专题五 二次函数与几何综合-2025年中考数学高分特训专题复习

中考数学高分特训专题 专题五 二次函数与几何综合高分特训 特训 26 二次函数中的线段问题 如图，在平面直角坐标系中，已知正方形 ABCD的顶点 A的坐标为(0，－1)，顶点 B的坐标为 (4，－1)，顶点 C在第一象限内，抛物线 y＝－1 2 x2＋bx＋c(b，c为常数)的顶点 P为正方形 对角线 AC上一动点． (1)当抛物线经过 A，B两点时，求抛物线的解析式； (2)若抛物线与直线 AC相交于另一点 Q(Q非抛物线顶点，且 Q在第一象限内)， 求证：PQ的长是定值； (3)根据(2)的结论，取 BC的中点 N，请直接写出 NP＋BQ的最小值为________． 特训 27 二次函数中的面积求值 1．如图，二次函数 y＝－(x－2)2＋m的图象与 y轴交于点 C，点 B与点 C关于该抛物线的对 称轴对称，连接 BC.已知一次函数 y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点 A(3，0)及 点 C.在直线 AC下方的抛物线上存在点 Q，使 S△ACQ＝S△ACB(点 Q不与点 B重合)，则点 Q 的坐标为________． 18/22 中考数学高分特训专题 2．如图，抛物线 y＝1 2 x2－3 2 x－2与 x轴交于 A，B两点，与 y轴交于点 C，抛物线的顶点为 D， 对称轴为直线 l.连接 AC，CD，BD，则四边形 ACDB的面积为________． 特训 28 二次函数中的面积最值 如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝x＋3与 x轴交于点 A，与 y轴交于点 B，抛物线 y＝ax2 －2x＋c经过 A，B两点，与 x轴的另一个交点为 C.D为直线 AB上方抛物线上一动点，连 接 DA，DB，DC，BC，设△DAB的面积为 S1，△DBC的面积为 S2，求 S1＋S2的最大值， 并求出此时点 D的坐标． 【变式题】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝－1 2 x2＋x＋4与 x轴交于 A，B两点，与 y 轴交于点 C，连接 BC，点 P是抛物线在第一象限内的一个动点．过点 P作 PF⊥BC，垂 足为 F，过点 C作 CD⊥BC，交 x轴于点 D，连接 DP交 BC于点 E，连接 CP.设△PEF的 面积为 S1，△PEC的面积为 S2，当S1S2 最大时，点 P的坐标为________． 19/22 中考数学高分特训专题 特训 29 二次函数中角的关系 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝－x2＋2x＋3与 x轴交于点 A和点 B，与 y轴交于 点 C.M是抛物线在第一象限上的点，∠MAB＝∠ACO，则点 M的横坐标为________． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝－x2－3x＋4的图象与 x轴交于 A，B两点(点 A 在点 B的左侧)，与 y轴交于点 C，作直线 AC.D为直线 AC上方抛物线上的一个动点，横 坐标为 m，过点 D作 DF⊥x轴于点 F，交直线 AC于点 E.当∠ACD＝2∠BAC时，求点 D 的坐标． 20/22 中考数学高分特训，答案 专题五 二次函数与几何综合高分特训 特训 26 二次函数中的线段问题 (1)解：把 A(0，－1)，B(4，－1)的坐标代入 y＝－1 2 x2＋bx＋c，得 c＝－1， －8＋4b＋c＝－1， 解得 b＝2， c＝－1， ∴抛物线的解析式为 y＝－1 2 x2＋2x－1. (2)证明：∵四边形 ABCD为正方形，AB＝4， ∴C(4，3)． 设直线 AC的解析式为 y＝mx＋n， 把 A(0，－1)，C(4，3)的坐标代入，得 n＝－1， 4m＋n＝3， 解得 m＝1， n＝－1， ∴直线 AC的解析式为 y＝x－1. ∵y＝－1 2 x2＋bx＋c＝－1 2 (x－b)2＋c＋1 2 b2， ∴顶点 P的坐标为 b，c＋1 2 b2 ， 把 P b，c＋1 2 b2 代入 y＝x－1，得 c＋1 2 b2＝b－1，即 b2－2b＝－2c－2， 设 P(x1，x1－1)，Q(x2，x2－1)，则 x1，x2为方程－12 x2＋bx＋c＝x－1的两根， 整理为 x2－2(b－1)x－2－2c＝0， ∴x1＋x2＝2(b－1)，x1x2＝－2－2c， ∴PQ2＝2(x1－x2)2＝2[(x1＋x2)2－4x1x2]＝2[4(b－1)2－4(－2－2c)]＝8(b2－2b＋1＋2＋2c)＝ 8， ∴PQ＝2 2，即 PQ的长是定值． (3)2 5 中考数学高分特训，答案 特训 27 二次函数中的面积求值 1．(－1，－8) 2.35 4 特训 28 二次函数中的面积最值 解：∵直线 y＝x＋3与 x轴交于点 A，与 y轴交于点 B， ∴当 x＝0时，y＝3， ∴B(0，3)， 当 y＝0时，x＋3＝0，解得 x＝－3， ∴A(－3，0)． 将点 A，B的坐标代入 y＝ax2－2x＋c，得 9a＋6＋c＝0， c＝3. 解得 a＝－1， c＝3. ∴抛物线的解析式为 y＝－x2－2x＋3. 当 y＝0时，－x2－2x＋3＝0，解得 x1＝－3，x2＝1， ∴C(1，0)． 如图，过点 D作 DE∥y轴交 AB于点 E， 设点 D(m，－m2－2m＋3)，则点 E(m，m＋3)， S1＋S2＝S△DAB＋(S△DAB＋S△ABC－S△ADC) ＝2S△ADB＋S△ABC－S△ADC ＝DE×OA＋1 2 ×AC×OB－1 2 ×AC×yD ＝(－m2－2m＋3－m－3)×3＋1 2 ×4×3－1 2 ×4×(－m2－2m＋3) ＝－m2－5m 中考数学高分特训，答案 ＝－ m＋5 2 2 ＋ 25 4 ≤ 25 4 ，当 m＝－5 2 时取等号， 则 S1＋S2的最大值为254 ，此时 m＝－5 2 ，点 D － 5 2 ， 7 4 . 【变式题】(2，4) 特训 29 二次函数中角的关系 1.8 3 2．解：令 y＝0，得－x2－3x＋4＝0，解得 x1＝1，x2＝－4. ∴A(－4，0)，B(1，0)． 令 x＝0，得 y＝4， ∴C(0，4)． 设直线 AC的解析式为 y＝kx＋b，将点 A，C的坐标代入，得 －4k＋b＝0， b＝4， 解得 k＝1， b＝4. ∴直线 AC的解析式为 y＝x＋4. 如图，过点 C作 CG⊥DF于点 G，易得四边形 OCGF是矩形， ∴GF＝OC＝4，CG∥AB， ∴∠ACG＝∠BAC. ∵∠ACD＝2∠BAC， ∴∠ACG＝∠DCG， ∴90°－∠ACG＝90°－∠DCG， 即∠CED＝∠CDE， ∴CD＝CE. 又∵CG⊥DF， 中考数学高分特训，答案 ∴DG＝EG. ∵D为直线 AC上方抛物线上的一个动点，横坐标为 m，DF⊥x轴于点 F， ∴－4<m<0，E(m，m＋4)， ∴EF＝m＋4， ∴DG＝EG＝GF－EF＝－m， ∴DF＝DG＋GF＝－m＋4， ∴D(m，－m＋4)， 将点 D(m，－m＋4)的坐标代入 y＝－x2－3x＋4， 得－m＋4＝－m2－3m＋4， 解得 m1＝－2，m2＝0(不符合题意，舍去)， ∴点 D的坐标为(－2，6)．