精品解析：四川省绵阳市北川羌族自治县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年度绵阳市北川县九年级期末教学质量监测试卷 （数学） 一．选择题（共12小题，36分） 1. 下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣2＝0，配方后得到的方程是（　　） A. （x﹣3）2＝2 B. （x﹣3）2＝8 C. （x﹣3）2＝11 D. （x+3）2＝9 3. 如图，有一圆弧形桥拱，拱形半径，桥拱跨度，则拱高为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的边长是（ ） A. B. 3 C. 6 D. 5. 如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，同时闭合开关A，B或同时闭合开关C，D都可以使小灯泡发光．同时闭合两个开关小灯泡发光的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积，圆柱高为，圆锥高为的蒙古包，则需要毛毡的面积是（　　） A. B. C. D. 7. 已知点A是反比例函数的图像上的一个动点，连接，若将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点B所在图像的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好在线段上，且平分，记线段与的交点为．下列结论中，不正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，从某建筑物高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙，离地面，则水流落地点B离墙的距离是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（　　） A. 1或5 B. 1或3 C. 3或5 D. 1 12. 二次函数的图像如图所示，则一次函数的图像可能是（ ）. A. B. C. D. 二．填空题（共6小题,共24分） 13. 如果一元二次方程的两个根为，，则_____． 14. 如图，四边形内接于，点E在的延长线上．若，则的度数是__________． 15. 小红帮助母亲预算家庭4月份电费开支情况，下表是小红家4月初连续8天每天早上电表显示的读数： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 电表显示度数 21 24 28 33 39 42 46 49 若每度电收费0.42元，估计小红家4月份（按30天计）的电费是_________元．（注：电表计数器上先后显示读数之差就是这段时间内消耗电能的度数） 16. 用一根长的铁丝围成一个矩形，则矩形的最大面积为 ________． 17. 如图，平面直角坐标系中，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，且∠A＝∠C＝90°，点B、D都在x轴上，点A、C都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点C的横坐标为________． 18. 如图，在中，，，，将线段绕着点逆时针旋转60°得到，，则的面积为______． 三．解答题（共90分） 19. 解方程：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． （1）画出关于原点O对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕原点O顺时针方向旋转得到的，并写出点的坐标； （3）在（2）的旋转过程中，求点B旋转到点所经过的路线长（结果保留π）． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）若此一元二次方程的两根是两直角边AB、AC的长，斜边BC的长为10，求k的值． 22. “书香润石室，阅读向未来”，为了让同学们获得更好的阅读体验，学校图书馆在每年年末，都将购进一批图书供学生阅读．为了合理配备各类图书，从全体学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查．问卷设置了五种选项：A“艺术类”，B“文学类”，C“科普类”，D“体育类”，E“其他类”，每名学生必须且只能选择其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生人数为___________名； （2）请直接补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，A “艺术类”所对应的圆心角度数是___________度； （4）李老师准备从甲、乙、丙、丁四位学生代表中随机选择两位进行面对面的访问调查．请用列表或画树状图的方法，求李老师选中乙、丙这两位同学的概率． 23. 如图，在矩形中，，．为的中点，动点从点出发，沿折线运动，当它到达点时停止运动，设点运动的路程为，连接，设的面积为． （1）直接写出与的函数关系式为：______． （2）在给出的平面直角坐标系中画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质：______． （3）如图2，的图象如图所示，根据函数图象，直接写出当时的取值范围是______．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 24. 直角三角形的两条直角边的长相差2cm，面积是24cm2，求两条直角边的长． 25. 如图，在中，，以为直径的分别与，交于点D，E，过点D作于点F． （1）判断与是的位置关系，并证明你的结论． （2）若的半径为4，，求阴影部分的面积． 26. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C． （1）求线段BC的长； （2）点P为第三象限内抛物线上一点，连接BP，过点C作交x轴于点E，连接PE，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，以y轴为对称轴，将抛物线对称，对称后点P的对应点为点，点M为对称后的抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，是否存在以点A、、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，则请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度绵阳市北川县九年级期末教学质量监测试卷 （数学） 一．选择题（共12小题，36分） 1. 下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义求解. 【详解】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意. 故选C. 【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心. 2. 用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣2＝0，配方后得到的方程是（　　） A. （x﹣3）2＝2 B. （x﹣3）2＝8 C. （x﹣3）2＝11 D. （x+3）2＝9 【答案】C 【解析】 【分析】根据配方法即可求出答案． 【详解】∵x2﹣6x﹣2＝0， ∴x2﹣6x＝2， ∴（x﹣3）2＝11， 故选：C． 【点睛】考查了配方法解方程，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 3. 如图，有一圆弧形桥拱，拱形半径，桥拱跨度，则拱高为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂径定理和勾股定理得出OA2=AD2+OD2求解即可． 【详解】解：根据垂径定理可知AD=8， 在直角△AOD中，根据勾股定理得： OA2=AD2+OD2 则102=82+（10CD）2 解得：CD=16或4， 根据题中OA=10m，可知CD=16不合题意，故舍去， 所以取CD=4m． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，得出关于CD的等式是解题关键． 4. 如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的边长是（ ） A. B. 3 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接、，由正六边形内接于，可知是等边三角形，由的周长是，可得，即可得出结果．本题主要考查了圆内接正六边形的性质，等边三角形的判定及性质，正确运用圆与正六边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、， ∵正六边形内接于， ∵， 是等边三角形， ∵的周长是， ， 即正六边形的边长是， 故选：B 5. 如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，同时闭合开关A，B或同时闭合开关C，D都可以使小灯泡发光．同时闭合两个开关小灯泡发光的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有4种情况， ∴小灯泡发光的概率为：，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件． 6. 如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积，圆柱高为，圆锥高为的蒙古包，则需要毛毡的面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据底面圆的面积即可得到底面圆的半径为，再根据圆柱的侧面积及圆锥的高即可解答． 【详解】解：∵底面圆面积， ∴底面圆的半径为， ∵圆柱高为，圆锥高为， ∴圆柱的侧面积为，圆锥的母线长为， ∴圆锥的侧面积为， ∴需要毛毡的面积是：， ∴故选． 【点睛】本题考查了圆柱的侧面积和圆锥的侧面积，勾股定理，掌握圆柱的侧面积是解题的关键． 7. 已知点A是反比例函数的图像上的一个动点，连接，若将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点B所在图像的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，得到，，根据≌，得到，，于是即可得出结论． 【详解】 ∵点A是反比例函数的图像上的一个动点， 设， 过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴≌（AAS）， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴点B所在图像的函数表达式， 故选C． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，反比例函数图形上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构建全等三角形是本题的关键． 8. 如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好在线段上，且平分，记线段与的交点为．下列结论中，不正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角，能够综合运用旋转的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角是解题的关键． 根据旋转的性质，可判定A选项； 根据题意，可证与并不全等，可判定B选项； 根据三角形外角的性质，可判定C选项； 根据全等的性质，可判定D选项，由此即可求解． 【详解】解：A 、点是旋转后点的对应点，，故A正确； B、由旋转可知，但与并不全等，故B不正确； C、由旋转可知旋转角，，， 又平分， ， ， ，， 故C正确； D、由旋转可知， ，， 平分， ， 在和中， ， ，故D正确； 故选：B． 9. 