精品解析：江苏省无锡市宜兴中学2024-2025学年高二下学期开年考数学试题

2024—2025学年下学期高二年级开年考 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 已知等比数列满足，，记为其前项和，则（ ） A. B. C. D. 7 3. 如图，椭圆，双曲线与，与有共同的焦点，，它们在第一象限的交点为P，且，若的离心率，则的离心率（ ） A B. 2 C. D. 3 4. 两条平行直线和间的距离为，则分别为（ ） A B. C. D. 5. 在不超过 9 的质数中， 随机选取两个不同的数， 其和为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知空间三点、、，则以、为邻边的平行四边形的面积为（ ） A. B. 7 C. D. 7. 正方体的棱长为3，平面内一动点满足，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 设，分别是双曲线C：的左、右焦点，O是坐标原点．过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列前n项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当取得最大值时， C. 数列是递减数列 D. 10. 一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件“摸出的两个球的编号都大于2”，事件“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（ ） A. 事件与事件是互斥事件 B. 事件与事件是对立事件 C. 事件与事件是相互独立事件 D. 事件与事件是互斥事件 11. 如图，在棱长为1的正四面体中，点是顶点在底面内的射影，为的中点，则（ ） A. B. C. 点到平面的距离为 D. 三棱锥的外接球体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是双曲线上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，的周长为，则________，的面积为________． 13. 某次排球比赛采用五局三胜制，在甲女排俱乐部与乙女排俱乐部的某场比赛中，甲女排俱乐部每局获胜的概率都为，则甲女排俱乐部最终不超过四局便赢得比赛的概率为______． 14 数列满足，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆和点. （1）过点作一条直线与圆交于两点，且，求直线的方程； （2）过点作圆两条切线，切点分别为，求所在的直线方程. 16. 已知抛物线的方程为，点，过点的直线交抛物线于两点． （1）求△OAB面积的最小值（为坐标原点）； （2）是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 17. 如图，AC是的直径，PA垂直于所在的平面，B，D是圆周上不同于A，C的两点． （1）求证：平面平面 （2）若，，直线CD与平面PBC所成的角的正弦值为，求 18. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若，记数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围. 19. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，，分别为上、下顶点，，且以为直径的圆过，． （1）求椭圆C的标准方程； （2）M，N是C上位于x轴上方的两点，，与的交点为P． ①求四边形的面积S的最大值； ②试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年下学期高二年级开年考 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得其斜率，即可得倾斜角. 【详解】. 设其倾斜角为，则，又， 则，即倾斜角为150°. 故选：D 2. 已知等比数列满足，，记为其前项和，则（ ） A. B. C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列方程求出公比，然后可解. 【详解】设等比数列的公比为，， 依题意，，， 即，∴，， 解得或， ∴，，或，，， ∴. 故选：A 3. 如图，椭圆，双曲线与，与有共同的焦点，，它们在第一象限的交点为P，且，若的离心率，则的离心率（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理与椭圆与双曲线的定义可得，可求的值. 【详解】设，则，故. 由题意，椭圆、双曲线半焦距为c，故， 在中，令，，则，故， 由余弦定理得：， 即， 两边同除以并整理得：， 把，代入求得， 故选：A. 【点睛】方法点睛：利用椭圆与双曲线定义结合余弦定理可求得的关系式可求解. 4. 两条平行直线和间的距离为，则分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行的性质求，再根据平行线的距离公式求即可. 【详解】因为直线和平行， 所以，解得， 所以两直线分别为和， 所以 故选：B 5. 在不超过 9 的质数中， 随机选取两个不同的数， 其和为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用列举法写出所有可能，计数后计算概率． 【详解】不超过9的质数有共4个，任取两个求和有：，，，，，共6个， 其中和为偶数的有3个：，，， 和为偶数的概率为， 故选：C． 6. 已知空间三点、、，则以、为邻边的平行四边形的面积为（ ） A. B. 7 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由点、、，求得及，再利用三角形面积公式求解. 【详解】因为点,,， 所以， ， ，则， 所以， 所以以,为邻边的平行四边形的面积为， 故选：D 7. 正方体的棱长为3，平面内一动点满足，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求点的轨迹方程，并确定三棱锥体积最大时的点的位置，再代入三棱锥外接球的半径公式，即可求解. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， ，，，由可知， ， 整理为， 所以点的轨迹是平面内，以为圆心，2为半径的圆， 如下图，点到平面的最大值为6，此时点在的延长线上，且， 所以平面，， 等腰直角三角形的外接圆的半径为， 所以三棱锥的外接球的半径， 所以三棱锥外接球的表面积 故选：C 8. 设，分别是双曲线C：的左、右焦点，O是坐标原点．过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据渐近线可得，再利用余弦定理结合运算求解即可. 【详解】由题可得双曲线的渐近线方程为，， 则，，， 因为，所以， 在中，， 中，， 因为，则， 即，整理可得， 所以C的离心率为. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列前n项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当取得最大值时， C. 数列是递减数列 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】ABD选项，根据、和求和公式得到，，；D选项，根据等差数列的性质判断增减性. 【详解】解析：，故，选项A正确； ，即，故且，选项D错误； 又因为等差数列，故数列是递减数列，选项C正确； 当取得最大值时，，故B错误． 故选：AC. 10. 一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件“摸出的两个球的编号都大于2”，事件“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（ ） A. 事件与事件是互斥事件 B. 事件与事件是对立事件 C. 事件与事件是相互独立事件 D. 事件与事件是互斥事件 【答案】ACD 【解析】 【分析】先列举各事件，再根据互斥事件，对立事件，相互独立事件的概率特征逐一判断即可； 【详解】列举各事件如下：，，， A：由互斥事件同时发生的概率为0，即，故A正确； B：由对立事件的概率和为1，，，，故B错误； C：因为，故C正确； D：事件，事件，为互斥事件，不可能同时发生，故D正确； 故选：ACD. 11. 如图，在棱长为1的正四面体中，点是顶点在底面内的射影，为的中点，则（ ） A. B. C. 点到平面的距离为 D. 三棱锥的外接球体积为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用正四面体的结构特征，求出，再结合线面垂直、球的体积公式判断各选项即可. 【详解】在棱长为1的正四面体中，平面，连接， 则，,， ，同理， 对于A，，则，A正确； 对于B，由选项A知，，若，而平面， 则平面，又平面，于是，， 而，即，因此不垂直，B错误； 对于C，由选项A知，两两垂直，则有平面， 因此点到平面的距离为，C正确； 对于D，三棱锥的外接球与以为棱的正方体外接球相同， 则该球的直径为，半径为，体积为，D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是双曲线上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，的周长为，则________，的面积为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设设点在双曲线的右支上，利用双曲线的定义以及的周长可求得、，利用余弦定理可求得的值，利用同角三角函数的基本关系以及三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】在双曲线中，，，则， 根据对称性，不妨设点在双曲线的右支上，则． 因为，的周长为，所以， 所以，． 在中，， 则， 所以，的面积为． 故答案为：；. 13. 某次排球比赛采用五局三胜制，在甲女排俱乐部与乙女排俱乐部的某场比赛中，甲女排俱乐部每局获胜的概率都为，则甲女排俱乐部最终不超过四局便赢得比赛的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得甲女排俱乐部最终不超过四局便赢得比赛的情况包括连胜三局和前三局输一局且第四局获胜两种情况，分别计算出两概率再相加即可. 【详解】甲女排俱乐部最终不超过四局便赢得比赛的情况包括以下两种情况： 第一种：甲女排俱乐部经过三局便赢得比赛，则三局比赛均为甲女排俱乐部获胜， 其概率为； 第二种：甲女排俱乐部经过四局便赢得比赛，则前三局比赛中甲女排俱乐部赢两局输一局，第四局比赛甲女排俱乐部获胜； 其概率为， 综上可知，甲女排俱乐部最终不超过四局便赢得比赛的概率为. 故答案为： 14. 数列满足，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据递推关系求出前几项，可知数列具有周期性，利用周期求解. 【详解】由题可知，，得， ∴数列是以3为周期的周期数列， ∴． 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆和点. （1）过点作一条直线与圆交于两点，且，求直线的方程； （2）过点作圆的两条切线，切点分别为，求所在的直线方程. 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】（1）计算出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接检验即可；在直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数值，综合可得出直线的方程； （2）求出以点为圆心，半径为的圆的方程，将该圆方程与圆的方程作差，即可得出直线的方程. 【小问1详解】 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 当直线斜率不存在时，直线的方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时直线AB的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或； 【小问2详解】 因为，则， 所以以点为圆心，为半径为圆方程为， 联立，两式相减整理可得：， 即EF所在的直线方程为. 16. 已知抛物线的方程为，点，过点的直线交抛物线于两点． （1）求△OAB面积的最小值（为坐标原点）； （2）是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】（1）； （2）是，该定值. 【解析】 【分析】（1）根据弦长公式、点到直线距离公式，结合三角形面积公式进行求解即可； （2）根据两点间距离公式，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可. 【小问1详解】 显然直线存在斜率，设直线的方程为：， 所以有，设， 则有， ， 原点到直线的距离为：， △OAB的面积为：， 当时，有最小值，最小值为； 【小问2详解】 是定值，理由如下： 由（1）可知：，， 【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数关系是解题的关键. 17. 如图，AC是的直径，PA垂直于所在的平面，B，D是圆周上不同于A，C的两点． （1）求证：平面平面 （2）若，，直线CD与平面PBC所成的角的正弦值为，求 【答案】（1）证明见解析 （2）1 【解析】 【分析】（1）利用题目给的几何关系先证明平面在证明平面平面 （2）先结合第一小问建立空间直角坐标系，然后利用待定系数法结合直线CD与平面PBC所成的角的正弦值为建立关于线段长度的方程，然后再利用 ，得到关于线段长度的另外一个方程，进行求解即可. 【小问1详解】 证明：平面ABCD，平面ABCD，， 又是直径AC所对的圆周角，， ，平面PAD，平面 平面PCD，平面平面 【小问2详解】 如图，建立空间直角坐标系， 由，，，得， 则， 设， 得，， 设平面PBC的一个法向量为， 则，取， 得， 因为直线CD与平面PBC所成的角的正弦值为， 所以， 得， 得， 由， 得， 当时，代入式得， ， 即， 得，此时， 则，故， 当时，代入式得， ， 即，得或， 当时，此时， 当时，得，则， 故， 经检验，当时，C，D重合，不符题意 综上知，AD的长为 18. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若，记数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解法一：根据作差得到，即可求出公比，再求出，即可得解；解法二：设数列的公比为，令、，即可求出、，即可求出通项公式； （2）由（1）可得，利用错位相减法求出，参变分离可得，令，利用作商法判断的单调性，即可求出的最大值，即可得解. 【小问1详解】 解法一：由，可得， 两式相减可得，则，即数列的公比为. 当时，，则，解得， 所以. 解法二：设数列的公比为， 当时，，即， 当时，，即， 解得，所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 则， 所以， 即， 解得， 由，可得， 令，则， 当时，，当时，， 当时，1，所以， 所以，所以的取值范围为. 19. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，，分别为上、下顶点，，且以为直径的圆过，． （1）求椭圆C的标准方程； （2）M，N是C上位于x轴上方的两点，，与的交点为P． ①求四边形的面积S的最大值； ②试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①；②是，定值为3. 【解析】 【分析】（1）先根据已知得出,再结合圆过焦点得出即可； （2）联立方程得出坐标再应用两点间距离公式结合面积公式求出最值即可；根据平行关系结合相似计算得出定值即可. 【小问1详解】 椭圆的左、右焦点分别为，， 上、下顶点分别为，，所以，， 又因为以为直径的圆过，，所以有，故， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 ①设，的方程分别为：，，设，， 则， 所以，同理 因此， 同理可得：， 因此， 又平行线，的方程可化为：，，其距离， ， 当且仅当时取等号，所以； ②由已知，则，设，则， ． 又，， ， 即 又由（2）①可求，且 ，故为定值，且定值为3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $