精品解析：河北省石家庄市第一中学2025届高三第一次模拟考试数学试题

石家庄市第一中学2025届高考第一次模拟考试 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 3.本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求出集合，再求交集即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B． 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数运算求解即可. 【详解】则，则. 故选：C 3. 已知平面向量满足与的夹角为，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直时数量积等于0，结合数量积运算律以及数量积的定义，展开计算，即得答案. 【详解】因为，所以， 即，故， 故选：B 4. 计算的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】利用两角差余弦公式化简即可. 【详解】 =. 故选：C. 5. 某数学课外兴趣小组对一圆锥筒进行研究，发现将该圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内首次转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了周，如图，若该兴趣小组已测得圆锥的底面半径为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为，则圆锥绕顶点滚动所形成的圆的半径为，周长为，由周长公式求出，即可求出圆锥的高，再由圆锥的体积公式即可得出答案. 【详解】设圆锥的母线长为，则圆锥绕顶点滚动所形成的圆的半径为，周长为， 又圆锥底面半径为，则底面周长为， 故，解得， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为， 故选：B. 6. 当时，曲线与的交点个数为（ ） A 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解 【详解】因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数单调性，对数运算及中间值比较大小. 【详解】因为单调递增，故， 又，所以． 故选：C 8. 函数的定义域均为，且，关于对称，，则的值为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知、方程、函数的对称性、周期性进行计算求解. 【详解】因为， ， 对于②式有：，由①+有：， 即，又关于对称，所以， 由④⑤有：，即，， 两式相减得：，即，即， 因为函数的定义域为，所以的周期为8，又， 所以，由④式有：， 所以， 由，有：， 所以， 由⑤式有：，又，所以， 由②式有：， 所以 ，故A，B，D错误. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知函数，，令，，则（ ） A. 与的单调区间相同 B. 与的单调区间相同 C. 与有相同的最小值 D. 与有相同的最小值 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用复合函数的单调性求解判断；对于B，利用复合函数的单调性求解判断；对于C，由，利用换元法求得的最小值判断；对于D，由且，再利用复合函数的最值判断. 【详解】对于A，易知在上单调递减，在上单调递增， ， 当时，，，，所以，即在上单调递减，而在上单调递增，故A错误． 对于B， ，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以． 而，因为，所以， 所以与的正负相同，故与的单调区间相同，故B正确． 对于C，由选项B知：， 令，则函数在处取得最小值， 所以与有相同的最小值，故C正确． 对于D，易知， 因为，而在上单调递增， 从而，故D错误． 故选：AC 10. 某校体育活动社团对全校学生体能情况进行检测，以鼓励学生积极参加体育锻炼.学生的体能检测结果服从正态分布，其中检测结果在以上为体能达标，以上为体能优秀，则（ ） 附：随机变量服从正态分布，则，，. A. 该校学生的体能检测结果的期望为 B. 该校学生的体能检测结果的标准差为 C. 该校学生的体能达标率超过 D. 该校学生的体能不达标的人数和优秀的人数大致相等 【答案】AD 【解析】 【分析】求出、的值，可判断AB选项；利用原则可判断C选项；利用正态密度曲线的对称性可判断D选项. 【详解】对于A选项，该校学生的体能检测结果的期望为，A对； 对于B选项，该校学生的体能检测结果的标准差为，B错； 对于C选项，， 所以，，C错； 对于D选项，，所以，， 所以，该校学生的体能不达标的人数和优秀的人数大致相等，D对. 故选：AD. 11. 在平面直角坐标系中，动点到两个定点，的距离之积等于1，记点的轨迹为曲线，则（ ） A. 曲线关于原点对称 B. 曲线与轴恰有3个公共点 C. 的周长最小值为4 D. 的面积最大值为1 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，求得点的轨迹方程为，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，所以， 用替换，方程仍然成立，所以A正确． 对于B中，由方程，令，可得， 解得或，所以B正确． 对于C中，因为，所以， 当且仅当时等号成立，此时点恰为坐标原点， 所以的周长最小值大于4，所以C错误． 对于D中，由题意得，的面积为，所以D错误． 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，已知斜率为的直线与双曲线的右支交于A，B两点，点A关于坐标原点O对称的点为C，且，则该双曲线的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】取AB的中点M，连接OM，求得直线OM的斜率，再利用点差法求得，进而求得该双曲线的离心率 【详解】如图，设直线AB与x轴交于点D，取AB的中点M，连接AC，OM， 由双曲线的对称性可知O为线段AC的中点，则， 所以.由直线AB的斜率，得， 则直线OM的斜率. 设，，则 两式相减，得，化简得， 即， 所以该双曲线的离心率. 故答案： 13. 用3种不同的颜色给两个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，则两个区域颜色相同的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】三种不同的颜色分别用表示，列出所有基本事件，确定事件两个区域颜色相同所包含的基本事件，利用古典概型概率公式求其概率. 【详解】三种不同的颜色分别用表示，则给两个区域涂色包含的基本事件有： ，共9个基本事件， 事件两个区域颜色相同包含的基本事件有： ，共3个基本事件， 所以事件两个区域颜色相同的概率. 故答案为：. 14. 如图，装有水的正方体无盖容器放在水平桌面上，此时水面为，已知．为了将容器中的水倒出，以为轴向右倾斜容器，使得水能从容器中倒出，当水刚好能从容器中倒出时，水面距离桌面的高度为________． 【答案】 【解析】 【分析】由正方体的结构特征，结合棱柱的体积公式及未盛水的部分体积不变列方程，求解可得答案. 【详解】如图，平面与水面的夹角为， 则平面与水平桌面的夹角为． 由题意可得三棱柱的体积为， 所以，解得， 所以． 水面距离桌面的高度为． 故答案为：. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知正项数列是等差数列，前项和为，满足，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过等比数列中项公式和等差数列性质求得通项即可； （2）利用等差数列的前项和公式以及裂项相消法求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，， 由，且，，成等比数列， 有，解得或（舍去）， 有， 所以数列的通项公式为； 【小问2详解】 由，有， 有， 可得. 16. 记的内角的对边分别为，已知，. （1）求及； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理求解角度和边长即可. （2）首先证明条件①不符合题意，选择条件②和条件③时利用余弦定理结合给定条件求解面积即可. 【小问1详解】 由和余弦定理可得. 因为为的内角，所以，故， 由变形得，由正弦定理得. 【小问2详解】 选择条件①：， 由正弦定理得，解得， 因为为的内角，所以，故， 与相互矛盾，故不存在这样的三角形， 所以我们不选择条件①， 选择条件②：， 因为，，所以， 解得，由余弦定理得， 化简得，解得或（舍）， 所以. 选择条件③：， 因为，所以. 因为，所以， 由余弦定理得，化简得. 解得或，当时，是直角三角形，与题干不符，故排除， 所以. 17. 已知四棱锥中，，平面，点为三等分点（靠近点），，，. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1） 取三等分点，则，且，故且， 又，，即且， 所以四边形为平行四边形，即， 又平面，平面，故平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取三等分点，由等比例性质可得且，根据已知条件有且，再由平行四边形性质有，最后由线面平行的判定即可证结论. （2）法一：由题设易得平面，则为所求二面角的平面角，进而由已知条件及余弦定理即可求二面角的余弦值；法二：构建空间直角坐标系求面、面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示求二面角余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：由平面即平面，且，平面， 所以平面，则为所求二面角的平面角， 在等腰△中，，则， 又，，由，即， 所以，同求法可得，故所求二面角的余弦值为. 法二：以的中点为坐标原点，以为轴为轴建系如图所示， 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，若，可得， ，若，可得， 所以，即二面角的余弦值为. 18. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若函数有两个极值点且恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，再对函数求导，然后通导数的正负可求出函数的单调区间， （2）由函数有两个极值点可得方程的有两个不等正根，则有，求得，，将问题转化为可化为对恒成立，构造函数，利用导数求其最小值即可 【小问1详解】 的定义域为， 由，求导得， 令，得，解得，， 所以当或时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 的定义域为，求导得， 有两个极值点时，等价于方程的有两个不等正根， 所以，所以，， 此时不等式恒成立，等价于对恒成立， 可化为对恒成立， 令，则， 令，得，得或（舍去）， 所以当时，，当时，， 故 所以在恒成立，所以在上单调递减， 所以，所以. 故实数的取值范围是 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是由有两个极值点时，等价于方程的有两个不等正根，从而可求得，，所以将恒成立，进一步转化为对恒成立，然后通过构造函数，利用导数求出函数的最小值即可，考查了数学转化思想和计算能力，属于较难题 19. 已知椭圆，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的动点，直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于另一点． （1）求面积的最大值； （2）求与面积之比的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先设定直线的方程，并与椭圆方程联立，求得韦达定理形式，分别求的长和点到直线的距离，进而表达的面积，求最大值即可； （2）分别设直线和的方程，并分别与椭圆方程联立，求得韦达定理形式，分别求出两点的纵坐标，表达与面积之比，求最大值即可. 【小问1详解】 设，， 设直线的方程为， 联立方程组，得， 所以，， 则， 点到直线的距离为：， 所以， 令， 则，当即时面积取得最大值， 所以面积的最大值为. 【小问2详解】 设，， 设直线的方程为， 联立方程组，得， 即 所以，即， 同理可得：， 所以 化简得：， 当时，取得最大值. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中求面积的比值，可以选择相同的底边或者角来转化，参数之间的关系可以通过联立圆锥曲线方程，化简求得，通过函数或者不等式来求得最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄市第一中学2025届高考第一次模拟考试 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 3.本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量满足与的夹角为，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4. 计算的值是（ ） A. B. C. D. 5. 某数学课外兴趣小组对一圆锥筒进行研究，发现将该圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内首次转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了周，如图，若该兴趣小组已测得圆锥的底面半径为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 函数的定义域均为，且，关于对称，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知函数，，令，，则（ ） A. 与单调区间相同 B. 与的单调区间相同 C. 与有相同的最小值 D. 与有相同的最小值 10. 某校体育活动社团对全校学生体能情况进行检测，以鼓励学生积极参加体育锻炼.学生体能检测结果服从正态分布，其中检测结果在以上为体能达标，以上为体能优秀，则（ ） 附：随机变量服从正态分布，则，，. A. 该校学生体能检测结果的期望为 B. 该校学生的体能检测结果的标准差为 C. 该校学生体能达标率超过 D. 该校学生体能不达标的人数和优秀的人数大致相等 11. 在平面直角坐标系中，动点到两个定点，的距离之积等于1，记点的轨迹为曲线，则（ ） A. 曲线关于原点对称 B. 曲线与轴恰有3个公共点 C. 的周长最小值为4 D. 的面积最大值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，已知斜率为的直线与双曲线的右支交于A，B两点，点A关于坐标原点O对称的点为C，且，则该双曲线的离心率为______. 13. 用3种不同的颜色给两个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，则两个区域颜色相同的概率是__________. 14. 如图，装有水的正方体无盖容器放在水平桌面上，此时水面为，已知．为了将容器中的水倒出，以为轴向右倾斜容器，使得水能从容器中倒出，当水刚好能从容器中倒出时，水面距离桌面的高度为________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知正项数列是等差数列，前项和为，满足，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 16. 记的内角的对边分别为，已知，. （1）求及； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分. 17. 已知四棱锥中，，平面，点为三等分点（靠近点），，，. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 18. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若函数有两个极值点且恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知椭圆，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的动点，直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于另一点． （1）求面积的最大值； （2）求与面积之比的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $