精品解析：江苏省新海高级中学2024-2025学年高一下学期开学适应性考试数学试题

2024—2025学年下学期高一开学适应性考试 数学试题部分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知命题，命题，则命题是命题的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据指对函数的性质，结合充分，必要条件，即可判断选项. 【详解】因为函数和都是增函数， 若命题成立，则，则， 所以命题是命题的充分条件， 反之，若命题成立，则，但当是非正数时，不等式没有意义， 所以命题不是命题的必要条件， 所以命题是命题的充分不必要条件. 故选：A 2. 若则的值是 A. 0 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵， ∴， ∴ 故选B 3. 若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的概念以及定义域与值域判断各个选项的图象即可. 【详解】解：函数的定义域为 ，值域为 ， 可知A图象定义域不满足条件； B图象不满足函数的值域； C图象满足题目要求； D图象，不是函数的图象； 故选：C． 4. “在定义域内是增函数”是“函数是幂函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分必要条件的定义，结合对数函数和幂函数的性质判断. 【详解】若在定义域内是增函数，则，即， 此时不一定等于1，所以函数不一定是幂函数， 故“在定义域内是增函数”是“函数是幂函数”的不充分条件； 反之若函数是幂函数，则， 得或，此时或， 此时，即在定义域内是增函数， 所以“在定义域内是增函数”是“函数是幂函数”的必要条件； 故“在定义域内是增函数”是“函数是幂函数”的必要不充分条件. 故选：B 5. 设函数的零点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合函数单调性以及零点存在定理即可得解. 【详解】由题意函数与函数均单调递增， 所以函数也单调递增，且， 所以由零点存在定理可知函数的零点. 故选：B. 6. 已知函数其中且.若时，恒有，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件及函数单调性的定义，利用一次函数、指数函数和分段函数单调性，列出不等式组求解即可. 【详解】因为当时，恒有， 所以当时，恒有， 不妨设，则，即， 所以函数在上单调递减， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 7. 已知函数是定义在上的偶函数．，且，恒有．若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】已知不等式转化后得出函数在上是增函数，不等式转化为，然后由偶函数与单调性求解即可． 【详解】不妨设，所以， 则， 所以， 令，则， 所以在上单调递增， 又是偶函数，所以， 即也是偶函数，则其在上单调递减， 因为，所以， 则， 所以，解之得． 故选：D 8. 已知定义在上的函数在区间上单调递减，且满足，函数的对称中心为，则下述结论正确的是（ ）（注：） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件证明，函数的对称中心为， 对于A，结合单调性证明，再证明，由此判断结论； 对于B，结合对称性可得，结合单调性可得，由此判断结论； 对于C，结合性质，可得，再由单调性比较大小判断结论； 对于D，由条件可得，，再结合单调性比较大小判断结论. 【详解】解：，故 所以， 函数的对称中心为， 函数往左平移2个单位得到函数， 故函数的对称中心为，所以， 取可得，， 对于A，在区间上单调递减，故， 且， 所以，故A错误： 对于B，在区间上单调递减，对称中心为， 故，且在区间上单调递减， 则，，故B错误； 对于C，结合在区间上单调递减， 故，故C正确： 对于D，因为， 取可得，又， 所以， 所以， 因为函数的对称中心为，故， 所以 因为， 故， 且，，即， 结合在区间上单调递减，故，故D错误. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 命题，，则命题的否定是， B. “”是“”的必要条件 C. 命题“，”是真命题 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】AD 【解析】 【分析】利用特称量词命题的否定求解选项A；利用不等式的性质确定选项B；利用全称量词命题的真假判断选项C;利用一元二次方程根与系数的关系确定选项D. 【详解】命题p的否定是，，故A正确； 不能推出，例如，但； 也不能推出，例如，而； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误； 当时，，故C错误； 若关于x的方程有一正一负根，则， 所以“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确. 故选：AD. 10. 已知实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为9 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对数的性质及运算法则得到，再利用基本不等式即可验证各选项是否正确. 【详解】由对数的性质及运算法则可知：，且， 所以：. 对于选项A：由，得：， 所以， 当，即时，取“”，所以选项A正确； 对于选项B：，所以， 当，即时取“”，所以的最大值为，所以选项B错误； 对于选项C：因为， 由选项B的解题中可知：，所以， 所以，所以选项C正确； 对于选项D：因为 ，即 当，即时，取“”， 所以，故选项D正确. 故选A,C,D. 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如.设函数，则下列说法错误的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 的最大值为1，没有最小值 C. D. 在上是增函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据的定义，结合的解析式，作出函数图象，即可结合选项逐一进行判断即可． 【详解】因为， 画出的图象如下： A选项，可以看出此函数不是偶函数，不关于轴对称，A错误； B选项，无最大值，有最小值0，B错误； C选项，因为， 故， ， 因为， 所以，故，C正确； D选项，由图象可知在上不是增函数，D错误. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则函数的定义域为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方数非负，列出不等式求得的定义域，进而可求的定义域. 【详解】要使函数，有意义，必须，解得， 函数的定义域为； 由函数，令，解得， 函数的定义域是． 故答案为：. 13. 在中，，O是的外心，，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理求出，余弦定理结合重要不等式解得，再由数量积的定义得，可求的取值范围 【详解】在中，外接圆半径，由正弦定理得， 所以． 由余弦定理， 解得，当且仅当时等号成立， 所以， 即的取值范围为． 故答案为：. 14. 已知，若实数且，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用奇函数得到等量关系，用基本不等式‘1’的代换处理即可. 【详解】易知，且，，故是奇函数， 又易得函数单调递增，必有，化简得，则， 当且仅当，即时取等，则的最小值是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知. （1）化简； （2）若，且满足，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式直接化简即可； （2）由（1）可得，解得，再利用二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式化简代入计算即可. 【小问1详解】 由题意可知 . 【小问2详解】 由（1）可知，则，即， 可得， 且，可得， 所以. 16. 已知． （1）若为锐角，求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意先求，再利用两角和的余弦公式运算求解； （2）根据倍角公式结合两角差的正切公式运算求解. 【小问1详解】 ∵， 且，为锐角， 解得， 所以． 【小问2详解】 由（1）可知：，可得， 所以， 所以． 17. 设函数． （1）解不等式； （2）已知对任意的实数，恒成立，是否存在实数，使得对任意的，不等式恒成立，若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在； 【解析】 【分析】（1）讨论的取值范围，根据对数函数的单调性解不等式. （2）根据条件可得在上为增函数，通过函数的单调性把不等式等价变形，利用恒成立问题可求得的范围. 【小问1详解】 当时，由，得， 解得，即； 当时，由，得， 解得，即． 综上可知，． 【小问2详解】 存在，理由如下： ∵，且恒成立， ∴在上为增函数． ∵，∴， ∴在上恒成立，即在上恒成立， 令，设，对称轴为直线， ∴在上单调递增， ∴，即． 又∵时，恒成立， ∴， 综上得，． 18. 已知函数为奇函数. （1）求m的值； （2）判断并证明函数的单调性； （3）若对任意的，不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）函数在R上单调递增，证明如下： 设，且， 则， 因为，单调递增，所以， 所以，， 所以，即， 所以函数在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义列式，结合指数函数性质即可得解. （2）结合指数函数的单调性，利用单调性的定义证明即可. （3）根据函数为奇函数且单调递增，分离参数得在区间上恒成立，令，利用对勾函数的单调性求解最值即可得解. 【小问1详解】 因为函数为奇函数， 所以，即， 整理得，又，所以，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为函数为奇函数， 所以， 又因为在上单调递增， 所以，即在区间上恒成立， 令， 因为在上单调递增， 所以，由题意，得， 所以a的取值范围为. 19. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”． （1）判断函数是否为“依赖函数”，并简要说明理由； （2）若函数在定义域且上为“依赖函数”，求的值； （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）是“依赖函数”；理由：是“依赖函数”，对于函数的定义域内任意， 若，则， 对任意，都有唯一的的倒数使得等式成立，故是“依赖函数”； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由进行判断. （2）根据函数的单调性列方程，结合“依赖函数”的知识求得. （3）根据函数的单调性列方程，化简不等式，利用判别式来求得的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，在是严格增函数， 故，即， 由，得，又，所以， 解得，故. 【小问3详解】 因，故在上单调递增， 从而，即，进而， 解得或舍， 从而，存在，使得对任意的，有不等式都成立， 故，即， 整理，得对任意的恒成立. 即方程无实根或有两个相等的实根， 所以，解得，即实数的取值范围是 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. (2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年下学期高一开学适应性考试 数学试题部分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知命题，命题，则命题是命题的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 若则的值是 A. 0 B. 1 C. D. 3. 若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 4. “在定义域内是增函数”是“函数是幂函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设函数的零点为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数其中且.若时，恒有，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在上的偶函数．，且，恒有．若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数在区间上单调递减，且满足，函数的对称中心为，则下述结论正确的是（ ）（注：） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 命题，，则命题的否定是， B. “”是“”的必要条件 C. 命题“，”是真命题 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 10. 已知实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为9 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如.设函数，则下列说法错误的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 的最大值为1，没有最小值 C. D. 在上是增函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则函数的定义域为__________． 13. 在中，，O是的外心，，则的取值范围为______． 14. 已知，若实数且，则的最小值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知. （1）化简； （2）若，且满足，求的值. 16. 已知． （1）若为锐角，求的值； （2）求的值． 17. 设函数． （1）解不等式； （2）已知对任意的实数，恒成立，是否存在实数，使得对任意的，不等式恒成立，若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由． 18. 已知函数为奇函数. （1）求m的值； （2）判断并证明函数的单调性； （3）若对任意的，不等式恒成立，求a的取值范围． 19. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”． （1）判断函数是否为“依赖函数”，并简要说明理由； （2）若函数在定义域且上为“依赖函数”，求的值； （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $