精品解析：四川省自贡市富顺县富顺第二中学校2024-2025学年八年级下学期开学考试数学试题

富顺二中2024-2025学年度八年级下学期入学考试数学试题 时间：120分钟总分：100分 一、选择题（本题有8个小题，每小题3分，满分24分，每小题只有一个选项符合题意） 1. “二十四节气”是中国古代农耕文化的产物，已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.下面这四个节气印章图案分别是春分、夏至、秋分、冬至，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查识别轴对称图形，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，根据轴对称图形的特点逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意； B．不是轴对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，符合题意． 故选D． 2. 流行性感冒病毒简称流感病毒.甲型流感病毒的直径是，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故选：B． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法与除法、积的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键．根据合并同类项、同底数幂的乘法与除法、积的乘方法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项计算错误，不符合题意； B、，则此项计算正确，符合题意； C、，则此项计算错误，不符合题意； D、，则此项计算错误，不符合题意； 故选：B． 4. 画的边上的高，下列画法中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题是一道作图题，考查了三角形的高线的作法，正确理解高线是解题关键． 作哪一条边上的高，即从边所对的顶点向这条边或者这条边的延长线作垂线即可． 【详解】解：作边上的高，即从所对的顶点向或者的延长线作垂线； A、过点作的垂线，故不符合题意； B、过边上一点作边的垂线，故不符合题意； C、过点作的垂线，故不符合题意； D、过点向的延长线作垂线，故符合题意； 故选：D． 5. 若，其中、为常数，则点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，关于轴、轴对称的点的坐标等知识点，能求出、的值是解此题的关键．先根据多项式乘多项式进行，再合并同类项，求出、的值，再求出点的坐标，再求出答案即可． 【详解】解：， ，， 点的坐标是， 点关于轴的对称点的坐标为， 故选：A． 6. 小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程，线路二全程，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程解决实际问题，设汽车在线路一上行驶的平均速度为x km/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8x km/h，根据线路二的用时预计比线路一用时少半小时，列方程即可． 【详解】解：设汽车在线路一上行驶的平均速度为，则在线路二上行驶的平均速度为，由题意得， ， 故选：A． 7. 若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解分式方程求出其解，然后根据“方程的解为正数”和增根的定义求解即可． 【详解】 两边同乘以得： 解得 由题意得： 解得 是方程的增根 解得 综上，且 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的解、解一元一次不等式等知识点，掌握分式方程的解是解题关键． 8. 如图，在中，，，平分交于，于，交的延长线于，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤为定值，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】过作于，作，交于，过作于，根据角平分线性质求出，，根据勾股定理求出，，根据等腰三角形的性质和判定求出，即可求出①；根据三角形外角性质求出，证，推出，即可求出②④；由得到，然后根据即可得到，进而可判断③；证得，得到，，即可求出⑤，即可求解． 【详解】解：如图，过作于，作，交于，过作于， ，平分， ， ，， ， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ，故①正确； ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故②正确，④正确； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，故③错误， ， ， ， 平分，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即，故⑤正确． 正确的结论有4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的特，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共计18分） 9. 当x是__________时，在实数范围内有意义？ 【答案】x≥-且x≠-1 【解析】 【分析】根据二次根式成立的条件和分式有意义的条件列出不等式，据此求得x的取值范围． 【详解】解：依题意，得 由①得：x≥- 由②得：x≠-1 当x≥-且x≠-1时，在实数范围内有意义． 故答案为：x≥-且x≠-1 【点睛】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．凬时还考查了分式有意义的条件． 10. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行二次分解． 【详解】解：． 11. 用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形．图中，____度． 【答案】36 【解析】 【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：，是等腰三角形， 度， 故答案为：36． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质． 解题关键在于知道n边形的内角和为：180°（n﹣2）． 12. 如图，中，，，，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值为________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用、垂直平分线的性质、三角形周长，解答本题的关键是准确找出动点的位置．由图形可得：周长，因为，所以求出的最小值即可求出周长的最小值，根据题意知点A关于直线EF的对称点为点B，故当点P与点E重合时，的值最小，即可得到结论． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵直线垂直平分， ∴A，B关于直线对称， ∴，， 在中， ， ∴当P和E重合时，C、P、B三点共线， 此时，的值最小，最小值等于的长， ∴周长的最小值， 故答案为：14． 13. 若，求______________． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据实数的性质可得，进而得到，则可求出． 【详解】解；有意义， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：2025． 14. 如图，∠ABC＝60°，AB＝3，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP是钝角三角形时，t满足的条件是_____． 【答案】0＜t＜或t＞6． 【解析】 【分析】过A作AP⊥BC和过A作P'A⊥AB两种情况，利用含30°的直角三角形的性质解答． 【详解】解：①过A作AP⊥BC时， ∵∠ABC＝60°，AB＝3， ∴BP＝， ∴当0＜t＜时，△ABP是钝角三角形； ②过A作P'A⊥AB时， ∵∠ABC＝60°，AB＝3， ∴BP'＝6， ∴当t＞6时，△ABP'是钝角三角形， 故答案为：0＜t＜或t＞6． 【点睛】此题考查含30°的直角三角形的性质，关键是根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半解答． 三、解答题（本题有5个小题，每小题5分，共计25分） 15. 解决下列问题： （1）计算：； （2）在实数范围内分解因式：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法及在实数范围内因式分解，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． （1）根据二次根式的乘法法则进行计算即可； （2）先运用完全平方公式进行因式分解，再运用平方差公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：原式， ， ； 【小问2详解】 解： 16. 解方程：． 【答案】原方程无解． 【解析】 【分析】把各分母进行因式分解，可得到最简公分母是x（x+1）（x﹣1），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解 【详解】方程两边都乘x（x+1）（x﹣1），得： 7（x﹣1）+3（x+1）=6x， 解得：x=1． 经检验：x=1是增根， ∴此方程无解． 点睛：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根． 17. 如图，是的边上一点，点在的延长线上，，过点作，并截取，连接．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，  ​, ∴（）， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质与平行线性质，证明三角形全等是解题的关键．由“”可证，可得． 【详解】略 18. 已知：实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值，二次根式的性质，先由数轴判断出，的取值范围，再根据绝对值和二次根式的性质化简后进行运算即可得到结果，由数轴判断出，的取值范围是解题的关键． 首先根据数轴得出，，且，然后去根号和绝对值，再进行合并即可得到答案． 【详解】解：由数轴上点的位置关系，得，， ，，， ， ， 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）在图中作出关于x轴的对称图形； （2）请直接写出点C关于y轴的对称点的坐标：_________； （3）求出的面积； （4）在y轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2）； （3）4； （4） 解：如图，点P即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称变换，平面直角坐标系中的点，解题的关键是作出三角形三个顶点对应点． （1）作出点三个顶点的对称点，然后顺次连接即可； （2）根据平面直角坐标系写出点C关于y轴的对称点的坐标即可； （3）根据网格利用割补法即可求解； （4）连接，与y轴的交点即为所求作的点P． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 点C关于y轴的对称点的坐标为； 故答案为：； 【小问3详解】 ； 【小问4详解】 略 四、解答题（本题有3个小题，每小题6分，共计18分） 20. 先化简分式，然后从中选取一个你认为合适的整数代入求值． 【答案】，， （或x=3， -1） 【解析】 【分析】先化简分式，再代入满足条件的x值，算出即可. 【详解】化简 = =， 由题意得， 当时，原式= 当x=3时，原式=-1（求一个值即可） 【点睛】本题是对分式化简的考查，熟练掌握分式化简是解决本题的关键. 21. 绵阳人民商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同． （1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？ （2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，两种牛奶的总数不超过95件，该商场甲种牛奶的销售价格为49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润售价进价）超过371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？ 【答案】（1）乙种牛奶的进价是50元，甲种牛奶的进价是45元 （2）共有两种方案：方案一：购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24件；方案二：购进甲种牛奶70件，乙种牛奶25件 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． （1）设乙种牛奶的进价为每件元，则甲种牛奶的进价为每件元，由题意列出关于的方程，求出的值即可； （2）设购进乙种牛奶件，则购进甲种牛奶件，根据题意列出关于的不等式组，求出的整数解即可得出结论． 【小问1详解】 解：设乙种牛奶的进价为每件元，则甲种牛奶的进价为每件元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义， ∴乙种牛奶的进价是50元，甲种牛奶的进价是45元． 【小问2详解】 解：设购进乙种牛奶件，则购进甲种牛奶件， 由题意得， 解得：． 为整数， 或25， 共有两种方案：方案一：购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24件；方案二：购进甲种牛奶70件，乙种牛奶25件． 22. 图中是一副三角板，的三角板的直角顶点恰好在的三角板斜边上，，，，交于点，于． （1）如图1，当经过点时，且，作于，求证：①是的中点，②； （2）如图2，当时，交于，作于，若是中点，求证：． 【答案】（1） 证明：①， ， ， 是等边三角形． ， ， ， ， ， ， 是的中点； ②， ， ， ， ， ， 是等边三角形．， ． ， ； （2） 证明：如图， ， ，，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ． 又，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题利用了全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形的性质与判定、等边三角形的有关性质，矩形的判定和性质．证明是解题的关键． （1）①先证出是等边三角形，可得，再证明，可得，得出，即可得结论；②先证得，再由三线合一性质可得，所以可证出； （2）先证，在此基础上再证，从而得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 五、解答题（本题共有2个小题，23题7分，24题8分，共15分） 23. 我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为． （1）下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）； 与；与；与 （2）多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； （3）关于的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为．若，，求代数式的最小值． 【答案】（1）； （2）它们的“对消值”为； （3）代数式的最小值是． 【解析】 【分析】此题考查了求代数式值的能力， ()运用题目中的定义进行逐一计算、辨别； ()先运用题目中的定义求得，的值，再代入求解； ()先求得，再将原式进行配方变形进行求解；解题的关键是能准确运用题目的新定义进行求解． 【小问1详解】 ∵， , ， ∴组多项式不是互为“对消多项式”，组多项式是互为“对消多项式”， 故答案为：； 【小问2详解】 ，， ∵与互为“对消多项式”， ，， ，， ∴它们的“对消值”为； 【小问3详解】 ，， ， ∵与互为“对消多项式”且“对消值”为， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∴代数式的最小值是． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、分别为x轴和y轴上一点，且a，b满足，过点B作于点E，延长至点D，使得，连接、，平分． （1）A点的坐标为 ；的度数为 ． （2）如图1，若点C在第四象限，试判断与的数量关系与位置关系，并说明理由． （3）如图2，连接，平分，若点C的坐标为，连接交于点E，与交于点F． ①求D点的坐标； ②试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），； （2），； （3）①；②． 【解析】 【分析】（1）将已知式子化为，可得，再求解即可；（2）设与轴的交点为，与轴的交点为，证明，可得，，再求，可得；（3）①由（2）可知，，过点作轴交轴于，证明，即可求出；②延长交于点，证明，再证明，即可得． 【小问1详解】 解：， ， ， ，， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设与轴的交点为，与轴的交点为， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：①由（2）可知，，过点作轴交轴于， ，， ， ， ， ，， 点的坐标为， ，， ； ②延长交于点， ， ， ，， ， ，， 平分， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，二次根式有意义的条件，数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 富顺二中2024-2025学年度八年级下学期入学考试数学试题 时间：120分钟总分：100分 一、选择题（本题有8个小题，每小题3分，满分24分，每小题只有一个选项符合题意） 1. “二十四节气”是中国古代农耕文化的产物，已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.下面这四个节气印章图案分别是春分、夏至、秋分、冬至，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 流行性感冒病毒简称流感病毒.甲型流感病毒的直径是，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 画的边上的高，下列画法中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，其中、为常数，则点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程，线路二全程，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 8. 如图，在中，，，平分交于，于，交的延长线于，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤为定值，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共计18分） 9. 当x是__________时，在实数范围内有意义？ 10. 分解因式：________． 11. 用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形．图中，____度． 12. 如图，中，，，，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值为________． 13. 若，求______________． 14. 如图，∠ABC＝60°，AB＝3，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP是钝角三角形时，t满足的条件是_____． 三、解答题（本题有5个小题，每小题5分，共计25分） 15. 解决下列问题： （1）计算：； （2）在实数范围内分解因式：． 16. 解方程：． 17. 如图，是的边上一点，点在的延长线上，，过点作，并截取，连接．求证：． 18. 已知：实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）在图中作出关于x轴的对称图形； （2）请直接写出点C关于y轴的对称点的坐标：_________； （3）求出的面积； （4）在y轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） 四、解答题（本题有3个小题，每小题6分，共计18分） 20. 先化简分式，然后从中选取一个你认为合适的整数代入求值． 21. 绵阳人民商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同． （1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？ （2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，两种牛奶的总数不超过95件，该商场甲种牛奶的销售价格为49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润售价进价）超过371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？ 22. 图中是一副三角板，的三角板的直角顶点恰好在的三角板斜边上，，，，交于点，于． （1）如图1，当经过点时，且，作于，求证：①是的中点，②； （2）如图2，当时，交于，作于，若是中点，求证：． 五、解答题（本题共有2个小题，23题7分，24题8分，共15分） 23. 我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为． （1）下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）； 与；与；与 （2）多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； （3）关于的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为．若，，求代数式的最小值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、分别为x轴和y轴上一点，且a，b满足，过点B作于点E，延长至点D，使得，连接、，平分． （1）A点的坐标为 ；的度数为 ． （2）如图1，若点C在第四象限，试判断与的数量关系与位置关系，并说明理由． （3）如图2，连接，平分，若点C的坐标为，连接交于点E，与交于点F． ①求D点的坐标； ②试判断与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $