专题一 全等模型-2025年中考数学高分特训专题复习

中考数学高分特训专题 专题一 全等模型高分特训 特训 1 旋转全等(一) 一线三等角模型 1．如图，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝6，则△BCD的面积为________． 2．如图，把两个腰长相等的等腰三角形拼接在一起，腰 AD＝AF＝AC，∠DAC＝90°，作 CE⊥AF 于 E，连接 DE.若 CE＝12，DE＝DF，求 AC的长． 特训 2 旋转全等(二)手拉手模型 【熟悉模型】 如图①，已知△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，求 证：BD＝CE； 【运用模型】 如图②，P为等边三角形 ABC内一点，且 PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，求∠APB的度数．小明在 解决此问题时，根据前面的“手拉手模型”，以 BP为边构造等边三角形 BPM，这样就有两个 等边三角形共顶点 B，然后连接 CM，通过转化的思想求出了∠APB的度数，则∠APB的度数 为________； 【深化模型】 如图③，在四边形 ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，求 BD的长． 3/22 中考数学高分特训专题 特训 3 旋转全等(三)半角模型 如图，在正方形 ABCD中，E，F分别是边 BC，CD上的点(不与端点重合)，且∠EAF＝45°. (1)求证：EF＝BE＋DF； (2)连接 BD，分别交 AE，AF于点 M，N，试探究 BM，MN，DN之间的数量关系，并说明理 由． 特训 4 中点模型(一)倍长中线(或作平行线) 1．如图，AD是△ABC的中线，BE交 AC于 E，交 AD于 F，且 AC＝BF.求证：AE＝FE. 2．如图，在△ABC中，∠A＝90°，D为 BC的中点，DE⊥DF，DE交 AB于点 E，DF交 AC 于点 F，连接 EF.试猜想线段 BE，CF，EF三者之间的数量关系，并证明你的结论． 特训 5 中点模型(二)构造中位线 1．如图，在正方形 ABCD中，AB＝2 2，E，F分别是边 AB，BC的中点，连接 EC，FD，G， H分别是 EC，FD的中点，连接 GH，则 GH的长度为________． 4/22 中考数学高分特训专题 2．如图，四边形 ABCD中，AB＝CD，E，F分别是边 BC，AD的中点，延长 BA，CD，分别 交 EF的延长线于 P，Q.求证：∠BPE＝∠Q. 特训 6 中点模型(三)平行线证中点 在△ABC中，AB＝AC，点 D在射线 BA上，点 E在 AC的延长线上，且 BD＝CE.连接 DE， DE与 BC边所在的直线交于点 F. (1)当点 D在线段 BA上时，如图所示，求证：DF＝EF； (2)过点 D作 DH⊥BC交直线 BC于点 H.若 BC＝4，CF＝1，求 BH的长． 特训 7 中点模型(四)斜边中线 1．如图，BN，CM分别是△ABC的两条高，D是 BC的中点，DE⊥MN于点 E. (1)求证：E是 MN的中点； (2)若 BC＝12，MN＝8，则 DE＝________． 5/22 中考数学高分特训专题 2．如图，在四边形 ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，O为 BD的中点，连接 OA，AC.若∠ADC ＝135°，求证：AC＝ 2OA. 特训 8 角平分线模型 1．如图，△ABC的面积为 10，P为△ABC内一点，BP平分∠ABC，AP⊥BP，则△PBC的面 积为________． 2．如图，在四边形 ABCD中，∠BAD＝120°，∠C＝60°，BD平分∠ABC.求证：AD＝CD. 3．如图，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB交 AB于点 D.求证：BC＝AD＋AC. 6/22 中考数学高分特训专题 特训 9 十字架模型 (1)感知：如图①，在正方形 ABCD中，E，F分别是 AB，BC上的点，连接 DE，AF，若 BE ＝CF，求证：DE＝AF. (2)应用：在(1)的条件下，求证：AF⊥DE. (3)探究：如图②，在正方形 ABCD中，E，F分别为边 AB，CD上的点(点 E，F不与正方形的 顶点重合)，连接 EF，作 EF的垂线分别交边 AD，BC于点 G，H，垂足为 O，若 E为 AB 的中点，DF＝1，AB＝4，则 GH的长为________． 特训 10 对角互补模型 1．如图，正方形 ABCD的对角线相交于点 O，E为 AB上一动点．连接 OE，作 OF⊥OE交 BC于点 F，已知 AB＝2，则四边形 EBFO的面积为________． 2．如图，在四边形 ABCD中，∠BAD＋∠BCD＝180°，DB平分∠ADC.若∠ADB＝60°，求证： △ABC是等边三角形． 7/22 中考数学高分特训专题 特训 11 设参导等角 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点 D在 BC的延长线上，∠ADB＝45°， 过点 C作 CE⊥AB 于点 E，延长 EC，交 AD的延长线于点 F，求证：AC＝FC. 2．如图，在△ABC中，D，E分别在 AB，BC边上，连接 AE，CD相交于点 F，若∠AFD＝ 2∠ABC，AE＝AC, 求证：CD＝AC. 8/22 中考数学高分特训，答案 专题一 全等模型高分特训 特训 1 旋转全等(一) 一线三等角模型 1．9 2．解：如图，过 D作 DH⊥EF于 H. ∵∠DAC＝90°， ∴∠DAH＋∠CAE＝90°. ∵CE⊥AF于 E， ∴∠ACE＋∠CAE＝90°， ∴∠DAH＝∠ACE. ∵∠AHD＝∠AEC＝90°，AD＝AC， ∴△ADH≌△CAE，∴AH＝CE＝12. 设 AC＝x，则 AF＝AD＝x，∴FH＝AF－AH＝x－12. ∵DE＝DF，DH⊥FE，∴EH＝FH＝x－12， ∴AE＝AH－EH＝12－(x－12)＝24－x. ∵AC2＝AE2＋CE2，∴x2＝(24－x)2＋122， ∴x＝15.∴AC的长为 15. 特训 2 旋转全等(二)手拉手模型 【熟悉模型】证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE. 在△ABD和△ACE中， ∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE. 【运用模型】150° 【深化模型】解：∵∠ACB＝∠ABC＝45°， 中考数学高分特训，答案 ∴∠BAC＝90°，且 AC＝AB. 将△ADB绕点 A顺时针旋转 90°，得到△AEC，连接 DE，如图． ∴AD＝AE，∠DAE＝90°，BD＝CE. ∴∠EDA＝45°，DE＝ 2AD＝4 2. ∵∠ADC＝45°，∴∠EDC＝45°＋45°＝90°. 在 Rt△DCE中，CE＝ CD2＋DE2＝ 9＋32＝ 41， ∴BD＝CE＝ 41. 特训 3 旋转全等(三)半角模型 (1)证明：如图，将△ADF绕点 A旋转至△ABG的位置， ∴BG＝DF，AG＝AF，∠GAB＝∠FAD， ∴∠GAF＝∠BAD＝90°， ∴∠EAG＝∠GAF－∠EAF＝90°－45°＝45°＝∠EAF. 又∵AE＝AE，∴△EAG≌△EAF， ∴GE＝EF. 又∵GE＝BE＋BG＝BE＋DF， ∴EF＝BE＋DF. (2)解：MN2＝BM2＋DN2. 理由：如图，将△ABM 绕点 A旋转至△ADH的位置，连接 HN， ∴AH＝AM, DH＝BM，∠ADH＝∠ABM，∠HAD＝∠MAB， ∴∠HAM＝∠BAD＝90°， 中考数学高分特训，答案 ∴∠HAN＝∠HAM－∠EAF＝90°－45°＝45°＝∠MAN. 又∵AN＝AN， ∴△HAN≌△MAN，∴HN＝MN. ∵四边形 ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠ADN＝45°， ∴∠ADH＝∠ABM＝45°， ∴∠HDN＝∠ADH＋∠ADN＝90°， ∴HN2＝DH2＋DN2，∴MN2＝BM2＋DN2. 特训 4 中点模型(一)倍长中线(或作平行线) 1．证明：延长 AD到 M，使 AD＝DM，连接 BM，如图． ∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BD， 在△ADC和△MDB中， DC＝DB， ∠ADC＝∠MDB， DA＝DM， ∴△ADC≌△MDB，∴BM＝AC，∠CAD＝∠M. ∵AC＝BF，∴BM＝BF，∴∠M＝∠BFM. ∵∠AFE＝∠BFM，∴∠CAD＝∠AFE， ∴AE＝FE. 2．解：猜想：BE2＋CF2＝EF2. 证明：延长 ED到点 G，使 DG＝ED，连接 GF，GC，如图． ∵ED⊥DF，DG＝ED，∴EF＝GF. ∵D是 BC的中点，∴BD＝CD. 中考数学高分特训，答案 在△BDE和△CDG中， ED＝GD， ∠BDE＝∠CDG， BD＝CD， ∴△BDE≌△CDG，∴BE＝CG，∠B＝∠GCD. ∵∠A＝90°，∴∠B＋∠ACB＝90°， ∴∠GCD＋∠ACB＝90°，即∠GCF＝90°， ∵在 Rt△CFG中，GC2＋CF2＝GF2， ∴BE2＋CF2＝EF2. 特训 5 中点模型(二)构造中位线 1．1 2．证明：连接 AC，取 AC的中点 M, 连接 ME, MF，则 ME, MF 分别为△ABC 和△ACD的中 位线， ∴ME＝1 2 AB，MF＝1 2 CD，ME∥AB，MF∥CD. ∵AB＝CD，∴ME＝MF，∴∠MEF ＝∠MFE. ∵ME∥AB，MF∥CD， ∴∠BPE ＝∠MEF，∠Q＝∠MFE， ∴∠BPE＝∠Q. 特训 6 中点模型(三)平行线证中点 (1)证明：如图①，过点 D作 DG∥AC，交 BC于点 G. ∴∠DGB＝∠ACB. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB， ∴∠DGB＝∠B，∴BD＝GD. ∵BD＝CE，∴GD＝CE. 中考数学高分特训，答案 ∵DG∥AC， ∴∠GDF＝∠CEF，∠DGF＝∠ECF， ∴△DGF≌△ECF，∴DF＝EF. (2)解：当点 D在线段 BA上时，过点 E作 EO⊥BC，交 BC的延长线于 O，如图②所示， ∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝∠OCE. 又∵∠DHB＝∠EOC＝90°， BD＝CE，∴△DHB≌△EOC， ∴BH＝CO， ∴HO＝HC＋CO＝HC＋HB＝BC＝4. ∵∠DHF＝∠EOF＝90°，∠DFH＝∠EFO， 由(1)得 DF＝EF， ∴△DHF≌△EOF，∴HF＝OF＝1 2 HO＝2. ∵CF＝1，∴BH＝CO＝OF－CF＝2－1＝1； 当点 D在 BA的延长线上时，过点 E作 EO⊥BC交 BC的延长线于点 O，如图③， 同理可证△DHB≌△EOC，△DHF≌△EOF， ∴BH＝OC，HF＝OF. ∴HO＝HC＋CO＝HC＋HB＝BC＝4，∴HF＝OF＝1 2 HO＝2. ∵CF＝1，∴BH＝CO＝OF＋CF＝2＋1＝3. 综上所述，BH的长为 1或 3. 中考数学高分特训，答案 特训 7 中点模型(四)斜边中线 1．(1)证明：如图，连接 DM，DN. ∵BN，CM分别是△ABC的两条高， ∴∠BMC＝∠CNB＝90°. ∵D是 BC的中点， ∴DM＝1 2 BC，DN＝1 2 BC. ∴DM＝DN. ∵DE⊥MN，∴E是 MN的中点． (2)2 5 2．证明：连接 OC，如图．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，O为 BD的中点， ∴∠ABC＋∠ADC＝180°，OA＝1 2 BD＝OB，OC＝1 2 BD＝OB， ∴OA＝OC. ∵∠ADC＝135°，∴∠ABC＝45°. ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠COD＝2∠CBO，同理可得∠AOD＝2∠ABO. ∴∠AOC＝∠AOD＋∠COD＝2∠ABO＋2∠CBO＝2(∠ABO＋∠CBO)＝2∠ABC＝90°， ∴△AOC为等腰直角三角形， ∴AC＝ OA2＋OC2＝ 2OA. 中考数学高分特训，答案 特训 8 角平分线模型 1．5 2．证明：如图，过点 D分别作 DE⊥BC于 E，DF⊥BA，交 BA的延长线于点 F. ∵点 D在∠ABC 的平分线上， ∴DE＝DF. ∵∠BAD＝120°，∴∠DAF ＝60°， ∴∠DAF ＝∠C. ∵DE⊥BC, DF⊥AF， ∴∠F＝∠DEC＝90°， ∴△ADF≌△CDE，∴AD＝CD. 3．证明：在 BC边上截取 EC＝AC，连接 DE，则 BC＝BE＋EC. ∵CD是∠ACB的平分线，∴∠DCE＝∠DCA. 在△CDE和△CDA中， EC＝AC， ∠DCE＝∠DCA， CD＝CD， ∴△CDE≌△CDA，∴∠CED＝∠A，ED＝AD. ∵∠CED＝∠B＋∠BDE，∠A＝2∠B， ∴∠B＝∠BDE，∴BE＝ED，∴BE＝AD， ∴BE＋EC＝AD＋AC，即 BC＝AD＋AC. 特训 9 十字架模型 (1)证明：∵四边形 ABCD是正方形， ∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠B＝90°. ∵BE＝CF，∴AE＝BF， ∴△DAE≌△ABF，∴DE＝AF. (2)证明：∵△DAE≌△ABF，∴∠ADE＝∠BAF. 中考数学高分特训，答案 ∵∠BAF＋∠DAF＝∠DAB＝90°， ∴∠ADE＋∠DAF＝90°， ∴∠DOA＝90°，∴AF⊥DE. (3) 17 特训 10 对角互补模型 1．1 2．证明：如图，过点 B分别作 BF⊥DC于点 F，BE⊥DA交 DA的延长线于点 E， 则∠BEA＝∠BFC＝90°. ∵DB平分∠ADC，∴BE＝BF. ∵∠BAD＋∠BCD＝180°，∠BAD＋∠BAE＝180°， ∴∠BCF＝∠BAE. 在△BEA和△BFC中， ∠BAE＝∠BCF， ∠BEA＝∠BFC， BE＝BF， ∴△BEA≌△BFC，∴AB＝CB. ∵∠ADB＝60°，DB平分∠ADC， ∴∠ADC＝2∠ADB＝120°. ∵∠BAD＋∠BCD＝180°，∴∠ADC＋∠ABC＝180°， ∴∠ABC＝180°－∠ADC＝60°， ∴△ABC是等边三角形． 中考数学高分特训，答案 特训 11 设参导等角 1．证明：设∠B＝α.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝α. ∵∠ACB是 △ACD的外角，且∠ADB＝45°， ∴∠CAD＝∠ACB－∠ADB＝α－45°. ∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°.∴∠BCE＝90°－∠B＝90°－α. ∴∠DCF＝∠BCE＝90°－α. ∵∠ADC是△CDF的外角，∴∠F＝∠ADC－∠DCF＝α－45°， ∴∠CAD＝∠F，∴AC＝FC. 2．证明：设∠CAE＝2α，∠ABC＝β，则∠AFD＝2β. ∵AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE＝90°－α. ∵∠AFD是△ACF的外角， ∴∠ACD＝∠AFD－∠CAE＝2β－2α.∴∠BCD＝∠ACE－∠ACD＝90°－α－(2β－2α)＝ 90°＋α－2β. ∵∠ADC是△BCD 的外角， ∴∠ADC＝∠ABC＋∠BCD＝β＋90°＋α－2β＝90°＋α－β， ∴∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝90°＋α－β. ∴∠ADC＝∠CAD，∴CD＝AC.