读可以丰富知识，拓展视野，充实生活，给我们带来愉快某初中计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，调查结果设有四个选项：科普；文学；体育；其他（必选且只选一种）将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图，请你根据图中提供的信息回答下列问题： （1）本次调查共抽取了多少名学生？ （2）通过计算补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，求所对应扇形的圆心角的度数； （4）若该校共有名学生，请你估计该校最喜爱文学类书籍的学生的人数． 24. 生活中经常需要测量一些不可直接测量的距离、长度问题，例如下面的两个问题．在教材例题的学习中，我们可以体会到数学知识和“转化”思想在指导生活、解决生活中的重要应用价值，这也启发我们在数学学习中需要注意挖掘例题、习题的教育价值、应用价值，从例题中总结出解决问题的思想方法．如图，为了求出位于湖两岸两个特殊位置之间的距离，两名观测者给出了两种测量方案． 方案1：构造直角三角形．一名观测者在岸边点C处设桩，使恰好为直角三角形．请计算的长度； 方案2：构造全等三角形．另一名观测者在岸边取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使．连接并延长到E，使．连接．请证明． 25. 习题、试题解答不能盲目套用例题的解答方法，因为习题、试题与例题有时候看起来很像，但多少会发生一些变化．“不变”的地方说明解题方法或有相似之处，解答问题（1）（2）． 例如：，因为，所以，所以代数式有最小值，最小值是2． （1）代数式的最小值是___，此时x的值是___； （2）求代数式的最小值． 26. 如图，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接，求： （1）的度数； （2）判定线段之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年甘肃省天水市麦积区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（10小题，每小题4分，共计40分） 1. 下列说法正确的是（　　） A. 1的立方根是 B. 0.09的平方根是0.3 C. D. 的算术平方根是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根的定义，根据立方根、平方根、算术平方根的定义分别计算判断即可． 【详解】解：A、1的立方根是1，故此选项不符合题意； B、0.09的平方根是，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、的算术平方根是，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A．积的乘方等于乘方的积，故A错误，不符合题意； B．同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误，不符合题意； C．积的乘方等于乘方的积，故C错误，不符合题意； D．同底数幂的除法底数不变指数相减，故D正确，符合题意； 故选D． 3. 下列命题中的假命题是（　　） A. 同位角相等，两直线平行 B. 两直线平行，同位角相等 C. 同旁内角互补 D. 平行于同一条直线的两条直线互相平行 【答案】C 【解析】 【详解】此题考查了真假命题的概念，平行线的判定和性质、同旁内角的概念、平行公理的推论，解题的关键是掌握以上知识点． 根据平行线的判定和性质、同旁内角的概念、平行公理的推论判断即可． 【解答】解：A、同位角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意； B、两直线平行，同位角相等，是真命题，不符合题意； C、两直线平行，同旁内角互补，故选项是假命题，符合题意； D、平行于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题，不符合题意； 故选：C． 4. 以如下、、的值为三边长，无法构成直角三角形的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键．先确定最长边，算出最长边的平方，再计算另两边的平方和，比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，逐项进行判断即可. 【详解】解：A、，能构成直角三角形，故该选项不符合题意； B、，能构成直角三角形，故该选项不符合题意； C、，不能构成直角三角形，故该选项符合题意； D、设，，，则，能构成直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：C． 5. 下列因式分解正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据因式分解的定义及因式分解的方法，逐一判断即可． 此题考查了因式分解的定义，熟记定义及正确掌握因式分解的方法是解题的关键． 【解答】解：A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．不是因式分解，故本选项不符合题意； D．，故本选项符合题意． 故选：D． 6. 如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，若添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，则这个条件是( ) A. ∠A＝∠D B. BC＝EF C. ∠ACB＝∠F D. AC＝DF 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵∠B=∠DEF，AB=DE， ∴添加∠A=∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF； ∴添加BC=EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF； ∴添加∠ACB=∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS和HL是解题的关键． 7. 因为，可以肯定，也就是在与之间．依据这一方法，对，可以肯定，也就是在与之间，可以得到的近似值．那么的估算结果中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解答本题的关键． 利用估算无理数大小的方法即可求得答案． 【详解】解：， ， 故选：B． 8. 学期末数学复习时，教师要求学生回归教材，挖掘教材数学价值．再次研做教材第75页练习2时，在图形和现有已知条件下，这道题还隐含着丰富的数学信息，复习到更多的数学知识．以下四个叙述中错误的是（　　） A. 与是．因为已知，考查了直角三角形的定义 B. 连接，则是等腰三角形．因为已经证明了，考查了等腰三角形的定义 C. 连接，则是等边三角形．因为由图形可以直观发现，考查了等边三角形的定义 D. 是线段的垂直平分线．考查了线段垂直平分线的判定定理 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的判定，直角三角形的性质，等边三角形的判定，线段的垂直平分线判定一一判断即可． 【详解】解：A、与是，考查了直角三角形的定义；本选项不符合题意； B、连接．因为已经证明了，正确；本选项不符合题意； C、连接．因为由图形可以直观发现，错误；本选项符合题意； D、是线段的垂直平分线，正确,本选项不符合题意；． 故选：C． 9. 根据相应的条件，不能判断分别给出的两个三角形全等的是（ ）． A. 如图1，线段与相交于点O，，与 B. 如图2，，与 C. 如图3，线段相交于点E，已知，与 D. 如图4，已知，与 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定方法成为解题的关键． 根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．在图1中，由，根据“”证明，可判断A不符合题意； B．在图2中，由，根据“”证明，可判断B不符合题意； C．在图3中，不符合全等三角形判定定理的条件，因此不能判断与全等，可判断C符合题意； D．在图4中，由，根据“”证明，可判断D不符合题意． 故选：C． 10. 如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接，并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（ ） ①是的平分线；②；③点在的垂直平分线上；④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定以及作图-基本作图．利用基本作图对①进行判断；再根据直角三角形两锐角互余计算出，利用得到，则可对②进行判断；利用得到，根据线段垂直平分线的判定可对③进行判断．利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式即可得出两个三角形的面积之比． 【详解】解：由作法得，平分，所以①正确； ∵， ∴， ∴ ∴，所以②正确； ∵， ∴， ∴点D在的垂直平分线上，所以③正确； ∵如图，在直角中，， ∴， ∴， ∵和同高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．故④正确． 故选：D． 二、填空题（8小题，每小题4分，共计32分） 11. 的立方根是___，若，则a叫做x的___． 【答案】 ①. ②. 平方根 【解析】 【分析】本题主要考查了立方根和平方根的定义，根据立方根、平方根的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是； 若，则a叫做x的平方根； 故答案为：，平方根． 12. 读出数学符号的意义，对于正确理解题意，联想相关知识点，从形式上可以读作“负a”，但读作“a的相反数”更能揭示的意义．请类比读出下列符号的意义：，还可以读作：______；读作：_________． 【答案】 ①. 3的算术平方根 ②. 2的立方的相反数 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根、立方、相反数的意义等知识点，理解相关定义成为解题的关键． 根据算术平方根、立方、相反数的意义即可解答． 【详解】解：除了读作根号3，还可以读作3的算术平方根； 读作：2的立方的相反数． 故答案为：3的算术平方根；2的立方的相反数． 13. 计算________（计算结果用科学记数法表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，掌握“一个大于10的数记成（，n为整数）的形式，这种记数的方法叫做科学记数法”是解题关键． 本题根据单项式乘单项式法则计算，再用科学记数法表示即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 一个等腰三角形周长是，其中一边长是，则另外两条边长分别是________． 【答案】，或者， 【解析】 【详解】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，掌握以上知识点是解答本题的关键． 要确定等腰三角形的另外两边长，可根据已知的边的长，结合周长公式求解，由于长为的边已知没有明确是腰还是底边，要分类进行讨论． 【解答】解：等腰三角形的周长为， 当为腰时，它的底长，能构成等腰三角形； 当为底时，它的腰长，能构成等腰三角形； 即它的另外两边长分别为，或者，， 故答案为：，或者，． 15. 若多项式因式分解后结果是，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的意义，利用整式的乘法与因式分解的关系得出方程组是解题关键． 根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可得答案． 【详解】解：， ∴， 解得． 故答案为：． 16. 若，，则_____． 【答案】19 【解析】 【分析】首先把等式a+b=5的等号两边分别平方，即得a2+2ab+b2=25，然后根据题意即可得解． 【详解】解：∵a+b=5， ∴a2+2ab+b2=25， ∵ab=3， ∴a2+b2=19． 故答案为：19． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形应用，解题的关键是掌握完全平方的变形公式． 17. 如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形，，，的面积之和为，则最大的正方形的边长为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理包含几何与数论两个方面，几何方面，一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和．这里边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积，掌握勾股定理的几何意义是解答本题的关键． 根据题意可得，最大的正方形的面积为，即可解答． 【详解】解：根据勾股定理的几何意义，最大的正方形的面积为，则最大的正方形的边长为． 18. 根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法．简称为“无字证明”．例如，利用图形面积的不同计算方法，可以验证很多代数恒等式，你可以写出的代数恒等式是________________．（任选1图作答．回答时请注明图形序号，如图1、图2） 【答案】(图1) ；(图2) 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明、完全平方公式等知识点，熟练掌握等面积法是解题的关键． 直接利用等面积法列出等式并整理即可解答． 【详解】解：如图1，根据矩形的面积公式得； 故答案为：(图1)； 如图2，，整理得： 故答案为：(图2)． 三、解答题． 19. 