第03讲 平行线的性质（知识解读+达标检测）-2024-2025学年七年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版2024）

第03讲 平行线的性质 【题型1 利用平行线性质求角度】 【题型2 利用平行线性质解决三角板问题】 【题型3 利用平行线性质解决折叠问题】 【题型4 平行线性质的实际应用】 【题型5 利用平行线的判定与性质的综合】 考点1：平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 【题型1 利用平行线性质求角度】 【典例1】如图，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质及对顶角，熟练掌握平行线的性质及对顶角是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴； 故选B． 【变式1-1】如图，已知直线，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质以及邻补角的性质． 先利用平行线的性质求出的度数，再根据邻补角的定义即可求出度数． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 【变式1-2】如图所示，已知，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，补角的定义，先根据，，求出的度数，再根据补角的定义即可求出的度数，掌握平行线的性质，补角的定义是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 【变式1-3】如图，在中，，过点的直线，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平角的定义求出，根据，求出，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平角的定义，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等． 【题型2 利用平行线性质解决三角板问题】 【典例2】已知直线，将一个含有角的三角尺按如图所示的方式摆放，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质推出，由三角形外角的性质求出，即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【变式2-1】如图，直线，等腰直角的两个顶点A，B分别落在直线，上，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等． 根据等腰直角三角形的性质可得，根据平行线的性质可得，进而可得答案． 【详解】解：如图， ∵是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式2-2】如图，，将两块直角三角尺（，）按如图方式进行摆放，恰好满足．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，角的和差． 根据角的和差求出，根据平行线的性质求得，进而可求得，，又由平行线的性质求出，进而即可解答． 【详解】解：由题意可得，，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C 【变式2-3】如图一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式叠合在一起（三角板的直角顶点在直尺的边上），若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质定理，平角的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 直接利用“两直线平行，同位角相等”结合平角即可求解． 【详解】解：如图： 由题意得：，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【题型3 利用平行线性质解决折叠问题】 【典例3】如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据平行线的性质得到，，然后由折叠的性质得到，，然后根据得到，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵沿，折叠，使点和点都落在点处， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴． 故选：C． 【变式3-1】如图，把长方形纸条沿折叠，点A，B分别折叠至点和点处．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线的性质，折叠的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．先根据折叠的性质得出，再根据平行线的性质得出，再由据此可得出结论． 【详解】解： ， ． 长方形纸条沿折叠，点，分别折叠至点，， ， ， ． ． 故选：A 【变式3-2】如图，在长方形纸带中， ，，将长方形沿折叠，，两点的对应点分别为，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，折叠的性质，关键是由平行线的性质得到，，由折叠的性质得到，． 过作，得到，推出，，由折叠的性质得到，，因此，求出，由邻补角的性质得到，因此，于是得到． 【详解】解：过作， ， ， ，， ， 由折叠的性质得到，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【变式3-3】如图，把矩形ABCD沿EF折叠，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质．根据折叠的性质及可求出的度数，再由平行线的性质即可得到的度数． 【详解】解：根据折叠的性质有：，即 ， ∵， ∴ ， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【题型4 平行线性质的实际应用】 【典例4】我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，当为（    ）度时，． A．15 B．65 C．70 D．115 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；由题意易得， 则有，然后问题可求解． 【详解】解：当为70度时，，理由如下： ∵，都与地面l平行， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； 故选C． 【变式4-1】滑雪运动深受年轻人的喜欢，滑雪时正确的滑雪姿势尤为重要．如图①，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态．图②是其示意图，已知，，则当时，上身与水平线夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，延长交于M，利用“两直线平行，同旁内角互补”求出的度数，再利用“两直线平行，内错角相等”求出的度数即可． 【详解】解：延长交于M， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式4-2】如图为某品牌折叠椅子的侧面示意图，，与地面平行，，则（    ） A．78° B．73° C．69° D．61° 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关性质，是解题的关键．根据平行得到，再利用外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∵， ∴， 故选B． 【变式4-3】光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，，，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．根据光在水中是平行的线，由平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， 故选∶D． 【题型5 利用平行线的判定与性质的综合】 【典例5】如图，在中，是高，点，，分别在，，上，且，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)；理由见解析 (2) 【分析】本题考查了垂直的定义、平行线的判定和性质以及三角形的内角和定理等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是关键． （1）根据平行线的性质和判定解答即可； （2）先求出的度数，即为，根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质即得答案． 【详解】（1）解：；理由是： ∵是高，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式5-1】填空：如图，，，，求的度数． 解：∵， ∴________，（两直线平行，同位角相等）． 又∵， ∴（等量代换）， ∴（________）， ∴________（两直线平行，同旁内角互补）． ∵， ∴________． 【答案】；内错角相等，两直线平行；；． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，由，得到，从而得到，则，即可求解，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴（两直线平行，同位角相等）， 又∵， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵， ∴， 故答案为：；内错角相等，两直线平行；；． 【变式5-2】如图，平分交于点D，，交于点E． (1)请说明． (2)如果，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据角平分线结合平行线得到内错角相等即可等量代换出结果； （2）根据垂直得到，则，，再根据角度和差即可计算． 【详解】（1）证明：∵平分 ， ． ． ； （2）解：∵， ∴，， ， ∴． 【变式5-3】如图，已知，， (1)试说明； (2)若，平分，试求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，垂线定义理解，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法和性质． （1）根据平行线的判定方法得出，根据平行线的性质得出，根据补角的性质得出，根据平行线的判定得出，最后得出结果即可； （2）先求出，再求出，根据角平分线定义得出，根据垂线定义得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． = 一、单选题 1．如图，于点，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，利用垂直的定义得出，再利用平行线的性质得出的度数． 【详解】解：∵于点C， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 2．生活情境·管道铺 设如图，工人师傅在工程施工中需在同一平面内弯制一个变形管道，使其拐角，则（   ） A． B． C． D．与相交 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，掌握“同旁内角互补，两直线平行”成为解答本题的关键．根据同旁内角互补，两直线平行即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选C． 3．如图，直线、被直线、所截，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．先根据同旁内角互补，两直线平行可得，再根据两直线平行，内错角相等求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键在于熟练掌握两直线平行内错角相等以及过拐角作平行的技巧． 过点作，根据平行线的性质即可推出，，从而求得的度数． 【详解】解：过点向左作， 直线， ， ，， 又， ， ， 故选：D． 5．一名学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向左拐 D．第一次向左拐，第二次向右拐 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行线的应用．首先根据作出图形，利用平行线的判定性质求出答案，注意排除法在选择题中的应用． 【详解】解：A、第一次向左拐，第二次向右拐，如图所示： 行驶方向与原方向相同，故本选项符合题意； B、第一次向右拐，第二次向左拐，如图所示， 行驶方向与原方向不同，故本选项不符合题意； C、第一次向左拐，第二次向左拐，如图所示： 行驶方向与原方向相反，故本选项不符合题意； D、第一次向左拐，第二次向右拐，如图所示： 行驶方向与原方向不同，故本选项不符合题意． 故选：A． 6．如图，在四边形中，，延长至点E，连接交于点F．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形内角与外角，平行线的性质，设，则，利用三角形的内角和运算出x的值，再利用平行线的性质求解即可 【详解】解：设，则， ∴在中，， 即， 解得：， ∴， ∵, ∴， ∵， ∴， 故选：C. 7．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在的延长线上，点、分别为直角顶点，且，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题关键．由两直线平行，同旁内角互补，可得，再结合三角形外角的性质，即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ，， ，， ， ， 故选：A． 8．如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线EF与BD相交于点P，，，，则的大小为（    ） A． B． C． D．85° 【答案】C 【分析】由平行线的性质得到，再由三角形外角定理即可求解．此题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，同位角相等是解题的关键． 【详解】解：，， ， ，， ， 故选：C． 9．如图，直线，点在直线上，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的性质得出，，进而利用角的关系解答即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ，故B正确． 故选：B． 二、填空题 10．物理中有一种现象叫光的折射现象，指当光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，水面与容器底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，变成了光线射到水底处，射线是光线的延长线，若，则的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，根据平行线的性质可得，由对顶角的性质可得，最后根据角的和差关系即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是对顶角， ∴， ∴， 故答案为：． 11．社会发展情境·公路建设如图，在、两地之间要修一条笔直的公路，从地测得公路走向是北偏东，公司要求、两地同时开工，并保证若干天后公路准确接通．若公路长12千米，另一条公路长6千米，且的走向是北偏西，地到公路的距离是 千米． 【答案】12 【分析】本题主要考查了平行线的性质、点到直线的距离，熟练掌握平行线的性质是解题关键．如图（见解析），先根据平行线的性质可得，再根据平角的定义可得，即，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意可知，，， ∴， ∴，即， 地到公路的距离是线段的长度，即为12千米． 故答案为：12． 12．如图，一张宽度相等的长方形纸条，如图所示折叠一下，那么 ．    【答案】65 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质．根据平行线的性质可得，根据折叠的性质可得，进而即可求解． 【详解】解：如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，   ，， ， ， 故答案为：65． 13．如图，若，则 . 【答案】/75度 【分析】本题考查平行线的判定与性质，关键是添加平行辅助线．过C作，利用平行线的判定与性质求解即可． 【详解】解：过C作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，即， 故答案为：． 三、解答题 14．如图，点D，E，F在的三边上，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是平行线的性质和判定，证明可得，由得，根据等量代换可得结论． 【详解】证明：， ， ． ， ， ． 15．如图，点分别是的边上的点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题关键．根据平行线的性质和判定证明即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．如图，，点是的延长线上的一点，交于点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行线的性质可得，从而得出，即可得证； （2）由平行线的性质可得，由三角形内角和定理求出，，再由平行线的性质可得，最后由进行计算即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 平行线的性质 【题型1 利用平行线性质求角度】 【题型2 利用平行线性质解决三角板问题】 【题型3 利用平行线性质解决折叠问题】 【题型4 平行线性质的实际应用】 【题型5 利用平行线的判定与性质的综合】 考点1：平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 【题型1 利用平行线性质求角度】 【典例1】如图，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，已知直线，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图所示，已知，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在中，，过点的直线，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【题型2 利用平行线性质解决三角板问题】 【典例2】已知直线，将一个含有角的三角尺按如图所示的方式摆放，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，直线，等腰直角的两个顶点A，B分别落在直线，上，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，，将两块直角三角尺（，）按如图方式进行摆放，恰好满足．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式叠合在一起（三角板的直角顶点在直尺的边上），若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【题型3 利用平行线性质解决折叠问题】 【典例3】如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，把长方形纸条沿折叠，点A，B分别折叠至点和点处．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式3-2】如图，在长方形纸带中， ，，将长方形沿折叠，，两点的对应点分别为，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，把矩形ABCD沿EF折叠，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【题型4 平行线性质的实际应用】 【典例4】我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，当为（    ）度时，． A．15 B．65 C．70 D．115 【变式4-1】滑雪运动深受年轻人的喜欢，滑雪时正确的滑雪姿势尤为重要．如图①，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态．图②是其示意图，已知，，则当时，上身与水平线夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图为某品牌折叠椅子的侧面示意图，，与地面平行，，则（    ） A．78° B．73° C．69° D．61° 【变式4-3】光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，，，则的度数为（） A． B． C． D． 【题型5 利用平行线的判定与性质的综合】 【典例5】如图，在中，是高，点，，分别在，，上，且，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，平分，求的度数． 【变式5-1】填空：如图，，，，求的度数． 解：∵， ∴________，（两直线平行，同位角相等）． 又∵， ∴（等量代换）， ∴（________）， ∴________（两直线平行，同旁内角互补）． ∵， ∴________． 【变式5-2】如图，平分交于点D，，交于点E． (1)请说明． (2)如果，求的度数． 【变式5-3】如图，已知，， (1)试说明； (2)若，平分，试求的度数． = 一、单选题 1．如图，于点，，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．生活情境·管道铺 设如图，工人师傅在工程施工中需在同一平面内弯制一个变形管道，使其拐角，则（   ） A． B． C． D．与相交 3．如图，直线、被直线、所截，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．一名学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向左拐 D．第一次向左拐，第二次向右拐 6．如图，在四边形中，，延长至点E，连接交于点F．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在的延长线上，点、分别为直角顶点，且，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线EF与BD相交于点P，，，，则的大小为（    ） A． B． C． D．85° 9．如图，直线，点在直线上，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．物理中有一种现象叫光的折射现象，指当光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，水面与容器底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，变成了光线射到水底处，射线是光线的延长线，若，则的度数为 ． 11．社会发展情境·公路建设如图，在、两地之间要修一条笔直的公路，从地测得公路走向是北偏东，公司要求、两地同时开工，并保证若干天后公路准确接通．若公路长12千米，另一条公路长6千米，且的走向是北偏西，地到公路的距离是 千米． 12．如图，一张宽度相等的长方形纸条，如图所示折叠一下，那么 ．    13．如图，若，则 . 三、解答题 14．如图，点D，E，F在的三边上，，．求证：． 15．如图，点分别是的边上的点，，．求证：． 16．如图，，点是的延长线上的一点，交于点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$