七下数学第一次月考卷-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版2024新教材）

1 2024-2025 学年七下数学第一次月考卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第6-7章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．下列四个数： 3 ，1， 3,π ，其中最小的数是（ ） A． 3 B．1 C． 3 D． π 【答案】A 【分析】本题考查实数的大小比较，记住任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于 0，负实数都小于 0， 正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 根据负实数绝对值大的反而小即可比较． 【详解】解：∵ 3 3   ， ∴ 3 最小， 故选：A． 2．在数轴上表示不等式 1 3 2 x x   的解集，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元一次不等式并在数轴上表示其解集，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解 2 答此题的关键． 先去分母再移项，再合并同类项，把 x 的系数化为 1，把不等式的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：去分母得， 1 2 6x x   ， 移项得，合并同类项得， 5x   ， 把 x 的系数化为 1 得， 5x  ， 在数轴上表示为： ， 故选：C． 3．下列说法正确的是（ ） A．带根号的数是无理数 B．无理数小于有理数 C．无理数是无限小数 D．无限小数是无理数 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数和有理数的定义对各选项举反例分析判断利用排除法求解． 【详解】解：A、带根号的数都是无理数错误，例如 4 2 是有理数，故本选项错误； B、无理数和有理数之间没有大小关系，如：3和 4都是有理数，3 小于 ，4 大于 ，故本选项错误； B、不带根号的数都是有理数错误，例如π、0.101001000…都是无理数，故本选项错误； C、无理数是无限小数，故本选项正确； D、无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，因为无限循环小数是有理数，故本选项错误． 故选：C． 4．若 a b ，且 c是任意实数，则下列不等式总成立的是（ ） A． ac bc B． 2 2ac bc C． a c b c   D． ac bc   【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答．熟练掌握不等式的 性质是解题的关键． 【详解】解：A、∵ a b ， ∴当 0c  时， ac bc ， 故 A 不符合题意； B、∵ a b ， ∴当 0c  时， 2 2ac bc ， 故 B 不符合题意； 3 C、∵ a b ， ∴a c b c   ， 故 C 符合题意； D、∵ a b ， ∴当 0c  时， ac bc   ， 故 D 不符合题意； 故选：C． 5．  21 2 0m m n    ，则 nm 的值为（ ） A．1 B． 1 C．2 D． 1 2  【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质得 1 0m  ，2 0m n  ，求出 m、n 的值，再代入 nm 计算即可． 【详解】解：∵  21 2 0m m n    ， ∴ 1 0m  ，2 0m n  ， 解得： 1m   ， 2n  ， ∴  21 1nm    ． 故选：A． 6．不等式组  2 1 1 2 x x x m        的解集是 3x   ，则m的取值范围是（ ） A． 5m  B． 5m  C． 5m  D． 5m  【答案】B 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据 不等式组的解集建立关于 m 的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：  2 1 1 2 x x x m        ① ② ， 由①得 3x   ， 由②得 2x m  ， 4 ∵不等式组  2 1 1 2 x x x m        的解集是 3x   ， ∴2 3m   ， 解得 5m  ， 故选：B 7．已知 a为正整数，且 17 26a  则 a 等于（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，结合题意根据 217 5 26  即可得出答案． 【详解】解：∵a 为正整数，且 17 26a  ， 217 5 26  ， ∴ 5a  ， 故选：B． 8．某学校组织学生春游，租赁甲型客车和乙型客车共 10 辆，已知每辆甲型客车可坐 40 人，每辆乙型客车 可坐 30 人，该校需要乘坐客车出游的师生共 360 人，要求全部师生都有座位且空座位不超过 10 个，那么 可以有哪些租车方案？若设租赁甲型客车 x辆，则下列不等式组正确的是（ ） A．     40 30 10 360 40 30 10 360 10 x x x x          B．     40 30 10 360 40 30 10 360 10 x x x x          C．     40 30 10 360 40 30 10 360 10 x x x x          D．     40 30 10 360 40 30 10 360 10 x x x x          【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，设租赁甲型客车 x辆，则租赁乙型客车  10 x 辆，根据全 部师生都有座位且空座位不超过 10 个，列出不等式组，即可求解． 【详解】解：设租赁甲型客车 x辆，则租赁乙型客车  10 x 辆，根据题意得，     40 30 10 360 40 30 10 360 10 x x x x          故选：C． 9．我们规定：  x 表示不超过 x的最大整数．如：  2 2 ， 3.2 3 ，则 1 2 3 4 87 88                           的值为（ ） 5 A． 507 B．516 C．525 D．534 【答案】B 【分析】本题主要考查的是无理数大小的估算，掌握 x 的意义是解题的关键．根据 x 的定义确定其值， 进行计算即可． 【详解】解： 1 1 ， 4 2 ， 9 3 ， 16 4 ， 25 5 ， 36 6 ， 49 7 ， 64 8 ， 81 9 ，  1 2 3 4 87 88                            1 1 1 2 9 9       1 3 2 5 3 7 4 9 5 11 6 13 7 15 8 17 9 8                  3 10 21 36 55 78 105 136 72         516 故选：B． 10．若关于 x的方程  3 2 3 2x k   的解为自然数，且关于 x的不等式组  2 1 3 2 3 x x k x x         无解，则符合条件 的整数 k的值的和为 （ ） A．5 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的整数解、一元一次不等式组的解集，熟练掌握解一元一次方程，学会 根据不等式组的解的情况求参数是解题的关键．先求出  3 2 3 2x k   的解为 9 3 2 kx  ，从而推出 3k  ， 再整理不等式组为 1x x k     ，结合不等式组无解得到 1k   ，最后利用整数 k的值以及 9 3 2 kx  是自然数的 条件即可解答． 【详解】解：由  3 2 3 2x k   ，解得 9 3 2 kx  ， 方程的解为自然数， 9 3 0 2 k   ， 解得： 3k  ， 把  2 1 3 2 3 x x k x x         整理得： 1x x k     ， 不等式组无解， 6 1k   ， 1 3k   ，即整数 01 2 3k  ，，，， 9 3 2 kx  是自然数， 1k  或 3k  ， 则符合条件的整数 k的值的和为1 3 4  ． 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。 11． 3 64的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是求解一个数的立方根，根据立方根的含义求解即可． 【详解】解： 3 64 4 ， 故答案为： 4 12．若 3 2 x y    ，则 2x 3y（填“ ”或“＜”）． 【答案】  【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的基本性质对不等式进行合理变形即可．要注意不等式 两边同时乘或除以同一个负数，不等号方向要改变 ． 【详解】解：不等式的两边同时乘以 6 得， 2 3x y   ， 不等式的两边同时乘以 1 得， 2 3x y ． 故答案为：． 13．对于两个不相等的实数 a，b，定义一种新的运算：  * 0a ba b a b a b      ．例如 3 23*2 5 3 2     ，则  6* 6*3  ． 【答案】 7 5 【分析】此题考查了新定义下实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 利用已知的新定义列出算式，计算即可得到结果． 【详解】根据题意得， 6 36*3 1 6 3     7 ∴   6 1 76* 6*3 6*1 6 1 5      ． 故答案为： 7 5 ． 14．对于一个四位自然数，各个数位上的数字均不为零，如果满足百位与十位数字之和小于千位数字，同 时百位与十位数字之和大于个位数字，就称这个数为“中和数”．对于“中和数”M ，将其千位与百位的差 替换原来的千位数字，其余数位保持不变，所得结果记为 1M ，将其千位与百位的差替换原来的百位数字， 其余数位保持不变，所得结果记为 2M ，   2 1100 M MG M  ，如：当 5312M  时， 1 2312M  ， 2 5212M  ， 5212 2312( ) 29 100 G M   ，若 N为最小的“中和数”，则  G N  ；一个“中和数”M 的千位数字为 a，百位数字为b，十位数字为 c，个位数字为d，若   9 4 G M b 为整数，   3 2 abF M c   是一个完全平方数， 则满足条件的“中和数”M 的最大值与最小值之和为 ． 【答案】 11 14277 【分析】本题考查数式的新定义计算，涉及有理数的运算，列代数式，整式的加减运算，不等式的性质， 熟练读懂新定义，并可以根据新定义列式是解题的关键．根据定义即可得出最小的“中和数”为3111，再 计算  3111G 即可；由题意可得M abcd ，  1M a b bcd  ，  2M a a b cd  ，根据题意列出   9 4 4 G M b a b   ，利用   9 4 G M b 为整数，结合 a、b、c、d的范围得出 4a b  或8，再分别讨论计算 即可． 【详解】解：由各个数位上的数字均不为零，如果满足百位与十位数字之和小于千位数字，同时百位与十 位数字之和大于个位数字，就称这个数为“中和数”， 则最小的“中和数”为3111， 则 1 2111M  ， 2 3211M  ， 则   3211 21113111 11 100 G   ； 由题意，可得M abcd ，  1M a b bcd  ，  2M a a b cd  ， ∴      2 1 1000 100 10 1000 100 10 100 800 8 100 100 100 a a b c d a b b c dM M a bG M a b                     ， ∴   9 8 9 4 4 4 G M b a b b a b      ， ∵   9 4 G M b 为整数， ∴ 4 a b 为整数， 8 ∵1 9a  ，1 9b  ，1 9c  ，1 9d  ，且b c a  ，b c d  ， ∴ 2 8a b   ，1 7c  ， ∴ 4a b  或8， ①当 4a b  时，    4 33 2 2 a aabF M c c     是一个完全平方数， 当 9a  时， 5b  ，   24F M c  ， ∵1 7c  ， ∴ 6c  ， 又∵此时9 5 6  ，故舍； 当 8a  时， 4b  ，   35 2 F M c  ， 没有整数 c满足； 当 7a  时， 3b  ，   12F M c  ， ∵1 7c  ， ∴ 3c  ， 此时M 的最小值 min 7331M  ； 当 6a  时， 2b  ，   15 2 F M c  ， 没有整数 c满足； 当 5a  时， 1b  ，   4F M c  ， ∵1 7c  ， ∴ 1c  或 4， 当 1c  时，此时M 的最小值 min 5111M  ； 当 4c  时，此时 5 1 4= + ，故舍； 综上所述，M 的最小值 min 5111M  ； ②当 8a b  时，    8 33 2 2 a aabF M c c     是一个完全平方数， 当 9a  时， 1b  ，   6F M c  ， 9 ∵1 7c  ， ∴ 6c  ， ∵b c d  ， ∴M 的最大值 max 9166M  ， 综上， min 5111M  ， max 9166M  ， ∴满足条件的“中和数”M 的最大值与最小值之和为5111 9166 14277  ； 故答案为：11；14277． 三、解答题：本题共 9 小题，共 64 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．计算：  2325 64 2 3 2      ． 【答案】1 3 【分析】本题考查了含算术平方根、立方根的实数的混合运算，根据相应的运算法则计算即可． 【详解】  2325 64 2 3 2         5 4 2 2 3      1 3  ． 16．求下列各式中 x 的值： (1) 29 81x  ； (2)  33 64x   ． 【答案】(1) 3x  或 3x   (2) 1x  【分析】本题考查了平方根和立方根． （1）先方程两边同时除以 9，然后开方即可得出 x的值； （2）直接开立方可得出 3x  的值，进而可得出 x的值． 【详解】（1）解： 29 81x  ， 2 9x  ， 3x  或 3x   ； 10 （2）解：  33 64x   ， 3 4x   ， 1x  ． 17．解下列不等式（组）： (1)  5 3 2 3x x   (2)  5 1 3 1 2 1 5 1 1 2 4 x x x x           ． 【答案】(1) 4x  (2) 5 2x- < £ 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，以及解一元一次不等式，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． （1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为“1”即可； （2）分别解不等式组中的两个不等式，再取两个解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：  5 3 2 3x x   ， 去括号得：5 15 2 3x x   ， 移项得： 5 2 3 15x x    ， 合并同类项得：3 12x  ， 解得： 4x  ； （2）解：  5 1 3 1 2 1 5 1 1 2 4 x x x x           ① ② ， 由①得： 2x  ， 由②得： 5x   ， 不等式组的解集为： 5 2x- < £ ． 18．已知 1a  的平方根是 2 ， 2 2a b  的立方根是 2， (1)求 a和b； (2)求 2 2a b 的算术平方根． 【答案】(1) 3, 4a b  (2)5 【分析】本题考查平方根，算术平方根，立方根的计算． （1）由 1a  的平方根是 2 可求得 a，由 2 2a b  的立方根是 2，再结合 a的值可求出b； 11 （2）先由 ,a b的值求出 2 2a b ，再求其算术平方根即可． 【详解】（1）解： 1a  的平方根是 2 1 4a   3a   2 2a b  的立方根是 2 2 2 8a b    将 3a  代入得 4b  ； （2） 3, 4a b  2 2 2 23 4 25a b  = = 25 的算术平方根是 5  2 2a b 的算术平方根是 5． 19．课堂上，老师出了一道题：比较 19 2 3  与 2 3 的大小．小明的解法如下： 解： 19 2 2 3 3 19 2 2 19 4 3 3      ． 19 16, 19 4, 19 4 0      ， 19 4 19 2 20, 3 3 3       ． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请仿照上述方法，比较下列各组数的大小： (1)1 5 和1 3 ； (2) 6 5 8  和 3 8 【答案】(1)1 5 1 3   (2) 6 5 3 8 8   【分析】本题主要考查了实数大小的比较，熟练掌握实数大小的比较方法，是解题的关键． （1）先求出  1 5 1 3 3 5     ，然后根据 3 5 0  ，即可得出答案； （2）先求出 6 5 3 3 5 8 8 8     ，然后根据3 5 0  即可得出答案． 【详解】（1）解：  1 5 1 3   1 5 1 3    12 3 5  ． 3 5 ， 3 5 0   ， 1 5 1 3    ． （2）解： 6 5 3 8 8   6 5 3 8    3 5 8   ． 5 3Q ， 3 5 0   ， 3 5 0 8    ， 6 5 3 8 8    ． 20．定义新运算：对于任意实数 a，b都有 1a b ab a b   ▲ ．例如： 2 4 2 4 2 4 1 3     ▲ ． (1)若 3 6x ▲ ，求 x 的值； (2)若5 x▲ 的值不大于 9，求 x的取值范围． 【答案】(1) 4x  或 2 (2) 13 4 x  【分析】本题主要考查了解一元一次方程以及解一元一次不等式，绝对值的意义． （1）根据新定义代入绝对值方程，然后根据绝对值的意义得出关于 x 的一元一次方程，求解即可得出答案． （2）根据新定义得出关于 x的一元一次不等式， 解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：因为 3 6x ▲ ，所以 3 3 1 6x x    ， 所以 2 2 6x   ，所以 2 2 6x   或 2 2 6x    ， 解得 4x  或 2 ． （2）解：根据题意，得5 9x ▲ ， 所以5 5 1 9x x    ， 13 解得 13 4 x  ， 即 x的取值范围为 13 4 x  ． 21．甲、乙两个工程队参与修建一小段长600m的高速公路，甲、乙两队一起修建 12 天可以完工．若甲队 单独修建 5 天后乙队加入，两队再一起修建 4 天，刚好能够完成该工程的一半． (1)甲、乙两队每天各能修建多少米？ (2)若乙队参与修建该工程的时间不超过 10 天，则甲队至少需要修建多少天才能完成该工程？ 【答案】(1)20m，30m (2)15 天 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用． （1）根据题意列出二元一次方程组，解方程即可； （2）设甲队需要修建 m天才能完成该工程，根据乙队参与修建该工程时间不超过 10 天列出不等式，可求 解． 【详解】（1）解：设甲队每天修建 mx ，乙队每天修建 my ． 依题意，得     12 600 5 4 300 x y x x y        ， 解得 20 30 x y    ， 故甲队每天能修建 20m，乙队每天能修建30m； （2）解：设甲队需要修建m天才能完成该工程． 依题意，得 600 20 10 30 m  ， 解得 15m  ． 故甲队至少需要修建 15 天才能完成该工程． 22．根据如表，回答下列问题： a 0.000216 0.216 216 216000 3 a 0.06 0.6 6 60 (1)想一想表中数 a的小数点的移动与它的立方根 3 a的小数点的移动之间有何规律？ (2)根据你发现的规律解答： 14 ①已知 3 3 30.214 0.5981, 2.14 1.289, 21.4 2.776   ，则 3 2140介于哪两个整数之间？ ②已知 3 0.001843 0.1226 ，则 3 1843  ______． ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到 0.01平 方米） 【答案】(1)数 a的小数点每移动三位，它的立方根 3 a的小数点就向相同方向移动一位 (2)①12 和 13 之间；②12.26；③9.02 平方米 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积 的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （2）①结合表格信息，对 3 2.14 1.289 进行变形分析即可；②结合表格信息，对 3 0.001843 0.1226 进行 变形分析即可；③设正方体的棱长为 a米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法 即可求解． 【详解】（1）解：规律：数 a的小数点每移动三位，它的立方根 3 a的小数点就向相同方向移动一位； （2）解：①∵ 3 2.14 1.289 ， ∴ 3 2140 12.89 ∴ 3 2140介于整数 12 和 13 之间； ②∵ 3 0.001843 0.1226 ∴ 3 31.843 1.226 1843 12.26 ， 故答案为：12.26； ③设正方体的棱长为 a米，则 3 1.843a  ， 1.226a  ， 26 9.02a  （平方米）， 答：需要大约 9.02 平方米的铁皮． 23．阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组） 的“友好解”．例如，方程 2 1 1x   的解是 1x  ，同时 1x  也是不等式 1 0x   的解，则称方程 2 1 1x   的 15 解 1x  是不等式 1 0x   的“友好解”． (1)试判断方程 3 12 1 2 2 x x   的解是不是不等式 3 0 2 x   的“友好解”？不必说明理由； (2)若关于 x、 y的方程组 2 3 5 2 5 4 5 x y k x y k        的解是不等式 3 2 7 2 x y  的“友好解”，求 k的取值范围； (3)当 3k  时，方程  3 1x k  的解是不等式 4 1 2x x m   的“友好解”，求m的最小整数值． 【答案】(1)不是 (2) 11k   (3) 3m  【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式，根据方程组的解的情况，求参数的范围，掌握“友 好解”的定义，是解题的关键： （1）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，判断即可； （2）两个方程相减后，结合不等式，得到关于 k的不等式，求解即可； （3）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，求出m的范围，进而求出m的最小整数值即 可． 【详解】（1）解：解 3 12 1 2 2 x x   ，得： 3x  ， 解 3 0 2 x   ，得： 3x  ， ∴方程的解不是不等式的解， ∴不是； （2） 2 3 5 2 5 4 5 x y k x y k        ① ② ， ② ①，得：3 4 3x y k   ， ∵ 3 2 7 2 x y  ， ∴3 4 14x y  ， 即：3 14k  ， ∴ 11k   ； （3）由  3 1x k  ，得 1 3 kx   ， ∵ 3k  ， 16 ∴ 1 3 k  ， ∴ 1 2 3 k   ，即 2x  ， 由4 1 2x x m   ，得 2 1 3 mx  ． ∵方程  3 1x k  的解是不等式 4 1 2x x m   的“友好解”． ∴ 2 1 2 3 m   ， 解得 5 2 m  ， ∴m的最小整数值为： 3m  ． 2024-2025学年七下数学第一次月考卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第6-7章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列四个数：，1，，其中最小的数是（　　） A． B．1 C． D． 2．在数轴上表示不等式的解集，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（　　） A．带根号的数是无理数 B．无理数小于有理数 C．无理数是无限小数 D．无限小数是无理数 4．若，且是任意实数，则下列不等式总成立的是（　　） A． B． C． D． 5．，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 6．不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知a为正整数，且则a等于（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．某学校组织学生春游，租赁甲型客车和乙型客车共10辆，已知每辆甲型客车可坐40人，每辆乙型客车可坐30人，该校需要乘坐客车出游的师生共360人，要求全部师生都有座位且空座位不超过10个，那么可以有哪些租车方案？若设租赁甲型客车辆，则下列不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 9．我们规定：表示不超过的最大整数．如：，，则 的值为（    ） A． B． C． D． 10．若关于的方程的解为自然数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数的值的和为 （   ） A．5 B．2 C．4 D．6 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 11．的值为 ． 12．若，则 （填“”或“＜”）． 13．对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算：．例如，则 ． 14．对于一个四位自然数，各个数位上的数字均不为零，如果满足百位与十位数字之和小于千位数字，同时百位与十位数字之和大于个位数字，就称这个数为“中和数”．对于“中和数”，将其千位与百位的差替换原来的千位数字，其余数位保持不变，所得结果记为，将其千位与百位的差替换原来的百位数字，其余数位保持不变，所得结果记为，，如：当时，，，，若为最小的“中和数”，则 ；一个“中和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，若为整数，是一个完全平方数，则满足条件的“中和数”的最大值与最小值之和为 ． 三、解答题：本题共9小题，共64分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．计算：． 16．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 17．解下列不等式（组）： (1) (2)． 18．已知的平方根是， 的立方根是2， (1)求和； (2)求的算术平方根． 19．课堂上，老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下： 解：． ， ． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请仿照上述方法，比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和 20．定义新运算：对于任意实数a，b都有．例如：． (1)若，求x的值； (2)若的值不大于9，求x的取值范围． 21．甲、乙两个工程队参与修建一小段长的高速公路，甲、乙两队一起修建12天可以完工．若甲队单独修建5天后乙队加入，两队再一起修建4天，刚好能够完成该工程的一半． (1)甲、乙两队每天各能修建多少米？ (2)若乙队参与修建该工程的时间不超过10天，则甲队至少需要修建多少天才能完成该工程？ 22．根据如表，回答下列问题： 0.000216 0.216 216 216000 0.06 0.6 6 60 (1)想一想表中数的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？ (2)根据你发现的规律解答： ①已知，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______． ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到平方米） 23．阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？不必说明理由； (2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值． ( 16 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2024-2025 学年七下数学第一次月考卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第6-7章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．下列四个数： 3 ，1， 3,π ，其中最小的数是（ ） A． 3 B．1 C． 3 D． π 2．在数轴上表示不等式 1 3 2 x x   的解集，正确的是（ ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（ ） A．带根号的数是无理数 B．无理数小于有理数 C．无理数是无限小数 D．无限小数是无理数 4．若 a b ，且 c是任意实数，则下列不等式总成立的是（ ） A． ac bc B． 2 2ac bc C． a c b c   D． ac bc   5．  21 2 0m m n    ，则 nm 的值为（ ） A．1 B． 1 C．2 D． 1 2  2 6．不等式组  2 1 1 2 x x x m        的解集是 3x   ，则m的取值范围是（ ） A． 5m  B． 5m  C． 5m  D． 5m  7．已知 a为正整数，且 17 26a  则 a 等于（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．某学校组织学生春游，租赁甲型客车和乙型客车共 10 辆，已知每辆甲型客车可坐 40 人，每辆乙型客车 可坐 30 人，该校需要乘坐客车出游的师生共 360 人，要求全部师生都有座位且空座位不超过 10 个，那么 可以有哪些租车方案？若设租赁甲型客车 x辆，则下列不等式组正确的是（ ） A．     40 30 10 360 40 30 10 360 10 x x x x          B．     40 30 10 360 40 30 10 360 10 x x x x          C．     40 30 10 360 40 30 10 360 10 x x x x          D．     40 30 10 360 40 30 10 360 10 x x x x          9．我们规定：  x 表示不超过 x的最大整数．如：  2 2 ， 3.2 3 ，则 1 2 3 4 87 88                           的值为（ ） A． 507 B．516 C．525 D．534 10．若关于 x的方程  3 2 3 2x k   的解为自然数，且关于 x的不等式组  2 1 3 2 3 x x k x x         无解，则符合条件 的整数 k的值的和为 （ ） A．5 B．2 C．4 D．6 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。 