精品解析：内蒙古赤峰市红山区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

红山区2024-2025学年度第一学期期末学情监测 九年级数学 本次考试时间90分钟，满分100分． 一、选择题（下列各题的四个选项中只有一个正确选项，请你将正确选项前的代号填在答题卡上．本题共有10个小题，每小题2分，满分20分） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 【答案】C 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2. 成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（ ） A. 竹篮打水 B. 水中捞月 C. 水涨船高 D. 守株待兔 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，熟知随机事件的定义是解题的关键．根据不可能事件的定义进行逐一判断即可，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A. 竹篮打水是不可能事件，故该选项不符合题意； B. 水中捞月是不可能事件，故该选项不符合题意； C. 水涨船高是必然事件，故该选项不符合题意； D. 守株待兔是随机事件，故该选项符合题意； 故选：D． 3. 如图，已知是的直径，，，是圆上的点，且，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，角所对直角边是斜边的一半，由圆周角定理可得，，然后根据角所对直角边是斜边的一半即可求解，掌握圆周角定理及角所对直角边是斜边的一半的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴，又， ∴， 故选：A． 4. 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度，所得新抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度， 所得新抛物线的函数表达式为，即， 故选：B． 5. 已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 平行 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程以及直线和圆的关系，熟练掌握直线和圆的关系是解题的关键．先解一元二次方程，得到圆的半径，比较半径与圆心到直线的距离的大小，即可得到答案． 【详解】解：， ， 解得， 的半径是， ， 直线与的位置关系是相交． 故选B． 6. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点恰好在边上，若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和等知识，掌握旋转的性质及等腰三角形的性质是关键；由旋转知，等于旋转角，，由等腰三角形的性质及三角形内角和即可求解． 【详解】解：由旋转知，等于旋转角，， ∴， ∴， 即旋转角为 故选：C． 7. 某工厂今年1月份的产值为25万元，2月份和3月份的总产值为62万元．若设平均每月增长的百分率为x，则列出的方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据平均增长率的等量关系，列出方程即可． 【详解】解：设平均每月增长的百分率为x，由题意，得： ， 故选D． 8. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二次函数图象综合问题，掌握一次函数和二次函数的图象与性质是解题关键． 根据一次函数与二次函数的图象与性质进行逐项分析即可． 【详解】解：A、由一次函数图象知，二次函数开口向下，此选项错误； B、当时，，解得 ，解得或 ∴一次函数与二次函数的图象都经过轴上的点，此选项错误； C、由一次函数图象知，，则，二次函数的对称轴位于轴左侧，又一次函数与二次函数的图象都经过轴上的点，此选项正确； D、由一次函数图象知，二次函数开口向上，此选项错误； 故选：C． 9. “青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．测量得这个水容器所能装满水的最大深度是（水面是时的深度），开口宽为，则这个水容器截面的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理，连接，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出的长，设，再根据勾股定理即可得出半径，即可求解． 【详解】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示： ∵， ∴， 由题意得：设， ∵这个水容器所能装水的最大深度是， ∴ 在中，，即 解得：， 故选：B． 10. 关于的一元二次方程的两实根，，且满足，则的值为（ ） A. 1或5 B. 1或 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系为：，．根据根与系数的关系得到，，整理代入，可求得的值，再根据判别式得出即可求解． 【详解】解：∵，是方程的两实根， ∴，， ， ∴，解得：， ∵， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴； 故选：C． 二、填空题（本题共6个小题，每小题2分，满分12分） 11. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在黑色区域的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是几何概率．先求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论． 【详解】解：∵由图可知，黑色方砖可拼成3块，共有9块方砖， ∴黑色方砖在整个地板中所占的比值， ∴小球最终停留在黑色区域的概率是， 故答案为：． 12. 若点与点关于原点对称，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征，有理数的乘方．熟练掌握关于原点对称的点坐标的横纵坐标均互为相反数是解题的关键．由题意知，，然后代入求解即可． 【详解】点与点关于原点对称， ，， ． 故答案为：1． 13. 已知二次函数的图象的最高点为，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，将代入求出，然后根据抛物线开口向下得到，求出． 【详解】根据题意可得， 将代代入得，， 解得， ∵抛物线的最高点为， ∴抛物线开口向下， ∴，即， ∴． 故答案为：． 14. 如图，线段在第二象限，点，点．将线段绕点旋转得到线段．那么点的对应点的坐标是_____． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识；分线段绕点顺时针旋转得到线段和线段绕点逆时针旋转得到线段，两种情况进行讨论求解，即可获得答案． 【详解】解：当线段绕点顺时针旋转得到线段时，如下图，过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ∵点， ∴，， 由旋转的性质可得，，， ∴， 又∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∵点在第一象限， ∴． 当线段绕点逆时针旋转得到线段时，作轴，作轴， 同法可得， ∴， 此时点在第三象限， ∴； 故答案为：或． 15. 抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，分别与相切于点，，延长，交于点．若，的半径为，则图中的长为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是解题的关键． 连接，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和求得，再利用弧长公式求得答案． 【详解】连接， ∵分别与相切于点C，D， ∴， ∵，， ∴， ∴（）， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，的半径为2，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则线段长的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理的应用，连接，由为圆O的切线，利用切线的性质得到与垂直，利用勾股定理列出关系式，由最小时最短，根据垂线段最短得到垂直于时最短，利用面积法求出此时的值，再利用勾股定理即可求出的最短值． 【详解】解：连接，如图所示， ∵是的切线， ∴， 根据勾股定理知：， ∴当时，线段最短， ∵在中，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，满分68分） 17. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴即， ∴或， 解得：． 18. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示，其中，，． （1）画出关于点O的中心对称图形，使点，，的对应点分别为点，，； （2）将绕着点顺时针旋转，点，，的对应点分别为点，，，画出旋转后得到的，并直接写出点，，的坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求． （2） 如图所示，即为所求． ，， 【解析】 【分析】本题考查图形的中心对称和旋转，根据坐标系写出点的坐标； （1）根据中心对称的性质找到对应点的位置，顺次连接即可得出； （2）根据旋转方式找出对应点的位置，即可作出，根据对应点在坐标系内的位置可直接写出坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， 19. 我国大力发展职业教育，促进劳动力就业．某职业教育培训中心开设：A（旅游管理）、B（信息技术）、C（酒店管理）、D（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中心将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图 根据图中信息解答下列问题： （1）本次被调查的学生有 人；扇统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为 ； （2）请补全条形统计图，若该中学有300名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有 人； （3）从选择D（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习．请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率． 【答案】（1）200； （2） 补全条形统计图如下： 90 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图与扇形统计图、用树状图法求概率． （1）由选择C专业的人数除以所占百分比即可求出总数，由乘以选择A（旅游管理）专业的人数所占的比例即可得出扇形统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数； （2）求出B专业的人数，补全条形统计图即可，根据该中学选择“信息技术”专业意向的学生所占比例估计实际人数； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 本次被调查的学生有：（人）； （2）扇形统计图中，A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为：， 故答案为：200；； 【小问2详解】 条形统计图中，B（信息技术）专业的人数为：（人）， 若该中学有300名学生有培训意向，估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有（人）， 故答案为：90； 【小问3详解】 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种， ∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为． 20. 企鹅塔祖尼是第9届女足世界杯的吉祥物，塔祖尼造型的玩偶非常畅销．某特许经销店销售一种塔祖尼造型玩偶，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量（件）与每件售价（元）之间存在一次函数关系（其中，且为整数）． （1）当每件售价为10元时，每天的销售量是 件； （2）若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，求每件玩偶的售价为多少元？ （3）设该商店销售这种玩偶每天获利（元），当每件玩偶的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）100 （2）若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，则每件玩偶的售价为12元 （3）每件玩偶的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用等知识点， （1）根据给定的数据，代入即可得解； （2）根据题意列出利润的一元二次方程，正确解出即可； （3）利用销售该玩偶每天的销售利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题； 解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 【小问1详解】 根据题意得，将代入得， 故答案为：100； 【小问2详解】 根据题意得，， 解得，（舍去）； 答：若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，则每件玩偶的售价为12元． 【小问3详解】 根据题意得，， ∵，且为整数，当时，随的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为525， 答：每件玩偶的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元． 21. 已知：如图，及外一点． 求作：直线，使与相切于点． 李华同学经过探索，想出了两种作法．具体如下： 作法一（如图1） 作法二（如图2） ①连接，作线段的垂直平分线，交于点；②以点为圆心，以的长为半径作，交于点；③作直线，则直线是的切线． ①连接，交于点，过点作的垂线；②以点为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点；③连接，交于点；④作直线，则直线是的切线． 证明：如图1，连接，为直径，．，是的半径，直线是的切线． 证明：…… 请仔细阅读，并完成相应的任务： （1）“作法一”中的“依据”是指 ； （2）请在下面写出“作法二”的证明过程． 【答案】（1）直径所对的圆周角是直角 （2） 证明：由作法可得，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线． 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理可得答案； （2）由作法可得，，，证明，得，根据切线的判定方法即可求证． 【小问1详解】 解：由题意得：“作法一”中的“依据”是指直径所对的圆周角是直角， 故答案为：直径所对的圆周角是直角； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了作图-作垂线、作垂直平分线，圆周角定理，切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 22. 综合与实践 某校数学小组的同学把“用数学的眼光观察校园”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了活动报告，请根据该活动报告完成后面的任务． 课题 用数学的眼光观察校园 调查方式 实地查看了解 调查对象 校门口隔离栏 调查内容 平面图 数学眼光 各个栏杆上彩色部分的顶端及点A，B所在曲线呈抛物线形（栏杆宽度忽略不计） 相关数据 隔离栏长为13米，并且的长被12根栏杆等分成13份，左起第4根栏杆涂色部分的高度米．隔离栏顶端G距栏杆底部距离米． 任务： （1）请以点A为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，并求出抛物线的表达式． （2）若学校从防护栏的顶点G处开始向下拉横幅，为了不遮挡防护栏上的彩色栏杆，则横幅最宽为多宽？ （3）若相邻某两根栏杆涂色部分的高度差为米，求这相邻的两根栏杆分别是左起第几根？ 【答案】（1） （2）米 （3）相邻的两根栏杆分别是左起第9根与第10根或第3根与第4根 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）求出和，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）栏杆彩色部分的最高点为第六根和第七根栏杆，它们高度一致，据此进行解答即可； （3）当左边栏杆涂色部分高于右边栏杆时，设相邻两栏杆中左边一根栏杆为第根，它的彩色部分高度为，第根，它的彩色部分高度为，列方程求出，即可得到第9根与第10根的高度差为0.15米．再根据二次函数的对称性得到第3根与第4根的高度差也为0.15米． 【小问1详解】 解：设抛物线的表达式为．依题意得． 隔离栏的长被12根栏杆等分成13份， ．， 将，代入， 得， 解得． 抛物线的表达式为． 【小问2详解】 栏杆彩色部分的最高点为第六根和第七根栏杆，它们高度一致， 依题意得，当时，． 横幅最宽为米． 【小问3详解】 当左边栏杆涂色部分高于右边栏杆时， 设相邻两栏杆中左边一根栏杆为第根，它的彩色部分高度为， 第根，它的彩色部分高度为， 则， 解得． 故第9根与第10根的高度差为0.15米． 由抛物线的对称性可知第3根与第4根的高度差也为0.15米． 答：相邻的两根栏杆分别是左起第9根与第10根或第3根与第4根． 23. 在中，，，D为上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段． （1）如图1，当点D与点B重合时，连接，交于点H，求证：； （2）当时（图2中，图3中），F为线段的中点，连接．在图2，图3中任选一种情况，完成下列问题： ①依题意，补全图形． ②猜想的大小，并证明． 【答案】（1） 证明：，， ， 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， 是等边三角形． ， ， 则； （2） 选择图2：①补全图形如图所示： ②猜想． 如图，过点作于点，连接， 则， ，， ，， ， 为线段中点， ， ． 由（1）可知是等边三角形， ，， ， 在利中， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据题意得，由旋转的性质得是等边三角形，即可证明； （2）①根据旋转和题目要求补全图；②猜想．过点作于点，连接，则有、和，根据题意有，由（1）可知是等边三角形，即可证得，即可证明猜想． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 选择图2： ①略 ②略 【点睛】本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质和全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握旋转的性质，并利用等边三角形性质证明全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 红山区2024-2025学年度第一学期期末学情监测 九年级数学 本次考试时间90分钟，满分100分． 一、选择题（下列各题的四个选项中只有一个正确选项，请你将正确选项前的代号填在答题卡上．本题共有10个小题，每小题2分，满分20分） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 2. 成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（ ） A. 竹篮打水 B. 水中捞月 C. 水涨船高 D. 守株待兔 3. 如图，已知是的直径，，，是圆上的点，且，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度，所得新抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 平行 6. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点恰好在边上，若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 某工厂今年1月份的产值为25万元，2月份和3月份的总产值为62万元．若设平均每月增长的百分率为x，则列出的方程为（　　） A. B. C. D. 8. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. “青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．测量得这个水容器所能装满水的最大深度是（水面是时的深度），开口宽为，则这个水容器截面的半径为（ ） A. B. C. D. 10. 关于的一元二次方程的两实根，，且满足，则的值为（ ） A. 1或5 B. 1或 C. D. 5 二、填空题（本题共6个小题，每小题2分，满分12分） 11. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在黑色区域的概率是___________． 12. 若点与点关于原点对称，则_____． 13. 已知二次函数的图象的最高点为，则_____． 14. 如图，线段在第二象限，点，点．将线段绕点旋转得到线段．那么点的对应点的坐标是_____． 15. 抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，分别与相切于点，，延长，交于点．若，的半径为，则图中的长为______．（结果保留） 16. 如图，在中，，，，的半径为2，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则线段长的最小值为_____． 三、解答题（本大题共7小题，满分68分） 17. 解下列方程： （1） （2） 18. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示，其中，，． （1）画出关于点O的中心对称图形，使点，，的对应点分别为点，，； （2）将绕着点顺时针旋转，点，，的对应点分别为点，，，画出旋转后得到的，并直接写出点，，的坐标． 19. 我国大力发展职业教育，促进劳动力就业．某职业教育培训中心开设：A（旅游管理）、B（信息技术）、C（酒店管理）、D（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中心将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图 根据图中信息解答下列问题： （1）本次被调查的学生有 人；扇统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为 ； （2）请补全条形统计图，若该中学有300名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有 人； （3）从选择D（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习．请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率． 20. 企鹅塔祖尼是第9届女足世界杯的吉祥物，塔祖尼造型的玩偶非常畅销．某特许经销店销售一种塔祖尼造型玩偶，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量（件）与每件售价（元）之间存在一次函数关系（其中，且为整数）． （1）当每件售价为10元时，每天的销售量是 件； （2）若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，求每件玩偶的售价为多少元？ （3）设该商店销售这种玩偶每天获利（元），当每件玩偶的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 21. 已知：如图，及外一点． 求作：直线，使与相切于点． 李华同学经过探索，想出了两种作法．具体如下： 作法一（如图1） 作法二（如图2） ①连接，作线段的垂直平分线，交于点；②以点为圆心，以的长为半径作，交于点；③作直线，则直线是的切线． ①连接，交于点，过点作的垂线；②以点为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点；③连接，交于点；④作直线，则直线是的切线． 证明：如图1，连接，为直径，．，是的半径，直线是的切线． 证明：…… 请仔细阅读，并完成相应的任务： （1）“作法一”中的“依据”是指 ； （2）请在下面写出“作法二”的证明过程． 22. 综合与实践 某校数学小组的同学把“用数学的眼光观察校园”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了活动报告，请根据该活动报告完成后面的任务． 课题 用数学的眼光观察校园 调查方式 实地查看了解 调查对象 校门口隔离栏 调查内容 平面图 数学眼光 各个栏杆上彩色部分的顶端及点A，B所在曲线呈抛物线形（栏杆宽度忽略不计） 相关数据 隔离栏长为13米，并且的长被12根栏杆等分成13份，左起第4根栏杆涂色部分的高度米．隔离栏顶端G距栏杆底部距离米． 任务： （1）请以点A为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，并求出抛物线的表达式． （2）若学校从防护栏的顶点G处开始向下拉横幅，为了不遮挡防护栏上的彩色栏杆，则横幅最宽为多宽？ （3）若相邻某两根栏杆涂色部分的高度差为米，求这相邻的两根栏杆分别是左起第几根？ 23. 在中，，，D为上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段． （1）如图1，当点D与点B重合时，连接，交于点H，求证：； （2）当时（图2中，图3中），F为线段的中点，连接．在图2，图3中任选一种情况，完成下列问题： ①依题意，补全图形． ②猜想的大小，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $