第十章 二元一次方程组（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（江苏专用，苏科版2024）

第十章 二元一次方程组（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列选项中，是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的解，解题的关键是掌握二元一次方程的解的定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值叫做二元一次方程的一组解．将四个选项中的，分别代入，判断等号两边是否相等即可． 【详解】解：当时，，是的解，A选项符合题意； 当时，，不是的解，B选项不合题意； 当时，，不是的解，C选项不合题意； 当时，，不是的解，D选项不合题意； 故选：A． 2．下列方程中，哪个是二元一次方程？（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二元一次方程的定义，解题的关键是熟悉二元一次方程的定义：“含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程”．根据二元一次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A、方程是二元二次方程，故A不符合题意； B、方程是二元二次方程，故B不符合题意； C、方程不是整式方程，故C不符合题意； D、方程是二元二次方程，故D符合题意． 故选：D． 3．某校八年级学生共有342人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少18人，则下面所列的方程组中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，设女生人数人，男生人数人，根据某年级学生共有人，则，男生人数比女生人数的倍少人，则，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出题目所给的等量关系，列方程组． 【详解】解：设女生人数人，男生人数人， 由题意得，，即， 故选：B． 4．下列方程组中，是二元一次方程组的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案．组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【详解】解：A、该方程组中的第一个方程是分式方程，故该选项错误； B、第一个方程中的是二次的，故该选项错误； C、该方程组中有三个未知数，故该选项错误； D、该方程组符合二元一次方程组的定义，故该选项正确． 故选：D． 5．如图1，小明家餐厅地面是用块大小一样的长方形瓷砖铺设的，细心的小明发现自己家的卫生间也是用相同的块瓷砖铺设的，如图2所示，此时恰好中间留了一个正方形的排水口，已知排水口的边长为，则一块瓷砖的长和宽分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；观察图形，三个长方形的长的和正好等于其余的长方形的宽的和，两个长方形的宽的和比长方形的长多中间小正方形的边长，解方程组，即可求解． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，由图1可知，, 由图2可知，， 联立得 解得：， 故选：D． 6．鸡兔在同一笼中，已知笼中共有脚270只，且鸡的头数比兔的头数多30只，则鸡和兔分别是（   ） A．鸡55只、兔25只 B．鸡35只、兔65只 C．鸡65只、兔35只 D．鸡45只、兔15只 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设鸡有x只，兔有只，根据“笼中共有脚270只，且鸡的头数比兔的头数多30只”，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设鸡有x只，兔有只，根据题意得： ， ②①得：， 解得：，代入①中， 解得：， 则鸡有65只，兔有35只． 故选：C． 7．若关于、的方程组的解满足，则的值为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解题关键在于利用等式性质变形．将方程组两方程相减表示出，即可求出的值． 【详解】解：， 得：， 即， ， ， ， 解得：， 故选：A． 8．李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为．若将8个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设一个碗的高度为，增加一个碗高度增加，根据用2只碗叠放时总高度为，用4只碗叠放时总高度为．列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【详解】解：设一个碗的高度为，增加一个碗高度增加， 由题意得： 解得： 个碗叠成一列高度为， 即将8个碗叠成一列正好能放入消毒柜，则这个消毒柜的高度至少有， 故选：C． 9．“六一”儿童节，学校分发给301班一些糖果，老师再分发给每个小朋友，如果分发给每个小朋友10颗糖果，则还缺10颗糖果；如果分发给每个小朋友8颗糖果，就多出40颗糖果．设学校分发给301班的糖果总共有x颗，301班有y个小朋友，则下列方程正确的是（　　） ①；②；③；④． A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，当每个小朋友分10颗糖果时，还缺10颗，则糖果总数加上10颗后刚好够分，当每个小朋友分8颗糖果时，多出40颗，则糖果总数减去40颗后刚好够分，可列出④；根据糖果总数和小朋友人数的关系，可以得到③，即可求出． 【详解】解：设学校分发给301班的糖果总共有x颗，301班有y个小朋友．当每个小朋友分10颗糖果时，还缺10颗，则糖果总数加上10颗后刚好够分，即 ，当每个小朋友分8颗糖果时，多出40颗，则糖果总数减去40颗后刚好够分，即 ，根据以上两个等式，可以得到方程，即选项中的④；另外，根据糖果总数和小朋友人数的关系，可以得到方程和，变形后得到，即选项中的③． 因此，正确答案为③④； 故选：D． 10．已知，，要想求出的值（即与无关），则与必须满足什么数量关系（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了加减消元法解方程组，根据加减消元法分别表示出，进而求得，结合题意，即可求解． 【详解】解：∵①，②， 得，即 得，，即 ∴ 当时， 即 故选：A． 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．在方程中，用含x的代数式表示y为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程，将x看作已知数，求出y即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12．若与互为相反数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，相反数及解方程组等知识点，根据互为相反数两数和为0可得，再根据非负数的性质可得出关于x和y的方程组，解出可得x和y的值，代入可得出答案，熟练掌握其性质并能灵活解方程组是解决此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 又，， ∴，， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 13．用代入消元法解二元一次方程组，将②代入①后得到的方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组，理解解方程组的步骤正确代入计算是解题关键．利用代入消元法求解． 【详解】解： 将②代入①得： 故答案为：． 14．方程组的解与的和是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减法求出方程组的解，再根据与的和是列出关于的一元一次方程，解方程即可求解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， 得，， ∴， 把代入①得，， 解得， ∵与的和是， ∴， 解得， 故答案为：． 15．已知方程组的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据方程组的特点，理解整体思想是解题关键．先将方程变形为，根据方程组的解为得到，即可求出． 【详解】解：变形为， ∵方程组的解为， ∴， ∴． 故答案为： 16．【概念感知】如图，第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字，满八进一，八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． 【尝试应用】小明设计了一个n进制数，换算成十进制数是，则 ．（n为正整数） 【答案】9 【分析】本题考查了有理数的乘方、零指数幂、一元二次方程的应用，参照八进制数换算成十进制数的方法，建立方程，解方程即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， 解得：，（不符合题意舍去）， 故答案为：9． 17．要用20张白卡纸做长方体包装盒，准备把这些白卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面，已知每张白卡纸可以做侧面2个或做底面3个，如果4个侧面可以和2个底面做成一个包装盒．设有x张白卡纸做侧面，y张白卡纸做底面，依题意可列方程组 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，理解题意，弄清题中的数量关系并正确列出方程组是解题的关键． 依据题意列出方程组即可． 【详解】解：依据题意可列方程组如下： ， 故答案为：． 18．若关于x，y的方程组有无数组解，其中m、n不为0，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将方程两边同乘2，得，该方程与完全一样时，方程组有无数组解，即可求出、的值，再计算的值． 【详解】解：， ②，得， 关于，的方程组有无数组解，、不为0， ，， ， ， 故答案为：． 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~25题每小题6分，26-28第题每小题8分。 19．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）利用代入消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 将②代入①得：， 解得：，代入②中， 解得：， 则方程组的解为； （2）解：， ①②得：， 解得：，代入②中， 解得：， 则方程组的解为． 20．若方程组的解满足方程组，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，求出第一个方程组的解得到与的值，代入第二个方程组即可求出与的值，熟练掌握方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：方程组， 解得：， 将代入方程组得， 得：,即， 得：,即， ∴． 21．已知关于，的方程组与的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，理解方程组解的定义是解决问题的关键．根据方程组解的相同，可得新的方程组，求出、，再把、的值代入含有、的方程中求出、，即可解决问题. 【详解】解：关于，的方程组与的解相同， 联立， 得：， 解得：， 将代入中，得到， 把，分别代入，， 解得：，， ． 22．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得解为；乙看错了方程组中的b，得解为．求出原方程组的正确解． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程组的解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先分别求出，，得方程组，再运用加减消元法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得解为； ∴把代入， 得， 解得； ∵在解方程组时，乙看错了方程组中的b，得解为． ∴把代入， 得， 解得； 则方程组， 则，得， 解得， 把代入，得， 解得， ∴原方程组的正确解为． 23．定义：数对经过一种运算可以得到数对，将该运算记作：，其中（均为常数，）． 例如，当时，． (1)当时，__________； (2)若，求和的值； (3)如果组成数对的两个数满足二元一次方程时，总有，求、的值． 【答案】(1)； (2)，； (3)，． 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，弄清定义，能将所求的问题转化为二元一次方程组是解题的关键． （1） 由题意可得 ：，再将代入即可求解； （2）由题意可得 ：，求出方程组的解即可； （3）由题意可得 ：，求解方程组即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 所以． （2）解：因为， 所以，两式相加得， 解得． 把代入得， 解得． （3）解：因为，所以． 又因为， 所以， 将代入得， 由得， 因为， 所以； 由得， 因为， 所以． 联立，两式相加得，， 解得． 把代入得， 解得． 24．蔬菜大王李明龙年春节前欲将一批蔬菜运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满蔬菜一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满蔬菜一次可运走11吨．现有蔬菜31吨，计划同时租用A型x车辆，B型车y辆，一次运完，且恰好每辆车都载满蔬菜．根据以上信息，解答下列问题： (1)求1辆A型车和1辆B型车都载满蔬菜一次可分别运送多少吨？ (2)若1辆A型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请你帮该物流公司设计租车方案；并选出费用最少的租车方案，求出最少租车费． 【答案】(1)1辆型车载满蔬菜一次可运送3吨，1辆型车载满蔬菜一次可运送4吨； (2)租用1辆型车，7辆型车，最少租车费为940元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用． （1）设1辆型车载满蔬菜一次可运送吨，1辆型车载满蔬菜一次可运送吨，根据“用2辆型车和1辆型车载满蔬菜一次可运走10吨；用1辆型车和2辆型车载满蔬菜一次可运走11吨”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据一次运送31吨蔬菜，即可得出关于，的二元一次方程，根据，均为非负整数，即可得出各租车方案；利用总租金每辆车的租金租车数量，可分别求出三种租车方案的租车费，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设1辆型车载满蔬菜一次可运送吨，1辆型车载满蔬菜一次可运送吨， 依题意得：， 解得：． 答：1辆型车载满蔬菜一次可运送3吨，1辆型车载满蔬菜一次可运送4吨； （2）解：依题意得：， ． 又，均为非负整数， 或或， 该物流公司共有3种租车方案， 方案1：租用9辆型车，1辆型车；所需租车费为（元）； 方案2：租用5辆型车，4辆型车；所需租车费为（元）； 方案3：租用1辆型车，7辆型车；所需租车费为（元）． ， 费用最少的租车方案为：租用1辆型车，7辆型车，最少租车费为940元． 25．据2024年12月8日成都市气象台气候趋势预测，我市将有1-2次明显冷空气过程，分别出现在12月中旬中期和月底前后，最低气温降至以下．面对即将到来的寒冷天气，某个体户预先购买了某品牌、、三款羽绒服来销售．收据如表，其中部分数据因污损无法识别．根据表格提供的信息，解决下列问题： 商品名 单价/元 数量/件 金额/元 A款羽绒服 500 10 5000 B款羽绒服 400 ■ ■ C款羽绒服 300 ■ ■ 合计 60 23000 (1)分别求出该个体户购买的、两款羽绒服的数量； (2)因、两款羽绒服关注度高，该个体户决定将、两款羽绒服的数量都增加，再用8000元购买、两款羽绒服，有哪几种不同的购买方案？ 【答案】(1)个体户购买B款羽绒服30件，C款羽绒服20件； (2)有3种不同的购买方案．购买A款羽绒服4件，B款羽绒服15件；购买A款羽绒服8件，B款羽绒服10件；购买A款羽绒服12件，B款羽绒服5件． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）设个体户购买B款羽绒服x件，C款羽绒服y件，根据题意列出二元一次方程组，解之即可； （2）设再购买A款羽绒服a件，B款羽绒服b件，根据题意列出二元一次方程，利用A款羽绒服和B款羽绒服的数量都要增加，且都为正整数，求解即可． 【详解】（1）解：设个体户购买B款羽绒服x件，C款羽绒服y件， 依题意得：， 解得：， 答：个体户购买B款羽绒服30件，C款羽绒服20件； （2）解：设再购买A款羽绒服a件，B款羽绒服b件， 依题意得：， 整理得： ， ∵A款羽绒服和B款羽绒服的数量都要增加，且都为正整数， ∴或或， ∴有3种不同的购买方案．购买A款羽绒服4件，B款羽绒服15件；购买A款羽绒服8件，B款羽绒服10件；购买A款羽绒服12件，B款羽绒服5件． 26．数学思想·整体思想  综合与实践 【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． 【观察发现】 （1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．设，则原方程组可化为_____，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得_____； 【探索猜想】 （2）运用上述方法解下列方程 组：． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案； 【详解】解：（1）设， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， ∴， 解方程组，得， 故答案为：，； （2）设，， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， ∴， 解方程组，得． 27．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车共需85万元；购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需90万元． (1)问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你设计出符合要求的购买方案． (3)销售1辆A型汽车可获利1.8万元，销售1辆B型汽车可获利1.2万元．假如这些新能源汽车全部售出，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为20万元，15万元 (2)共有两种购买方案： 方案一：购进3辆A型号的新能源汽车，购进8辆B型号的新能源汽车； 方案二：购进6辆A型号的新能源汽车，购进4辆B型号的新能源汽车 (3)第二种方案获得的利润最大，为15.6万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）利用总价=单价×数量求出三种购车方案获得的利润． （1）设A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为x万元和y万元，根据“购进2辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车共需85万元；购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需90万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m辆A型号的新能源汽车，购进n辆B型号的新能源汽车，根据总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论； （3）利用总价=单价×数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为x万元和y万元，根据题意可列方程组为，解得， 所以A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为20万元，15万元． （2）解：设购进m辆A型号的新能源汽车，购进n辆B型号的新能源汽车， 根据题意得：，且均为正整数， 或 共有两种购买方案： 方案一：购进3辆A型号的新能源汽车，购进8辆B型号的新能源汽车； 方案二：购进6辆A型号的新能源汽车，购进4辆B型号的新能源汽车． （3）解：方案一：获得的利润为：（万元）， 方案二：获得的利润为：（万元） 第二种方案获得的利润最大，为15.6万元 28．我县某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：cm） (1)列出方程（组），求出图1中a与b的值． (2)在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒． ①两种裁法共产生A型板材 张，B型板材 张； ②设做成的竖式无盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒的y个，根据题意完成表格： 礼品盒板材 竖式无盖（个） 横式无盖（个） x y A型（张） B型（张） ③做成的竖式和横式两种无盖礼品盒总数最多是 个（在横线上直接写出答案）． 【答案】(1)a＝60，b＝40 (2)①64，38；②，，，；③20 【分析】（1）由图示列出关于a、b的二元一次方程组求解； （2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数； ②同样由图示完成表格； ③根据做成竖式和横式两种无盖礼品盒共需A型板材不超过64张，B型板材不超过38张，列不等式组即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：． 答：图甲中a与b的值分别为：60、40． （2）解：①由图示裁法一产生A型板材为：，裁法二产生A型板材为：，所以两种裁法共产生A型板材为（张）， 由图示裁法一产生B型板材为：，裁法二产生A型板材为，， 所以两种裁法共产生B型板材为（张）． 故答案为64，38． ②由已知和图示得： 礼品盒板材 竖式无盖（个） 横式无盖（个） x y A型（张） B型（张） x ③由上表可知横式无盖款式共个面，用A型张，则B型需要张． 则做两款盒子共需要A型张，B型张． 则， 两式相加得． 则． 所以最多做20个． 【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是根据已知先列出二元一次方程组求出a、b的值，再是根据图示解答． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 二元一次方程组（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列选项中，是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程中，哪个是二元一次方程？（   ） A． B． C． D． 3．某校八年级学生共有342人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少18人，则下面所列的方程组中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列方程组中，是二元一次方程组的是（） A． B． C． D． 5．如图1，小明家餐厅地面是用块大小一样的长方形瓷砖铺设的，细心的小明发现自己家的卫生间也是用相同的块瓷砖铺设的，如图2所示，此时恰好中间留了一个正方形的排水口，已知排水口的边长为，则一块瓷砖的长和宽分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．鸡兔在同一笼中，已知笼中共有脚270只，且鸡的头数比兔的头数多30只，则鸡和兔分别是（   ） A．鸡55只、兔25只 B．鸡35只、兔65只 C．鸡65只、兔35只 D．鸡45只、兔15只 7．若关于、的方程组的解满足，则的值为（   ） A． B． C． D．不能确定 8．李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为．若将8个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（） A． B． C． D． 9．“六一”儿童节，学校分发给301班一些糖果，老师再分发给每个小朋友，如果分发给每个小朋友10颗糖果，则还缺10颗糖果；如果分发给每个小朋友8颗糖果，就多出40颗糖果．设学校分发给301班的糖果总共有x颗，301班有y个小朋友，则下列方程正确的是（　　） ①；②；③；④． A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 10．已知，，要想求出的值（即与无关），则与必须满足什么数量关系（    ） A． B． C． D． 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．在方程中，用含x的代数式表示y为 ． 12．若与互为相反数，则的值是 ． 13．用代入消元法解二元一次方程组，将②代入①后得到的方程为 ． 14．方程组的解与的和是，则 ． 15．已知方程组的解为，则方程组的解为 ． 16．【概念感知】如图，第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字，满八进一，八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． 【尝试应用】小明设计了一个n进制数，换算成十进制数是，则 ．（n为正整数） 17．要用20张白卡纸做长方体包装盒，准备把这些白卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面，已知每张白卡纸可以做侧面2个或做底面3个，如果4个侧面可以和2个底面做成一个包装盒．设有x张白卡纸做侧面，y张白卡纸做底面，依题意可列方程组 ． 18．若关于x，y的方程组有无数组解，其中m、n不为0，则 ． 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~25题每小题6分，26-28第题每小题8分。 19．解下列方程组： (1) (2) 20．若方程组的解满足方程组，求的值． 21．已知关于，的方程组与的解相同，求的值． 22．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得解为；乙看错了方程组中的b，得解为．求出原方程组的正确解． 23．定义：数对经过一种运算可以得到数对，将该运算记作：，其中（均为常数，）． 例如，当时，． (1)当时，__________； (2)若，求和的值； (3)如果组成数对的两个数满足二元一次方程时，总有，求、的值． 24．蔬菜大王李明龙年春节前欲将一批蔬菜运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满蔬菜一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满蔬菜一次可运走11吨．现有蔬菜31吨，计划同时租用A型x车辆，B型车y辆，一次运完，且恰好每辆车都载满蔬菜．根据以上信息，解答下列问题： (1)求1辆A型车和1辆B型车都载满蔬菜一次可分别运送多少吨？ (2)若1辆A型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请你帮该物流公司设计租车方案；并选出费用最少的租车方案，求出最少租车费． 25．据2024年12月8日成都市气象台气候趋势预测，我市将有1-2次明显冷空气过程，分别出现在12月中旬中期和月底前后，最低气温降至以下．面对即将到来的寒冷天气，某个体户预先购买了某品牌、、三款羽绒服来销售．收据如表，其中部分数据因污损无法识别．根据表格提供的信息，解决下列问题： 商品名 单价/元 数量/件 金额/元 A款羽绒服 500 10 5000 B款羽绒服 400 ■ ■ C款羽绒服 300 ■ ■ 合计 60 23000 (1)分别求出该个体户购买的、两款羽绒服的数量； (2)因、两款羽绒服关注度高，该个体户决定将、两款羽绒服的数量都增加，再用8000元购买、两款羽绒服，有哪几种不同的购买方案？ 26．数学思想·整体思想  综合与实践 【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． 【观察发现】 （1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．设，则原方程组可化为_____，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得_____； 【探索猜想】 （2）运用上述方法解下列方程 组：． 27．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车共需85万元；购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需90万元． (1)问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你设计出符合要求的购买方案． (3)销售1辆A型汽车可获利1.8万元，销售1辆B型汽车可获利1.2万元．假如这些新能源汽车全部售出，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 28．我县某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：cm） (1)列出方程（组），求出图1中a与b的值． (2)在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒． ①两种裁法共产生A型板材 张，B型板材 张； ②设做成的竖式无盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒的y个，根据题意完成表格： 礼品盒板材 竖式无盖（个） 横式无盖（个） x y A型（张） B型（张） ③做成的竖式和横式两种无盖礼品盒总数最多是 个（在横线上直接写出答案）． / 学科网（北京）股份有限公司 $$