11． 3 64的值为 ． 12．若 3 2 x y    ，则 2x 3y（填“ ”或“＜”）． 13．对于两个不相等的实数 a，b，定义一种新的运算：  * 0a ba b a b a b      ．例如 3 23*2 5 3 2     ，则  6* 6*3  ． 3 14．对于一个四位自然数，各个数位上的数字均不为零，如果满足百位与十位数字之和小于千位数字，同 时百位与十位数字之和大于个位数字，就称这个数为“中和数”．对于“中和数”M ，将其千位与百位的差 替换原来的千位数字，其余数位保持不变，所得结果记为 1M ，将其千位与百位的差替换原来的百位数字， 其余数位保持不变，所得结果记为 2M ，   2 1100 M MG M  ，如：当 5312M  时， 1 2312M  ， 2 5212M  ， 5212 2312( ) 29 100 G M   ，若 N为最小的“中和数”，则  G N  ；一个“中和数”M 的千位数字为 a，百位数字为b，十位数字为 c，个位数字为d，若   9 4 G M b 为整数，   3 2 abF M c   是一个完全平方数， 则满足条件的“中和数”M 的最大值与最小值之和为 ． 三、解答题：本题共 9 小题，共 64 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．计算：  2325 64 2 3 2      ． 16．求下列各式中 x 的值： (1) 29 81x  ； (2)  33 64x   ． 17．解下列不等式（组）： (1)  5 3 2 3x x   (2)  5 1 3 1 2 1 5 1 1 2 4 x x x x           ． 4 18．已知 1a  的平方根是 2 ， 2 2a b  的立方根是 2， (1)求 a和b； (2)求 2 2a b 的算术平方根． 19．课堂上，老师出了一道题：比较 19 2 3  与 2 3 的大小．小明的解法如下： 解： 19 2 2 3 3 19 2 2 19 4 3 3      ． 19 16, 19 4, 19 4 0      ， 19 4 19 2 20, 3 3 3       ． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请仿照上述方法，比较下列各组数的大小： (1)1 5 和1 3 ； (2) 6 5 8  和 3 8 20．定义新运算：对于任意实数 a，b都有 1a b ab a b   ▲ ．例如： 2 4 2 4 2 4 1 3     ▲ ． (1)若 3 6x ▲ ，求 x 的值； (2)若5 x▲ 的值不大于 9，求 x的取值范围． 5 21．甲、乙两个工程队参与修建一小段长600m的高速公路，甲、乙两队一起修建 12 天可以完工．若甲队 单独修建 5 天后乙队加入，两队再一起修建 4 天，刚好能够完成该工程的一半． (1)甲、乙两队每天各能修建多少米？ (2)若乙队参与修建该工程的时间不超过 10 天，则甲队至少需要修建多少天才能完成该工程？ 22．根据如表，回答下列问题： a 0.000216 0.216 216 216000 3 a 0.06 0.6 6 60 (1)想一想表中数 a的小数点的移动与它的立方根 3 a的小数点的移动之间有何规律？ (2)根据你发现的规律解答： ①已知 3 3 30.214 0.5981, 2.14 1.289, 21.4 2.776   ，则 3 2140介于哪两个整数之间？ ②已知 3 0.001843 0.1226 ，则 3 1843  ______． ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到 0.01平 方米） 6 23．阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组） 的“友好解”．例如，方程 2 1 1x   的解是 1x  ，同时 1x  也是不等式 1 0x   的解，则称方程 2 1 1x   的 解 1x  是不等式 1 0x   的“友好解”． (1)试判断方程 3 12 1 2 2 x x   的解是不是不等式 3 0 2 x   的“友好解”？不必说明理由； (2)若关于 x、 y的方程组 2 3 5 2 5 4 5 x y k x y k        的解是不等式 3 2 7 2 x y  的“友好解”，求 k的取值范围； (3)当 3k  时，方程  3 1x k  的解是不等式 4 1 2x x m   的“友好解”，求m的最小整数值． 2024-2025学年七下数学第一次月考卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第6-7章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列四个数：，1，，其中最小的数是（　　） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数的大小比较，记住任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 根据负实数绝对值大的反而小即可比较． 【详解】解：∵， ∴最小， 故选：A． 2．在数轴上表示不等式的解集，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元一次不等式并在数轴上表示其解集，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键． 先去分母再移项，再合并同类项，把x的系数化为1，把不等式的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：去分母得， ， 移项得，合并同类项得，， 把x的系数化为1得，， 在数轴上表示为：， 故选：C． 3．下列说法正确的是（　　） A．带根号的数是无理数 B．无理数小于有理数 C．无理数是无限小数 D．无限小数是无理数 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数和有理数的定义对各选项举反例分析判断利用排除法求解． 【详解】解：A、带根号的数都是无理数错误，例如是有理数，故本选项错误； B、无理数和有理数之间没有大小关系，如：3和4都是有理数，3小于，4大于，故本选项错误； B、不带根号的数都是有理数错误，例如π、0.101001000…都是无理数，故本选项错误； C、无理数是无限小数，故本选项正确； D、无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，因为无限循环小数是有理数，故本选项错误． 故选：C． 4．若，且是任意实数，则下列不等式总成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答．熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：A、∵， ∴当时，， 故A不符合题意； B、∵， ∴当时，， 故B不符合题意； C、∵， ∴， 故C符合题意； D、∵， ∴当时，， 故D不符合题意； 故选：C． 5．，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质得，，求出m、n的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴． 故选：A． 6．不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组的解集建立关于m的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：， 由得， 由得， ∵不等式组的解集是， ∴， 解得， 故选：B 7．已知a为正整数，且则a等于（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，结合题意根据即可得出答案． 【详解】解：∵a为正整数，且，， ∴， 故选：B． 8．某学校组织学生春游，租赁甲型客车和乙型客车共10辆，已知每辆甲型客车可坐40人，每辆乙型客车可坐30人，该校需要乘坐客车出游的师生共360人，要求全部师生都有座位且空座位不超过10个，那么可以有哪些租车方案？若设租赁甲型客车辆，则下列不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，设租赁甲型客车辆，则租赁乙型客车辆，根据全部师生都有座位且空座位不超过10个，列出不等式组，即可求解． 【详解】解：设租赁甲型客车辆，则租赁乙型客车辆，根据题意得， 故选：C． 9．我们规定：表示不超过的最大整数．如：，，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是无理数大小的估算，掌握的意义是解题的关键．根据的定义确定其值，进行计算即可． 【详解】解：，，，，，，，，， 故选：B． 10．若关于的方程的解为自然数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数的值的和为 （   ） A．5 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的整数解、一元一次不等式组的解集，熟练掌握解一元一次方程，学会根据不等式组的解的情况求参数是解题的关键．先求出的解为，从而推出，再整理不等式组为，结合不等式组无解得到，最后利用整数的值以及是自然数的条件即可解答． 【详解】解：由，解得， 方程的解为自然数， ， 解得：， 把整理得：， 不等式组无解， ， ，即整数， 是自然数， 或， 则符合条件的整数的值的和为． 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 11．的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是求解一个数的立方根，根据立方根的含义求解即可． 【详解】解：， 故答案为： 12．若，则 （填“”或“＜”）． 【答案】 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的基本性质对不等式进行合理变形即可．要注意不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号方向要改变 ． 【详解】解：不等式的两边同时乘以6得，， 不等式的两边同时乘以得，． 故答案为：． 13．对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算：．例如，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了新定义下实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 利用已知的新定义列出算式，计算即可得到结果． 【详解】根据题意得， ∴． 故答案为：． 14．对于一个四位自然数，各个数位上的数字均不为零，如果满足百位与十位数字之和小于千位数字，同时百位与十位数字之和大于个位数字，就称这个数为“中和数”．对于“中和数”，将其千位与百位的差替换原来的千位数字，其余数位保持不变，所得结果记为，将其千位与百位的差替换原来的百位数字，其余数位保持不变，所得结果记为，，如：当时，，，，若为最小的“中和数”，则 ；一个“中和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，若为整数，是一个完全平方数，则满足条件的“中和数”的最大值与最小值之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查数式的新定义计算，涉及有理数的运算，列代数式，整式的加减运算，不等式的性质，熟练读懂新定义，并可以根据新定义列式是解题的关键．根据定义即可得出最小的“中和数”为，再计算即可；由题意可得，，，根据题意列出，利用为整数，结合、、、的范围得出或，再分别讨论计算即可． 【详解】解：由各个数位上的数字均不为零，如果满足百位与十位数字之和小于千位数字，同时百位与十位数字之和大于个位数字，就称这个数为“中和数”， 则最小的“中和数”为， 则，， 则； 由题意，可得，，， ∴， ∴， ∵为整数， ∴为整数， ∵，，，，且，， ∴，， ∴或， ①当时， 是一个完全平方数， 当时，，， ∵， ∴， 又∵此时，故舍； 当时，，， 没有整数满足； 当时，，， ∵， ∴， 此时的最小值； 当时，，， 没有整数满足； 当时，，， ∵， ∴或， 当时，此时的最小值； 当时，此时，故舍； 综上所述，的最小值； ②当时， 是一个完全平方数， 当时，，， ∵， ∴， ∵， ∴的最大值， 综上，，， ∴满足条件的“中和数”的最大值与最小值之和为； 故答案为：；． 三、解答题：本题共9小题，共64分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了含算术平方根、立方根的实数的混合运算，根据相应的运算法则计算即可． 【详解】 ． 16．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根． （1）先方程两边同时除以9，然后开方即可得出x的值； （2）直接开立方可得出的值，进而可得出x的值． 【详解】（1）解：， ， 或； （2）解：， ， ． 17．解下列不等式（组）： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，以及解一元一次不等式，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． （1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为“1”即可； （2）分别解不等式组中的两个不等式，再取两个解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：； （2）解：， 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为：． 18．已知的平方根是， 的立方根是2， (1)求和； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查平方根，算术平方根，立方根的计算． （1）由的平方根是可求得，由的立方根是2，再结合的值可求出； （2）先由的值求出，再求其算术平方根即可． 【详解】（1）解：的平方根是 的立方根是2 将代入得； （2） 的算术平方根是5 的算术平方根是5． 19．课堂上，老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下： 解：． ， ． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请仿照上述方法，比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，熟练掌握实数大小的比较方法，是解题的关键． （1）先求出，然后根据，即可得出答案； （2）先求出，然后根据即可得出答案． 【详解】（1）解： ． ， ， ． （2）解： ． ， ， ， ． 20．定义新运算：对于任意实数a，b都有．例如：． (1)若，求x的值； (2)若的值不大于9，求x的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程以及解一元一次不等式，绝对值的意义． （1）根据新定义代入绝对值方程，然后根据绝对值的意义得出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． （2）根据新定义得出关于x的一元一次不等式， 解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：因为，所以， 所以，所以或， 解得或． （2）解：根据题意，得， 所以， 解得， 即的取值范围为． 21．甲、乙两个工程队参与修建一小段长的高速公路，甲、乙两队一起修建12天可以完工．若甲队单独修建5天后乙队加入，两队再一起修建4天，刚好能够完成该工程的一半． (1)甲、乙两队每天各能修建多少米？ (2)若乙队参与修建该工程的时间不超过10天，则甲队至少需要修建多少天才能完成该工程？ 【答案】(1)， (2)15天 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用． （1）根据题意列出二元一次方程组，解方程即可； （2）设甲队需要修建m天才能完成该工程，根据乙队参与修建该工程时间不超过10天列出不等式，可求解． 【详解】（1）解：设甲队每天修建，乙队每天修建． 依题意，得， 解得， 故甲队每天能修建，乙队每天能修建； （2）解：设甲队需要修建天才能完成该工程． 依题意，得， 解得． 故甲队至少需要修建15天才能完成该工程． 22．根据如表，回答下列问题： 0.000216 0.216 216 216000 0.06 0.6 6 60 (1)想一想表中数的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？ (2)根据你发现的规律解答： ①已知，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______． ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到平方米） 【答案】(1)数的小数点每移动三位，它的立方根的小数点就向相同方向移动一位 (2)①12和13之间；②12.26；③9.02平方米 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （2）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：规律：数的小数点每移动三位，它的立方根的小数点就向相同方向移动一位； （2）解：①∵， ∴ ∴介于整数12和13之间； ②∵ ∴ 故答案为：12.26； ③设正方体的棱长为米，则， ， （平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮． 23．阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？不必说明理由； (2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值． 【答案】(1)不是 (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式，根据方程组的解的情况，求参数的范围，掌握“友好解”的定义，是解题的关键： （1）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，判断即可； （2）两个方程相减后，结合不等式，得到关于的不等式，求解即可； （3）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，求出的范围，进而求出的最小整数值即可． 【详解】（1）解：解，得：， 解，得：， ∴方程的解不是不等式的解， ∴不是； （2）， ，得：， ∵， ∴， 即：， ∴； （3）由，得 ， ∵， ∴， ∴，即， 由，得 ． ∵方程的解是不等式的“友好解”． ∴， 解得 ， ∴的最小整数值为：． ( 16 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$