2.1 两条直线的位置关系 讲义2024－2025学年北师大版数学七年级下册

2.1 两条直线的位置关系 考点1: 相交线和平行线 1. 同一平面内两直线的位置关系： 在同一平面内,两条直线的位置关系有相交和平行两种. 2. 相交线 若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线. 如图所示，直线AB与直线CD相交于点 O. 3. 平行线在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线. · 平行线需满足三个条件： ①在同一个平面内；②两条直线；③不相交(即无公共点).三者缺一不可. 练习1. 1. 下列说法正确的是( ) A.如果同一平面内的两条线段不相交，那么这两条线段所在的直线互相平行 B.不相交的两条直线一定互相平行 C.同一平面内的两条射线不相交，则这两条射线互相平行 D.同一平面内有两条直线不相交，这两条直线一定互相平行 2. 平面内三条直线的交点个数可能有( ) A．1个或3个 B．2个或3个 C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3个 考点2: 对顶角的概念及其性质 1. 对顶角的概念 在图中，直线AB与CD相交于点O，∠1和∠3有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫作对顶角，∠2和∠4也是对顶角. · 必须具备两个条件：①有公共顶点；②两边互为反向延长线. 2. 对顶角的性质：对顶角相等.在图中，有∠1＝∠3，∠2＝∠4. · (1)形成对顶角的前提是两条直线相交. (2)对顶角是成对出现的，单独的一个角不能称为对顶角. (3)对顶角不仅反映了角的数量关系，还反映了角的位置关系. 练习2. 1. 下列语句中,是对顶角的是( ) A.有公共顶点并且相等的角 B.两条直线相交，有公共顶点的角 C.顶点相对的角 D.两条直线相交，有公共顶点没有公共边的两个角 2. 下列各图中，∠1＝∠2一定成立的是( ) A． B． C． D． 3. 如图是一把剪刀，在使用过程中，若∠COD增加 20°，则∠AOB( ). A. 减少20° B.增加20° C.不变 D.增加40° 4. 如图所示，直线 AB，CD相交于点O，若∠1＝80°，∠2＝30°，则∠AOE的度数为 . 5. 如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠FOC＝90°，∠BOF＝50°，求∠AOE的度数. 6. 如图，直线AB，CD相交于点O，射线OE平分∠BOC，射线OF在∠AOD内部且∠AOF与∠BOD互余， ∠AOC： ∠COE＝1：4，求∠AOF的度数. 考点3: 补角和余角的概念及性质 1. 互为补角：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角. 如∠1＋∠2＝180°,那么称∠1与∠2互为补角，其中∠1是∠2的补角，∠2也是∠1的补角. 2. 互为余角：如果两个角的和是 90°,那么称这两个角互为余角. 如果∠1＋∠2＝90°，那么称∠1与∠2互为余角，其中∠1是∠2 的余角，∠2也是∠1的余角. · (1)互余、互补是两角间的一种特殊的数量关系，与它们的位置无关，不要认为补角一定是相邻的两个角. (2)互余、互补是针对两点三言的.一个角或三个及三个以上的角之间不存在互余或互补的关系， 如∠1＋∠2＋∠3＝90°，但不能说这三个角互余. (3)若两个角互补，则这两个角可能都是直角，也可能一个是锐角：另一个是钝角；若两个角互余，则这两个角一定都是锐角。 3. 补角、余角的性质：(1)同角(或等角)的补角相等；(2)同角(或等角)的余角相等. · 同一个锐角的余角与补角的关系：锐角∠A的余角为90°－∠A，锐角∠A的补角为180°－∠A，从中可以发现：同一个锐角的补角比它的余角大 90°. 练习3. 1. 下列说法中，正确的是( ) A.一个角的补角一定大于这个角 B.任何一个角都有补角 C.若∠1＋∠2＋∠3＝90°则∠1，∠2，∠3互余 D.一个角如果有余角，则这个角的补角与它的余角的差为 90° 2. 如图所示，直线AB与CD相交于O点，∠1＝∠2.若∠AOE＝140°,则∠AOC的度数为( ) A．40° B．60° C．80° D．100° 3. 如图,若∠AOB＝∠COD=90°，则有∠AOC＝∠BOD，其依据是( ) A.同角的余角相等 B.同角的补角相等 C.互为余角的两个角相等 D.互为余角的两个角的和为 90° 4. 将一副三角板按不同位置摆放，下列选项中∠α与∠β互余的是( ) 5. 若一个角等于它的补角，则这个角是 . (填“锐角”“直角”或“钝角”) 6. 如图，直线AB，CD相交于点O，将量角器中心与点O重合，发现70°刻度线与直线AB合，145°刻度线与直线CD重合，则∠BOC的度数为 . 7. 一个角的补角减去10°后等于这个角的余角的3倍，则这个角的度数为 . 8. 如图，直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD，OE平分∠BOC． (1)若∠BOE＝60°,求∠AOE的度数； (2)若∠BOD：∠BOE＝4：3，求∠AOE的度数． 考点4: 垂直的概念及表示方法 1. 垂直的概念 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. · 由直角(或90°的角)可以得到两条直线垂直：反之亦成立，由两条直线垂直可以得到直角(或90°的角). · 在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种垂直是相交的特殊情况. 2. 垂直的表示方法 垂直通常用符号“⊥”表示，如图①所示，直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD，如果用l，m表示两条直线那么直线l与直线m垂直，记作l⊥m，点O是垂足.（图②） · 线段与线段垂直、线段与射线垂直、线段与直线垂直、射线与射线垂直、射线与直线垂直都是指它们所在的直线互相垂直. 练习4. 1. 已知：如图所示，AB、CD、EF三条直线交于点O，且OE⊥AB，∠COE＝20°，OG平分∠BOD，则∠BOG的度数是( ) A．35° B．30° C．25° D．20° 2. 如图，若AB⊥AC， ∠CAD＝56°.则∠BAD的度数为 . 3. 如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝25°,EO⊥CD，垂足为O，OF平分∠BOE.则∠DOF＝ . 4. 在太阳能板上，当太阳光线垂直照射在太阳能板上时，吸收的太阳能最多.某时刻，太阳光如图照射，若要使吸收的太阳能最多，则太阳能板需绕点O逆时针旋转 °. 5. 直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为点O，已知∠AOD＝4∠BOD.则∠AOE的度数为 °. 考点5: 垂直的画法 垂线的常见画法： (1)利用三角尺的两条直角边画垂线： 基本步骤是一靠、二过、三画，即让三角尺的一条直角边靠在已知直线上，沿直线左右移动三角尺，使其另一条直线边经过已知点，沿此直角边画直线 (2)利用量角器画垂线：画一个 90°的角得到垂线 (3)在方格纸上画垂线(前提是只有直尺)：①借助方格纸中相互垂直的直线；②借助方格纸中的格点 练习5. 1. 在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形,请你数一数，错误的个数为( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2. 如图，在正方形网格中，过C画出AB的垂线． 3. 如图，点P是∠ACB的边CB上的一点． (1)过点P作CA的垂线，垂足为D；(2)过点P作CB的垂线，交CA于点E． 4. 如图，点M，N分别在直线AB，CD上． (1)请在图中作出表示M，N两点间的距离的线段a，和表示点N到直线AB的距离的线段b； (2)请比较(1)中线段a，b的大小，并说明理由． 5. 如图，AB为一条河流，C，D，E，F为河流同侧的四个村庄 (1)现要在直线CE上建一个蓄水池P，使得四个村庄到蓄水池的距离之和最小，画出点P的位置；(不写作法，保留作图痕迹) (2)要把河流中的水引到蓄水池P，应该在河岸的什么地方开沟，才能使沟最短?画出图形并说明理由. 考点6: 垂线的性质 1.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 2.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. · 垂线是直线，垂线段是线段； 连接直线外一点与直线上各点有无数条线段，但是垂线段只有一条，并且最短. 考点7: 点到直线的距离 如图所示，过点A作直线l的垂线，垂足为B线段AB的长度叫作点A到直线l的距离. (点A到直线l的距离为垂线段AB的长度) · 点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，用一个数表示，而不是垂线段. 练习6. 1. 如图所示的是七年级某班一名学生在测量跳远成绩的示意图，直线是起跳线，则需要测量的线段是( ) A. AB B.CD C.AC D.BC 2. 如图，河道l的同侧有M、N两地，现要铺设一条引水管道，从P地把河水引向M、N两地.下列四种方案中，最节省材料的是( ) 3. 点P为直线l外一点，点A，B，C均在直线l上，若AP＝3，BP＝4，CP＝5，则点P到直线l的距离d为( ) A. d＝3 B.3＜d＜4 C. d＜3 D. d≤3 4. 在三角形ABC中，∠A＝50°，∠B＝40°，E是AB边上中点，且CE＝AB，点D是AB上一个动点，当CD取最小值时，∠DCE＝　 　 °． 5. 如图，△ABC中∠ACB=90°,AC＝6，BC＝8，AB＝10，P为直线 AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是　 　 ． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$