精品解析：江西省南昌市2025届高三第一次模拟测试数学试题

2025届高三模拟测试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡 上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. 10 D. 5 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 设关于x的方程有实数解，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则方程所有的根之和为（ ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 7 5. 已知为等比数列，若，则的公比（ ） A. B. 2 C. D. 6. 直线与圆交于A，B两点，，则（ ） A. B. C. D. 7. 我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”．已知，则下列给出的函数其图象与的图象“相似”的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，P为双曲线C第一象限上一点，的角平分线为l，过点O作的平行线，分别与，l交于M，N两点，若，则的面积为（ ） A. 20 B. 12 C. 24 D. 10 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 现从甲、乙两名射击运动员中选择一人参加大型选拔赛，各进行了10次射击，射击成绩（单位：环）如下表所示： 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 7 7 8 9 8 9 10 9 9 9 乙 8 9 7 8 10 7 10 10 7 10 依据该次选拔赛成绩，下列说法中正确的是（ ） A. 甲的平均成绩高于乙的平均成绩 B. 预计对手平均成绩较差，稳定发挥水平就能获得冠军，则选择乙参加比赛 C. 预计对手平均成绩9.2环，则选择乙参加比赛 D. 预计对手平均成绩8.8环，则选择甲参加比赛 10. 如图，平行六面体的体积为6，点P为线段上的动点，则下列三棱锥中，其体积为1的有（ ） A. 三棱锥 B. 三棱锥 C. 三棱锥 D. 三棱锥 11. 已知是上的连续函数，满足有，且．则下列说法中正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 的一个周期为6 D. 是的一个对称中心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，,则的元素个数为_______． 13. 已知等差数列各项不为零，前n项和为，若，则_______． 14. 三角形是常见的几何图形，除了我们已经学习的性质外，三角形还有很多性质，如：性质1：的面积； 性质2：对于内任意一点P，有； 性质3：内存在唯一一点P，使得．这个点P称为的“勃罗卡点”，角α称为的“勃罗卡角”． 若的三边长分别为1，1，，根据以上性质，可以计算出的“勃罗卡角”的正切值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边成公差为2的等差数列． （1）若为锐角三角形，求a的取值范围； （2）若，求的面积． 16. 如图，在三棱锥中，平面，为的中点． （1）求证：； （2）求与平面所成角的正弦值． 17. 已知． （1）若在定义域上单调递增，求a的取值范围； （2）若有极大值m，求证： 18. 已知椭圆的离心率，过点作直线与椭圆交于两点（在上方），当的斜率为时，点恰与椭圆的上顶点重合． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知，设直线，的斜率分别为，设的外接圆圆心为，点关于轴的对称点为． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求证：． 19. 通过抛掷骰子产生随机数列，具体产生方式为：若第次抛掷得到点数，则．记数列的前n项和为为除以4的余数． （1）若，求的概率； （2）若，比较与的大小，说明理由； （3）若，设，试确定该展开式中各项系数与事件的联系，并求的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三模拟测试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡 上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. 10 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】二项式展开式的通项为（）， 令，得，所以含项的系数为． 故选：D． 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数及共轭复数的定义结合复数的加法，应用复数相等得出参数. 【详解】设复数， 满足， 所以，则. 故选：B. 3. 设关于x的方程有实数解，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先结合辅助角公式及正弦函数性质求出对应的范围，然后结合充分必要条件的定义即可判断. 【详解】因为，所以，即. 因为， 所以由可以推出，由不可以推出，所以是的充分不必要条件． 故选：A. 4. 已知，则方程所有的根之和为（ ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】求方程的所有根，然后相加即可. 【详解】若，由，所以； 若，由. 因为，所以方程的所有根的和为1. 故选：A 5. 已知为等比数列，若，则的公比（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列通项公式列方程即可解得公比. 【详解】根据等比数列定义由可得， 显然，所以， 解得. 故选：D 6. 直线与圆交于A，B两点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直线方程与圆的方程联立，求出，利用两点之间的距离公式即可求得结果. 【详解】 设，联立，消去y整理得：， 解得，故， 利用两点之间的距离得， 故选：C 7. 我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”．已知，则下列给出的函数其图象与的图象“相似”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用导数求出函数的极值点，再逐一判断各个选项即可. 【详解】，则， 令，则， 如图，作出函数的图象， 由图可知函数的图象有两个交点， 即函数有两个零点，且， 令，则或，令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值点为，极小值点为. 对于A，函数在上单调递减，在单调递增， 所以函数有极小值点，无极大值点，故A选项不符； 对于B，函数在上单调递增，在单调递减， 所以函数有极大值点，无极小值点，故B选项不符； 对于C，， 当或时，，当时，， 所以函数的极大值点为，极小值点为，故C选项符合题意； 对于D，， 则函数的极小值点为，极大值点为，故D选项不符. 故选：C. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，P为双曲线C第一象限上一点，的角平分线为l，过点O作的平行线，分别与，l交于M，N两点，若，则的面积为（ ） A. 20 B. 12 C. 24 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】因为，故为的中位线，,由此得到，再利用得到，推出，结合角平分线定理，找出，进而得解； 【详解】如图，记l与轴交于点， 由双曲线的定义，，, 因为，为中点，故为的中位线，, , 易知，,故,故， 由的角平分线为l，由角平分线的性质得：, 所以, 故为直角三角形，面积为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 现从甲、乙两名射击运动员中选择一人参加大型选拔赛，各进行了10次射击，射击成绩（单位：环）如下表所示： 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 7 7 8 9 8 9 10 9 9 9 乙 8 9 7 8 10 7 10 10 7 10 依据该次选拔赛成绩，下列说法中正确的是（ ） A. 甲的平均成绩高于乙的平均成绩 B. 预计对手平均成绩较差，稳定发挥水平就能获得冠军，则选择乙参加比赛 C. 预计对手平均成绩9.2环，则选择乙参加比赛 D. 预计对手平均成绩8.8环，则选择甲参加比赛 【答案】CD 【解析】 【分析】选项A根据平均数比较可得；选项B根据方差比较可得；选项C根据射击一次大于环的概率比较可得；选项D根据射击一次大于环的概率比较可得. 【详解】选择A：甲的平均数为：， 乙的平均数为：，故A错误； 选择B：甲的方差为：， 乙的方差为：， 因，故B错误； 选择C：甲射击一次大于环的概率为，乙射击一次大于环的概率为， 故C正确； 选择D：甲射击一次大于环的概率为，乙射击一次大于环的概率为， 故D正确， 故选：CD 10. 如图，平行六面体的体积为6，点P为线段上的动点，则下列三棱锥中，其体积为1的有（ ） A. 三棱锥 B. 三棱锥 C. 三棱锥 D. 三棱锥 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面平行的性质，将动点到面的距离转换成定点到面的距离，利用等体积法依次求解即可. 【详解】记平行六面体的体积为， 对于A，由平行六面体的性质，平面故点到平面的距离等于点到平面的距离，故,故A正确； 对于B,因为，底面面积固定，点在线段上位置不同，高不同，故体积不为定值，故B错误； 对于C，因为平面平面故平面 点到平面的距离等于点到平面的距离， 故，故C正确； 对于D，因为平面平面故平面 点到平面的距离等于点到平面的距离， 故，故D正确； 故选：ACD. 11. 已知是上的连续函数，满足有，且．则下列说法中正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 的一个周期为6 D. 是的一个对称中心 【答案】BCD 【解析】 【分析】令，解得判断A，再令结合偶函数定义分析判断B；计算得出对称中心判断D，再分析可知是以6为周期的周期函数判断C. 【详解】因为，且的定义域为，关于原点对称， 对于选项A：令，则，解得或， 若，令时，， 这与矛盾，故，故A错误； 对于选项B：令，则， 即，可知是偶函数，故B正确； 对于选项D：因为，，当时，，故， 当时，，故， 当时，，又，故， 当时，， 所以，是的一个对称中心，故D正确； 对于选项C：因为，即，即，则， 所以，故是以6为周期的周期函数，故C正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，,则的元素个数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】求出集合，利用交集的定义求出集合，即可得出结果. 【详解】因为，，则. 因此，集合的元素个数为. 故答案为：. 13. 已知等差数列各项不为零，前n项和为，若，则_______． 【答案】####6.5 【解析】 【分析】根据已知等式及等差数列基本量运算，计算求解即可. 【详解】在等差数列中，不为零，设公差为， 因为，令时，，所以， 令时，，则，所以， 则． 故答案为：. 14. 三角形是常见的几何图形，除了我们已经学习的性质外，三角形还有很多性质，如：性质1：的面积； 性质2：对于内任意一点P，有； 性质3：内存在唯一一点P，使得．这个点P称为的“勃罗卡点”，角α称为的“勃罗卡角”． 若的三边长分别为1，1，，根据以上性质，可以计算出的“勃罗卡角”的正切值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】在中，由余弦定理得，在中，用正弦定理得，在中，得，利用切弦互化法即可得到结果. 【详解】 因为的三边长分别为1，1，，不妨设,如上图， 由余弦定理得,得， 故,在中,, 用正弦定理得,得到， 在中，, 用正弦定理得, 得到， 用差角的正弦公式得：， 得， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：在中，用正弦定理得， 在中，得，两次转化后再利用切弦互化法即可得到结果. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边成公差为2的等差数列． （1）若为锐角三角形，求a的取值范围； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列得到的关系，确定最大角为角，且，利用可得结果； （2）根据正弦定理得到，求出的值，利用余弦定理求出的值，进而得到的值，利用面积公式可得结果. 【小问1详解】 ∵是公差为2的等差数列， ∴， 由三角形三边关系得，， ∴，又∵为锐角三角形， ∴最大角， ∴，即， ∴，即，解得或， ∴. 【小问2详解】 ∵， ∴由正弦定理可得， ∴，解得，则， ∴，∴， ∴． 16. 如图，在三棱锥中，平面，为的中点． （1）求证：； （2）求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 取的中点为，连接， 因为为的中点，所以， 因为平面，所以平面，又平面 所以， 因为，所以， 因为，平面， 所以平面，且平面， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，即可证明，，从而得到平面，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点为坐标原点，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为， 所以， 所以，则， 所以， 平面的法向量为， 所以， 即与平面所成角的正弦值为． 17. 已知． （1）若在定义域上单调递增，求a的取值范围； （2）若有极大值m，求证： 【答案】（1） （2） 由（1）可知，当有两个不同的零点时，， 此时， 且时，时， 所以，则，，其中， 因为时，，单调递增， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以为的极大值点，则， 且， 设，则， 所以在单调递增， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）先求，令，通过求导判断函数的单调性求解最小值，结合题意列不等式即可求解； （2）由（1）可知，当有两个不同的零点时，，由，则，，判断的单调性，可得，通过求导即可证明. 【小问1详解】 函数的定义域为， 可得， 令， 所以， 因为时，，所以单调递减， 时，，所以单调递增， 所以， 因为在定义域上单调递增，所以恒成立， 所以，即； 【小问2详解】 略 18. 已知椭圆的离心率，过点作直线与椭圆交于两点（在上方），当的斜率为时，点恰与椭圆的上顶点重合． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知，设直线，的斜率分别为，设的外接圆圆心为，点关于轴的对称点为． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求证：． 【答案】（1） （2） （ⅰ）0； （ⅱ）证法一：∵，中点坐标为， ∴垂直平分线方程为， 由得，垂直平分线方程为①． 同理得，垂直平分线方程为②． 由可得，即， ①+②得：， ∴， 由②-①得：， ∵直线过点，∴，即， ∴，故， ∴， ∵，∴，故． 证法二：设圆， ∵在圆上，∴ ∵直线与圆交于， ∴联立得（*），其中是方程（*）的两根． 由（ⅰ）可知是方程的两根， 此两方程为同解方程，则有， 解得， ∴圆心， ∴， ∵，∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据条件求出椭圆上顶点坐标即可得到的值，利用离心率可得椭圆标准方程. （2）（ⅰ）联立直线与椭圆方程，借助韦达定理可得的值. （ⅱ）根据外心为三角形三边垂直平分线的交点表示点的坐标，计算直线的斜率，利用斜率之积为可证明结论. 【小问1详解】 当l的斜率为时，直线，与轴交点为，故， ∵，∴， ∴椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）由题意得，直线斜率存在且不为，设直线， 联立方程消去得：， ∴． ∴， ∵， ∴． （ⅱ）略 【点睛】关键点点睛：解决第（2）问（ⅱ）的关键是掌握三角形外心的特征，根据三角形两边垂直平分线的交点计算外心坐标，表示直线的斜率即可证明结论. 19. 通过抛掷骰子产生随机数列，具体产生方式为：若第次抛掷得到点数，则．记数列的前n项和为为除以4的余数． （1）若，求的概率； （2）若，比较与的大小，说明理由； （3）若，设，试确定该展开式中各项系数与事件的联系，并求的概率． 【答案】（1） （2） 的情形有：， 因此，， 的情形有：， 因此，， 所以； （3），其中，， 【解析】 【分析】（1）应用独立事件概率乘积公式计算； （2）应用独立事件概率乘积公式及互斥事件和概率公式计算； （3）结合二项式系数和计算求出概率. 【小问1详解】 因为， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 事件表示20个式子相乘后得到的组合方式的数量， ，其中， 令，得到， 令，得到， 因此，， 令，得到， 又因为， 所以， 因此，， 所以，． 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是对二项式展开式的应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $