热点7-2 圆锥曲线的定义、方程与几何性质（10题型+高分技法+限时提升练）-2025年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考通用）

热点7-2 圆锥曲线的定义、方程与几何性质 三年考情分析 2025考向预测 考查内容主要包括圆锥曲线的定义、标准方程及其几何性质．题型多样，以选择题和填空题为主，部分解答题涉及直线与圆锥曲线的综合应用．命题综合性增强，常与其他知识结合，同时注重创新性题型的设计． 圆锥曲线的定义、方程与几何性质将继续作为高考的重点内容，题型不会有太大变化．复杂的代数运算和几何推理仍然是解题的关键，特别是涉及离心率、渐近线、弦长等几何性质的计算． 题型1 椭圆的定义及标准方程 1、在椭圆的定义中条件不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的． 否则：①当时，其轨迹为线段； ②当时，其轨迹不存在． 2、利用椭圆定义求距离和差的最值的两种方法： （1）抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值； （2）利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值． 3、利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤：（1）定位：确定焦点在那个坐标轴上；（2）定量：依据条件及确定的值；（3）写出标准方程． 1．（24-25高三下·全国·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上在第二象限内的一点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河北衡水·月考）已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，则的最大值是（    ） A． B．9 C．16 D．25 3．（24-25高三上·河北邯郸·月考）已知曲线C：，则C为焦点在y轴上的椭圆的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·海南·月考）已知椭圆的短轴的两个端点分别为、，为椭圆上一动点，则的重心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 题型2 椭圆的几何性质及应用 1、已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型； 2、焦点位置不确定的要分类讨论，找准与,正确利用求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是，，，而应是，，． 1．（24-25高三上·湖北随州·月考）已知椭圆，则下列结论正确的是（    ） A．长轴长为 B．焦距为 C．短轴长为 D．离心率为 2．（23-24高三下·江苏南通·月考）已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·云南昆明·开学考试）已知椭圆和椭圆有相同的离心率，则（    ） A． B． C．或4 D．或4 4．（24-25高三下·湖南·开学考试）在直角坐标系中，分别为椭圆的左、右焦点，过点作轴的垂线交于两点，连接并延长交于另一点，且，则的长轴长为（    ） A．7或10 B．6 C．7或9 D．10 题型3 双曲线的定义及标准方程 1、双曲线的定义：判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程． 2、双曲线标准方程的求法 （1）利用定义求双曲线的标准方程，根据双曲线的定义得到相应的，，的值，再写出方程； （2）待定系数法，先设出双曲线的标准方程或（均为正数），然后根据条件求出待定的系数，最后代入方程即可． 注意：当焦点的位置不明确时，可以分类讨论，也可以设双曲线方程为的形式，注意表明条件． 1．（24-25高三上·四川·二模）双曲线两个焦点，焦距为8，M为曲线上一点，则（    ） A．1 B．1或9 C．9 D．3 2．（24-25高三上·辽宁·期末）已知，，动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·湖南·月考）已知分别为双曲线右支与渐近线上的动点，为左焦点，则的最小值为 . 4．（23-24高三上·天津河西·月考）已知抛物线的焦点F是双曲线的右焦点，抛物线的准线与双曲线的渐近线交于A，B两点.若是等边三角形，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 题型4 双曲线的几何性质及应用 已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，然后由标准方程确定焦点所在的坐标轴，找准和，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等．注意与椭圆的相关几何性质进行比较． 1．（24-25高三下·湖北·月考）若双曲线的焦距为6，则（    ） A．5 B．3 C． D． 2．（24-25高三下·山东·模拟预测）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·湖南·月考）若点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则的虚轴长为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知双曲线的右焦点为，过点作垂直于轴的直线l，M，N分别是与双曲线及其渐近线在第一象限内的交点．若是线段的中点，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 题型5 抛物线的定义及标准方程 1、利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”． 2、注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋． 3、抛物线的标准方程求法 （1）定义法：根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择． （2）待定系数法：根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程；焦点位置不确定时要注意分类讨论． 1．（24-25高三下·辽宁·模拟预测）已知为抛物线：的焦点，上一点到轴的距离为，则（    ） A． B．2 C． D．3 2．（24-25高三下·福建·月考）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过作的垂线，垂足为，若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）在抛物线上求一点P，使其到焦点F的距离与到点的距离之和最小，则该点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·四川德阳·期末）2024年3月20号，我国成功发射鹊桥二号中继卫星，其通过一个大型可展开的星载天线，实现了月球背面与地球之间的信号传输.星载天线展开后形成一把直径（口径）为的“金色大伞”，它的曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入接收天线，经反射聚集到焦点处.若“金色大伞”的深度为，则“金色大伞”的边缘点到焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 题型6 抛物线的几何性质及应用 1、涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 2、与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标还是由交点纵坐标定，是p与交点横(纵)坐标的和还是与交点横(纵)坐标的差，这是正确解题的关键． 1．（23-24高三下·河南驻马店·二模）已知点在焦点为的抛物线上，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．（23-24高三下·重庆·模拟预测）是抛物线上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且的重心恰为F，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高三上·广东广州·期中）直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点.若，则（    ） A． B．3 C． D． 4．（24-25高三上·河北·月考）已知过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，若，AB的中点到轴的距离为，则p的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型7 圆锥曲线的焦点三角形问题 1、椭圆的焦点三角形： 性质1：，.（两个定义） 的周长为；的周长为 性质2：（余弦定理） 2、在双曲线的“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系． 1．（24-25高三下·湖南长沙·月考）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，交轴于点.若，是线段的三等分点，则的周长为（    ） A．20 B．10 C． D． 2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）（多选）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（    ） A． B．离心率为 C．的面积为6 D．的面积为12 3．（24-25高三下·安徽·开学考试）设 分别是双曲线 的上、下焦点，双曲线上的点 满足 ，则 的面积等于（    ） A． B．12 C． D．6 4．（24-25高三上·四川成都·期中）设双曲线 的左，右焦点分别为F1，F2，以 F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限内的交点为 P ，直线 PF1与双曲线的渐近线在第二象限内的交点为Q .若点Q 恰好为线段PF1的中点，则直线 PF2的斜率的值为（    ） A．−2 B． C． D． 题型8 圆锥曲线的中点弦问题 1、椭圆的中点弦 （1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； （2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有． 2、双曲线、抛物线的中点弦与椭圆的解题策略一样，既可以联立直线与曲线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解，也可以用点差法建立斜率与中点坐标的等式关系求解． 1．（24-25高三上·河北正定·月考）已知抛物线，过点作弦，弦恰被点平分，则弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山西·期末）已知椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于A，B两点，且满足，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·贵州贵阳·期末）已知双曲线与直线相交于A，B两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·陕西宝鸡·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 题型9 圆锥曲线的离心率问题 求圆锥曲线离心率的方法 （1）和易求，由求得离心率． （2）在椭圆中，，故；在双曲线中，，故．因此，求出和的比值即可求出的值，反之亦然． （3）和不易求，和的比值不易求，但是以条件可求出，，的关系式，从而得到齐次式，等号两边同时除以，得到关于的方程，求解即可．注意根据的取值范围进行检验． 1．（24-25高三上·河南周口·期末）如图所示的金烧蓝嵌珠椭圆盒嵌表来自于世纪的英国，此盒表的盒内可放化妆品或首饰，美观且实用，现收藏于故宫博物馆.该盒的上底面为椭圆，盒长，宽，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河南·期末）设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·贵州·开学考试）已知双曲线的左右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 4．（24-25高三上·安徽马鞍山·月考）已知、分别为双曲线：（，）的左右焦点，为其左支上一点，且，则双曲线离心率的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型10 直线与圆锥曲线位置关系 1、直线与圆锥曲线的位置关系判断主要依靠联立直线与曲线方程，通过判别式来确定，但要注意双曲线与抛物线中只有一个交点时的特殊情况． 2、弦长公式 设，，根据两点距离公式． （1）若，在直线上，代入化简，得． （2）若，在直线上，代入化简，得． （3）构造直角三角形求解弦长．其中为直线斜率，为直线倾斜角． 1．（24-25高三上·河北唐山·月考）已知双曲线的离心率为，若直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·北京·月考）过点且与抛物线恰有一个公共点的直线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25高三上·湖南·开学考试）已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·甘肃白银·月考）在直角坐标系中，，分别是，轴上一点，且．动点满足，点的轨迹为． (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于，两点，求面积的最大值． 5．（24-25高三上·浙江金华·期末）已知双曲线的一个焦点是，渐近线方程是 (1)求双曲线的方程； (2)点为轴上一点，点是双曲线的右顶点，点是双曲线上异于顶点的一点，若是正三角形，求点的坐标. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（24-25高三上·云南德宏·期末）若椭圆C：的焦点和顶点分别是双曲线E的顶点和焦点，则双曲线E的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·河北·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为线段上有一点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于B,C两点，且则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与交于A，B两点，且，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·广东深圳·模拟预测）设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·湖南永州·模拟预测）设、分别是椭圆的左、右焦点，过点作x轴的垂线交C于A、B两点，其中点A在第一象限，且.若P是C上的动点，则满足是直角三角形的点P的个数为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 6．（24-25高三上·天津·期末）已知双曲线为的左顶点，抛物线的准线与轴交于．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·天津·月考）已知抛物线，焦点为F，第一象限的点A、B均在抛物线上，，，，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·江苏镇江·模拟预测）抛物线：的焦点为，直线 经过点，交于两点，交轴于点，若，则错误的是（    ） A． B．弦的中点到轴的距离为 C． D．点的坐标为 二、多选题 9．（24-25高三下·江西·开学考试）已知双曲线的左，右焦点分别是，其中的一条渐近线方程为，过的直线交于两点，则（    ） A．的离心率为 B．若，则的周长为 C．若的斜率为1，则的面积为 D．若为的右支上两点，则直线的斜率 10．（24-25高三上·江西·期末）已知抛物线（）的焦点为是C上不同的两点，则（    ） A．C的方程为 B．点F到C的准线距离为4 C．的最小值为4 D．若共线，则的最大值为 11．（23-24高三下·安徽·模拟预测）设两点的坐标分别为直线相交于点，且它们的斜率之积为，则下列说法中正确的是（    ） A．的轨迹方程为 B．的轨迹与椭圆共焦点 C．是的轨迹的一条渐近线 D．过能做4条直线与的轨迹有且只有一个公共点 三、填空题 12．（24-25高三上·北京通州·期末）已知抛物线的焦点为，点在上，若，则线段的中点的横坐标为 . 13．（24-25高三上·河北唐山·月考）已知椭圆的离心率为是椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，为线段的中点，直线与椭圆交于两点，若的周长为16，则椭圆的标准方程为 ． 14．（24-25高三上·山东日照·一模）设分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，则双曲线的渐近线方程为 ． 四、解答题 15．（24-25高三上·山西·期末）如图，在平面直角坐标系中，双曲线E：（，）的两条渐近线的方程分别为，，直线l是E的切线，l分别交直线，于A，B两点（A，B分别在第一，四象限），且时，的面积为8. (1)若E的离心率为，求E的方程； (2)试探究：是否存在双曲线E，使的面积恒为8？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，请说明理由. 16．（24-25高三上·贵州铜仁·期末）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率是，上的点到两焦点的距离之和等于4. (1)求椭圆的方程； (2)过焦点作斜率为1的直线与椭圆相交于两点.求的面积. 17．（24-25高三上·云南昆明·月考）已知不在轴下方的动点到点的距离比到轴的距离长，记动点的轨迹为． (1)求轨迹的方程． (2)已知直线与轨迹交于，两点，以，为切点作两条切线，切线分别为，．直线，相交于点．若，求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点7-2 圆锥曲线的定义、方程与几何性质 三年考情分析 2025考向预测 考查内容主要包括圆锥曲线的定义、标准方程及其几何性质．题型多样，以选择题和填空题为主，部分解答题涉及直线与圆锥曲线的综合应用．命题综合性增强，常与其他知识结合，同时注重创新性题型的设计． 圆锥曲线的定义、方程与几何性质将继续作为高考的重点内容，题型不会有太大变化．复杂的代数运算和几何推理仍然是解题的关键，特别是涉及离心率、渐近线、弦长等几何性质的计算． 题型1 椭圆的定义及标准方程 1、在椭圆的定义中条件不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的． 否则：①当时，其轨迹为线段； ②当时，其轨迹不存在． 2、利用椭圆定义求距离和差的最值的两种方法： （1）抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值； （2）利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值． 3、利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤：（1）定位：确定焦点在那个坐标轴上；（2）定量：依据条件及确定的值；（3）写出标准方程． 1．（24-25高三下·全国·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上在第二象限内的一点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由椭圆的定义得， 结合，解得，， 所以，从而， 所以故选：D. 2．（24-25高三上·河北衡水·月考）已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，则的最大值是（    ） A． B．9 C．16 D．25 【答案】D 【解析】由题意，，， ，当且仅当时，等号成立， 的最大值是25．故选：D． 3．（24-25高三上·河北邯郸·月考）已知曲线C：，则C为焦点在y轴上的椭圆的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则，解得， 结合选项可知，曲线C是焦点在y轴上的椭圆的一个充分不必要条件是“”.故选：A. 4．（24-25高三上·海南·月考）已知椭圆的短轴的两个端点分别为、，为椭圆上一动点，则的重心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知、是椭圆的短轴的两个端点，所以， 设， 由为的重心，所以， 又为椭圆上一动点，所以即，所以有：， 又为的重心， 所以，即的轨迹方程为.故选：B. 题型2 椭圆的几何性质及应用 1、已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型； 2、焦点位置不确定的要分类讨论，找准与,正确利用求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是，，，而应是，，． 1．（24-25高三上·湖北随州·月考）已知椭圆，则下列结论正确的是（    ） A．长轴长为 B．焦距为 C．短轴长为 D．离心率为 【答案】D 【解析】把椭圆方程化为标准方程可得=1， 所以，，， 则长轴长，焦距，短轴长，离心率.故选：D. 2．（23-24高三下·江苏南通·月考）已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知可得椭圆的焦点在轴上， 故， 则，得.故选：D. 3．（24-25高三下·云南昆明·开学考试）已知椭圆和椭圆有相同的离心率，则（    ） A． B． C．或4 D．或4 【答案】D 【解析】易知椭圆的离心率为， 对于椭圆， 当焦点在轴上时离心率为，解得； 当焦点在轴上时离心率为，解得， 所以或.故选：D． 4．（24-25高三下·湖南·开学考试）在直角坐标系中，分别为椭圆的左、右焦点，过点作轴的垂线交于两点，连接并延长交于另一点，且，则的长轴长为（    ） A．7或10 B．6 C．7或9 D．10 【答案】D 【解析】依题意，，设椭圆的半长轴长为，则， ，在中，， 在中，， 则，整理得，即， 解得或，当时，，不满足题意， 当时，，满足题意，所以的长轴长为10.故选：D 题型3 双曲线的定义及标准方程 1、双曲线的定义：判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程． 2、双曲线标准方程的求法 （1）利用定义求双曲线的标准方程，根据双曲线的定义得到相应的，，的值，再写出方程； （2）待定系数法，先设出双曲线的标准方程或（均为正数），然后根据条件求出待定的系数，最后代入方程即可． 注意：当焦点的位置不明确时，可以分类讨论，也可以设双曲线方程为的形式，注意表明条件． 1．（24-25高三上·四川·二模）双曲线两个焦点，焦距为8，M为曲线上一点，则（    ） A．1 B．1或9 C．9 D．3 【答案】C 【解析】由题意可得，即， 又，即， 由双曲线的定义可得，解得或9， 又，所以.故选：C 2．（24-25高三上·辽宁·期末）已知，，动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由及双曲线的定义可知， 点的轨迹为以为焦点，实轴为的双曲线的上支，则， 因为，所以，故点的轨迹方程为．故选：A 3．（24-25高三上·湖南·月考）已知分别为双曲线右支与渐近线上的动点，为左焦点，则的最小值为 . 【答案】4 【解析】设双曲线的右焦点为，渐近线为， 则， ， 当且仅当三点共线时，， 的最小值为垂直于渐近线时， 所以的最小值为. 4．（23-24高三上·天津河西·月考）已知抛物线的焦点F是双曲线的右焦点，抛物线的准线与双曲线的渐近线交于A，B两点.若是等边三角形，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，抛物线的焦点，准线方程为， 即直线，不妨令点在第二象限， 由是等边三角形，得直线的方程为， 于是点， 显然点在双曲线的渐近线上，则， 又，解得，， 所以双曲线的方程为.故选：C 题型4 双曲线的几何性质及应用 已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，然后由标准方程确定焦点所在的坐标轴，找准和，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等．注意与椭圆的相关几何性质进行比较． 1．（24-25高三下·湖北·月考）若双曲线的焦距为6，则（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】D 【解析】若双曲线的焦点在轴上， 依题意可得，解得； 若双曲线的焦点在轴上， 依题意可得，解得. 综上可得：.故选：D. 2．（24-25高三下·山东·模拟预测）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】双曲线的方程可化为， 所以渐近线方程为．故选：B 3．（24-25高三下·湖南·月考）若点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则的虚轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于双曲线，其渐近线方程为，即. 点到渐近线（取这条渐近线计算，取另一条结果相同）的距离， 已知距离，则. 即，两边同时平方可得，解得. 把代入可得虚轴长为.故选：B. 4．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知双曲线的右焦点为，过点作垂直于轴的直线l，M，N分别是与双曲线及其渐近线在第一象限内的交点．若是线段的中点，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设双曲线的右焦点，过第一象限的渐近线方程为， 直线与直线交于点，交双曲线于点， 由M是线段的中点，得，则，， 所以C的渐近线方程为.故选：C 题型5 抛物线的定义及标准方程 1、利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”． 2、注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋． 3、抛物线的标准方程求法 （1）定义法：根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择． （2）待定系数法：根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程；焦点位置不确定时要注意分类讨论． 1．（24-25高三下·辽宁·模拟预测）已知为抛物线：的焦点，上一点到轴的距离为，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【解析】易知抛物线：的准线方程为， 由上一点到轴的距离为，得点到直线的距离为， 由抛物线的定义可知.故选：A. 2．（24-25高三下·福建·月考）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过作的垂线，垂足为，若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】记坐标原点为，过点作，垂足为． 由已知及抛物线定义可得，，， ∴△为等边三角形，， 又∵，∴，则． ∴，解得.故选：B． 3．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）在抛物线上求一点P，使其到焦点F的距离与到点的距离之和最小，则该点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得抛物线的焦点为，准线方程为. 过点作于点，由定义可得， 所以， 由图可得，当三点共线时，最小，此时. 故点的纵坐标为1，所以横坐标．即点的坐标为．故选：C. 4．（24-25高三上·四川德阳·期末）2024年3月20号，我国成功发射鹊桥二号中继卫星，其通过一个大型可展开的星载天线，实现了月球背面与地球之间的信号传输.星载天线展开后形成一把直径（口径）为的“金色大伞”，它的曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入接收天线，经反射聚集到焦点处.若“金色大伞”的深度为，则“金色大伞”的边缘点到焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，点 设抛物线的方程为，则，解得， 抛物线的焦点，准线方程为，， 所以“金色大伞”的边缘点到焦点的距离为.故选：B 题型6 抛物线的几何性质及应用 1、涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 2、与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标还是由交点纵坐标定，是p与交点横(纵)坐标的和还是与交点横(纵)坐标的差，这是正确解题的关键． 1．（23-24高三下·河南驻马店·二模）已知点在焦点为的抛物线上，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【解析】抛物线，准线，, 由抛物线的定义可知，解得.故选：A. 2．（23-24高三下·重庆·模拟预测）是抛物线上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且的重心恰为F，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】设， 因为的重心恰为F，则，解得， 由可知关于x轴对称，即， 则，即， 又因为，解得.故选：D. 3．（23-24高三上·广东广州·期中）直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点.若，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【解析】抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 设，则， 由，得，则， 由，得，得， 联立解得，，所以.故选：C 4．（24-25高三上·河北·月考）已知过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，若，AB的中点到轴的距离为，则p的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】抛物线的焦点，准线，准线交轴于点， 由对称性，不妨令点在第一象限，过分别作，垂足分别为， 过作于，交于，令，， ，由，得，即，则， 线段中点，过作于，则， 由AB的中点到轴的距离为，得，因此，所以.故选：B 题型7 圆锥曲线的焦点三角形问题 1、椭圆的焦点三角形： 性质1：，.（两个定义） 的周长为；的周长为 性质2：（余弦定理） 2、在双曲线的“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系． 1．（24-25高三下·湖南长沙·月考）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，交轴于点.若，是线段的三等分点，则的周长为（    ） A．20 B．10 C． D． 【答案】D 【解析】不妨设点在第一象限，，分别为椭圆的左右两焦点，令椭圆半焦距为c， 由，是线段的三等分点，得是线段的中点，而坐标原点是的中点， 则，轴，把代入椭圆方程，得，而，则， 由为线段的中点，得， 因此，解得， 而，于是， 所以的周长为.故选：D 2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）（多选）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（    ） A． B．离心率为 C．的面积为6 D．的面积为12 【答案】ABC 【解析】由，得，则， 因为是椭圆上一点，所以， 因为，所以，，故A正确； 对于B，离心率为，故B正确； 对于CD，因为，所以为直角三角形，， 所以，故C正确，D错误．故选：ABC 3．（24-25高三下·安徽·开学考试）设 分别是双曲线 的上、下焦点，双曲线上的点 满足 ，则 的面积等于（    ） A． B．12 C． D．6 【答案】D 【解析】由可得，故， 又，故,即， 故的面积为，故选:D 4．（24-25高三上·四川成都·期中）设双曲线 的左，右焦点分别为F1，F2，以 F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限内的交点为 P ，直线 PF1与双曲线的渐近线在第二象限内的交点为Q .若点Q 恰好为线段PF1的中点，则直线 PF2的斜率的值为（    ） A．−2 B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，以为直径的圆与双曲线在第一象限内的交点为， 可得，又因为为的中点，为的中点， 所以，，， 所以， 又，得， 由双曲线的定义可得，所以， 所以，所以，故选：A 题型8 圆锥曲线的中点弦问题 1、椭圆的中点弦 （1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； （2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有． 2、双曲线、抛物线的中点弦与椭圆的解题策略一样，既可以联立直线与曲线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解，也可以用点差法建立斜率与中点坐标的等式关系求解． 1．（24-25高三上·河北正定·月考）已知抛物线，过点作弦，弦恰被点平分，则弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点、， 因为点为线段的中点，则，， 若直线轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 由题意可得，将这两个等式作差可得， 即，所以，直线的斜率为.故选：D. 2．（24-25高三上·山西·期末）已知椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于A，B两点，且满足，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，，即，可得， 过的直线与椭圆交于且满足，则为线段的中点， 所以，，又，， 则，即， 所以， 故直线的方程为，即.故选：C. 3．（24-25高三上·贵州贵阳·期末）已知双曲线与直线相交于A，B两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设中点为，由题设易知，故， 因为，故， 所以，而，故， 故，故.故选：A 4．（24-25高三上·陕西宝鸡·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设、， 若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 因为线段的中点坐标为，则， 则，两式相减得， 则， 因为，所以，， 所以，，解得， 因此，双曲线的标准方程为.故选：D. 题型9 圆锥曲线的离心率问题 求圆锥曲线离心率的方法 （1）和易求，由求得离心率． （2）在椭圆中，，故；在双曲线中，，故．因此，求出和的比值即可求出的值，反之亦然． （3）和不易求，和的比值不易求，但是以条件可求出，，的关系式，从而得到齐次式，等号两边同时除以，得到关于的方程，求解即可．注意根据的取值范围进行检验． 1．（24-25高三上·河南周口·期末）如图所示的金烧蓝嵌珠椭圆盒嵌表来自于世纪的英国，此盒表的盒内可放化妆品或首饰，美观且实用，现收藏于故宫博物馆.该盒的上底面为椭圆，盒长，宽，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知得，设椭圆方程为， 则，， 所以该椭圆离心率为.故选：C 2．（24-25高三上·河南·期末）设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令椭圆的左焦点为，则， 由椭圆定义知，则， 设直线交椭圆于、两点（如图）， 而，即， 当且仅当点、、共线时取等号. 当点与重合时，，则， 当点与重合时，，则， 所以，即，经检验，此时点在内， 所以.故选：B. 3．（24-25高三下·贵州·开学考试）已知双曲线的左右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解析】因为,， 所以， 所以，.故选：D 4．（24-25高三上·安徽马鞍山·月考）已知、分别为双曲线：（，）的左右焦点，为其左支上一点，且，则双曲线离心率的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】由双曲线的定义可知，对于双曲线，. 