如图，从某建筑物高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙，离地面，则水流落地点B离墙的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可以知道，用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当时就可以求出x的值，这样就可以求出的值． 【详解】解：设抛物线的解析式为，由题意得： ， ， ∴抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：（舍去），， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题．解答本题时设抛物线的顶点式求解析式是解题的关键． 10. 已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质以及反比例函数的图象与性质，先通过二次函数的图象确定、、的正负，再利用代入解析式，得到的正负即可判定两个函数的图象所在的象限，即可得出正确选项． 【详解】解：由图象可知：图象开口向下，对称轴位于轴左侧，与轴正半轴交于一点， 可得： 又由于当时， 因此一次函数的图像经过一、二、四三个象限，反比例函数的图像位于一、三象限； 故选：A． 11. 如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（　　） A. 1或5 B. 1或3 C. 3或5 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】分圆心在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况，根据半径等于圆心到直线的距离写出答案即可． 【详解】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，此时圆心P到y轴的距离是2，P的坐标为（﹣2，0），所以平移的距离为-2-（-3）=1； 当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，此时圆心P到y轴的距离是2，P的坐标为（2，0），所以平移的距离为2-（-3）=5． 故选：A． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径，注意分类讨论． 12. 二次函数的图像如图所示，则一次函数的图像可能是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二次函数的图像可得a<0，b>0，根据一次函数图像的性质即可判断出正确答案． 【详解】解：∵二次函数图像开口向下，与y轴交于正半轴， ∴a<0，b>0， ∴y=ax+b的图像经过一、二、四象限，与y轴交于正半轴， ∴选项C符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图像的基本性质及判断一次函数图像所经过的象限，熟练掌握二次函数及一次函数的性质是解题关键． 二．填空题（共6小题,共24分） 13. 如果一元二次方程的两个根为，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】将代入方程可得，利用一元二次方程根与系数的关系求得和的值；再将所求代数式提取公因式后代入求值即可； 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， 由一元二次方程根与系数的关系可得： ，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了方程的根的意义，因式分解；掌握一元二次方程的两根，满足，是解题关键． 14. 如图，四边形内接于，点E在的延长线上．若，则的度数是__________． 【答案】##160度 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形性质，以及圆周角定理，根据平角的定义求出，利用圆内接四边形对角互补得到，最后根据圆周角定理即可求得． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 小红帮助母亲预算家庭4月份电费开支情况，下表是小红家4月初连续8天每天早上电表显示的读数： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 电表显示度数 21 24 28 33 39 42 46 49 若每度电收费0.42元，估计小红家4月份（按30天计）的电费是_________元．（注：电表计数器上先后显示读数之差就是这段时间内消耗电能的度数） 【答案】50.4 【解析】 【分析】本题考查了用样本估计总体，先计算出这七天一共用电的度数，再算出平均每天用电的度数，从而计算出这个家庭4月份用电度数，最后估计出小红家4月份（按30天计）的电费． 【详解】解：这七天每天用电的度数，4月份用电度数（度）， ∴小红家4月份（按30天计）的电费（元）． 故答案为：50.4． 16. 用一根长的铁丝围成一个矩形，则矩形的最大面积为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，列出关于矩形面积S与长x的关系式是解题的关键． 先用x表示出另一边的长，根据面积公式列出S与x的关系式，再结合二次函数的性质求出最大值即可． 【详解】解：设矩形的长为，则宽为， ∴矩形的面积， ∵， ∴当时，． 故答案为：． 17. 如图，平面直角坐标系中，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，且∠A＝∠C＝90°，点B、D都在x轴上，点A、C都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点C的横坐标为________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作AF⊥x轴于点F，设OE=m，则点A（m，m），点B（2m，0），再利用点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，求出m，点B的坐标；又设BF=n，，则点C（2m+n，n），再利用点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象，求出n，点C的坐标． 