第01讲 相交线（知识解读+达标检测）-2024-2025学年七年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版2024）

第01讲 相交线 【题型1 邻补角】 【题型2 对顶角及其性质】 【题型3 垂线的定义】 【题型4 垂线的画法】 【题型5 垂线段的性质】 【题型6 点到直线的距离】 【题型7 同位角、内错角和同旁内角】 考点1：相交线 1. 相交线的定义 在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。 图1 图2 图3 2. 对顶角的定义 若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。 注意：两个角互为对顶角的特征是： （1）角的顶点公共； （2）角的两边互为反向延长线； （3）两条相交线形成2对对顶角。 3. 对顶角的性质：对顶角相等。 4. 邻补角的定义 如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。 【题型1 邻补角】 【典例1】（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，与互为补角，，且． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数 【变式1-1】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）若，则的补角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线与相交于点与互余，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25七年级下·广东·开学考试）如图，直线、交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【题型2 对顶角及其性质】 【典例2】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列选项中，与是对顶角的是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式2-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列选项中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）知识之树常青，学习便是那不息之泉，滋养心灵，茁壮成长．小华在学习完相交线后，发现生活中有许多相交线．如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若，则 ． 【变式2-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，三条直线相交于同一点．如果，那么的度数为 ． 考点2：垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 注意：垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD⊥AB． 2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 注意： (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图4 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 注意： （1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 【题型3 垂线的定义】 【典例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）太阳能是指太阳的热辐射能，主要表现就是常说的太阳光线，一般用作发电或为热水器提供能源．某村为号召村民利用屋顶资源建立太阳能发电板．在一个无风的日子，一辆宣传车在直线形成的公路上由A向B行驶，如图，O是某户村庄的位置，当车行驶到下列哪一位置时，村庄听到宣传车内容最清晰（   ） A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点 【变式3-1】（2025七年级下·全国·专题练习）已知，以为顶点作射线，．若，且，在直线同侧，则的度数为 ． 【变式3-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线相交于点O，射线平分，则的度数为 ． 【变式3-3】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，点A，O，B在同一条直线上，若，，则图中互余的角共有 对． 【变式3-4】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，已知直线、都经过O点，为射线，若，，则与的位置关系是 ． 【题型4 垂线的画法】 【典例4】（23-24七年级下·北京西城·期中）作图并回答： (1)如图，点P在的边上．  ①过点P作的垂线交于点C．  ②作点P到的垂线段． (2)上述作图中，线段 的长度表示点P到的距离； (3)线段与的大小关系是： （用“”连接），判断依据： ． 【变式4-1】（23-24七年级下·贵州黔南·期末）过点P作直线l的垂线，下面三角板的摆放正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24七年级下·山东潍坊·期中）过点B画线段所在直线的垂线段，正确的是（    ） A．B．C．D． 【变式4-3】（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）过直线外一点画的垂线，下列操作三角板正确的是（    ） A．B．C．D． 【题型5 垂线段的性质】 【典例5】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，天然气主管道的同侧有，两个小区，某市计划从主管道引一条支管道连接，两小区，下面的四个铺设方案中，所引天然气支管道长度最短的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24七年级下·全国·单元测试）点A是直线l外一点，点B 是直线l上一点，点A到l的距离为，则 ．(填“小于”“大于” “不小于”或“不大于”) 【变式5-2】（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）如图所示，计划在河边的A，B，C，D处引水到P处，从B处引水能使所用的水管最短的理由是 ． 【题型6 点到直线的距离】 【典例6】（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）如图，点A，B，C是直线l上的三点，点P在直线l外，，垂足为A，，，，则点P到直线l的距离 是 ．    【变式6-1】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且于点B，，若，，，，则点A到直线的距离是 ． 【变式6-2】（23-24七年级下·河南洛阳·期中）点P为直线l外一点，点A、B在直线l上，若，，则点P到直线l的距离是（　　） A． B．小于 C．不大于 D． 【变式6-3】（23-24七年级下·广西河池·期末）如图，，，下列说法①线段的长度是C点到直线的距离；②线段的长度是A点到直线的距离；③，其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 考点3：三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 图5 【题型7 同位角、内错角和同旁内角】 【典例7】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在所标识的角中，同位角是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式7-1】（2024七年级上·江苏·专题练习）下列判断错误的是(　　) A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 【变式7-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列图形中，和是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示，下列说法：①与是内错角；②与是同位角；③与是同旁内角；④与是内错角，其中正确的有（   ） A．①②④ B．①② C．①②③ D．①②③④ 一、单选题 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列四个图形中，与为对顶角的图形是（    ） A．B．C． D． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线a，b 被直线c 所截， 与的位置关系是（   ）    A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，如果，则等于（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·全国·期末）如图，一辆汽车在笔直的公路上由A向B行驶，M是学校的位置，当汽车行驶到下列哪一位置时，汽车离学校最近（    ） A．D点 B．E点 C．F点 D．N点 5.（23-24七年级下·广东肇庆·期末）如图，直线，相交于点，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）如图，按各组角的位置判断错误的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 7．（23-24七年级下·河南商丘·期末）如图，，若点P 在直线上，则的长可能是（    ） A．6.5 B．5.2 C．4 D．3 8．（23-24七年级下·广东中山·期末）如图是光的反射规律示意图．是入射光线，是反射光线，法线，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9.（23-24七年级下·黑龙江鹤岗·期末）如图所示，直线，交于点，，平分，则 ． 10．（23-24七年级下·河南郑州·期中）如图，已知，，，，若点D在线段上运动，则线段的最短距离是 ． 11．（23-24七年级下·湖南永州·期末）如图，已知直线相交于点平分平分，则 ． 三、解答题 12．（23-24七年级下·陕西安康·期末）如图，已知直线、相交于点，，点为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 相交线 【题型1 邻补角】 【题型2 对顶角及其性质】 【题型3 垂线的定义】 【题型4 垂线的画法】 【题型5 垂线段的性质】 【题型6 点到直线的距离】 【题型7 同位角、内错角和同旁内角】 考点1：相交线 1. 相交线的定义 在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。 图1 图2 图3 2. 对顶角的定义 若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。 注意：两个角互为对顶角的特征是： （1）角的顶点公共； （2）角的两边互为反向延长线； （3）两条相交线形成2对对顶角。 3. 对顶角的性质：对顶角相等。 4. 邻补角的定义 如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。 【题型1 邻补角】 【典例1】（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，与互为补角，，且． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角的和差关系，补角的定义，角平分线的定义等： （1）根据，以及与的倍数关系，即可求解； （2）根据与互为补角可得，再根据角平分线的定义可得，最后根据即可求解． 【详解】（1）解：因为， 所以． 因为， 所以． （2）解：因为与互为补角， 所以． 所以． 因为平分， 所以． 所以． 【变式1-1】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）若，则的补角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了补角的意义，如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角．根据补角的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的补角为． 故选：D． 【变式1-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线与相交于点与互余，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了余角、补角的有关计算．熟练掌握余角、补角的定义，是解题的关键．互余的两个角之和是，互补的两个角之和是． 由邻补角的定义可得，由余角的定义得到． 【详解】解：∵与互余， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：C． 【变式1-3】（24-25七年级下·广东·开学考试）如图，直线、交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了角平分线的概念，邻补角互补，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据角平分线的概念求解即可； （2）根据设，，然后根据邻补角互补得到，求出，然后根据角平分线的概念求解即可． 【详解】（1）平分， ； （2） 可设，， ， ， 解得． ． 【题型2 对顶角及其性质】 【典例2】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列选项中，与是对顶角的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了对顶角的概念．根据对顶角的概念可知，互为对顶角的两个角的两边应互为反向延长线，从而可判定满足条件的选项． 【详解】解：A. 与不是对顶角； B. 与不是对顶角； C. 与不是对顶角； D. 与是对顶角． 故选：D． 【变式2-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列选项中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角的定义．对顶角是由两直线相交形成的，有公共顶点，没有公共边的角．解决本题的关键是根据对顶角的定义进行判断． 【详解】解：A选项：和不是由两直线相交形成的，故A选项不符合题意； B选项：和不是由两直线相交形成的，故B选项不符合题意； C选项：和两角有公共边，故C选项不符合题意； D选项：和是由两直线相交形成的，有公共顶点，没有公共边，故D选项合题意； 故选：D． 【变式2-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）知识之树常青，学习便是那不息之泉，滋养心灵，茁壮成长．小华在学习完相交线后，发现生活中有许多相交线．如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若，则 ． 【答案】/38度 【分析】本题考查了对顶角的性质，利用对顶角相等解答即可求解，掌握对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，三条直线相交于同一点．如果，那么的度数为 ． 【答案】/90度 【分析】此题主要考查了对顶角，平角，关键是掌握对顶角相等，平角．首先设，则，进而得到方程，再解方程可得的值，即可算出，再根据对顶角相等可得答案． 【详解】解：设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 考点2：垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 注意：垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD⊥AB． 2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 注意： (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图4 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 注意： （1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 【题型3 垂线的定义】 【典例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）太阳能是指太阳的热辐射能，主要表现就是常说的太阳光线，一般用作发电或为热水器提供能源．某村为号召村民利用屋顶资源建立太阳能发电板．在一个无风的日子，一辆宣传车在直线形成的公路上由A向B行驶，如图，O是某户村庄的位置，当车行驶到下列哪一位置时，村庄听到宣传车内容最清晰（   ） A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点 【答案】B 【分析】本题主要考查“垂线段最短”．村庄听到宣传车内容最清晰即点O与汽车的距离最近． 【详解】解：由图可知：最短， 所以当汽车行驶到处时村庄听到宣传车内容最清晰， 故选：B． 【变式3-1】（2025七年级下·全国·专题练习）已知，以为顶点作射线，．若，且，在直线同侧，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角的和与差计算，解题关键是分情况讨论，避免遗漏．分，在上方和，在下方，再根据角的和差计算即可． 【详解】解：当，在上方时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当，在下方时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：或． 【变式3-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线相交于点O，射线平分，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，垂直的定义，先根据对顶角相等得出，再根据角平分线的定义得出，再根据垂直的定义得出，最后根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵射线平分 ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，点A，O，B在同一条直线上，若，，则图中互余的角共有 对． 【答案】4 【分析】本题考查的是互余的含义，垂直的定义，根据垂直的定义可得，，，可得，进一步可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴互余的角共有4对． 故答案为： 【变式3-4】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，已知直线、都经过O点，为射线，若，，则与的位置关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角度的运算，垂直的定义，解题的关键是掌握夹角等于90度的两条直线互相垂直． 先求出的度数，再根据垂直的定义，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 即， 故答案为：． 【题型4 垂线的画法】 【典例4】（23-24七年级下·北京西城·期中）作图并回答： (1)如图，点P在的边上．  ①过点P作的垂线交于点C．  ②作点P到的垂线段． (2)上述作图中，线段 的长度表示点P到的距离； (3)线段与的大小关系是： （用“”连接），判断依据： ． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) (3)，垂线段最短 【分析】本题考查作图——基本作图和垂线段最短，解题的关键是掌握点到直线的距离中，垂线段最短． （1）根据垂线的画法作图即可； （2）根据点到直线的距离是垂线段的长度即可判断； （3）根据垂线段最短即可判断． 【详解】（1）解：①如图所示，即为所求； ②如图所示，即为所求； （2）解：∵， ∴线段的长度表示点P到的距离， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，判断依据为：垂线段最短， 故答案为：；垂线段最短． 【变式4-1】（23-24七年级下·贵州黔南·期末）过点P作直线l的垂线，下面三角板的摆放正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂线，根据垂线的定义，即可解答． 【详解】解：过点作的垂线，三角板的放法正确的是 故选：A． 【变式4-2】（23-24七年级下·山东潍坊·期中）过点B画线段所在直线的垂线段，正确的是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题主要考查过直线外一点作已知直线的垂线段，根据垂线段的定义依次判断每个选项． 【详解】解：A．图上为过A点画线段所在直线的垂线段，故该选项不符合题意； B．图上为过点B画线段所在直线的垂线段，故该选项符合题意； C．图上为过上一点D画线段所在直线的垂线段，故该选项不符合题意； D．图上为过点B画线段的垂线段，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式4-3】（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）过直线外一点画的垂线，下列操作三角板正确的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查垂线的定义及作风，熟记垂线的作法是解决问题的关键． 【详解】 解：根据垂线的作法可得， 故选：D． 【题型5 垂线段的性质】 【典例5】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，天然气主管道的同侧有，两个小区，某市计划从主管道引一条支管道连接，两小区，下面的四个铺设方案中，所引天然气支管道长度最短的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点间线段最短可得B方案小于C，D方案，再根据垂线段最短得到B方案小于A方案即可解题． 【详解】解：根据垂线段最短和两点间线段最短，可得所引天然气支管道长度最短的是B选项， 故答案为：B． 【变式5-1】（23-24七年级下·全国·单元测试）点A是直线l外一点，点B 是直线l上一点，点A到l的距离为，则 ．(填“小于”“大于” “不小于”或“不大于”) 【答案】不小于 【分析】据点到直线距离的定义进行解答即可．本题考查了点到直线的距离．解题的关键是明确垂线段最短，即从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短． 【详解】解：为直线外一点，是直线上一点，点到的距离为， 当时，；当不与直线垂直时，． ． 故答案为：不小于． 【变式5-2】（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）如图所示，计划在河边的A，B，C，D处引水到P处，从B处引水能使所用的水管最短的理由是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段的性质，熟记性质是解题关键．根据垂线段的性质：垂线段最短，可得答案． 【详解】解：， 由垂线段最短可知，从B处引水，能使所用的水管最短． 故答案为：垂线段最短． 【题型6 点到直线的距离】 【典例6】（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）如图，点A，B，C是直线l上的三点，点P在直线l外，，垂足为A，，，，则点P到直线l的距离 是 ．    【答案】4 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义．根据点到直线的距离的定义，直线外一点到直线的垂线段长度叫做点到直线的距离，判断是点P到直线l的距离即可． 【详解】解：直线外一点到直线的垂线段长度叫做点到直线的距离，，垂足为A，， 点P到直线l的距离是， 故答案为：4． 【变式6-1】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且于点B，，若，，，，则点A到直线的距离是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离定义为从直线外一点到这条直线的垂线段长度，由点到直线的距离的定义即可得解． 【详解】解：由题意可知，的长即为点A到直线的距离． 因为， 所以点A到直线的距离是4， 故答案为：． 【变式6-2】（23-24七年级下·河南洛阳·期中）点P为直线l外一点，点A、B在直线l上，若，，则点P到直线l的距离是（　　） A． B．小于 C．不大于 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂线段最短，点到直线的距离，根据垂线段最短，得出点P到直线l的距离应小于等于的长度． 【详解】解：∵点P到直线l的距离是点P到直线l所有点的连线中最短的线段的长度， ∴点P到直线l的距离应小于等于的长度， 即点P到直线l的距离是不大于． 故选：C． 【变式6-3】（23-24七年级下·广西河池·期末）如图，，，下列说法①线段的长度是C点到直线的距离；②线段的长度是A点到直线的距离；③，其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查了点到直线的距离是指垂直距离，垂线段最短，掌握相关知识点是解题的关键． 根据垂线段最短，点到直线距离的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】∵，， ∴①线段的长度是C点到直线的距离，正确； ②线段的长度是A点到直线的距离，正确； ③，正确． 综上所述，其中正确的有3个． 故选：D． 考点3：三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 图5 【题型7 同位角、内错角和同旁内角】 【典例7】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在所标识的角中，同位角是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】此题主要考查了同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义，根据同位角的边呈“F”形进行分析即可得到答案． 【详解】解： A、与是同旁内角，故此选项不合题意； B、与是同位角，故此选项符合题意； C、与不是同位角、内错角、同旁内角这类关系，故此选项不合题意； D、与是内错角，故此选项不合题意； 故选：B． 【变式7-1】（2024七年级上·江苏·专题练习）下列判断错误的是(　　) A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 【答案】C 【分析】此题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，根据同位角、内错角、同旁内角的定义进行解答即可． 【详解】解：A、与是同旁内角，故此选项不符合题意； B、与是内错角，故此选项不符合题意； C、与不是同旁内角，故此选项符合题意； D、与是同位角，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式7-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列图形中，和是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同位角，关键是掌握同位角的定义．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断． 【详解】解：只有选项A中的和是同位角． 故选：A． 【变式7-3】（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示，下列说法：①与是内错角；②与是同位角；③与是同旁内角；④与是内错角，其中正确的有（   ） A．①②④ B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了三线八角，根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角进行分析即可． 【详解】解：①与是内错角，说法正确； ②与是同位角，说法正确； ③与是同旁内角，说法正确； ④与是内错角，说法正确； 故选：D． 一、单选题 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列四个图形中，与为对顶角的图形是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，据此求解即可． 【详解】解：根据对顶角的定义可知，只有B选项中的与为对顶角， 故选：B． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线a，b 被直线c 所截， 与的位置关系是（   ）    A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 【答案】C 【分析】本题考查三线八角．找准截线，确定角的位置关系，是解题的关键． 根据两角在截线的两旁，在两条被截线的内侧，即可得出结论． 【详解】解：∵ 直线a，b 被直线c 所截， 与两个角都在截线c的同侧，且夹在两条被截直线a，b之间， 与 是同旁内角． 故选：C． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，如果，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角相等，邻补角互补，先根据对顶角相等和已知条件求出，再根据邻补角互补即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4．（23-24七年级下·全国·期末）如图，一辆汽车在笔直的公路上由A向B行驶，M是学校的位置，当汽车行驶到下列哪一位置时，汽车离学校最近（    ） A．D点 B．E点 C．F点 D．N点 【答案】B 【分析】本题主要考查的是垂线段最短，理解垂线段最短是解题的关键． 根据点到直线的连线中垂线段最短求解即可． 【详解】∵ ∴当汽车行驶到E点时，汽车离学校最近． 故选：B． 5.（23-24七年级下·广东肇庆·期末）如图，直线，相交于点，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了邻补角、角平分线等知识，根据邻补角求出，由角平分线求出，根据邻补角即可求出的度数. 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 故选：D 6．（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）如图，按各组角的位置判断错误的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 【答案】D 【分析】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角的定义，根据相关定义逐个判断即可． 【详解】解：由图可知： A、与是同旁内角，正确，不符合题意； B、与是内错角，正确，不符合题意； C、与是同旁内角，正确，不符合题意； D、与不是同位角，故D错误，符合题意； 故选：D． 7．（23-24七年级下·河南商丘·期末）如图，，若点P 在直线上，则的长可能是（    ） A．6.5 B．5.2 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线段的性质，利用垂线段最短分析可得答案． 【详解】解：根据垂线段最短，可得， ， 观察四个选项可知，只有选项A满足条件， 故选A． 8．（23-24七年级下·广东中山·期末）如图是光的反射规律示意图．是入射光线，是反射光线，法线，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了垂直定义，余角的性质，角的计算，理解垂直定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 设，则，再根据得，，则，然后由，解出即可得出答案． 【详解】解：设，则， ， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：D． 二、填空题 9.（23-24七年级下·黑龙江鹤岗·期末）如图所示，直线，交于点，，平分，则 ． 【答案】/135度 【分析】本题利用垂直的定义，邻补角和角平分线的性质的性质计算，要注意领会由垂直得直角这一要点． 由垂直的定义得到，根据角平分线的定义得到，根据平角的定义即可得到结论． 【详解】解：∵， ， 平分， ， 故答案为：． 10．（23-24七年级下·河南郑州·期中）如图，已知，，，，若点D在线段上运动，则线段的最短距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，根据垂线段最短确定出当时，线段的值最小是解题关键．先根据垂线段最短确定出当时，线段的值最小，再利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，线段的值最小， 则此时，即， 解得， 所以线段的最短距离是， 故答案为：． 11．（23-24七年级下·湖南永州·期末）如图，已知直线相交于点平分平分，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角和几何中角度的计算，设，则，由角平分线的定义得到，再由，得到，则，然后求出，再由求解即可． 【详解】解：设，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题 12．（23-24七年级下·陕西安康·期末）如图，已知直线、相交于点，，点为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，对顶角、邻补角以及垂线，理解角平分线的定义，邻补角、对顶角以及垂直的定义是正确解答的关键． （1）根据角平分线的定义，垂直的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可； （2）根据角平分线的定义，垂直的定义以及图形中角的比例关系进行计算即可． 【详解】（1）解：平分，， ， ， ， ； （2）解：由于，可设，， 平分， ， ， ， ， ， 即的度数为． 学科网（北京）股份有限公司 $$