已知，即. 将代入，可得. 化简得，所以，那么.   因为为双曲线左支上一点，有. 已知，，且， 所以. 即，化简得.   双曲线的离心率，且. 由可得，所以. 则双曲线离心率的最大值为.  故选：C 题型10 直线与圆锥曲线位置关系 1、直线与圆锥曲线的位置关系判断主要依靠联立直线与曲线方程，通过判别式来确定，但要注意双曲线与抛物线中只有一个交点时的特殊情况． 2、弦长公式 设，，根据两点距离公式． （1）若，在直线上，代入化简，得． （2）若，在直线上，代入化简，得． （3）构造直角三角形求解弦长．其中为直线斜率，为直线倾斜角． 1．（24-25高三上·河北唐山·月考）已知双曲线的离心率为，若直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，即，故， 故渐近线方程为， 直线与双曲线没有公共点，则，故.故选：B 2．（24-25高三上·北京·月考）过点且与抛物线恰有一个公共点的直线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】当直线过点，且与轴平行时，此时直线与抛物线只有1个公共点； 当直线过点，且与轴垂直时，此时直线与抛物线有2个公共点； 当直线过点，斜率存在且不为0时，设直线， 代入抛物线，得：， 因为. 由，因为，所以方程有两根， 故过点可以作两条直线与抛物线相切. 综上，过点共有3条直线，与抛物线只有1个公共点.故选：D 3．（24-25高三上·湖南·开学考试）已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，即， 所以为椭圆的右半部分． 当时，直线与有两个公共点； 当时，直线，令， 将代入，得， 则，得，则． 由图可知，所以． 综上，的取值范围是．故选：D. 4．（24-25高三上·甘肃白银·月考）在直角坐标系中，，分别是，轴上一点，且．动点满足，点的轨迹为． (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于，两点，求面积的最大值． 【答案】(1)；(2)1 【解析】（1）由题意，，分别是，轴上一点，且． 动点满足， 设，，， ∴，，， 即 ∴，解得：， ∴曲线的方程为：． （2）由题意及（1）得，在中， 过点的直线与曲线交于，两点， 易知直线的斜率存在，设其方程为，即，设，， 由消去得， 由，得， ，． 设点到直线距离为，的面积为， ，解得： 设，则， ， 当且仅当时取等号， ∴面积的最大值为1． 5．（24-25高三上·浙江金华·期末）已知双曲线的一个焦点是，渐近线方程是 (1)求双曲线的方程； (2)点为轴上一点，点是双曲线的右顶点，点是双曲线上异于顶点的一点，若是正三角形，求点的坐标. 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）因为渐近线方程是，得，， 又，，即，整理得， 解得：，，故双曲线方程为. （2）设直线的方程为， 联立，可得，根据题意， 解得点纵坐标为，代入，解得，所以， 设线段的中点为，依题意，则点的坐标为， 设点，因为是正三角形，所以有， ，，则由得，， 即，整理有：，所以①. 在正三角形中，有，由结合弦长公式得， ，化简得. 代入①可得，所以点或. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（24-25高三上·云南德宏·期末）若椭圆C：的焦点和顶点分别是双曲线E的顶点和焦点，则双曲线E的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由椭圆可得，，，且焦点在y轴上， 可知椭圆的长轴顶点为，焦点为， 所以双曲线的焦点为，顶点为， 设双曲线方程为，可得，，则， 所以双曲线的方程为.故选：A. 2．（24-25高三下·河北·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为线段上有一点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于B,C两点，且则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】连接由椭圆对称性知 故选：D 3．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与交于A，B两点，且，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，令，则， 由椭圆的定义可知，， 又，由余弦定理得，所以， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 因为，所以， 所以，所以. 所以的离心率是.故选：A. 4．（24-25高三下·广东深圳·模拟预测）设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由椭圆：可得，， ， 因为上一点且在第一象限，则 由为等腰三角形，则可得或， 当时，， 此时的面积为：； 当时，，不合题意，舍去. 综上，可得的面积为.故选：C． 5．（24-25高三上·湖南永州·模拟预测）设、分别是椭圆的左、右焦点，过点作x轴的垂线交C于A、B两点，其中点A在第一象限，且.若P是C上的动点，则满足是直角三角形的点P的个数为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【解析】由题，又，. ，即（t为参数）， 取上顶点时最大，此时. 不会为直角，只有当或是直角才符合题意， 所以由对称性可知满足是直角三角形的点P的个数为4.故选：C. 6．（24-25高三上·天津·期末）已知双曲线为的左顶点，抛物线的准线与轴交于．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】抛物线的准线与轴交于，则， 设的中点为，，则， 在的渐近线上存在点，使得， 是以为圆心，半径为的圆与渐近线有公共点， 所以， ， 所以.故选：D 7．（24-25高三上·天津·月考）已知抛物线，焦点为F，第一象限的点A、B均在抛物线上，，，，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设抛物线准线为，过两点分别作，垂足分别为， 作于点，如下图所示： 易知，可得， 在直角三角形中，，， 可得直线的倾斜角为，易知， 所以, 即直线的斜率为.故选：B 8．（24-25高三上·江苏镇江·模拟预测）抛物线：的焦点为，直线 经过点，交于两点，交轴于点，若，则错误的是（    ） A． B．弦的中点到轴的距离为 C． D．点的坐标为 【答案】D 【解析】对于A，因为抛物线：的焦点为， 由题意，所以，即，故A正确； 对于D，如图：过点作垂直于轴， 因为，所以， 因为，所以， 所以，代入可得，故D错误； 不妨设点在轴下方，则， 所以直线的方程为：，即， 由得，所以， 对于B，弦的中点到轴的距离为，故B正确； 对于C，，故C正确.故选：D 二、多选题 9．（24-25高三下·江西·开学考试）已知双曲线的左，右焦点分别是，其中的一条渐近线方程为，过的直线交于两点，则（    ） A．的离心率为 B．若，则的周长为 C．若的斜率为1，则的面积为 D．若为的右支上两点，则直线的斜率 【答案】ACD 【解析】因为的一条渐近线方程为，所以， 由题知，，故A正确； 当为的右支上两点时，由双曲线的定义得的周长为， 当分别为的左，右两支上两点时，的周长为，故B错误； 由题意的方程为，与联立得， 所以， 所以，故C正确； 因为为的右支上两点，所以或，故D正确．故选：ACD． 10．（24-25高三上·江西·期末）已知抛物线（）的焦点为是C上不同的两点，则（    ） A．C的方程为 B．点F到C的准线距离为4 C．的最小值为4 D．若共线，则的最大值为 【答案】BD 【解析】由，得，C的方程为，A错误； 根据抛物线的性质知，点F到C的准线距离为，B正确； 由抛物线上点到焦点距离最小点为顶点，故， 又为不同点，故，C错误； 设直线AB的方程为，与联立，得， 所以，则， 当且仅当且时取等号，D正确.故选：BD 11．（23-24高三下·安徽·模拟预测）设两点的坐标分别为直线相交于点，且它们的斜率之积为，则下列说法中正确的是（    ） A．的轨迹方程为 B．的轨迹与椭圆共焦点 C．是的轨迹的一条渐近线 D．过能做4条直线与的轨迹有且只有一个公共点 【答案】BC 【解析】对于A，设点，，则，， 所以，化简得，所以点的轨迹方程为.故A错误； 对于B，由A选项，点的轨迹的焦点为与椭圆共焦点，故B正确； 对于C，点的轨迹对应曲线的渐近线为，故C正确； 对于D，点在轴上，则，， 所以直线，与渐近线平行，但点不在点的轨迹上， 故过点只能作点的轨迹两条切线，如图所示，故D错误.故选：BC. 三、填空题 12．（24-25高三上·北京通州·期末）已知抛物线的焦点为，点在上，若，则线段的中点的横坐标为 . 【答案】3 【解析】设，，则根据抛物线定义可得，解得， 所以线段的中点的横坐标为3． 13．（24-25高三上·河北唐山·月考）已知椭圆的离心率为是椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，为线段的中点，直线与椭圆交于两点，若的周长为16，则椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【解析】设椭圆的焦距为， 由题意有，有， 所以，可得为等边三角形， 又为线段的中点，可得是线段的垂直平分线， 所以， 又的周长为16，有，所以， 所以椭圆的标准方程为. 14．（24-25高三上·山东日照·一模）设分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，则双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【解析】 由，得为的中点；又，所以，所以； 设，由双曲线的定义，得，， 所以，从而，所以； 由直线的斜率为，得. 在中，，即； 在中，由余弦定理，得， 即，整理得， 解得，所以，所以渐近线方程为. 四、解答题 15．（24-25高三上·山西·期末）如图，在平面直角坐标系中，双曲线E：（，）的两条渐近线的方程分别为，，直线l是E的切线，l分别交直线，于A，B两点（A，B分别在第一，四象限），且时，的面积为8. (1)若E的离心率为，求E的方程； (2)试探究：是否存在双曲线E，使的面积恒为8？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)存在，. 【解析】（1）双曲线E的渐近线方程分别为，， 由双曲线E的离心率为，得，解得， 当时，由对称性知，直线l的方程为，此时的面积为， 则，所以双曲线E的方程为. （2）由（1）知，当轴时，双曲线E的方程为， 若存在满足条件的双曲线E，则E的方程满足条件， 当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为，直线l与x轴交于点C， 依题意，得或，则，记，. 由得，同理得， 由得， 而，由直线l与双曲线E相切，得， 于是，即， 因此， 所以存在双曲线E，使的面积恒为8，且E的方程为. 16．（24-25高三上·贵州铜仁·期末）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率是，上的点到两焦点的距离之和等于4. (1)求椭圆的方程； (2)过焦点作斜率为1的直线与椭圆相交于两点.求的面积. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由椭圆的定义知，则 由，得，故. ∴椭圆C的方程为. （2）设，由（1）知，则的方程为， 由得， 显然，， ∴. ∵点到直线的距离， ∴，故的面积为. 17．（24-25高三上·云南昆明·月考）已知不在轴下方的动点到点的距离比到轴的距离长，记动点的轨迹为． (1)求轨迹的方程． (2)已知直线与轨迹交于，两点，以，为切点作两条切线，切线分别为，．直线，相交于点．若，求． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意可得点到点的距离与到直线的距离相等， 故动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以轨迹的方程为； （2）设，， 联立方程组，得，， 则，， 易知直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立方程组，得． 由，解得，所以切线的方程为， 同理可得，直线的方程为， 由，解得，即点， 因为，，，且， 所以，即， 即有， 化简得， 因此或，故有. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$