【详解】解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作AF⊥x轴于点F， ∵△OAB是等腰直角三角形， ∴OE=AE=BE， 设OE=m，则点A（m，m），点B（2m，0）， ∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上， ∴， 解得：(舍去) ， ∴点B（2，0）， 同理∵△BCD是等腰直角三角形， ∴BF=CF， 设BF=n，则点C（2+n，n）． ∵点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上， ∴， 解得：(舍去)， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数与几何综合，等腰直角三角形的性质，灵活运用等腰直角三角形的性质是解题的关键． 18. 如图，在中，，，，将线段绕着点逆时针旋转60°得到，，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长至，使得，连接，可以证明为等边三角形，利用证明，过点做于点，由30°的角的性质以及勾股定理可求，又，根据三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】延长至，使得，连接，如图 ∵ ∴为等边三角形 ∵绕着点逆时针旋转60°得到 ∴为等边三角形 ∴， ∵ 即 在和中 ∴（） ∴ 过点作于点 ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 故答案为. 【点睛】本题考查的是三角形的综合，涉及到三角形全等、旋转的性质以及构造等边三角形等知识点，证明是本题的关键. 三．解答题（共90分） 19. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】利用因式分解法求出的值即可． 【详解】解： ， ， 或， ，． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． （1）画出关于原点O对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕原点O顺时针方向旋转得到的，并写出点的坐标； （3）在（2）的旋转过程中，求点B旋转到点所经过的路线长（结果保留π）． 【答案】（1）如图，即为所求作，； （2） 如图，即为所求作，； （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图——旋转变换，勾股定理，弧长公式等知识，掌握相关知识点是解题关键． （1）分别画出三点关于原点对称点，依次连接即可； （2）分别画出三点绕原点O顺时针方向旋转得到的对应点，依次连接即可； （3）由勾股定理求出的长，再利用弧长公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， 点B旋转到点所经过的路线长为． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）若此一元二次方程的两根是两直角边AB、AC的长，斜边BC的长为10，求k的值． 【答案】 （1）证明：∵， ∴ ， ∴一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）5 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式计算即可； （2）求出一元二次方程的两个根，再利用勾股定理计算即可； 【详解】（1）略 （2）∵ ∴， ∴，， ∴两直角边分别是，，斜边长为10， ∴， 解得：（舍去），, ∴k的值时5． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系、勾股定理、根的判别式，准确计算是解题的关键． 22. “书香润石室，阅读向未来”，为了让同学们获得更好的阅读体验，学校图书馆在每年年末，都将购进一批图书供学生阅读．为了合理配备各类图书，从全体学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查．问卷设置了五种选项：A“艺术类”，B“文学类”，C“科普类”，D“体育类”，E“其他类”，每名学生必须且只能选择其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生人数为___________名； （2）请直接补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，A “艺术类”所对应的圆心角度数是___________度； （4）李老师准备从甲、乙、丙、丁四位学生代表中随机选择两位进行面对面的访问调查．请用列表或画树状图的方法，求李老师选中乙、丙这两位同学的概率． 【答案】（1）100 （2）补全条形统计图如下： ； （3）36 （4） 【解析】 【分析】（1）用B的人数除以对应百分比可得样本容量； （2）用样本容量减去其它四类的人数可得D类的人数，进而补全条形统计图； （3）用360乘A“艺术类”所占百分比可得对应的圆心角度数； （4）根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以求得相应的概率．； 【小问1详解】 此次被调查的学生人数为：名， 故答案为：； 【小问2详解】 类的人数为：名， 【小问3详解】 在扇形统计图中，“艺术类”所对应的圆心角度数是：， 故答案为：； 【小问4详解】 解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，恰好同时选中乙、丙两位同学的有2种情况， ∴恰好同时选中乙、丙两位同学的概率为． 23. 如图，在矩形中，，．为的中点，动点从点出发，沿折线运动，当它到达点时停止运动，设点运动的路程为，连接，设的面积为． （1）直接写出与的函数关系式为：______． （2）在给出的平面直角坐标系中画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质：______． （3）如图2，的图象如图所示，根据函数图象，直接写出当时的取值范围是______．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1） （2）当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小（答案不唯一）； （3）或 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的图象和性质，确定一次函数的表达式是解题的关键． （1）当点在上运动时，此时，由，即可求解；当点在上运动时，同理可解； （2）取点绘制图象，再观察函数图象即可求解； （3）观察函数图象即可求解． 【小问1详解】 ，，为的中点， 则，，； 当点在上运动时，此时，如图1， 过点作于点，则， 则； 当点在上运动时，此时，，如图2， 则； 故答案为：； 【小问2详解】 当时，，当时，，当时，， 描绘上述各点绘制图象如下： 从图象看，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； 故答案为：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小（答案不唯一）； 【小问3详解】 联立和并解得：， 联立和并解得：（不合题意的值已舍去）， 从图象看，当时的取值范围是：或， 故答案为：或． 24. 直角三角形的两条直角边的长相差2cm，面积是24cm2，求两条直角边的长． 【答案】一条直角边的长为6cm，则另一条直角边的长为8cm． 【解析】 【分析】可设较短的直角边为x，表示出较长的边，根据直角三角形的面积为24列出方程求正数解即可． 【详解】解：设一条直角边的长为xcm，则另一条直角边的长为（x+2）cm． 根据题意列方程，得x（x+2）＝24． 解方程，得x1＝6，x2＝﹣8（不合题意，舍去）． 答：一条直角边的长为6cm，则另一条直角边的长为8cm． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列方程． 25. 如图，在中，，以为直径的分别与，交于点D，E，过点D作于点F． （1）判断与是的位置关系，并证明你的结论． （2）若的半径为4，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）与相切， 证明如下： 连接，如图1所示： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点D在上， ∴与的相切； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定、等腰三角形的判定与性质、扇形面积公式等知识；熟练掌握切线的判定和等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）连接，先证，得，再由，得，即可得出结论； （2）连接，求出，由等腰三角形的性质得出，则，由扇形面积公式和三角形面积公式即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图2所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积． 26. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C． （1）求线段BC的长； （2）点P为第三象限内抛物线上一点，连接BP，过点C作交x轴于点E，连接PE，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，以y轴为对称轴，将抛物线对称，对称后点P的对应点为点，点M为对称后的抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，是否存在以点A、、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，则请说明理由． 【答案】（1）（2）面积的最大值为4；此时P的坐标为．（3）或． 【解析】 【分析】（1）由抛物线表达式，求出点B的坐标，当时求出点C的坐标，然后根据勾股定理即可求出BC的长度． （2）由把的面积转化为△BPC的面积，作PF∥y轴交BC于点F，交x轴于点H，根据点B和点C的坐标求出BC所在直线的表达式，然后设出点P和F的坐标，表示出△BPC的面积，根据二次函数的最值求解即可． （3）分A是菱形的边长或对角线时两种情况讨论，首先根据点A和点的坐标求出A的长度，然后设出点M的坐标，根据菱形的临边相等列出方程求出点M的坐标，最后根据菱形对角线互相平分，利用中点坐标公式列出方程即可求出点N的坐标． 【详解】（1）∵抛物线交x轴于点A、B， ∴当y=0时，即， 整理得：， 解得：． ∴A点坐标为，B点坐标为． ∴OB=4． 当时，y=-2， ∴C点坐标为， ∴OC=2． ∴． （2）如图所示，连接PC，作PF∥y轴交BC于点F，交x轴于点H． ∵， ∴△BPE和△BPC是同底等高的三角形， ∴， ∴求△BPE面积的最大值即求△BPC面积的最大值． ∵B，C， ∴设BC所在直线表达式为， 将B，C两点代入得：， 解得：． ∴BC所在直线表达式为． ∴设P点坐标为，F点坐标为， ∴． ∴， 即， ∴面积的最大值为4， 将m=-2代入得， ∴此时P点坐标为． （3）∵抛物线表达式为， ∴对称轴， ∵以y轴为对称轴，将抛物线对称， ∴对称后的抛物线的对称轴． ∵对称后点P的对应点为点，点P的坐标为， ∴点的坐标为， 又∵A点坐标为， ∴． 设M点坐标为， ∴． 分两种情况，①当A是菱形的边长时，如图所示， ∵四边形AMNP是菱形， ∴， ∴， 解得：， ∴，． ∵四边形AMNP是菱形， ∴对角线AN和互相平分， ∴根据平面直角坐标系中中点坐标公式可得：， 代入可得：或， 解得：，，， ∴，． ②当A是菱形的对角线时，如图所示， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 解得：． ∴， 又∵， ∴此时M点在线段上，以点A、、M、N为顶点构不成菱形， 故此种情况不存在． 综上所述，N点的坐标为或． 【点睛】此题考查了二次函数综合，二次函数中三角形面积最值问题，菱形存在性问题，解题的关键是根据题意作出辅助线，找到坐标和线段长度之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $