专题07 二次函数与线段、面积、角度问题常见的三种模型-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（江苏专用）

专题07 二次函数与线段、面积、角度问题常见的三种模型 模型一：二次函数与线段问题 1 模型二：二次函数与面积问题 10 模型三：二次函数与角度问题 18 24 模型一：二次函数与线段问题 一、抛物线与动线段交点问题 1.动线段在x轴上(点C在点D左侧) 交点情况 无交点 有一个交点 有两个交点 图示 满足条件 动线段CD在点A左侧或在点B右侧 点D(或点C)在AB之间 点C在点A左侧且点D在点B右侧 2.动线段在直线上(点 C在点 D上方) 交点情况 无交点 有一个交点 有两个交点 图示 满足条件 点D在点A上方或点C在点B下方 点D(或点C)在AB之间 点C在点A上方且点D在 点B下方 3.动线段一端点在直线上(点C在直线上,且在点D右侧) 交点情况 无交点 有一个交点 有两个交点 图示 满足条件 点C在点A下方或点C在点M上方 点C在点A或CD经过点M处或点C在点A上方且在点B下方 点C在点B处或点C在点B上方且在点M下方 二、抛物线中的线段最值问题 1．平行于坐标轴的线段的最值问题：常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式，运用二次函数性质求解．求最值时应注意： ①当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标； ②当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标．在确定最值时，函数自变量的取值范围应确定正确． 2. 两条线段和的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”， 解决这类问题的方法是：作其中一个定点关于已知直线的对称点，连接对称点与另一个定点，它们与已知直线的交点即为所求的点. 其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等. 【常见模型一】（两点在河的异侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小. 方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。 【常见模型二】（两点在河的同侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小. 方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长。 3. 两条线段差的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“三角形任何两边之差小于第三边”， 解决这类问题的方法是：求解时,先根据原理确定线段差取最值时的图形,再根据已知条件求解。 【常见模型一】（两点在同侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值 方法：如右图，延长射线AB，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB 【常见模型二】（两点在异侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值。 方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’， 延长射线AB’，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB’ 1．（2024·江苏连云港·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a、b为常数，）．    (1)若抛物线与轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式； (2)如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接．求证：平分； (3)当，时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点．若的最大值为4，求的值． 2．（2024·江苏苏州·中考真题）如图①，二次函数的图象与开口向下的二次函数图象均过点，． (1)求图象对应的函数表达式； (2)若图象过点，点P位于第一象限，且在图象上，直线l过点P且与x轴平行，与图象的另一个交点为Q（Q在P左侧），直线l与图象的交点为M，N（N在M左侧）．当时，求点P的坐标； (3)如图②，D，E分别为二次函数图象，的顶点，连接，过点A作．交图象于点F，连接EF，当时，求图象对应的函数表达式． 3．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)一个二次函数的图像经过B、C、三点，其中，该函数图像与x轴交于另一点D，点D在线段上（与点O、B不重合）． ①若D点的坐标为，则_________； ②求t的取值范围： ③求的最大值． 4．（2024·江苏扬州·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使的周长最小，求的周长的最小值及此时点的坐标； (3)若为抛物线在第一象限的一动点，则最大值 ． 5．（2024·江苏连云港·二模）如图，已知、、三点的坐标分别为、、，抛物线的图象经过、两点    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)过点作线段的平行线，交抛物线于点，连接，试判断四边形的形状； (3)点为线段上一动点，过点作轴的平行线，交该抛物线于点，当线段的长最大时，求点的坐标． 6．（2024·江苏扬州·二模）如图，抛物线经过，两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线与轴交于点D． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点H是抛物线对称轴上一动点，分别连接，求的最小值． 7．（2024·江苏泰州·一模）已知抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，顶点为D． (1)求的面积； (2)若时，求m的值； (3)如图，当时，过顶点D作直线交x轴于点E，点G与点E关于点D对称，点M、N分别在线段上，若线段与抛物线有且只有一个交点（与x轴不平行），求的值． 8．（2024·江苏扬州·三模）抛物线交轴正半轴于两点（点在点的左边），交轴于点； (1)如图①．连接，，若面积为3， ①求抛物线解析式； ②抛物线上存在点（不与重合），使得与全等，直接写出点坐标________． (2)如图②、若点为点右侧抛物线上的动点，直线、分别交轴于点、，判断是否为定值，请说明理由． (3)如图②，在第（2）的条件下，线段的延长线交于点，点恰好为的中点，求点的横坐标． 模型二：二次函数与面积问题 一、面积问题的解题步骤 第一步：根据二次函数的表达式求出抛物线上特殊点的坐标，如与坐标轴的交点坐标，顶点坐标等 第二步：根据点坐标表示出线段长 第三步：根据线段长求出图形的面积，常涉及边与坐标轴不平行的三角形和不规则四边形(可分割成三角形与特殊四边形)，利用“水平宽x铅垂高”和补全图形法求解。 二、平面直角坐标系中面积数量关系的转化方法: 1.两三角形同底:可构造平行线进行面积转化,如图①,作直线I//AB 交抛物线于点P,则 2.两三角形同高:可将面积比转化为线段比,如图②,直线!与抛物线交于点 P,与 AB 交于点Q,则 3.图形面积平分:若图形为三角形,构造三角形任意一条中线,该中线平分这个三角形的面积 如图③,直线!经过点A和 BC 的中点 P,则 三、抛物线中的面积最值问题 1）当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下： 一般步骤为：①设出要求的点的坐标； ②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差； ③列出关系式求解； ④检验是否每个坐标都符合题意． 2）用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半. 3）利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示： 一般步骤为：①设出直线解析式，两条平行直线k值相等； ②通过已知点的坐标，求出直线解析式； ③求出题意中要求点的坐标； ④检验是否每个坐标都符合题意． 1．（2024·江苏南京·二模）已知二次函数（a，m为常数，）． (1)求证：不论a，m为何值，该二次函数的图像与x轴总有两个公共点； (2)该二次函数的图像与x轴交于A，B两点，若不论m为何值，该二次函数的图像上都只有两个点C，D，使和的面积均为4，求a的取值范围． 2．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． (1)求的值； (2)若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标． 3．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． (1)求b、c的值； (2)求的面积的最大值． 4．（2024·江苏无锡·模拟预测）已知矩形中，，，点是边上的动点(不与重合)，设，将沿折叠至． (1)如图1，当点在对角线上时，求的值； (2)设与矩形重叠部分的面积为，求关于的函数表达式． 5．（2024·江苏·模拟预测）已知：y关于x的二次函数．    (1)若函数的图象过点，求a与b的关系； (2)如图，若函数的图象与x轴有两个公共点，并与动直线交于点P，连接，，，，其中交y轴于点D，交于点E．设的面积为，的面积为． ①当点P为抛物线顶点时，求的面积； ②探究直线l在运动过程中，是否存在最大值？若存在求出这个最大值；若不存在，说明理由． 6．（2024·江苏宿迁·一模）在平面直角坐标系中，A、B两点在抛物线图象上，抛物线的对称轴为． (1)________； (2)若A、B两点都在直线上，且，求k； (3)若抛物线的顶点D的纵坐标为9，线段AB与对称轴相交于点，如果，求的面积． 7．（2024·江苏南通·二模）二次函数的图象与x轴分别交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．点D是二次函数在第一象限图象上的一动点，过点D作轴，交二次函数图象于另一点E．作点D关于y轴的对称点P． (1)求的长； (2)若是边长为1的等边三角形，求二次函数的解析式； (3)求的值的最大值． 8．（2024·江苏常州·二模）已知二次函数，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为P，与y轴交于点D． (1)点A的坐标为___________，点B的坐标为___________； (2)如图，点M是在x轴下方抛物线上一点，面积为3m，求点M的横坐标； (3)的圆心C在x轴上，且经过A、B两点，若直线PD与相交，则m的取值范围是___________． 9．（2024·江苏徐州·三模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． (1)求抛物线的表达式和对称轴； (2)若抛物线的顶点为，求的面积； (3)已知点的坐标为点是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在、之间的部分为图像（包含、两点）．若直线与图像有公共点，结合函数图像，请直接写出点纵坐标的取值范围． 10．（2024·江苏扬州·模拟预测）我们定义：把叫做函数的伴随函数．比如：就是的伴随函数．数形结合是学习函数的一种重要方法，对于二次函数（的常数），若点在函数的图象上，则点也在其图象上，即从数的角度可以知道它的图象关于轴对称．解答下列问题： (1)的图象关于 轴对称； (2)直接写出函数的伴随函数的表达式 ； 在如图所示的平面直角坐标系中画出的伴随函数的大致图象； (3)若直线与的伴随函数图象交于、两点（点在点的上方），连接、，且的面积为12，求的值； 11．（2024·江苏南通·三模）已知抛物线的顶点为，抛物线与直线交于、两点，点 在点 的左侧． (1)直线经过定点 ，点 的坐标是____________； (2)如果直线 绕点旋转的过程中，与 始终互相垂直，求 的值； (3)抛物线与 轴交于点 ，直线与 轴交于点 ，如果 ，求 的最小值． 模型三：二次函数与角度问题 1.角度的顶点位置及其一条夹边位置已确定,且角度为特殊角(30°、45°、60°、90°) 第一步：将已知角放在直角三角形中或者构造含特殊角的直角三角形 第二步：利用锐角三角函数将角度问题转化成线段比例问题 第三步：结合锐角三角函数值列方程求解 2.角度的顶点位置不确定,对边位置及长度已确定,且角度为特殊角(30°45°60°90°)需通过定弦定角构造辅助圆,辅助圆与抛物线的交点即为所求点. 1．（2024·江苏常州·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C． (1)________； (2)如图，已知点A的坐标是． ①当，且时，y的最大值和最小值分别是s、t，，求m的值； ②连接，P是该二次函数的图像上位于y轴右侧的一点（点B除外），过点P作轴，垂足为D．作，射线交y轴于点Q，连接．若，求点P的横坐标． 2．（2024·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、（在左侧），与轴交于，一次函数的图象经过、两点． (1)分别求出、的值； (2)在二次函数图象上是否存在点，且满足？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2024·江苏泰州·二模）已知二次函数与轴交于，两点，与轴交于点．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，连接，，若点在抛物线上，且的横坐标为，连接，与相等吗？请说明理由； (3)如图2，点是线段上任意一点不与，重合），过点作轴，交抛物线于点，连接，作的外接圆，延长交于点．试说明点在某条定直线上． 4．（2024·江苏盐城·二模）已知抛物线 与x轴交于点A和点两点，与y轴交于点    (1)求此抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上一动点(不与点A，B，C重合)，作轴， 垂足为D，连接PC． ① 如图1，若点P在第三象限，且，求点 P的横坐标； ② 如图2，直线交直线于点，当点关于直线的对称点落在轴上时，直接写出四边形的周长． 5．（2024·江苏苏州·二模）如图， 已知函数 与x轴交于点 B、C， 与y轴交于点 D， 连接、， (1)该抛物线的顶点坐标为 ；（用m的代数式表示）； (2)如果点O关于直线 的对称点正好落在抛物线对称轴上，求此时m的值； (3)在（2）的条件下，在x轴上有一动点M，横坐标为t，过点M作x轴的垂线l，请问若在直线l上有且只有一个点P，使得此时t的值为多少． 6．（2024·江苏无锡·二模）如图，已知二次函数的图象与轴交于A、B（A在B左侧），与轴交于C，在函数图象上取一点D，点D和点C的纵坐标相同，，． (1)求二次函数的表达式； (2)在x轴上取点M（m，0），若二次函数图象上存在一点N，使得，且满足条件的点N有且只有3个，请求出m的值． 7．（2024·江苏宿迁·三模）已知，如图，直线与轴、轴相交于点、点，点的坐标为，点的坐标为，抛物线经过点． (1) ， ， ， ； (2)延长至点，作的平分线，两条角平分线相交于点，求的值； (3)在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 8．（2024·江苏南通·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）与x轴交于点，与y轴交于点C．P为x轴上方抛物线上的动点（不与点C重合），设点P的横坐标为m． (1)直接写出b，c的值； (2)如图，过A点的直线与y轴相交于点E，与抛物线相交于点D，过A点的另一条直线与抛物线相交于点F，求证： (3)过点P作x轴的平行线与直线交于点Q，线段的长记为d． ①求d关于m的函数解析式； ②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况． 一、单选题 1．（2024·江苏苏州·一模）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 2．（2023·江苏扬州·二模）如图，抛物线与y轴交于点A，交x轴正半轴于B，直线l过，M是抛物线第一象限内一点，过点M作轴交直线l于点N，则的最大值为 ． 3．（2024·江苏苏州·二模）已知关于x的二次函数（a，m为常数，且）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点N，Q为函数图象的顶点．的面积与的面积相等时，m的值为 ． 三、解答题 4．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，二次函数 的图象与x轴交于点A和点，以为边在x轴上方作正方形，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，同时动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，设运动时间为t秒，连接，过点P作P的垂线与y轴交于点E．    (1)求二次函数的解析式及点A的坐标； (2)当点P在线段(点P不与A、O重合)上运动至何处时，的面积的最小值，并求出这个最小值； (3)在P，Q运动过程中，当时，求t的值； (4)在P，Q运动过程中，是否存在t，使 度，若存在请求出t的值，若不存在，请说明理由． 5．（2024·江苏盐城·二模）如图1，已知直线与坐标轴相交于B、C两点，经过点B、C的抛物线与x轴交于点A． (1)求抛物线解析式； (2)若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与相似，求点D的坐标； (3)如图2，轴与抛物线相交于点E，点H是直线下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与交于点F，试探究当点H运动到何处时，四边形的面积最大，求点H的坐标及最大面积； (4)若点K为抛物线的顶点，点是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形的周长最小，求出点P，Q的坐标． 6．（2024·江苏无锡·一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴交于点A，B，二次函数的图象G经过点A，点B，与x轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图2，点P在第一象限内二次函数图象上，分别过点P作直线，x轴的垂线，垂足是E，F，当取得最大值时，求点P的坐标； (3)如图3，将二次函数的图象G沿射线的方向平移，平移后的二次函数图象恰好经过点B，点Q为图象上一点，直线与直线相交于点M，若，求点Q的横坐标． 7．（2024·江苏南通·二模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在一点，满？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，过点作的垂线，垂足为，，分别为射线，上的两个动点，且满足，连接，请直按写出的最小值． 8．（2024·江苏淮安·三模）二次函数 的图像与x轴交于A，C两点，点，与y轴交于点． (1) ， ； (2)如图，P 是x轴上一动点，点在y轴上，连接PD，求 的最小值．并求出此时点 P的坐标． (3)在（2）成立的前提下，在抛物线 是否存在点Q，使得 存在，请直接写出点Q的坐标，不存在请说明理由． 9．（2024·江苏连云港·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线与x轴交于另一点． (1)求抛物线的表达式： (2)点P是x轴上一点，以P为圆心，为半径的圆与直线相切，求圆心P的坐标； (3)点M为直线下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当的面积最大时，求的最小值． 10．（2024·江苏宿迁·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，顶点D的坐标为，点P是第一象限抛物线上的一动点．    (1)求抛物线的函数表达式． (2)如图2，连接、、，线段与相交于点E，设则w有最大值还是最小值？请做出判断，并求出w的最值． (3)如图3，点Q为第四象限抛物线上的另一动点，连接交y轴于点H，线段与y轴的交点记为G，用m表示的长，用n表示的长，若在P、Q两点运动的过程中，m与n始终满足函数关系式试探究直线是否过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 11．（2024·江苏泰州·三模）已知，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是二次函数图象上的一个动点． (1)如图1，当时，点D在第一象限内； ①求点C的坐标，并直接写出直线的函数表达式； ②连接、，若面积是面积的4倍，求点D的坐标； (2)如图2，过点D作交抛物线于点E（与不重合），连接，，直线与交于点F，点F的横坐标为t，试探究的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；如果不为定值，请说明理由． 12．（2024·江苏盐城·三模）如图，二次函数 的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点．点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，连接． (1)点的坐标分别为 ( ， )， ( ， ) (2)如图，连接与交于点，设和的面积分别为和，求的最大值； (3)连接，当 时， ①求点的坐标； ②点是上的一个动点（点不与重合），连接，线段的垂直平分线交于点，交直线于点，则的取值范围是_________． 13．（2024·江苏盐城·三模）抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，直线l是抛物线的对称轴， (1)直接写出A、B、C三点坐标； (2)如图1，若一次函数的图像与抛物线相交与M、N两点， ①若时，点E是直线MN上方抛物线上的一个动点，过点E作轴交MN于点D，连接ME，NE；当的面积最大时，试求面积的最大值； ②取MN的中点P，过点P作轴交抛物线于点Q，试判断是否为一个定值，若是，求出这一定值；若不是，说明理由． 14．（2024·江苏淮安·一模）如图①，二次函数的图象与直线交于、两点．点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，交该二次函数的图象于点，设点的横坐标为． (1) ， ； (2)若点在点的上方，且，求的值； (3)将直线向上平移4个单位长度，分别与轴、轴交于点、（如图②）． ①记的面积为，的面积为，是否存在，使得点在直线的上方，且满足=？若存在，求出及相应的、的值；若不存在，请说明理由． ②当时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、、，若，直接写出点F的坐标． 15．（2024·江苏扬州·二模）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，顶点为D．O为坐标原点． (1)求二次函数的表达式； (2)求四边形的面积； (3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若，则P点的坐标为_______． 16．（2024·江苏宿迁·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与坐标轴分别相交于点A，B，三点，其对称轴为． (1)求该抛物线的解析式； (2)点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与y轴，直线交于点D，E． ①当时，求的长； ②若，，的面积分别为，，，且满足，求点F的坐标． 17．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，（在的左边），与轴相交于点，已知、，，是y轴上的动点（位于点下方），过点的直线l垂直于y轴，与抛物线相交于两点、（在的左边），与直线交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，四边形是正方形，连接，的面积为，正方形的面积为，求的取值范围； (3)如图2，以点为圆心，为半径作． ①动点在上，连接，请直接写出的最小值为 ； ②点是y轴上的一动点，连接，当的值最大时，请直接写出的坐标． 18．（2024·江苏镇江·二模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点C，下表给出了该抛物线上部分点的坐标值： x 0 1 2 3 4 y 4 0 -2 -2 0 (1)求二次函数的表达式； (2)点D在抛物线的对称轴上，若的面积为 ，则点D的坐标为 ； (3)如图2，点E是位于第四象限的抛物线上的一点， 若，求点E的坐标． 19．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，连接 (1)点B、C的坐标分别为B（ ， ），C（__，_） (2)连接与交于点D，设和的面积分别为和，求的最大值； (3)连接，当时， ①求点P的坐标； ②点E是上的一个动点（点E不与P、B重合），连接，线段的垂直平分线交于点F，交直线于点G，则的取值范围是_________． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 二次函数与线段、面积、角度问题常见的三种模型 模型一：二次函数与线段问题 1 模型二：二次函数与面积问题 24 模型三：二次函数与角度问题 48 74 模型一：二次函数与线段问题 一、抛物线与动线段交点问题 1.动线段在x轴上(点C在点D左侧) 交点情况 无交点 有一个交点 有两个交点 图示 满足条件 动线段CD在点A左侧或在点B右侧 点D(或点C)在AB之间 点C在点A左侧且点D在点B右侧 2.动线段在直线上(点 C在点 D上方) 交点情况 无交点 有一个交点 有两个交点 图示 满足条件 点D在点A上方或点C在点B下方 点D(或点C)在AB之间 点C在点A上方且点D在 点B下方 3.动线段一端点在直线上(点C在直线上,且在点D右侧) 交点情况 无交点 有一个交点 有两个交点 图示 满足条件 点C在点A下方或点C在点M上方 点C在点A或CD经过点M处或点C在点A上方且在点B下方 点C在点B处或点C在点B上方且在点M下方 二、抛物线中的线段最值问题 1．平行于坐标轴的线段的最值问题：常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式，运用二次函数性质求解．求最值时应注意： ①当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标； ②当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标．在确定最值时，函数自变量的取值范围应确定正确． 2. 两条线段和的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”， 解决这类问题的方法是：作其中一个定点关于已知直线的对称点，连接对称点与另一个定点，它们与已知直线的交点即为所求的点. 其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等. 【常见模型一】（两点在河的异侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小. 方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。 【常见模型二】（两点在河的同侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小. 方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长。 3. 两条线段差的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“三角形任何两边之差小于第三边”， 解决这类问题的方法是：求解时,先根据原理确定线段差取最值时的图形,再根据已知条件求解。 【常见模型一】（两点在同侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值 方法：如右图，延长射线AB，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB 【常见模型二】（两点在异侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值。 方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’， 延长射线AB’，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB’ 1．（2024·江苏连云港·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a、b为常数，）．    (1)若抛物线与轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式； (2)如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接．求证：平分； (3)当，时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点．若的最大值为4，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，根据题意，求得，，进而求出，，利用勾股定理求出，求出，从而得到，结合平行线的性质即可证明结论； （3）设，则，，求出当时，，得到点在的上方，设，故，其对称轴为，分为和两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：分别将，代入， 得， 解得． 函数表达式为； （2）解：连接，   ， ． 当时，，即点，当时，，即点． ，， ，，， 在中，． ， ， ． ， ． ． 平分． （3）解：设，则，． 当时，． 令， 解得，． ， ， 点在的上方（如图1）．      设， 故， 其对称轴为，且． ①当时，即． 由图2可知：    当时，取得最大值． 解得或（舍去）． ②当时，得， 由图3可知：    当时，取得最大值． 解得（舍去）． 综上所述，的值为． 【点睛】本题考查抛物线与角度的综合问题，抛物线与x轴的交点，二次函数的解析式及最值等问题，关键是利用二次函数的性质求最值． 2．（2024·江苏苏州·中考真题）如图①，二次函数的图象与开口向下的二次函数图象均过点，． (1)求图象对应的函数表达式； (2)若图象过点，点P位于第一象限，且在图象上，直线l过点P且与x轴平行，与图象的另一个交点为Q（Q在P左侧），直线l与图象的交点为M，N（N在M左侧）．当时，求点P的坐标； (3)如图②，D，E分别为二次函数图象，的顶点，连接，过点A作．交图象于点F，连接EF，当时，求图象对应的函数表达式． 【答案】(1) (2)点P的坐标为 (3) 【分析】（1）运用待定系数法求函数解析式即可； （2）可求对应的函数表达式为：，其对称轴为直线．作直线，交直线l于点H．（如答图①）由二次函数的对称性得，， ，由，得到，设，则点P的横坐标为，点M的横坐标为，，，故有，解得，（舍去），故点P的坐标为； （3）连接，交x轴于点G，过点F作于点I，过点F作轴于点J，（如答图②），则四边形为矩形，设对应的函数表达式为，可求，，则，，，而，则．设，则，，，即，可得，故，则，则①，由点F在上，得到，化简得②，由①，②可得，解得，因此，故的函数表达式为． 【详解】（1）解：（1）将，代入，得， ， 解得： 对应的函数表达式为：； （2）解：设对应的函数表达式为，将点代入 得：， 解得：． 对应的函数表达式为：，其对称轴为直线． 又图象的对称轴也为直线， 作直线，交直线l于点H（如答图①） 由二次函数的对称性得，， ∴． 又，而 ． 设，则点P的横坐标为，点M的横坐标为． 将代入，得， 将代入，得． ，， 即，解得，（舍去）． 点P的坐标为； （3）解：连接，交x轴于点G，过点F作于点I，过点F作轴于点J．（如答图②） ，轴，轴， 四边形为矩形， ，． 设对应的函数表达式为， 点D，E分别为二次函数图象，的顶点， 将分别代入， 得， ∴，， ，，． 在中，． ， ． 又， ． ． 设，则，． ， ． ， ． ， ． 又， ， ① 点F在上， ， 即． ， ② 由①，②可得． 解得（舍去），， ． 的函数表达式为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，矩形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 3．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)一个二次函数的图像经过B、C、三点，其中，该函数图像与x轴交于另一点D，点D在线段上（与点O、B不重合）． ①若D点的坐标为，则_________； ②求t的取值范围： ③求的最大值． 【答案】(1)，， (2)①6；②且；③4 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，二次函数的最值问题等相关知识，熟练掌握相关知识是解题基础． （1）根据顶点式可直接得出点的坐标；令，解方程，可得出点，的坐标； （2）①根据函数的对称性，可得出对称轴为直线，再根据点，的坐标可得出，关于对称轴对称，由此可得出的值； ②由对称轴的性质可知，二次函数图象的对称轴与轴的交点坐标为，，再由对称性可知，，由点在线段上，且与端点不重合，可得，即，而当时，过点，，三点的二次函数不存在，由此可得且； ③，根据二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：二次函数的图象的顶点为， ； 令，解得或， ，； （2）解：①由题知，该函数过点，，， 函数的解析式为：， 函数的对称轴为直线， ，， 点，关于对称轴对称， ， ， 故答案为：6； ②设二次函数的解析式为：， 将，，两点代入，得， ， ， ， 二次函数图象的对称轴与轴的交点坐标为，， ，两点关于对称轴对称，点， ， 点在线段上，且与端点不重合， ，即， 时，过点，，三点的二次函数不存在， 且； ③，， ． ， 且， 时，有最大值，最大值为4． 4．（2024·江苏扬州·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使的周长最小，求的周长的最小值及此时点的坐标； (3)若为抛物线在第一象限的一动点，则最大值 ． 【答案】(1)； (2)的周长的最小值为，点P的坐标为 (3) 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）如图1中，连接与对称轴交于点，此时的周长最小．求出直线的解析式即可解决问题； （3）为抛物线在第一象限的一动点，则，，依据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：， 抛物线的对称轴为直线， 连接交对称轴于点，此时，取得最小值，最小值为的长， 令，则， ， ，， ，， 的周长的最小值为， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； （3）解：为抛物线在第一象限的一动点， ， ， 当时取最大值， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的综合题、待定系数法、一次函数、最小值问题等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会利用对称的思想解决最小值问题． 5．（2024·江苏连云港·二模）如图，已知、、三点的坐标分别为、、，抛物线的图象经过、两点    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)过点作线段的平行线，交抛物线于点，连接，试判断四边形的形状； (3)点为线段上一动点，过点作轴的平行线，交该抛物线于点，当线段的长最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)四边形是菱形，理由见解析 (3) 【分析】（1）用待定系数法即可求函数的解析式； （2）利用待定系数法求出的解析式，再求出直线的解析式，联立抛物线与直线解析式，可知点的坐标，即可得出结论； （3）设，则，表示出的长，然后根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：(1)将点，代入， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）四边形是菱形，理由如下： 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， ， 设直线的解析式为 ，解得， 直线的解析式为， 联立， 解得或， ， ， ， 四边形是平行四边形， 、、三点的坐标分别为，、，、，， ， 四边形是菱形； （3）设，则， ， 当时，线段的长最大，， 点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法，平行四边形的判定，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的判定及性质是解题的关键． 6．（2024·江苏扬州·二模）如图，抛物线经过，两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线与轴交于点D． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点H是抛物线对称轴上一动点，分别连接，求的最小值． 【答案】(1)该抛物线的表达式为； (2)的最小值为 【分析】本题考查待定系数法求解析式和利用轴对称求最小值； （1）利用待定系数法求解抛物线表达式即可； （2）利用轴对称求最小值即可，的最小值为即，通过勾股定理求解即可． 【详解】（1）把，代入得： 解得： ∴该抛物线的表达式为； （2）由（1）得：抛物线的表达式为 ∴对称轴，顶点 ∴ 设直线解析式为， 将，代入得：，解得 ∴直线解析式为， ∴当时， ∴ ∵点A关于对称轴的对称点为点 ∴的最小值为即 ∴ ∴的最小值为 7．（2024·江苏泰州·一模）已知抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，顶点为D． (1)求的面积； (2)若时，求m的值； (3)如图，当时，过顶点D作直线交x轴于点E，点G与点E关于点D对称，点M、N分别在线段上，若线段与抛物线有且只有一个交点（与x轴不平行），求的值． 【答案】(1)8 (2)1或3 (3) 【分析】（1）把解析式化为顶点式得到顶点D的坐标为，再求出，得到，据此根据三角形面积计算公式求解即可； （2）先求出，得到，再求出根据建立方程求解即可； （3）当时，，则，利用勾股定理得到；利用待定系数法可得直线的函数表达式为：，直线的函数表达式为：设直线的函数表达式为： 联立得到，则可得；联立，解得，即，同理：可得；设，则点M、N到直线的距离分别为，，根据，得到，据此求出即可得到答案． 【详解】（1）解：将化成顶点式得， ∴顶点D的坐标为 令，则，解得， ∵A在B的左边 ∴， ∴， ∴； （2）解：令，则， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴当时，，，解得，或 (舍去)， 当时，，，解得或(舍去)； 综上所述，m的值为1或3； （3）解：当时，， ∵点G与点E关于点D对称， ∴， ∴； 利用待定系数法可得直线的函数表达式为：，直线的函数表达式为： 设直线的函数表达式为： 联立得到 ∵直线与抛物线只有一个公共点， ∴ ∴ ∴直线的函数表达式为：， 联立，解得， ∴， 同理：可得， 由对称性可得，设， ∴点M、N到直线的距离分别为，， ∵， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，解直角三角形，勾股定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 8．（2024·江苏扬州·三模）抛物线交轴正半轴于两点（点在点的左边），交轴于点； (1)如图①．连接，，若面积为3， ①求抛物线解析式； ②抛物线上存在点（不与重合），使得与全等，直接写出点坐标________． (2)如图②、若点为点右侧抛物线上的动点，直线、分别交轴于点、，判断是否为定值，请说明理由． (3)如图②，在第（2）的条件下，线段的延长线交于点，点恰好为的中点，求点的横坐标． 【答案】(1)①；② (2)是定值 (3)点的横坐标为6 【分析】（1）①令，解得：或3，令，则，则点、、的坐标分别为、、，再根据即可求解； （2）设点，点，，把点P、A坐标代入一次函数表达式求得，确定点D坐标为，同理可得点，代入求解即可确定结果； （3）求出，由中点坐标公式得：，即可求解． 【详解】（1）解：①令， 解得：或3， 令，则， 则点、、的坐标分别为、、， ， 解得：， 故抛物线的表达式为：； ②当与全等时， 则点、关于抛物线的对称轴对称， 则点， 故答案为：； （2）的值是定值；理由如下： 设点，点，， 把点、坐标代入一次函数表达式：得： ， 解得：， ∴的函数表达式为：， 即点D坐标为， 把点、坐标代入一次函数表达式：得： ， 解得：， ∴的函数表达式为：， ∴点E的坐标为， ∴为定值； （3）由点、的坐标同上得，直线的表达式为：， 同理可得，直线的表达式为：， 联立上式两式得：， 解得：， 由（3）知，，， ∵恰好为的中点， 由中点坐标公式得：， 解得：或0（舍去）， 即点的横坐标为6． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、全等三角形等知识，作出求出对应函数的函数解析式是解题的关键． 模型二：二次函数与面积问题 一、面积问题的解题步骤 第一步：根据二次函数的表达式求出抛物线上特殊点的坐标，如与坐标轴的交点坐标，顶点坐标等 第二步：根据点坐标表示出线段长 第三步：根据线段长求出图形的面积，常涉及边与坐标轴不平行的三角形和不规则四边形(可分割成三角形与特殊四边形)，利用“水平宽x铅垂高”和补全图形法求解。 二、平面直角坐标系中面积数量关系的转化方法: 1.两三角形同底:可构造平行线进行面积转化,如图①,作直线I//AB 交抛物线于点P,则 2.两三角形同高:可将面积比转化为线段比,如图②,直线!与抛物线交于点 P,与 AB 交于点Q,则 3.图形面积平分:若图形为三角形,构造三角形任意一条中线,该中线平分这个三角形的面积 如图③,直线!经过点A和 BC 的中点 P,则 三、抛物线中的面积最值问题 1）当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下： 一般步骤为：①设出要求的点的坐标； ②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差； ③列出关系式求解； ④检验是否每个坐标都符合题意． 2）用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半. 3）利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示： 一般步骤为：①设出直线解析式，两条平行直线k值相等； ②通过已知点的坐标，求出直线解析式； ③求出题意中要求点的坐标； ④检验是否每个坐标都符合题意． 1．（2024·江苏南京·二模）已知二次函数（a，m为常数，）． (1)求证：不论a，m为何值，该二次函数的图像与x轴总有两个公共点； (2)该二次函数的图像与x轴交于A，B两点，若不论m为何值，该二次函数的图像上都只有两个点C，D，使和的面积均为4，求a的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)，且 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，关键是掌握二次函数的性质． （1）证明判别式即可； （2）先求出坐标，求出，再根据二次函数的图象上都只有两个点，使和的面积均为4，得出抛物线的顶点到轴的距离小于2，解不等式即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ∴不论为何值，该二次函数的图象与轴总有两个公共点； （2）令，则， ， ， ， ， ， ， ∴到轴的距离为2， ∵该二次函数的图象上都只有两个点，使和的面积均为4， ∴二次函数的顶点到轴的距离小于2， 即， 解得，且， ∴的取值范围为，且． 2．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． (1)求的值； (2)若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据题意设，结合几何图形面积计算方法可得点的纵坐标，代入后解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图像与轴交于，两点， ∴， 解得，， ∴； （2）解：由（1）可知二次函数解析式为：，，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，无解，不符合题意，舍去； 当时，，； ∴． 3．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． (1)求b、c的值； (2)求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)最大值为8 【分析】本题考查二次函数的综合，一次函数的性质，用割补法得出△PAB的面积是关键． （1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b，c； （2）由（1）可得：，设，作交于E，则，则，得出面积，即可解答． 【详解】（1）解：当时，；当时，， 则，， 则， 解得：； （2）解：由（1）可得：，设，作交于E， 则，则， ∴， 当时，最大值为8． 4．（2024·江苏无锡·模拟预测）已知矩形中，，，点是边上的动点(不与重合)，设，将沿折叠至． (1)如图1，当点在对角线上时，求的值； (2)设与矩形重叠部分的面积为，求关于的函数表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数与面积问题，灵活运用知识点、分类讨论是解题的关键． （1）根据矩形的性质、折叠的性质，得出，，推出，证明，得出，则，计算即可； （2）分“当时”和“当时”两种情况讨论．当时，点在左侧以及上，则此时，得出函数表达式；当时，点在右侧，记和交于点，过点作于点，根据折叠的性质，得出，证明四边形是矩形，得出，设，则，根据勾股定理，则，得出，表示出，根据，得出函数表达式．综合两种情况，得出关于的函数表达式即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，将沿折叠至，当点在对角线上， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：当时，点在左侧以及上， 此时； 如图，当时，点在右侧，记和交于点，过点作于点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，四边形是矩形， ∴，，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 展开得：， 整理得：， ∴； 综上所述，． 5．（2024·江苏·模拟预测）已知：y关于x的二次函数．    (1)若函数的图象过点，求a与b的关系； (2)如图，若函数的图象与x轴有两个公共点，并与动直线交于点P，连接，，，，其中交y轴于点D，交于点E．设的面积为，的面积为． ①当点P为抛物线顶点时，求的面积； ②探究直线l在运动过程中，是否存在最大值？若存在求出这个最大值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①6 ，②存在； 【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤，相似三角形的判定和性质，以及二次函数的图象和性质． （1）把代入即可解答； （2）①设直线l与交于点F，用待定系数法求出抛物线的解析式为，则，，再求出直线的解析式为，则，进而得出，最后根据的面积即可解答；②设直线交x轴于H，则，通过证明，得出，根据得出函数关系式，结合二次函数的性质，即可解答． 【详解】（1）解：∵函数的图象过点， ∴代入得：， 化简得：； （2）解：①如图1，设直线l与交于点F，    把代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴， ∵，点P为抛物线顶点， ∴， ∵， ∴直线的解析式为， 把代入得：， ∴， ∴， ∴的面积， ②存在最大值，理由如下： 如图2，设直线交x轴于H，    由①得，，，，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴当时，存在最大值，最大值为． 6．（2024·江苏宿迁·一模）在平面直角坐标系中，A、B两点在抛物线图象上，抛物线的对称轴为． (1)________； (2)若A、B两点都在直线上，且，求k； (3)若抛物线的顶点D的纵坐标为9，线段AB与对称轴相交于点，如果，求的面积． 【答案】(1)2 (2)或1 (3)的面积为 【分析】（1）根据对称轴的，即可求解， （2）由A、B两点为直线与抛物线的交点，得到，即：，根据根与系数关系，得到，，由两点间距离公式得到，即：，代入，即可求解， （3）将抛物线化为顶点式，由顶点D的纵坐标为9，可得， ，，，设直线解析式为：，与抛物线解析式联立，可得，由根与系数关系得到，，消去得到：，由，，得到，代入，即可求出或，求出，，代入即可求解， 本题考查了，对称轴，根与系数关系，两点间距离公式，二次函数综合，解题的关键是：根据题意列出等量关系式． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为：， 故答案为：2， （2）解：∵A、B两点都在直线上，在抛物线图象上， ∴，整理得：， ∴，，，， ∵， ∴， ∴整理得：， ∴， ∴，解得：或， 故答案为：或1， （3）解：∵，顶点D的纵坐标为9， ∴，解得：， ∴，， ∵抛物线的对称轴为：直线，线段与对称轴相交于点， ∴，， 设直线解析式为：， ∴，整理得：， ∴，整理得：，， ∴，即：， ∵， ∴， ∴，整理得：， 代入，得，整理得：， 解得：或， 当时，，， 当时， ，， ∵，， ∴， 故答案为： 的面积为． 7．（2024·江苏南通·二模）二次函数的图象与x轴分别交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．点D是二次函数在第一象限图象上的一动点，过点D作轴，交二次函数图象于另一点E．作点D关于y轴的对称点P． (1)求的长； (2)若是边长为1的等边三角形，求二次函数的解析式； (3)求的值的最大值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，等边三角形的性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理等等： （1）先求出，，进而求出对称轴为直线，设，则，，则； （2）先求出，推出点C在线段的垂直平分线上，得到，则，如图所示，过点C作于H，求出，则，解方程即可得到答案； （3）设点的坐标为．证明四边形是平行四边形．推出，则当时，的值有最大值． 【详解】（1）解： ，． 对称轴为直线． 设，则． 利用抛物线的对称性可知：， ． 为2． （2）解：是边长为1的等边三角形，，轴， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴， ∴ ， 如图所示，过点C作于H， ∴, ∴， ∴， 解得． 二次函数解析式为． （3）解：设点的坐标为． 点， ． ， ， 又∵， 四边形是平行四边形． ，， 当时，的值有最大值． 8．（2024·江苏常州·二模）已知二次函数，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为P，与y轴交于点D． (1)点A的坐标为___________，点B的坐标为___________； (2)如图，点M是在x轴下方抛物线上一点，面积为3m，求点M的横坐标； (3)的圆心C在x轴上，且经过A、B两点，若直线PD与相交，则m的取值范围是___________． 【答案】(1)， (2)1或2 (3) 【分析】（1）令，则，解之，即可求解； （2）过点M作轴于N，设，根据，即，化简整理，得，解之即可求解； （3）连接，作直线，过点C作于E，过点D作于F，求得，，，，再证明，求得，若直线PD与相交，则， 即，又，求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得：，， ∴，； （2）解：过点M作轴于N， 设， ∵， ∴， 化简整理，得 解得：，， ∴点M的横坐标为1或2； （3）解：连接，作直线，过点C作于E，过点D作于F，如图， ∵，， ∴， ∵的圆心C在x轴上，且经过A、B两点， ∴， ∵， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 若直线PD与相交，则， 即， ∴ 又∵， ∴． 【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点，二次函数图象性质，二次函数与面积综合，相似三角形的判定与性质，直线与圆的位置关系．此题综合性较强，熟练掌握相关性质是解题的关键． 9．（2024·江苏徐州·三模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． (1)求抛物线的表达式和对称轴； (2)若抛物线的顶点为，求的面积； (3)已知点的坐标为点是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在、之间的部分为图像（包含、两点）．若直线与图像有公共点，结合函数图像，请直接写出点纵坐标的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，一次函数与抛物线交点问题； （1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，进而利用公式求得对称轴解析式； （2）先求得顶点坐标，过点作轴于点，过点作轴于点，根据，即可求解； （3）得出直线的解析式为，根据题意，过点时，求得，直线与抛物线图像有1个交点时，联立抛物线解析式，令，进而结合函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴ 解得：， ∴抛物线的表达式为 对称轴为直线； （2）解：∵ ∴ 过点作轴于点，过点作轴于点 ∴ （3）解：如图所示， 设， 设直线的解析式为代入， ∴ 解得： ∴ 当经过点时， 解得： 联立 消去得， 令， 即 解得：或（舍去） ∴根据函数图像可得： 10．（2024·江苏扬州·模拟预测）我们定义：把叫做函数的伴随函数．比如：就是的伴随函数．数形结合是学习函数的一种重要方法，对于二次函数（的常数），若点在函数的图象上，则点也在其图象上，即从数的角度可以知道它的图象关于轴对称．解答下列问题： (1)的图象关于 轴对称； (2)直接写出函数的伴随函数的表达式 ； 在如图所示的平面直角坐标系中画出的伴随函数的大致图象； (3)若直线与的伴随函数图象交于、两点（点在点的上方），连接、，且的面积为12，求的值； 【答案】(1) (2)①；②见解析 (3) 【分析】（1）根据点和点都在的图象上即可得解； （2）①由伴随函数的定义即可得出答案；②描点连线画出函数图象即可； （3）由，消去得到，由一元二次方程根与系数的关系，，推出，求出，再由，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点和点都在的图象上， ∴的图象关于轴对称； （2）解：①由伴随函数的定义可得：函数的伴随函数的表达式； ②在中， 当时，； 当时，， 当时，， 描点连线绘制函数图象如下： （3）解：如图： 由，消去得到， ∴，， ∴， 在中，令，则， 解得， ∴， ∴，即， 解得：． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质、一次函数的性质、伴随函数的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题． 11．（2024·江苏南通·三模）已知抛物线的顶点为，抛物线与直线交于、两点，点 在点 的左侧． (1)直线经过定点 ，点 的坐标是____________； (2)如果直线 绕点旋转的过程中，与 始终互相垂直，求 的值； (3)抛物线与 轴交于点 ，直线与 轴交于点 ，如果 ，求 的最小值． 【答案】(1) (2) (3)最小为 【分析】（1）把一次函数解析式化为即可得到定点坐标； （2）设点A的坐标为，点B的坐标为，则可得到,然后求得，然后过点A作轴于点G，点B作轴于点F，则有，即，即，联立解方程即可； （3）连接，则轴且，则，然后求出，根据题意得，然后根据，利用二次函数的性质解题即可． 【详解】（1）解： ∴直线经过定点. （2）解：抛物线的顶点坐标为， 设点A的坐标为，点B的坐标为， 联立与 得, ∴, ∴， 如图，过点A作轴于点G，点B作轴于点H， 则， ∴， ∴， ∴，即， 即，即， ∴ ∴， 即， 解得：； （3）如图，连接， 则轴且， ∴， 当时，， ∴点F的坐标为， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，或 当点E在F上方时， 又∵， ∴当时，最小，最小为； 当点E在F下方时， 又∵ 综上所述，最小值为． 【点睛】本题考查二次函数和一次函数的图像和性质，一元二次方程与二次函数的联系，根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键． 模型三：二次函数与角度问题 1.角度的顶点位置及其一条夹边位置已确定,且角度为特殊角(30°、45°、60°、90°) 第一步：将已知角放在直角三角形中或者构造含特殊角的直角三角形 第二步：利用锐角三角函数将角度问题转化成线段比例问题 第三步：结合锐角三角函数值列方程求解 2.角度的顶点位置不确定,对边位置及长度已确定,且角度为特殊角(30°45°60°90°)需通过定弦定角构造辅助圆,辅助圆与抛物线的交点即为所求点. 1．（2024·江苏常州·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C． (1)________； (2)如图，已知点A的坐标是． ①当，且时，y的最大值和最小值分别是s、t，，求m的值； ②连接，P是该二次函数的图像上位于y轴右侧的一点（点B除外），过点P作轴，垂足为D．作，射线交y轴于点Q，连接．若，求点P的横坐标． 【答案】(1)3 (2)①；②1或或 【分析】（1）当时，，即； （2）①先求出解析式为，可知对称轴为直线：，当，且时，y随着x的增大而减小，故当，，当时，，由得，，解得；②在中，可求，由题意得，，，四边形为平行四边形或等腰梯形，当点P在x轴上方，四边形为平行四边形时，则，则，设，则，则，故，则，将点代入，得，解得，故；当四边形为等腰梯形时，则，过点P作轴于点E，则，由，得，则，设，则，故，解得，即；当点P在x轴下方抛物线上时，此时四边形为平行四边形，则，设，则，而，故，即，可得，将点P代入，得，解得或（舍），因此，综上：点P的横坐标为1或或． 【详解】（1）解：当时，，即； （2）解：①将点A代入 得，， 解得：， ∴解析式为：， 而， ∴对称轴为直线：， 当，且时， ∴y随着x的增大而减小， ∴当，，当时，， 由得，， 解得：或（舍） ∴； ②在中，， 由题意得，，， ∴四边形为平行四边形或等腰梯形， 当点P在x轴上方，四边形为平行四边形时，则， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， 将点代入， 得：， 解得：或（舍）， ∴； 当四边形为等腰梯形时，则，过点P作轴于点E， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴设，则， ∴， ∴， 即； 当点P在x轴下方抛物线上时，此时四边形为平行四边形，则， ∵ ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 将点P代入， 得：， 解得：或， 而当时，，故舍， ∴， 综上：点P的横坐标为1或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求函数解析式，二次函数的图像与性质，图像与坐标轴的交点，平行四边形的性质，等腰梯形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 2．（2024·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、（在左侧），与轴交于，一次函数的图象经过、两点． (1)分别求出、的值； (2)在二次函数图象上是否存在点，且满足？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)的坐标为或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）当点在轴右侧时，利用解直角三角形的方法求出，得到，进而求解；当点在轴左侧时，同理求解即可． 【详解】（1）解：令，则或， 即点、的坐标分别为：、， 将点的坐标代入一次函数表达式得：，则， 则一次函数表达式为：， 将点的坐标代入一次函数表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； 即，； （2）解：存在，理由： 当点在轴右侧时， 设交于点，过点作于点， 则， 而，则， 设，则， 在中，， 则， 设直线解析式为， 由点、的坐标得，解得， 则直线的表达式为：， 设点， 则， 解得：或（不合题意，舍去）， 则点， 由点的坐标得，同理可求直线的表达式为：， 联立直线和抛物线的表达式得：， 解得：或（不合题意，舍去）， 则点的坐标为：． 当点在轴左侧时，同理可求直线的表达式为：， 联立直线和抛物线的表达式得：， 解得：或（不合题意，舍去）， 则点的坐标为：， 则点的坐标为：或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、平行四边形的性质、解直角三角形等，有一定的综合性． 3．（2024·江苏泰州·二模）已知二次函数与轴交于，两点，与轴交于点．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，连接，，若点在抛物线上，且的横坐标为，连接，与相等吗？请说明理由； (3)如图2，点是线段上任意一点不与，重合），过点作轴，交抛物线于点，连接，作的外接圆，延长交于点．试说明点在某条定直线上． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)见解析 【分析】（1）把，两点代入，由待定系数法即可求解； （2）由点、的坐标知，，的横坐标为，则点，过点作轴的平行线交于点，证明，即可求解； （3）证明，即，设由题意，可得，得出，求得，即可求解． 【详解】（1）把，两点代入得， ，解得， ； （2），理由： 如图，由点、的坐标知，， 的横坐标为，则点， 过点作轴的平行线交于点，    将代入，得， ， 设直线的表达式为：，由点、的坐标得， ，解得， 直线的表达式为：， 当时，， 即， ，， ， 则； （3）连接，，由题意，，   ， ． 设由题意 轴， ， 因为，， ，， ， ．整理得． 在轴上，且在轴上方， 点始终在直线上． 【点睛】本题为二次函数综合运用，涉及到三角形相似和全等、圆的基本性质等，综合性强，难度适中． 4．（2024·江苏盐城·二模）已知抛物线 与x轴交于点A和点两点，与y轴交于点    (1)求此抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上一动点(不与点A，B，C重合)，作轴， 垂足为D，连接PC． ① 如图1，若点P在第三象限，且，求点 P的横坐标； ② 如图2，直线交直线于点，当点关于直线的对称点落在轴上时，直接写出四边形的周长． 【答案】(1)； (2)①点P的横坐标为；②或． 【分析】（1）将，两点坐标代入抛物线的解析式，从而求得，，进而求得结果； （2）①根据为直角三角形，进而求得点坐标，从而求出的解析式，将其与抛物线的解析式联立，化为一元二次方程，从而求得结果； ②可推出四边形是菱形，从而得出，分别表示出和，从而列出方程，进一步求得结果． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， ； （2）解：①如图1，延长直线交轴于，    ∵， ，，， ， 点， 直线的解析式为：， 由得， ，（舍去）， 点的横坐标为； ②如图2，        设点，四边形的周长记作， 点在第三象限时，作轴于， 点与关于对称， ，， ∵轴， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， 为菱形， ， ∵， ， ， ， 设直线的解析式为 ∴解得： ∴直线的解析式为 ， ， （舍去），， ， ， 当点在第二象限时， 同理可得： ， （舍去），， ， 综上所述：四边形的周长为：或． 【点睛】本题考查了求一次函数和二次函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，轴对称性质等知识，解决问题的关键是正确分类，作辅助线，表示出线段的数量． 5．（2024·江苏苏州·二模）如图， 已知函数 与x轴交于点 B、C， 与y轴交于点 D， 连接、， (1)该抛物线的顶点坐标为 ；（用m的代数式表示）； (2)如果点O关于直线 的对称点正好落在抛物线对称轴上，求此时m的值； (3)在（2）的条件下，在x轴上有一动点M，横坐标为t，过点M作x轴的垂线l，请问若在直线l上有且只有一个点P，使得此时t的值为多少． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合题，掌握二次函数的图像和性质、三角形相似和判定、勾股定理是解题的关键. （1）利用配方法得到顶点坐标即可； （2）先求出、和D的坐标，设对称轴与x轴交于点E，连接，然后根据轴对称得到的长，再根据得到解题即可； （3）以为直径作圆S，则满足的点P在圆S的切线上，然后根据切线的性质解题即可. 【详解】（1）解：， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：如图，设对称轴与x轴交于点E，连接， 令 则或, ∴点、的坐标分别为: 、, 当时，， ∴点D的坐标为， ∵O关于直线 的对称点正好落在抛物线对称轴上， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得； （3）当时，， ∴点D的坐标为， ∴， 以为直径作圆S， ∴点S的坐标为， ∵直线l上有且只有一个点P，使得 ∴直线l与圆S相切于点P， 如图，当直线l在点B右侧时，连接， 则，， ∴； 同理当当直线l在点B左侧时，； 综上所述，满足题意的值为或． 6．（2024·江苏无锡·二模）如图，已知二次函数的图象与轴交于A、B（A在B左侧），与轴交于C，在函数图象上取一点D，点D和点C的纵坐标相同，，． (1)求二次函数的表达式； (2)在x轴上取点M（m，0），若二次函数图象上存在一点N，使得，且满足条件的点N有且只有3个，请求出m的值． 【答案】(1)二次函数的表达式为； (2)满足条件的点有且只有3个，的值为或． 【分析】（1）先求出二次函数的图象对称轴为直线，可得，根据，即可得，，再用待定系数法可得二次函数的表达式为； （2）过作交抛物线于，，作关于轴的对称直线交抛物线于，，画出图形可知，此时满足条件的有，两个；求出直线解析式为，求得直线解析式为；移动，使直线与抛物线只有一个交点时，满足条件的点有且只有3个，故有两个相等的实数解，有，解得；当移动，使直线与抛物线只有一个交点时，满足条件的点有且只有3个，同理可得有两个相等的实数解，． 【详解】（1）解：点和点的纵坐标相同， 和关于抛物线的对称轴直线对称， 又二次函数的图象对称轴为直线， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得（负值已舍去）， ，， ，， 把，代入得： ， 解得， 二次函数的表达式为； （2）解：， 又， ， 过作交抛物线于，，作关于轴的对称直线交抛物线于，，如图： 由平行线性质知， 由对称性知， ， 此时满足条件的有，两个； 由，可得直线解析式为， 设直线解析式为，将代入得： ， ， 直线解析式为， 直线与直线关于轴对称， 直线解析式为， 当移动，使直线与抛物线只有一个交点时，满足条件的点有且只有3个，如图： 此时有两个相等的实数解，即有两个相等的实数解， △， 即， 解得； 当移动，使直线与抛物线只有一个交点时，满足条件的点有且只有3个，如图： 同理可得有两个相等的实数解， ， 解得； 综上所述，满足条件的点有且只有3个，的值为或． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，一次函数图象与系数的关系，直线与抛物线的位置关系等，解题的关键是分类讨论思想的应用． 7．（2024·江苏宿迁·三模）已知，如图，直线与轴、轴相交于点、点，点的坐标为，点的坐标为，抛物线经过点． (1) ， ， ， ； (2)延长至点，作的平分线，两条角平分线相交于点，求的值； (3)在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；；； (2)0.5 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）将代入直线即可得出的值，得出，再利用待定系数法即可得出的值； （2）求出，，，由等边对等角得出，由角平分线的定义结合三角形内角和定理得出，最后根据正切的定义计算即可得出答案； （3）求出抛物线的对称轴为直线，设，作于，求出，得到点在以为圆心，为半径的圆上，作的垂直平分线交的延长线于，交于，则，，，证明，解直角三角形结合勾股定理得出，求出，以为圆心，为半径作圆，交对称轴于，则即为所求，连接，由圆周角定理可得，再利用勾股定理计算两点间的距离列出方程求解即可；作点关于直线的对称点，连接、，证明，根据对称性求出，再同理即可得出答案． 【详解】（1）解：将代入直线得：， 解得：， 直线解析式为， 当时，， ， 将，，代入抛物线解析式可得：， 解得：； （2）解：由（1）可得：，，， ，，，， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ； （3）解：存在， 由（1）可得抛物线的解析式为：， 抛物线的对称轴为直线， 设， 如图，作于， ， 由（2）可得：，， ， ，， ， ， 点在以为圆心，为半径的圆上， 作的垂直平分线交的延长线于，交于，则，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， ， ， 以为圆心，为半径作圆，交对称轴于，则即为所求，连接， 由圆周角定理可得， ， 解得：或（不符合题意，舍去）， ； 作点关于直线的对称点，连接、， 由轴对称的性质可得：，，， ， ，， ， ， ， 以为圆心，为半径作圆，交抛物线对称轴于，则即为所求，连接， 由圆周角定理可得 ， 解得：或（不符合题意，舍去）， ； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、勾股定了、角平分线的定义、解直角三角形、圆周角定理、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 8．（2024·江苏南通·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）与x轴交于点，与y轴交于点C．P为x轴上方抛物线上的动点（不与点C重合），设点P的横坐标为m． (1)直接写出b，c的值； (2)如图，过A点的直线与y轴相交于点E，与抛物线相交于点D，过A点的另一条直线与抛物线相交于点F，求证： (3)过点P作x轴的平行线与直线交于点Q，线段的长记为d． ①求d关于m的函数解析式； ②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况． 【答案】(1) (2)见解析 (3)① ②见解析 【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）过点E作于点G，勾股定理求出的长，等积法求出的长，利用三角形函数得到，再根据，即可得出结论； （3）①先根据待定系数法求出直线的解析式为，再分当时，点在点的左侧，当时，点在点的右侧两种情况讨论；②画出函数图象，分析图象即可得出结论． 【详解】（1）解：抛物线（b，c是常数）与x轴交于点， 抛物线的解析式为， 故； （2）（2）过点E作于点G， ∵，令则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， 把代入中，得， ∴，当时，， ∴， ∴， ∴在中， ， ∴， ∵ ∴； （3）解：①抛物线解析式为， 时，，即，， 设直线的解析式为， ， 解得：， 故直线的解析式为， 时，，即， 当时，点在点的左侧，， 当时，点在点的右侧，， 故； ②绘制的函数图象如图所示： 点，， 故当时，的值只有1个，故点只有1个； 当时，的值只有2个，故点只有2个； 当时，的值只有3个，故点只有3个． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，本题的关键是运用数形结合和分类讨论的思想方法 一、单选题 1．（2024·江苏苏州·一模）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】首先利用待定系数法确定该抛物线解析式，进而确定抛物线顶点的坐标；结合的长度，且是定值，故只需取最小值，即可使得的周长最小．过点作关于轴和轴对称的点，分别计算两种情况下的周长再取最小值即可． 【详解】解：根据题意，抛物线的对称轴为，且经过点， 则有，解得， ∴该抛物线的解析式为， ∵， ∴该抛物线顶点的坐标为， ∵的长度，且是定值，所以只需取最小值，即可使得的周长最小， 如图1，过点作关于轴对称的点，连接，与轴的交点即为所求的点， 则，， 设直线的解析式为， 将点和点代入， 可得，解得， 故该直线的解析式为， 当时，，即， ∵， 且， ∴此时的周长； 同理，如图2，过点作关于轴对称的点，连接，与轴的交点即为所求的点， 则， 设直线的解析式为， 将点和点代入， 可得，解得， 故该直线的解析式为， 当时，，即， ∵， 且， ∴此时的周长； ∵， ∴， ∴点在轴上时，的周长最小，此时点的坐标是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合应用、轴对称的性质、勾股定理等知识，解题关键是分类讨论，避免遗漏． 二、填空题 2．（2023·江苏扬州·二模）如图，抛物线与y轴交于点A，交x轴正半轴于B，直线l过，M是抛物线第一象限内一点，过点M作轴交直线l于点N，则的最大值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查二次函数的综合应用，先由二次函数的解析式求出点A，点B的坐标，然后求出直线的解析式，设出M的坐标，根据平行的性质表示出点N的坐标，然后M、N的横坐标相减，构造函数关系式，求出最大值即可． 【详解】解：∵ ∴当时，，解得：或， ∴点B的坐标为，点A的坐标为， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴直线的解析式为：， 设点M的坐标为， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴点N的坐标为， ∵点M在第一象限， ∴线段， 当时，有最大值为4． 故答案为：4． 3．（2024·江苏苏州·二模）已知关于x的二次函数（a，m为常数，且）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点N，Q为函数图象的顶点．的面积与的面积相等时，m的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，求出点和点的坐标，根据的面积与的面积相等，得到，进行求解即可． 【详解】解：， 当时，， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， 解得：或或； 故答案为：或或 三、解答题 4．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，二次函数 的图象与x轴交于点A和点，以为边在x轴上方作正方形，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，同时动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，设运动时间为t秒，连接，过点P作P的垂线与y轴交于点E．    (1)求二次函数的解析式及点A的坐标； (2)当点P在线段(点P不与A、O重合)上运动至何处时，的面积的最小值，并求出这个最小值； (3)在P，Q运动过程中，当时，求t的值； (4)在P，Q运动过程中，是否存在t，使 度，若存在请求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1), (2)点P运动至线段的中点时， 的面积的有最小值 (3) (4)存在，使得度 【分析】（1）将代入即可求解； （2）由题意得当最大时，点到线段的距离最小，此时的面积的最小；设，证即可求解； （3）由（2）得，结合得，可推出，即可求解； （4）延长至点，使得，连接，证得，再证得即可求解． 【详解】（1）解：将代入得：， ∴ ∴ 令，即：， 解得： ∴； （2）解：∵为定值， ∴当最大时，点到线段的距离最小，此时的面积最小 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 设， ∵ ∴ 得：, ∵ ∴当时， 即：，此时点P运动至线段的中点时，， ∴点到线段的距离，的面积的最小值为：； （3）解：由（2）得：， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：； （4）解：如图所示：    延长至点，使得，连接， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：（舍） 【点睛】本题综合考查了二次函数的解析式求解、相似三角形的判定与性质、全等三角形的常见模型等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的函数和几何基础． 5．（2024·江苏盐城·二模）如图1，已知直线与坐标轴相交于B、C两点，经过点B、C的抛物线与x轴交于点A． (1)求抛物线解析式； (2)若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与相似，求点D的坐标； (3)如图2，轴与抛物线相交于点E，点H是直线下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与交于点F，试探究当点H运动到何处时，四边形的面积最大，求点H的坐标及最大面积； (4)若点K为抛物线的顶点，点是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形的周长最小，求出点P，Q的坐标． 【答案】(1) (2)的坐标为或 (3)， (4) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）要使以为顶点的三角形与相似，则有或，进而求解； （3）由即可求解； （4）作点关于轴的对称点，作点关于于点，则点为所求点，进而求解． 【详解】（1）解：对于，令，解得， 令，则， 故点的坐标分别为， 将点的坐标代入抛物线表达式得， 解得， 故； （2）由点的坐标知，，， 要使以为顶点的三角形与相似， 则有或， ①当时，即， ∵点的坐标为， ∴， ②当时，即， 解得， ∴， 即的坐标为或； （3）∵轴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，四边形的面积最大为， 此时， 故点； （4）作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接分别交轴于点交轴于点，则点为所求点， 理由：四边形的周长为最小， ∵， ∴关于轴的对称点， ∵在抛物线上， ∴， ∴点关于轴的对称点， 由点的坐标得：直线的解析式为， 令，则， 令，则， ∴． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 6．（2024·江苏无锡·一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴交于点A，B，二次函数的图象G经过点A，点B，与x轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图2，点P在第一象限内二次函数图象上，分别过点P作直线，x轴的垂线，垂足是E，F，当取得最大值时，求点P的坐标； (3)如图3，将二次函数的图象G沿射线的方向平移，平移后的二次函数图象恰好经过点B，点Q为图象上一点，直线与直线相交于点M，若，求点Q的横坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)点的横坐标为1或或3． 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，平行线的性质，函数图象平移的性质是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，将点代入求出的值，即可求函数的解析式； （2）设，延长与直线交于点，在中，，在中，，则，当时，有最大值，此时； （3）设抛物线沿轴负方向平移个单位，则沿轴正方形平移个单位，求出平移后的函数解析式为，再确定，当点在轴下方时，，直线与抛物线的交点为；当点在轴上方时，直线轴，点横坐标为3． 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，， ， 设抛物线的解析式为， 将点代入可得， 抛物线的解析式为； （2）解：设， 延长与直线交于点， ， 在中，，， ， ， 在中，， ， 当时，有最大值，此时； （3）解：，，， ，， 设抛物线沿轴负方向平移个单位，则沿轴正方形平移个单位， 平移后的函数解析式为， 将点代入，可得（舍，， 平移后的函数解析式为， ， ， ①当点在轴下方时，， 设直线交轴于点， ∵， ∴点与点关于原点对称， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时， 解得或， 点横坐标为1或； ②当点在轴上方时， ∵，即， ∴， ∴， 即直线轴，此时重合， 点横坐标为3； 综上所述：点横坐标为1或3或． 7．（2024·江苏南通·二模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在一点，满？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，过点作的垂线，垂足为，，分别为射线，上的两个动点，且满足，连接，请直按写出的最小值． 【答案】(1) (2)存在，或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点作的角平分线，交轴于点，过点作于，得到，然后由求出，得到，过点作，垂足为，，设点坐标为，根据题意分点在第四象限和点在第三象限两种情况讨论，分别求解即可； （3）过点作，同时使得，连接，证明出，得到，得到，过点作，垂足为，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）把，，代入 得， 解得得 ∴抛物线的解析式为； （2）过点作的角平分线，交轴于点，过点作于， ∵为的角平分线，轴， ∴，，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又 ，即 在中， 又， 过点作，垂足为， 设点坐标为 ①若点在第四象限时， 或（舍） ． ②若点在第三象限时，同理可得关于轴的对称点 综上所述，或； （3）如图，过点作，同时使得，连接 ， 又 ， 过点作，垂足为， ， 在中，， ，， 在中， ∴的最小值为． 【点睛】此题考查了二次函数的综合题，解直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，灵活运用所学知识是解题的关键． 8．（2024·江苏淮安·三模）二次函数 的图像与x轴交于A，C两点，点，与y轴交于点． (1) ， ； (2)如图，P 是x轴上一动点，点在y轴上，连接PD，求 的最小值．并求出此时点 P的坐标． (3)在（2）成立的前提下，在抛物线 是否存在点Q，使得 存在，请直接写出点Q的坐标，不存在请说明理由． 【答案】(1)， (2)； (3)满足条件的点的坐标为：，，， 【分析】本题考查二次函数综合题、待定系数法、面积问题、线段最值问题； （1）将、分别代入得到二元一次方程组，解方程求得和即可； （2）如图1中，作于.先说明,然后在中,有，由垂线段最短可知，当、、共线时，最小，最后求得最小值即可； （3）如图2中，由，过点作的平行线交抛物线于、，根据，再求出直线的解析式，然后联立解方程组即；利用平移可求出、的坐标． 【详解】（1）解：把，代入， 得到，， 解得， 故答案为，． （2）如图1中，作于． ∵，， ∴， 在中，． ∵， 根据垂线段最短可知，当、、共线时最小，最小值为， 在中， ∵,，则， ∵， ∴， ∴的最小值为． ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴ （3）解：如图所示，连接， ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴过点作的平行线交抛物线于，，则，， 设直线的解析式为 ∵，， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， ∵ ∴直线的解析式为， 由， 解得或， ∴，， 根据对称性可知，直线关于直线的对称的直线与抛物线的交点、也满足条件， ∵ ∴将向右平移个单位得到的解析式为 由， 解得或， ∴，， 综上所述，满足条件的点的坐标为：，，，． 9．（2024·江苏连云港·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线与x轴交于另一点． (1)求抛物线的表达式： (2)点P是x轴上一点，以P为圆心，为半径的圆与直线相切，求圆心P的坐标； (3)点M为直线下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当的面积最大时，求的最小值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，得到，即可求解； （3）过点M作轴交于点H，作直线使，作，作轴交x轴于点E，过点M作交于点F，设点，则点，然后表示出的面积，然后求出当时，的面积最大，得到，然后推出 ∴当点M，N，G三点共线时，有最小值，即的长度，设，表示出，，，然后利用求出，，，即可求解． 【详解】（1）直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，， ∴， 当时，即 解得 ∴ ∵过A、B两点的抛物线与x轴交于另一点 ∴设， 将代入得，， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）∵， ∴， 设圆和直线切于点， 则， 解得：， 则点的坐标为：或； （3）如图所示，过点M作轴交于点H，作直线使，作，作轴交x轴于点E，过点M作交于点F， = 设点，则点， 则的面积 ， 则当时，的面积最大，此时，点； ∵， ∴ ∴ ∴ ∴当点M，N，G三点共线时，有最小值，即的长度 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴设，则， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即 解得 ∴ ∴． ∴的最小值为． 【点睛】本题考查的是二次函数和一次函数综合运用，涉及到圆的基本知识、解直角三角形、勾股定理，面积的计算等，解题的关键是掌握以上知识点． 10．（2024·江苏宿迁·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，顶点D的坐标为，点P是第一象限抛物线上的一动点．    (1)求抛物线的函数表达式． (2)如图2，连接、、，线段与相交于点E，设则w有最大值还是最小值？请做出判断，并求出w的最值． (3)如图3，点Q为第四象限抛物线上的另一动点，连接交y轴于点H，线段与y轴的交点记为G，用m表示的长，用n表示的长，若在P、Q两点运动的过程中，m与n始终满足函数关系式试探究直线是否过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)w有最大值为，此时 (3)直线过定点． 【分析】（1）由待定系数法求解即可． （2）求出A，B，C点的坐标，再用待定系数法求出的解析式，设，过点P作轴交与点G，过点A作轴交与点H． 则，，利用两点之间的距离求出，，再由平行线的性质可得出，利用三角形等高可得出，最后利用二次函数的性质求最值即可． （3）设直线的解析式为，，，设直线的解析式为，直线的解析式为，可分别得出，，，，由即，进一步即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴，， 解得：，， ∴抛物线的函数表达式为：． （2）∵ ∴，， ∴，， 另，则， ∴点， 设的解析式为：， ∴， 解得： ∴的解析式为：． 设， 过点P作轴交与点G，过点A作轴交与点H．    ∴，， ∴，， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， 当时，w有最大值为，此时． （3）直线过定点，理由如下∶ 设直线的解析式为，，， 当时， 整理得： ，， 设直线的解析式为，直线的解析式为， 当时， 整理得： ，， 当时， 整理得∶ ， ，， ∵， ∴， ∴， 整理得，， ∴直线经过点． 【点睛】本题主要考查了二次函数与面积综合，二次函数的图像和性质，二次函数的解析式以及一次函数的解析式．平行线的性质等知识，此题运算量大，准确计算是解题的关键． 11．（2024·江苏泰州·三模）已知，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是二次函数图象上的一个动点． (1)如图1，当时，点D在第一象限内； ①求点C的坐标，并直接写出直线的函数表达式； ②连接、，若面积是面积的4倍，求点D的坐标； (2)如图2，过点D作交抛物线于点E（与不重合），连接，，直线与交于点F，点F的横坐标为t，试探究的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；如果不为定值，请说明理由． 【答案】(1)①，；②或 (2)为定值，理由见解析 【分析】（1）当时，二次函数为．令，则可求出点，令，则可求出点，，采用待定系数法即可求出直线的函数解析式； ②过点作平行于轴的直线，交线段于点，根据点A，B，C的坐标即可求得，从而，设，则点，根据即可求得a的值，从而解答； （2）设点D的坐标为，点的坐标为， 由直线与不重合，得到且，且，，过点D作y轴的平行线，过点E作x轴的平行线，两平行线相交于点G，证得，得到，从而，因此，化简即可得到，从而点的坐标为，根据待定系数法求出直线的表达式为：，直线的表达式为：，令，得到，由点的横坐标为t，得到，从而，为定值． 【详解】（1）解：当时，二次函数为． ①令， ， ∴点C的坐标为， 令，则， 解得，， ∴， 设直线的函数解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得 直线的函数表达式：． ②过点作平行于轴的直线，交线段于点， ∵，，， ∴，， ∴， 由面积是面积的4倍，得． 设，则点 解得或， ∴或． （2）解：∵二次函数， 令，则， ∴， 令，则，解得，， ∴， 设点D的坐标为，点的坐标为， ∵直线与不重合， 且，且，， ∵，点， ∴， 过点D作y轴的平行线，过点E作x轴的平行线，两平行线相交于点G， ∴， 设交y轴于点H， ∵，轴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵ ． 点的坐标为， 设直线的表达式为， ，解得， 直线的表达式为：， 同理直线的表达式为：， ，解得， 点的横坐标为t， ， ，为定值． 【点睛】本题考查待定系数法，二次函数的图象及性质，抛物线与坐标轴的交点，相似三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． 12．（2024·江苏盐城·三模）如图，二次函数 的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点．点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，连接． (1)点的坐标分别为 ( ， )， ( ， ) (2)如图，连接与交于点，设和的面积分别为和，求的最大值； (3)连接，当 时， ①求点的坐标； ②点是上的一个动点（点不与重合），连接，线段的垂直平分线交于点，交直线于点，则的取值范围是_________． 【答案】(1) (2)当时，有最大值，最大值为 (3)①；② 【分析】（1）分别令即可求解； （2）根据题意计算出直线的解析式，如图所示，过点作轴交于点，则点的横坐标为，过点作轴于点，交于点，过点作与点，设，且，可证，可得，即，再根据三角形的面积计算方法得，，由此结合二次函数最值的计算方法即可求解； （3）①接，，作点关于的对称点，则，连接，作轴于点，证明两个三角形全等可得，可得点三点共线，求出直线的解析式，联立二次函数解二元一次方程组即可； ②作图如下，过点作轴于点，于点，连接，过点作轴于点，连接，作于点，可证，可得，则有，分类讨论：当时，的值最小，即的值最小；当点与点重合时，当点与点重合时，，可得的值最大值，由此即可求解． 【详解】（1）解：已知二次函数 的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点， ∴令时，，整理得，， ∴，， ∴，， 令时，， ∴， 故答案为：； （2）解：已知，， ∴设直线所在直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线所在直线的解析式为， 如图所示，过点作轴交于点，则点的横坐标为，过点作轴于点，交于点，过点作与点， ∴当时，， ∴，则， ∵点是第一象限内二次函数图象上的一个动点， ∴设，且， ∴，，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：①连接，，作点关于的对称点，则，连接，作轴于点， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，，即， ∵点关于的对称点为，且， ∴， ∴点三点共线， ∴； ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，，，，则，，， ∴， ∴， ∴点三点共线， ∵点，点， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴， 解得，或（不符合题意，舍去） ∴； ②根据题意，作图如下，过点作轴于点，于点，连接，过点作轴于点，连接，作于点，    已知，，是的垂直平分线， ∴，，且， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在四边形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，的值最小，即的值最小， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，即的最小值为， 当点与点重合时，， 当点与点重合时，， ∵， ∴， 综上所示，的取值范围是：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与几何图形的综合，掌握待定系数法求一次函数、二次函数解析式，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，相似的判定和性质，勾股定理，垂直平分线的性质，点到直线垂线段最短等知识的综合运用，图形结合分析，分类讨论思想是解题的关键． 13．（2024·江苏盐城·三模）抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，直线l是抛物线的对称轴， (1)直接写出A、B、C三点坐标； (2)如图1，若一次函数的图像与抛物线相交与M、N两点， ①若时，点E是直线MN上方抛物线上的一个动点，过点E作轴交MN于点D，连接ME，NE；当的面积最大时，试求面积的最大值； ②取MN的中点P，过点P作轴交抛物线于点Q，试判断是否为一个定值，若是，求出这一定值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②是， 【分析】（1）对于，当时，，令，则或3，即可求解； （2）①由的面积，即可求解；②求出点，则点，得到，由点M、N的坐标得， 即可得出结论． 【详解】（1）​解：对于， 当时，， 令，则或3， 即点A、B、C的坐标分别为：； （2）①时，一次函数的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：，则， 设点，则点， 则的面积， 即的面积最大值为； ②是定值，理由： 联立一次函数和抛物线的表达式得：， 则， 则， 则，即，点， 得到， 由点M、N的坐标得，， 则，则，为定值． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 14．（2024·江苏淮安·一模）如图①，二次函数的图象与直线交于、两点．点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，交该二次函数的图象于点，设点的横坐标为． (1) ， ； (2)若点在点的上方，且，求的值； (3)将直线向上平移4个单位长度，分别与轴、轴交于点、（如图②）． ①记的面积为，的面积为，是否存在，使得点在直线的上方，且满足=？若存在，求出及相应的、的值；若不存在，请说明理由． ②当时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、、，若，直接写出点F的坐标． 【答案】(1)1， (2)m的值为1 (3)①当时，，  ；当时，，；；② 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，三角函数的定义； （1）把、代入即可得到答案； （2）先求出直线的解析式，设点，可得 ，进而即可求解； （3）①先求出的解析式，的解析式，再表示， ，结合=，列出方程，即可求解；②当旋转后点F在点C左侧时，过点B作轴于点Q，过点M作轴，作于点G，作于点H，交x轴于点K，推出，即可求解；当旋转后点F在点C右侧时满足的点F不存在 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与直线交于、两点， ∴，解得：， ∴， 把代入，得， 故答案为：1，； （2）∵直线过、两点． ∴直线的解析式是， 设点， ∴点M（m，）、N（m，），当点在点的上方时，则 ， 当时，，解得：； ∴m的值为1； （3）①由题意得：的解析式为， 的解析式， 当时，， ∴点E（3，）， ∴，， ∴， ， ∵=， ∴，解得： ∵点在直线的上方 ∴令=，解得： ∴ ∴存在，，满足= 当时，，  ； 当时，，； ②当旋转后点F在点C左侧时 过点B作轴于点Q，过点M作轴，作于点G，作于点H，交x轴于点K，如图3， ∵直线的解析式为， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴和是全等的两个等腰直角三角形， ∴， ∵M（m，）， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点F的坐标是， 当旋转后点F在点C右侧时 满足的点F不存在； 综上所述，点F的坐标是． 15．（2024·江苏扬州·二模）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，顶点为D．O为坐标原点． (1)求二次函数的表达式； (2)求四边形的面积； (3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若，则P点的坐标为_______． 【答案】(1) (2)30 (3) 【分析】（1）设二次函数解析式为，将点A和B两点代入即可求得二次函数解析式； （2）过D作于N，作于M，根据第一问可得点，结合矩形、三角形的面积公式即可求得答案； （3）连接，过C作交于E，过E作于F，根据题意得为等腰直角三角形，得到，结合角度正切值求得，进一步得，判定是等腰直角三角形，即可求得点，利用待定系数法求得直线直线的解析式，联立即可求得点P． 【详解】（1）解：根据题意，设二次函数解析式为， ∵二次函数的图象与轴交于两点． ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为． （2）解：过D作于N，作于M， 根据，则顶点的坐标为， ； （3）解：P是抛物线上的一点，且在第一象限， 当时，连接，过C作交于E，过E作于F，如图． ∵，则为等腰直角三角形，． 由勾股定理得：， ∵． ∴，即， ∴． 由，得， ∴． ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的坐标为， 则过B、E的直线的解析式为， 令，解得，或， 所以直线与抛物线的两个交点为， 即所求的坐标为 ． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求函数解析式、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、解直角三角形和解方程组，解题的关键是熟悉二次函数的性质和解直角三角形． 16．（2024·江苏宿迁·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与坐标轴分别相交于点A，B，三点，其对称轴为． (1)求该抛物线的解析式； (2)点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与y轴，直线交于点D，E． ①当时，求的长； ②若，，的面积分别为，，，且满足，求点F的坐标． 【答案】(1) (2)① ②或 【分析】（1）根据点坐标可以求出，根据对称轴直线可以求出； （2）①过作于，根据三角形内角和定理，可以得出，所以可以得出，设直线的表达式，从而得出和的坐标，再根据两点距离公式求解即可； ②根据等高三角形的面积比等于底边长之比以及三个三角形的面积公式，可以得出，，根据，，，共线，所以它们的长度也可以转化为横坐标差的关系，设的表达式，根据交点得出，的横坐标，从而可以求出直线的表达阿是，最后根据是直线和抛物线的交点求解即可． 【详解】（1）解：令，， ， 抛物线的对称轴直线为：， ， ； （2）解：令，则或， ，， 直线的表达式为：， 设直线的表达式为：， ， 联立直线和的表达式： ， ， ①过作于，如图： ， 又， ， 又， ， 为等腰三角形， ， 即， 解得：， ； ②到直线的距离为定值， ，，等高， ， ， ， ， 联立直线和抛物线： ， 整理得：， ， ， ， 解得：， ∴或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，熟练掌握等腰三角形的判定与性质、等高三角形的面积关系是本题解题的关键． 17．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，（在的左边），与轴相交于点，已知、，，是y轴上的动点（位于点下方），过点的直线l垂直于y轴，与抛物线相交于两点、（在的左边），与直线交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，四边形是正方形，连接，的面积为，正方形的面积为，求的取值范围； (3)如图2，以点为圆心，为半径作． ①动点在上，连接，请直接写出的最小值为 ； ②点是y轴上的一动点，连接，当的值最大时，请直接写出的坐标． 【答案】(1) (2) (3)①；②点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，待定系数法求出直线的解析式为，则，得出，设点，则，即，再表示出，，，结合，，得出，求出，结合二次函数的性质即可得出答案； （3）①连接，在轴上取点，连接，，证明，由相似三角形的性质得出，推出，即当、、共线时，最小，最小值即为的长度，再由勾股定理计算即可得出答案；②分两种情况：当在轴正半轴时；当在轴负半轴时，分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：把、，代入得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：设， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴， ∴， 设点，则，即， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴抛物线顶点坐标为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值随的增大而减小， ∴当时，的值最大，为，当时，的值最小，为， ∴的取值范围为； （3）解：①连接，在轴上取点，连接，，如图， ， ∵的半径， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵当、、共线时，最小， ∴当、、共线时，最小，最小值即为的长度， ∵，， ∴， ∴的最小值为； ②当在轴正半轴时，作的外接圆，作轴于，连接，，，则，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵为定值， ∴当最小时，最大， ∵， ∴当最小时，最小， ∴当轴时，最小， 此时，， ∴， ∴， ∴； 当点在轴负半轴上时，同理可得, 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 18．（2024·江苏镇江·二模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点C，下表给出了该抛物线上部分点的坐标值： x 0 1 2 3 4 y 4 0 -2 -2 0 (1)求二次函数的表达式； (2)点D在抛物线的对称轴上，若的面积为 ，则点D的坐标为 ； (3)如图2，点E是位于第四象限的抛物线上的一点， 若，求点E的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与面积的综合、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想以及转化思想成为解题的关键． (1)根据表格数据采用待定系数法即可解答； （2）先根据二次根式的解析式确定、,即；然后再分点D在x轴上方和下方两种情况分别画出图形，并根据的面积为 列方程求解即可； （3）如图：取,即，根据二次函数解析式可得，即，易证可得,；如图：以为边作正方形,连接,即,，易得；作关于x轴的对称点，则可得；再求出直线的解析式为；如图：过B作交抛物线于点E,此时,即；再运用待定系数求得直线的解析式，最后与抛物线解析式联立即可解答． 【详解】（1）解：由表格数据可知：二次函数图像过点， 则有，解得：， 所以二次函数的解析式为． （2）解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线的对称轴为：，, ∴ 当D在x轴上方时， 设，则， ，解得： ∴； 当D在x轴下方，抛物线上方时， 设，则， ，解得：，不符合题意； 如图：当D在x轴下方，抛物线下方时， 设，则由待定系数法可得直线的解析式为：， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：； ∴ 综上，D的坐标为或． （3）解：如图：取,即 ∵, ∴, ∴, ∴, ∴, 如图：以为边作正方形,连接,即, ∴, ∴, 作关于x轴的对称点，则， ∴，即, 由待定系数法可得直线的解析式为：， 如图：过B作交抛物线于点E,此时,即, 设直线的解析式为，将点代入可得：， ∴直线的解析式， 联立，解得：或（与点B重合舍弃） ∴点E的坐标为． 19．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，连接 (1)点B、C的坐标分别为B（ ， ），C（__，_） (2)连接与交于点D，设和的面积分别为和，求的最大值； (3)连接，当时， ①求点P的坐标； ②点E是上的一个动点（点E不与P、B重合），连接，线段的垂直平分线交于点F，交直线于点G，则的取值范围是_________． 【答案】(1)8；0；0；4 (2)的最大值为 (3)①；② 【分析】（1）分别令即可求解； （2）根据题意计算出直线的解析式，如图所示，过点作轴交于点，则点的横坐标为，过点作轴于点，交于点，过点作与点，设，且，可证，可得，即，再根据三角形的面积计算方法得，，由此结合二次函数最值的计算方法即可求解； （3）①接，，作点关于的对称点，则，连接，作轴于点，证明两个三角形全等可得，可得点三点共线，求出直线的解析式，联立二次函数解二元一次方程组即可； ②作图如下，过点作轴于点，于点，连接，过点作轴于点，连接，作于点，可证，可得，则有，分类讨论：当时，的值最小，即的值最小；当点与点重合时，当点与点重合时，，可得的值最大值，由此即可求解． 【详解】（1）解：已知二次函数 的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点， ∴令时，，整理得，， ∴，， ∴，， 令时，， ∴， 故答案为：； （2）解：已知，， ∴设直线所在直线的解析式为， ∴，解得，， ∴直线所在直线的解析式为， 如图所示，过点作轴交于点，则点的横坐标为，过点作轴于点，交于点，过点作与点， ∴当时，， ∴，则， ∵点是第一象限内二次函数图象上的一个动点， ∴设，且， ∴，，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：①连接，，作点关于的对称点，则，连接，作轴于点， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，，即， ∵点关于的对称点为，且， ∴， ∴点三点共线， ∴； ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，，，，则，，， ∴， ∴， ∴点三点共线， ∵点，点， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴， 解得，或（不符合题意，舍去） ∴； ②根据题意，作图如下，过点作轴于点，于点，连接，过点作轴于点，连接，作于点，    已知，，是的垂直平分线， ∴，，且， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在四边形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，的值最小，即的值最小， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，即的最小值为， 当点与点重合时，， 当点与点重合时，， ∵， ∴， 综上所示，的取值范围是：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与几何图形的综合，掌握待定系数法求一次函数、二次函数解析式，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，相似的判定和性质，勾股定理，垂直平分线的性质，点到直线垂线段最短等知识的综合运用，图形结合分析，分类讨论思想是解题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$