基础计算，直接写出结果： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）249996； （5）； （6）； （7）； （8）． 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的化简方法计算即可； （2）根据有理数的乘方计算即可； （3）根据积的乘方计算即可； （4）先变形，然后根据平方差公式计算即可； （5）根据单项式除以单项式的方法计算即可； （6）根据单项式除以单项式的方法计算即可； （7）根据完全平方公式计算即可； （8）根据平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：； 【小问4详解】 解： ； 【小问5详解】 解：； 【小问6详解】 解： ； 【小问7详解】 解：； 【小问8详解】 解： ． 【点睛】本题考查了算术平方根的意义，积的乘方，乘法公式，单项式与单项式的除法等知识，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 20. 把下列多项式分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了提公因式法和公式法分解因式． （1）先提公因式，然后利用完全平方公式分解即可． （2）先提公因式， 然后利用平方差公式分解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 = = 21. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 22. 为响应眉山市委市政府创建“全国卫生城市”的工作，某乡镇拟在两个村庄、与两条公路、附近修建一个垃圾中转站，要求垃圾中转站到两条公路、的距离相等，到两个村庄、的距离也相等并且运送距离和最短，那么点应选在何处？请在图中用尺规作图作出点的位置（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 【答案】 解：如图所示，点即为中转站． 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的作图以及性质，解答本题的关键是熟练掌握线段垂直平分线和角平分线的作图以及性质． 根据线段垂直平分线和角平分线的性质即可画出中转站的位置． 【详解】略 23. 高尔基说：“书，是人类进步的阶梯”，阅读可以丰富知识，拓展视野，充实生活，给我们带来愉快某初中计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，调查结果设有四个选项：科普；文学；体育；其他（必选且只选一种）将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图，请你根据图中提供的信息回答下列问题： （1）本次调查共抽取了多少名学生？ （2）通过计算补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，求所对应扇形的圆心角的度数； （4）若该校共有名学生，请你估计该校最喜爱文学类书籍的学生的人数． 【答案】（1）本次调查共抽取了名学生 （2） 补全图形如下： （3）所对应扇形的圆心角的度数为 （4）估计该校最喜爱文学类书籍的学生约有人 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）由类型人数及其所占百分比可得总人数； （2）总人数乘以类型所占百分比求出其人数，再根据四个类型人数之和等于总人数求出类型人数，从而补全图形； （3）用乘以类型人数所占比例即可得出答案； （4）用总人数乘以样本中最喜爱文学类书籍的学生的人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：名， 答：本次调查共抽取了名学生； 【小问2详解】 类型人数为人， 类型人数为人， 【小问3详解】 ， 答：所对应扇形的圆心角的度数为； 【小问4详解】 人， 答：估计该校最喜爱文学类书籍的学生约有人． 24. 生活中经常需要测量一些不可直接测量的距离、长度问题，例如下面的两个问题．在教材例题的学习中，我们可以体会到数学知识和“转化”思想在指导生活、解决生活中的重要应用价值，这也启发我们在数学学习中需要注意挖掘例题、习题的教育价值、应用价值，从例题中总结出解决问题的思想方法．如图，为了求出位于湖两岸两个特殊位置之间的距离，两名观测者给出了两种测量方案． 方案1：构造直角三角形．一名观测者在岸边点C处设桩，使恰好为直角三角形．请计算的长度； 方案2：构造全等三角形．另一名观测者在岸边取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使．连接并延长到E，使．连接．请证明． 【答案】方案1：； 方案2：依题意，∵，，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 方案1：直接运用勾股定理列式计算，即可作答． 方案2：运用证明，即可作答． 【详解】解：方案1：依题意，∵为直角三角形． ∴， 方案2：略 25. 习题、试题解答不能盲目套用例题的解答方法，因为习题、试题与例题有时候看起来很像，但多少会发生一些变化．“不变”的地方说明解题方法或有相似之处，解答问题（1）（2）． 例如：，因为，所以，所以代数式有最小值，最小值是2． （1）代数式的最小值是___，此时x的值是___； （2）求代数式的最小值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，平方的非负性，不等式的性质，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题关键． （1）仿照例题，利用完全平方公式把原式变形，再根据偶次方的非负性解答即可； （2）先把原式提公因式，再利用完全平方公式把原式变形，再根据偶次方的非负性解答即可． 【小问1详解】 解：， 因为， 所以， 所以代数式有最小值，最小值是3，此时x的值是， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：， 因为， 所以， 所以代数式的最小值是． 26. 如图，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接，求： （1）的度数； （2）判定线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）的度数是； （2），理由见解答． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质． （1）设交于点F，根据“”证明，得，由，可得， （2）由，且，得． 【小问1详解】 解：的度数是， 理由：设交于点F， ∵和均为等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 【小问2详解】 解：，理由： ∵， ∴， ∵，且， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $