专题二 相似模型-2025年中考数学高分特训专题复习

中考数学高分特训专题 专题二 相似模型高分特训 特训 12 A型相似 1．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交 BC于点 F.点 D，E分别在 AB，AC上，连接 DE 交 AF于点 G.若∠AED＝∠B，AG∶GF＝2∶1，则DE BC 的值为______． 2．如图，在△ABC中，AE＝CE，BC＝CD，求证：ED＝3EF. 特训 13 8 字型相似 1．如图，在四边形 ABCD中，AD∥BC，AC与 BD 相交于点 O，过点 B 作 BE∥CD，交 CA 的延长线于点 E.求证：OC2＝OA·OE. 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，AM⊥BC交 BC的延长线于 M，BN⊥AC交 AC的延长 线于 N，连接 MN.求证：AB＝2MN. 9/22 中考数学高分特训专题 特训 14 母子型相似 定义：如图①，若点 P在三角形的一条边上，且满足∠1＝∠2，则称点 P为这个三角形的“理 想点”． (1)如图②，若点 D是△ABC的边 AB的中点，AC＝2 2，AB＝4，试判断点 D是不是△ABC 的“理想点”，并说明理由； (2)如图③，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，若点 D是△ABC的“理想点”，则 CD的长为________． 特训 15 一线三等角型相似 【基础巩固】 (1)如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，直线 l过点 C，分别过 A，B两点作 AE⊥l，BD⊥l， 垂足分别为 E，D.求证：△BDC∽△CEA. 【尝试应用】 (2)如图②，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是 BC上一点，过点 D作 AD的垂线交 AB于点 E. 若 BE＝DE，tan∠BAD＝4 5 ，AC＝20，求 BD的长． 【拓展提高】 (3)如图③，在▱ABCD中，在 BC上取点 E，使得∠AED＝90°，若 AE＝AB，BE＝4，EC＝3， 则▱ABCD的面积为________． 10/22 中考数学高分特训专题 特训 16 旋转型相似 如图①，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2 2，点 D，E分别在边 AC，AB上，连接 DE， AD＝DE＝1 2 AB.将△ADE绕点 A按顺时针方向旋转，记旋转角为θ. (1)【问题发现】①当θ＝0°时，BE CD ＝________；②当θ＝180°时，BE CD ＝________； (2)【拓展探究】试判断：当 0°≤θ<360°时，BE CD 的大小有无变化？请仅就图②的情形给出证明； (3)【问题解决】在旋转过程中，BE的最大值为________． 特训 17 十字架型相似 (1)如图①，在矩形 ABCD中，AD＝3，AB＝2，E，F分别是 AB，AD上的点，连接 DE，CF， DE⊥CF于点 G，则DE CF ＝________； (2)如图②，在矩形 ABCD中，EF分别交 AD，BC于点 E，F，GH分别交 AB，CD于点 H，G， EF⊥GH.求证：GH EF ＝ AD CD ； (3)如图③，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点 D在边 BC上，连接 AD，过点 C作 CE⊥AD于 点 E，CE的延长线交 AB边于点 F.若 AC＝3，BC＝4，BF＝8 3 ，直接写出 CD的值． 11/22 中考数学高分特训，答案 专题二 相似模型高分特训 特训 12 A 型相似 1.2 3 2．证明：如图，过 E作 EG∥BD交 AB于 G， ∴△AGE∽△ABC，△FGE∽△FBD， ∴ AE AC ＝ EG BC ， FE FD ＝ EG DB . ∵AE＝CE，∴AE AC ＝ 1 2 ， ∴ EG BC ＝ 1 2 ，∴BC＝2EG.∵BC＝CD，∴CD＝2EG， ∴BD＝4EG，∴EG BD ＝ 1 4 ，∴ FE FD ＝ 1 4 ，∴ FE DE ＝ 1 3 ，∴ED＝3EF. 特训 13 8 字型相似 1．证明：∵CD∥BE，∴∠DCO＝∠E，∠CDO＝∠EBO， ∴△OCD∽△OEB，∴OD OB ＝ OC OE . ∵AD∥BC，∴∠OAD＝∠OCB，∠ODA＝∠OBC， ∴△OAD∽△OCB， ∴ OD OB ＝ OA OC ，∴ OC OE ＝ OA OC ， ∴OC2＝OA·OE. 2．证明：∵∠ACB＝120°， ∴∠ACM＝∠BCN＝180°－∠ACB＝60°. ∵AM⊥BC，BN⊥AC， ∴∠AMC＝∠BNC＝90°， 中考数学高分特训，答案 ∴△MAC∽△NBC，∴AC MC ＝ BC CN . 又∵∠ACB＝∠MCN，∴△ACB∽△MCN， ∴ AB MN ＝ AC MC . 在 Rt△ACM中，∠CAM＝180°－∠AMC－∠ACM＝30°， ∴CM＝1 2 AC.∴AC MC ＝2. ∴ AB MN ＝2，∴AB＝2MN. 特训 14 母子型相似 解：(1)点 D是△ABC的“理想点”， 理由如下： ∵D是 AB的中点，AB＝4，∴AD＝BD＝2，AD·AB＝8. ∵AC＝2 2，∴AC2＝8，∴AC2＝AD·AB，∴AC AD ＝ AB AC . ∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴∠ACD＝∠B， ∴点 D是△ABC的“理想点”． (2)12 5 或 9 4 特训 15 一线三等角型相似 (1)证明：∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＋∠ACE＝90°. ∵AE⊥CE，∴∠AEC＝90°，∴∠ACE＋∠CAE＝90°， ∴∠BCD＝∠CAE.∵BD⊥DE，∴∠BDC＝90°， ∴∠BDC＝∠AEC，∴△BDC∽△CEA. (2)解：如图，过点 E作 EF⊥BC于点 F. 中考数学高分特训，答案 由(1)得△EDF∽△DAC，∴DE DA ＝ DF AC . ∵AD⊥DE，∴tan∠BAD＝DE DA ＝ 4 5 ，∴ 4 5 ＝ DF 20 ，∴DF＝16. ∵BE＝DE，∴BF＝DF，∴BD＝2DF＝32. (3)7 10 特训 16 旋转型相似 解：(1)① 2 ② 2 (2)当 0°≤θ<360°时，BE CD 的大小没有变化． 证明：在 Rt△ABC中， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝45°， ∴AC＝AB·cos 45°，即AB AC ＝ 2. 同理 AE AD ＝ 2，∴AB AC ＝ AE AD ＝ 2. ∵∠CAB＝∠DAE，∴∠CAD＝∠BAE， ∴△ADC∽△AEB，∴BE CD ＝ AB AC ＝ 2. (3)4＋2 2 特训 17 十字架型相似 (1)3 2 (2)证明：如图，过点 E作 EP⊥BC于点 P，过点 H作 HQ⊥CD于点 Q，且 EP交 HG于点 O. ∵四边形 ABCD为矩形， 中考数学高分特训，答案 ∴AD⊥CD，AD∥BC. ∵HQ⊥CD，∴AD∥HQ. ∵EP⊥BC，∴EP⊥AD， ∴EP⊥HQ，∴∠GHQ＋∠HOE＝90°. ∵EF⊥HG，∴∠FEP＋∠HOE＝90°， ∴∠GHQ＝∠FEP. 又∵∠HQC＝∠EPF＝90°，∴△HQG∽△EPF，∴GH EF ＝ HQ EP . ∵AD∥HQ，AH∥DQ，∴四边形 AHQD为平行四边形， ∴AD＝HQ，同理 EP＝CD.∴GH EF ＝ AD CD . (3)解：CD＝18 7 .