精品解析：陕西省咸阳市永寿县中学2023-2024学年高一下学期开学摸底考试数学试题

2023-2024学年度第二学期开学考试 高一数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 测试范围：北师大版2019必修第一册全册 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式可得，再由交集、并集运算可得结果. 【详解】因为集合，， 所以，. 故选：A. 2. 已知数据的平均数为8，方差为6，则，的平均数和方差分别为（ ） A. 26，54 B. 26，56 C. 24，54 D. 24，56 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数、方差的性质求解． 【详解】由题意数据的平均数为，方差为， 根据平均数和方差性质可得 数据的平均数为，方差为， 故选：A 3. 已知幂函数在上单调递增，函数，，总存在，使得，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及性质求出，进而可知当时，当时，由题意可知是的子集，列不等式求解即可. 【详解】由题意知，得或. 当时，，当时，. 又在上单调递增，， 当时，. 当时，. 由，总存在，使得， 可知是的子集， ，，即. 故选：B. 4. 已知函数，若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数的单调性与奇偶性，由已知等式可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】对任意的，，即恒成立， 所以，函数的定义域为， 因为， 所以，， 所以，，故函数为奇函数， 当时，函数、均为增函数， 所以，函数在上为增函数， 因为外层函数为增函数， 由复合函数法可知，函数在上为增函数， 由奇函数的性质可知，函数在上也为增函数， 所以，函数在上为增函数， 由可得， 所以，，可得， 又因为，，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为8. 故选：D. 5. 已知，，，则事件A与B的关系是（ ） A. A与B互斥不对立 B. A与B对立 C. A与B相互独立 D. A与B既互斥又相互独立 【答案】C 【解析】 【分析】由互斥事件加法公式和独立事件乘法公式可得答案. 【详解】因，则. 注意到： ， 则A与B不互斥，不对立，则ABD错误； 又. 因，则事件A与事件B相互独立，则C正确； 故选：C 6. 某种药物作用在农作物上的分解率为，与时间（小时）满足函数关系式（其中为非零常数），若经过12小时该药物的分解率为，经过24小时该药物的分解率为，那么这种药物完全分解，至少需要经过（ ）（参考数据：） A. 48小时 B. 52小时 C. 64小时 D. 120小时 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，利用待定系数法求出函数关系式，然后再代入计算即可． 【详解】由题意可得，解得，所以， 这种药物完全分解，即当时，有，即， 解得． 故选：B． 7. 若在恒成立，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由在恒成立，转化为求出的范围，再根据充分不必要条件的定义判断可得答案. 【详解】若在恒成立， 则在恒成立， 由得，当且仅当即时等号成立， 所以， 则是的充分不必要条件. 故选：A 8. 已知函数，若当时，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论，去掉绝对值，结合一元二次不等式的求解即可得解. 【详解】当，时，， 当时，，此时， 所以，不满足当时，，故不符合题意； 当，时，，解得， 由于时，，故，解得； 当，时，恒成立，符合题意； 当，时，，解得， 由于时，，故，解得. 综上. 故选：B 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对分类讨论，结合因式分解方法有针对性求解时的的解集，从而可求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. C. 在区间上单调递减 D. 的值域为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据函数解析式求出定义域可判断A，根据解析式计算可判断B，化简解析式，由反比例型函数单调性可判断C，根据函数特征可判断D. 【详解】对于A，由函数，可知，解得， 所以函数的定义域为，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，因为， 所以当时，单调递增，故C错误； 对于D，由可知，，故函数值域不为，故D错误. 故选：AB. 10. 已知是上的增函数，那么实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】分段函数在上单调递增，需满足在每一段上单调递增，且分段处左端点函数值小于等于右端点函数值,从而得到不等式，求出，得到答案. 【详解】要在上单调递增，需满足， 解得，故实数的值可以为，； 故选：AC 11. 已知函数对于一切实数都有，当时，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 是增函数 【答案】AC 【解析】 【分析】令，结合已知可得A正确；由可得B错误；令得到，再结合已知可得C正确；由函数单调性的定义结合已知可得D错误； 【详解】对于A，令，则， 由时，，得，，故A正确； 对于B，，则，故B错误； 对于C，令，则， 当时，，， 对于任意，故C正确； 对于D，设， 则， ，即， 又在上单调递减，故D错误； 故选：AC. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 北京中轴线是世界城市建设历史上最杰出的城市设计范例之一．其中钟鼓楼､万宁桥､景山､故宫､端门､天安门､外金水桥､天安门广场及建筑群､正阳门､中轴线南段道路遗存､永定门，依次是自北向南位列轴线中央相邻的11个重要建筑及遗存．某同学欲从这11个重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个游览，则选取的3个中一定有故宫的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出这11个重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个的种数和选取的3个中一定有故宫的种数，再由古典概率代入即可得出答案. 【详解】设11个重要建筑依次为，其中故宫为， 从这11个重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个有：， ，共9种情况， 其中选取的3个中一定有故宫的有：共3种， 所以其概率. 故答案为：. 13. 已知实数，满足，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】对式子进行变形得，同理可变为，故和是方程的两个根，构造函数求解即可. 【详解】由，得， 所以，所以， 所以， 又可化为， 所以和是方程的两个根， 令，易知在R上单调递增， 注意到 所以， 所以，解得， 所以， 故答案为：. 14. 已知函数的定义域为，为偶函数，对任意的，当时，，则关于的不等式的解集为__________.（用区间表示） 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得的图象关于直线对称，且在上单调递增，结合函数性质化简不等式，求其解集. 【详解】为偶函数，其图象关于轴对称， 的图象关于直线对称. 又当时，， 在上单调递增， 故不等式可等价为， 即， 当时，不等式可化为，即，无解， 当时，不等式可化为，即， 即，所以，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚． 15. 新冠肺炎疫情在我国爆发以来，我国举国上下众志成城、团结一致抗击新冠肺炎疫情，经过几个月努力，我国的疫情已经得到有效控制．为了解大众对新冠肺炎相关知识的掌握情况，某网站举行“新冠肺炎”防控知识竞赛网上答题，共有人通过该网站参加了这次竞赛，为了解竞赛成绩情况，从中随机抽取了名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图； （1）试估计这名学生成绩的第百分位数； （2）若采用分层抽样的方法从成绩在，，的学生中共抽取人参加志愿者活动．现从这人中随机抽取人分享活动经验，求抽取的人成绩都在的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据百分位数的求法求得正确答案. （2）根据分层抽样、列举法以及古典概型概率计算公式求得正确答案. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得 成绩小于的频率为， 成绩在的频率为，因为， 所以这名学生成绩的第百分位数在内， 所以随机抽取的名学生成绩的第百分位数为 【小问2详解】 因为成绩在，，的学生人数所占比例为, 所以从成绩在，，所抽取人数分别应抽取人，人，人． 记抽取成绩在人为，成绩在为，，． 从这人中随机抽取人的所有可能为： ， ，共种， 抽取的人成绩都在的是，共种， 抽取人成绩都在的概率为· 16. 春节是中华民族的第一大节，在中华文明史上有着重要地位.2024年12月4日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”通过评审，正式被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.据不完全统计，如今有近20个国家和地区将春节作为法定节假日，春节民俗活动已走进近200个国家和地区，成为全球文化盛事.四川省南充市阆中市是中国传统节日——春节的发源地.阆中不仅在历史上对春节文化的形成有着重要贡献，至今仍保留着丰富的春节庆祝活动.每年的春节期间，阆中会举行各种传统民俗活动，如舞龙、舞狮、打鼓、唱歌、书法展览和民间艺术表演等，这些活动展现了浓厚的年味和地方文化特色.为了促进阆中旅游业的发展，阆中市文旅局计划在阆中古城开发新的游玩项目，全年需投入固定成本500万元，若该项目在2025年接待x万名游客，则需追加管理及维修成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为80元． （1）求2025年该项目利润（万元）关于游客数量x（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）； （2）当2025年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）当游客量为60万人时，该项目年利润最大，最大利润为350万元. 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，得到函数解析式； （2）当时，由函数单调性求出最大值，当时，由基本不等式求出最大值，比较后得到结论. 【小问1详解】 当时， ， 当时， ， 故； 【小问2详解】 当时， ，故当万人时，取得最大值，最大值为万元， 当时， （万元）， 当且仅当，即时，等号成立， 由于，故当游客量为60万人时，该项目年利润最大，最大利润为350万元. 17. 对于函数. （1）判断函数的单调性，并用定义证明； （2）若函数为奇函数. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求使成立的实数的取值范围. 【答案】（1）函数在上单调递增；证明见解析 （2）（Ⅰ）； （Ⅱ） 【解析】 【分析】（1）函数在上单调递增，利用单调性的定义即可证明； （2）（Ⅰ）由已知可得对恒成立，计算可求得的值；（Ⅱ）由函数为奇函数，不等式可变形为，结合的单调性可得，求解即可. 【小问1详解】 当时，，所以，所以函数的定义域为， 函数在上单调递增，理由如下： 设，且， ， 因为，所以，所以， 所以，所以，所以， 所以函数在上单调递增； 【小问2详解】 （Ⅰ）因为函数为奇函数，所以，对恒成立， 即对恒成立， 所以， 解得； （Ⅱ）由，可得， 又因为函数为奇函数，所以， 由（1）可知函数在上单调递增， 所以，所以，所以， 解得，所以实数的取值范围. 18. 甲、乙、丙三人进行投篮比赛，其中甲投篮一次命中的概率为，甲、乙两人各投篮一次且都命中的概率为，乙、丙两人各投篮一次且都命中的概率为，且任意两次投篮互不影响. （1）分别计算乙，丙两人各投篮一次且都命中的概率； （2）求甲、乙、丙各投篮一次且恰有两人命中的概率； （3）若乙想命中的概率不低于0.9999，乙至少需要投篮多少次？（参考数据：，） 【答案】（1）乙射击一次击中目标的概率为，丙射击一次击中目标的概率为； （2）； （3）23次. 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件，结合已知求出乙，丙投篮一次且都命中的概率. （2）记甲、乙、丙各投篮一次恰有两人命中为事件，再由相互独立事件及互斥事件的概率公式计算求解. （3）设乙投篮次，则至少有一次投中的概率为，由，利用指数函数的性质及对数的运算性质计算得解. 【小问1详解】 记甲投篮一次命中为事件，乙投篮一次命中为事件，丙投篮一次命中为事件， 依题意，，，则， ，解得， 所以乙投篮一次命中的概率为，丙投篮一次命中的概率为. 【小问2详解】 记甲、乙、丙各投篮一次恰有两人命中为事件，则， 则 ， 所以甲、乙、丙各投篮一次恰有一人命中的概率. 【小问3详解】 设乙投篮次，则至少有一命击中的概率为， 由，得，两边取常用对数得， 因此，则， 所以乙至少要投篮次. 19. 已知函数． （1）直接写出时，的最小值． （2），在是否存在零点？给出结论并证明． （3）若有且仅有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1）2 （2）存在零点，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式可求得的最小值； （2）判断的单调性，结合零点存在性定理判断； （3）由题意，求出的值，将存在两个个零点转化为在上存在一个零点或两个零点为和2，结合二次函数分情况讨论即可. 【小问1详解】 根据题意，因为， 所以， 所以 当且仅当即时， 等号成立， 所以时， 的最小值为2. 【小问2详解】 根据题意，时，在上存在零点， 证明如下： 当时， 令 所以函数在上单调递增，又因为在上单调递增， 所以在区间上单调递减， 又 而 所以又由于， 则 所以 在区间上单调递减，所以在上存在零点. 【小问3详解】 由解得， 则 存在两个零点等价于在上存在一个零点或两个零点为和2，令 则在上存在一个零点或两个零点为和2， （i）零点为和2， 代入解得， （ii），， 解可得，满足题意， （iii） 有对称轴则有①， 整理得 解可得 ②，解可得 综上：的取值范围为 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问的关键是将存在两个零点转化成在上存在一个零点或两个零点为和2，进而分类讨论求得的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第二学期开学考试 高一数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 测试范围：北师大版2019必修第一册全册 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知数据的平均数为8，方差为6，则，的平均数和方差分别为（ ） A. 26，54 B. 26，56 C. 24，54 D. 24，56 3. 已知幂函数在上单调递增，函数，，总存在，使得，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则事件A与B的关系是（ ） A. A与B互斥不对立 B. A与B对立 C. A与B相互独立 D. A与B既互斥又相互独立 6. 某种药物作用在农作物上的分解率为，与时间（小时）满足函数关系式（其中为非零常数），若经过12小时该药物的分解率为，经过24小时该药物的分解率为，那么这种药物完全分解，至少需要经过（ ）（参考数据：） A. 48小时 B. 52小时 C. 64小时 D. 120小时 7. 若在恒成立，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知函数，若当时，，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. C. 在区间上单调递减 D. 的值域为 10. 已知是上的增函数，那么实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数对于一切实数都有，当时，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 是增函数 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 北京中轴线是世界城市建设历史上最杰出的城市设计范例之一．其中钟鼓楼､万宁桥､景山､故宫､端门､天安门､外金水桥､天安门广场及建筑群､正阳门､中轴线南段道路遗存､永定门，依次是自北向南位列轴线中央相邻的11个重要建筑及遗存．某同学欲从这11个重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个游览，则选取的3个中一定有故宫的概率为__________． 13. 已知实数，满足，，则________． 14. 已知函数的定义域为，为偶函数，对任意的，当时，，则关于的不等式的解集为__________.（用区间表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚． 15. 新冠肺炎疫情在我国爆发以来，我国举国上下众志成城、团结一致抗击新冠肺炎疫情，经过几个月的努力，我国的疫情已经得到有效控制．为了解大众对新冠肺炎相关知识的掌握情况，某网站举行“新冠肺炎”防控知识竞赛网上答题，共有人通过该网站参加了这次竞赛，为了解竞赛成绩情况，从中随机抽取了名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图； （1）试估计这名学生成绩的第百分位数； （2）若采用分层抽样的方法从成绩在，，的学生中共抽取人参加志愿者活动．现从这人中随机抽取人分享活动经验，求抽取的人成绩都在的概率． 16. 春节是中华民族的第一大节，在中华文明史上有着重要地位.2024年12月4日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”通过评审，正式被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.据不完全统计，如今有近20个国家和地区将春节作为法定节假日，春节民俗活动已走进近200个国家和地区，成为全球文化盛事.四川省南充市阆中市是中国传统节日——春节的发源地.阆中不仅在历史上对春节文化的形成有着重要贡献，至今仍保留着丰富的春节庆祝活动.每年的春节期间，阆中会举行各种传统民俗活动，如舞龙、舞狮、打鼓、唱歌、书法展览和民间艺术表演等，这些活动展现了浓厚的年味和地方文化特色.为了促进阆中旅游业的发展，阆中市文旅局计划在阆中古城开发新的游玩项目，全年需投入固定成本500万元，若该项目在2025年接待x万名游客，则需追加管理及维修成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为80元． （1）求2025年该项目的利润（万元）关于游客数量x（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）； （2）当2025年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润多少？ 17. 对于函数. （1）判断函数的单调性，并用定义证明； （2）若函数奇函数. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求使成立的实数的取值范围. 18. 甲、乙、丙三人进行投篮比赛，其中甲投篮一次命中概率为，甲、乙两人各投篮一次且都命中的概率为，乙、丙两人各投篮一次且都命中的概率为，且任意两次投篮互不影响. （1）分别计算乙，丙两人各投篮一次且都命中概率； （2）求甲、乙、丙各投篮一次且恰有两人命中的概率； （3）若乙想命中的概率不低于0.9999，乙至少需要投篮多少次？（参考数据：，） 19. 已知函数． （1）直接写出时，的最小值． （2），在是否存在零点？给出结论并证明． （3）若有且仅有两个零点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $