专题02 平行线的判定（六大题型）（题型专练）-2024-2025学年七年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版2024）

专题02 平行线的判定（六大题型） 【题型1 平面内两直线的位置关系】 【题型2用直尺、三角板画平行】 【题型3 平行线公理及推论】 【题型4 平行线判定-同位角相等，两直线平行】 【题型5 平行线判定-内错角相等，两直线平行】 【题型6 平行线判定-同旁内角互补，两直线平行】 【题型1 平面内两直线的位置关系】 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列说法正确的有（   ） ①不相交的两条直线是平行线； ②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线； ③两条射线或线段平行，是指它们所在的直线平行； ④不相交的两条射线一定平行． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列例子中，不能看作平行线的是（    ） A．人行道上的斑马线 B．长方形门窗的边框 C．五线谱 D．螺丝上的螺旋线 3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列实例中存在平行线的有（   ） ①双杠；②斑马线；③铁轨；④树杈． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（   ） A．平行 B．平行或相交 C．垂直或相交 D．平行或垂直 5．（23-24七年级下·河北保定·期中）如图，四条线段，，，中的一条与挡板另一侧的线段平行，请借助直尺，判断该线段是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知是平面内任意一点，过点画一条直线与的边平行，则这样的直线（   ） A．有一条 B．有两条 C．不存在 D．以上情况都有可能 【题型2用直尺、三角板画平行】 7．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，请用直尺和三角尺完成下列作图． (1)过点A作的垂线； (2)过点B作的平行线． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在方格纸上有点、和直线．过点画；过点画． 9．（23-24七年级下·广东江门·期末）如图，∠ABC内有一点P，利用直尺和三角板画出图形． (1)过点P画PD∥AB交BC于点D，画PE∥BC交AB于点E； (2)若∠ABC=55°，则∠BEP度数为________． 10．（23-24七年级下·广东广州·期中）内有一点． (1)过点画交OA于点C，画交于点． (2)若，求的度数． 11．（23-24七年级下·河南信阳·期中）如图，在三角形中，，垂足为A，过点A画的垂线段，垂足为点C，过点C画直线CDOA，交线段于点D． (1)补全图形（按要求画图）； (2)求的度数： (3)如果，，，求点A到直线的距离． 12．（23-24七年级下·贵州遵义·期中）如图，点P是内一点． (1)按下列要求画出图形． ①过点P画的垂线，垂足为点D； ②过点P画交于点E；过点P画交于点F； (2)在（1）所画出的图形中，若，求和的度数． 13．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期中）如图，已知点P、Q分别在的边上，按下列要求画图： (1)画射线； (2)过点P画垂直于射线的线段，垂足为点C； (3)过点Q画直线平行于射线． 【题型3 平行线公理及推论】 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．不垂直的两条直线叫作平行线 B．在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，不相交的两条线段互相平行 D．在同一平面内，过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法中，错误的是（   ） A．马路的斑马线是平行线 B．跑道的跑道线是平行线 C．若直线，则 D．若直线，则 16．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）在同一平面内，有直线，已知，，，，…，按此规律下去，若，则的值可以是（　　） A．42 B．47 C．63 D．85 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，若，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．延长后才平行 C．垂直 D．无法确定 18．（23-24七年级下·山东滨州·期末）在同一平面内，a，b，c是直线，下列关于它们位置关系的说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，//，则// C．若//，//，则 D．若//，//，则// 19．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在直线a的同侧有P，Q，R三点．若，则P，Q，R三点 （填“在”或“不在”）同一条直线上． 20．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，取一张长方形的硬纸板，将硬纸板对折使与重合，为折痕．把长方形平放在桌面上，另一个面无论怎么改变位置，总有存在，理由是 ． 21．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，另一片叶子 （填“能”或“不能”）与地面平行．其判断的依据是 ． 【题型4 平行线判定-同位角相等，两直线平行】 22．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，，平分，请说明：． 23．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在三角形中，，D是延长线上一点，平分．试说明：．    24．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，与分别相交于点分别是和的平分线．若，试说明： 25．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，直线和直线被直线所截，，，那么与平行吗？请说明理由． 26．（24-25七年级下·四川达州·开学考试）如图，直线、分别与相交于点G、H，已知，，试说明：． 27．（21-22七年级下·宁夏吴忠·期中）已知：AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A=30°，∠D=60°，请问AB于与CD有怎样的位置关系，并说明理由． 28．（21-22七年级下·浙江温州·期中）如图，已知AB，CD被直线BC所截，∠1+∠2=180°． (1)试判断AB与CD的位置关系，请说明理由． (2)若BD平分∠ABC，∠D=35°，求∠1的度数． 29．（22-23七年级下·全国·假期作业）如图，已知GH、MN分别平分∠AGE、∠DMF，且∠AGH＝∠DMN，试说明ABCD的理由． 【题型5 平行线判定-内错角相等，两直线平行】 30．如图所示，已知，，平分，可以判断吗？为什么？ 31．如图，于点，，求证： 32．如图，已知，．判断与的位置关系，并证明．    33．如图，已知平分，平分，，试说明：． 34．证明填空题 如图，∵，（已知）， ∴， （垂直定义）， ∴ （                 ）， ∵（已知）， ∴ ， ∴ （               ）．      【题型6 平行线判定-同旁内角互补，两直线平行】 35．完成下面的证明． 已知：如图，． 求证：． 证明：， ______ _______ _ （_______ ）． ， _____ _________ ． （_______ ）． 36．如图，直线被直线所截，与交于点C，平分，，，试说明：． 37．已知，分别平分，，且与互余，试说明． 38．如图，已知，，试探究与的位置关系，并说明理由． 39．如图，点为直线上一点，，，平分，．证明：． 40．如图，台球运动中母球P击中桌边的点A，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点B，再次反弹经过点C（提示：，）．    (1)若，求的度数； (2)已知，母球P经过的路线与一定平行吗？请说明理由． 41．如图，已知，分别平分，且与互余，求证：． 42．如图，已知，．试说明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平行线的判定（六大题型） 【题型1 平面内两直线的位置关系】 【题型2用直尺、三角板画平行】 【题型3 平行线公理及推论】 【题型4 平行线判定-同位角相等，两直线平行】 【题型5 平行线判定-内错角相等，两直线平行】 【题型6 平行线判定-同旁内角互补，两直线平行】 【题型1 平面内两直线的位置关系】 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列说法正确的有（   ） ①不相交的两条直线是平行线； ②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线； ③两条射线或线段平行，是指它们所在的直线平行； ④不相交的两条射线一定平行． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的认识，射线、线段、直线的认识，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：在同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故①②是错误的； 两条射线或线段平行，是指它们所在的直线平行，故③是正确的； 不相交的两条射线不一定平行，故④是错误的； 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列例子中，不能看作平行线的是（    ） A．人行道上的斑马线 B．长方形门窗的边框 C．五线谱 D．螺丝上的螺旋线 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．根据在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线即可确定． 【详解】解：人行道上的斑马线、长方形门窗的边框、五线谱能看作平行线， 螺丝上的螺旋线不在同一平面内，不是平行线 故选：D． 3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列实例中存在平行线的有（   ） ①双杠；②斑马线；③铁轨；④树杈． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的含义，应结合生活实际进行解答．根据平行线的定义即可确定． 【详解】解：解：∵在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线， ∴①②③是平行线， 故选：D． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（   ） A．平行 B．平行或相交 C．垂直或相交 D．平行或垂直 【答案】B 【分析】本题考查了在同一平面内，不重合的两条直线的两种位置关系．根据同一平面内，不重合的两条直线的位置关系可知． 【详解】解：在同一平面内，不重合的两条直线有2种位置关系，它们是相交或平行． 故选B． 5．（23-24七年级下·河北保定·期中）如图，四条线段，，，中的一条与挡板另一侧的线段平行，请借助直尺，判断该线段是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同一平面内，两条不相交的直线，叫做平行线，即可判断， 本题考查了平行的定义，解题的关键是：熟练掌握平行线的定义． 【详解】解：用直尺分别作，，，，的延长线， 其中只有的延长线不与相交， 故选：． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知是平面内任意一点，过点画一条直线与的边平行，则这样的直线（   ） A．有一条 B．有两条 C．不存在 D．以上情况都有可能 【答案】D 【分析】本题考查平行公理，根据“经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”，分四种情况“当点P在边上且不与点O重合时；当点P在边上且不与点O重合时；当点P不在边或边上时；当点P与点O重合时”分别讨论可得答案． 【详解】解：当点P在边上且不与点O重合时，过点可以画一条直线与边平行； 当点P在边上且不与点O重合时，过点可以画一条直线与边平行； 当点P不在边或边上时，过点可以画一条直线与边平行，一条直线与边平行，共两条； 当点P与点O重合时，不存在过点P的直线与的边平行； 故选：D． 【题型2用直尺、三角板画平行】 7．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，请用直尺和三角尺完成下列作图． (1)过点A作的垂线； (2)过点B作的平行线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作图-应用与设计作图，平行线、垂线的作图，熟练掌握基本作图方法是解题的关键． （1）根据画垂线的方法，找到相应的点即可画出图形； （2）根据画平行线的方法可得． 【详解】（1） 过点A作的垂线： 步骤1：确定三角板的位置．将三角板的一条直角边与直线对齐，同时确保三角板的另一条直角边通过点A． 步骤2：画出垂线．沿三角板的直角边从点A画出一条直线，这条直线即为过点A的的垂线． （2）见（1）图 过点B作的平行线： 步骤1：确定三角板的位置．将三角板的一条直角边与直线对齐，同时确保三角板的另一条直角边通过点B． 步骤2：移动三角板，使其保持与平行的状态．使用直尺辅助，将三角板沿着直线的方向移动，直至三角板的某一边通过点B． 步骤3：画出平行线．沿三角板的直角边从点B画出一条直线，这条直线即为过点B的的平行线． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在方格纸上有点、和直线．过点画；过点画． 【答案】见解析 【分析】用直尺和三角板通过平移过点画；过点画，即可求解． 【详解】解：如图所示，即为所求， 9．（23-24七年级下·广东江门·期末）如图，∠ABC内有一点P，利用直尺和三角板画出图形． (1)过点P画PD∥AB交BC于点D，画PE∥BC交AB于点E； (2)若∠ABC=55°，则∠BEP度数为________． 【答案】(1)过程见详解 (2)125° 【分析】（1）作PE：以三角板的一条直角边与BC重合，另一条直角边刚好过P点，固定好，再用直尺的一条边与三角板过P点的边重合，并使得直尺的一个顶点与P点重合，此时过P点沿直尺边作过P点的直线PE，交AB于E点，即可，同理作可作PD， （2）根据两直线平行同旁内角互补即可求解． 【详解】（1）作图示意图如下： 作图结果如下： （2）∵， ∴∠B+∠BEP=180°, ∵∠B=55°, ∴∠BEP=180°-55°=125°． 【点睛】本题考查了作图—复杂作图、平行线的性质等知识．掌握两直线平行同旁内角互补是解答本题的关键． 10．（23-24七年级下·广东广州·期中）内有一点． (1)过点画交OA于点C，画交于点． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)72° 【分析】（1）根据平行线的定义画出图形； （2）证明∠DOC=∠DPC，求出∠DOC，可得结论． 【详解】（1） 如图，直线PC，PD即为所求； （2）∵PD∥OA， ∴∠DOC=∠BDP， ∵PC∥OD， ∴∠BDP=∠DPC， ∴∠DOC=∠DPC， ∵∠DOC+∠ODP=180°，∠DOC：∠ODP=2：3， ∴∠DOC=×180°=72°， ∴∠DPC=72°． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握平行线的性质，属于中考常考题型． 11．（23-24七年级下·河南信阳·期中）如图，在三角形中，，垂足为A，过点A画的垂线段，垂足为点C，过点C画直线CDOA，交线段于点D． (1)补全图形（按要求画图）； (2)求的度数： (3)如果，，，求点A到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)90° (3)2.4 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）证明CD⊥AB可得结论； （3）利用面积法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：∵，CDOA， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴． ∴点A到直线OB的距离是2.4． 【点睛】本题考查作图一复杂作图，平行线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 12．（23-24七年级下·贵州遵义·期中）如图，点P是内一点． (1)按下列要求画出图形． ①过点P画的垂线，垂足为点D； ②过点P画交于点E；过点P画交于点F； (2)在（1）所画出的图形中，若，求和的度数． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】本题主要考查了画平行线，垂线，平行线的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握平行线的性质． （1）按要求画图即可； （2）根据平行线的性质得出，，根据直角三角形两锐角互余求出即可． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 13．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期中）如图，已知点P、Q分别在的边上，按下列要求画图： (1)画射线； (2)过点P画垂直于射线的线段，垂足为点C； (3)过点Q画直线平行于射线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】根据题意过用直尺作图，分别P画垂直于射线OB的射线PC，垂足为点C；过点Q画直线平行于射线． 【详解】（1）如图，射线PQ为所求； （2）如图，线段PC为所求； （3）如图，直线QM为所求 【点睛】此题主要考查了基本作图，正确把握相关定义是解题关键． 【题型3 平行线公理及推论】 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．不垂直的两条直线叫作平行线 B．在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，不相交的两条线段互相平行 D．在同一平面内，过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【分析】该题主要考查了平行公理及推论，平行线的定义，熟记平行公理及推论，平行线的定义是解题的关键． 根据平行公理及推论，平行线的定义解答即可． 【详解】解：同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线，故A选项错误，不符合题意； 在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故B选项错误，不符合题意； 在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，故C选项错误，不符合题意； 在同一平面内，过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，故D选项正确，符合题意； 故选：D． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法中，错误的是（   ） A．马路的斑马线是平行线 B．跑道的跑道线是平行线 C．若直线，则 D．若直线，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线概念和平行公理及推论，根据平行线定义“同一平面内不相交的两条直线互相平行”知A，B均正确，根据平行公理及推论，可得C错误，D正确． 【详解】解：A、由平行线的定义可知，斑马线是平行线，A正确，不符合题意； B、由平行线的定义可知，跑道的跑道线是平行线，B正确， 不符合题意； C、根据平行于同一条直线的两直线平行可知，C错误，符合题意； D、根据平行于同一条直线的两直线平行可知，D正确，不符合题意； 故选：C． 16．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）在同一平面内，有直线，已知，，，，…，按此规律下去，若，则的值可以是（　　） A．42 B．47 C．63 D．85 【答案】D 【分析】本题考查平面内直线位置关系中的规律探究，根据题意，得到（为自然数），，，，再进行判断即可． 【详解】解：∵，，，，…， ∴ ∴从直线开始每条直线与的位置关系依次：两条与垂直，两条与平行，再两条与垂直，两条与平行，…，即每两条变化一次位置关系，4条一个循环， ∴（为自然数），，，， 因为，，，， ∴若，则的值可以是85， 故选D． 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，若，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．延长后才平行 C．垂直 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了平行公理的推论，根据平行于同一条直线的两直线平行解答即可． 【详解】解：∵， ∴（平行于同一条直线的两直线平行）． 故选A． 18．（23-24七年级下·山东滨州·期末）在同一平面内，a，b，c是直线，下列关于它们位置关系的说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，//，则// C．若//，//，则 D．若//，//，则// 【答案】D 【分析】根据平行线的判定与性质、平行公理的推论判断求解即可． 【详解】解：若a⊥b，b⊥c，则a∥c，故A错误，不符合题意； 若a⊥b，b∥c，则a⊥c，故B错误，不符合题意； 若a∥b，b∥c，则a∥c，故C错误，不符合题意； 若a∥b，b∥c，则a∥c，故D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，平行公理的推论，熟练掌握平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 19．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在直线a的同侧有P，Q，R三点．若，则P，Q，R三点 （填“在”或“不在”）同一条直线上． 【答案】在 【分析】本题主要考查了平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．依据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，即可得到P，Q，R三点在同一条直线上． 【详解】解：∵， ∴P，Q，R三点在同一条直线上（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）， 故答案为：在． 20．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，取一张长方形的硬纸板，将硬纸板对折使与重合，为折痕．把长方形平放在桌面上，另一个面无论怎么改变位置，总有存在，理由是 ． 【答案】平行于同一条直线的两条直线平行 【分析】本题考查了平行公理推论，根据平行于同一条直线的两条直线平行即可求解，正确理解平行公理推论是解题的关键， 【详解】解：∵，， ∴， 理由：平行于同一条直线的两条直线平行， 故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行． 21．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，另一片叶子 （填“能”或“不能”）与地面平行．其判断的依据是 ． 【答案】 不能 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查了平行公理，解题的关键是理解并运用平行公理来判断直线与直线的平行关系． 根据平行公理判断叶子与地面是否平行． 【详解】解：平行公理为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 在本题中，把地面看作一条直线，风车的轴心可看作直线外一点，当叶子旋转到与地面平行时，因为经过风车轴心（直线外一点），有且只有一条直线与地面平行，此时已与平行，所以另一片叶子不能与地面平行． 故答案为：不能；过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【题型4 平行线判定-同位角相等，两直线平行】 22．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，，平分，请说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，根据角平分线的定义可得，结合已知可得，根据同位角相等两直线平行，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 23．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在三角形中，，D是延长线上一点，平分．试说明：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．先根据角平分线的定义可得，从而可得，再根据已知可得，从而可得，最后根据平行线的判定即可得． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 24．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，与分别相交于点分别是和的平分线．若，试说明： 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，先由分别是和的平分线，得，因为，故，证明，即可作答． 【详解】解：∵分别是和的平分线， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 25．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，直线和直线被直线所截，，，那么与平行吗？请说明理由． 【答案】平行，理由见解析． 【分析】本题考查的是平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键． 由已知结合等式的性质，可得，根据同位角相等，两直线平行可得． 【详解】解：， 理由如下： （已知）， ， 即， （同位角相等，两直线平行）． 26．（24-25七年级下·四川达州·开学考试）如图，直线、分别与相交于点G、H，已知，，试说明：． 【答案】详见解析 【分析】本题主要考查了对顶角相等，同位角相等两直线平行等知识点，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键．根据对顶角相等得出，进而根据，即可得证． 【详解】证明：，， ， ． 27．（21-22七年级下·宁夏吴忠·期中）已知：AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A=30°，∠D=60°，请问AB于与CD有怎样的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见详解 【分析】由题意易得∠CED=90°，则有∠ECD=30°，进而问题可求解． 【详解】解：，理由如下： ∵DE⊥AE， ∴∠CED=90°， ∵∠D=60°， ∴∠ECD=30°， ∵∠A=30°， ∴∠ECD=∠A， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线的判定及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握平行线的判定及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键． 28．（21-22七年级下·浙江温州·期中）如图，已知AB，CD被直线BC所截，∠1+∠2=180°． (1)试判断AB与CD的位置关系，请说明理由． (2)若BD平分∠ABC，∠D=35°，求∠1的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)∠1的度数为110°． 【分析】（1）根据∠1+∠2=180°，∠2+∠BCD=180°，可知∠1=∠BCD，根据平行线的判定定理即可求解； （2）根据平行线的性质求得∠ABD=∠D=35°，再根据角平分线的定义得到∠ABC的度数，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：AB∥CD，理由如下： ∵∠1+∠2=180°，∠2+∠BCD=180°， ∴∠1=∠BCD（等量代换）， ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）； （2）解：∵AB∥CD，∠D=35°， ∴∠ABD=∠D=35°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABC=2∠ABD=70°， ∴∠1=180°-∠ABC=110°． 【点睛】本题考查的是平行线的判定和性质，熟知同位角相等，两直线平行是解答此题的关键． 29．（22-23七年级下·全国·假期作业）如图，已知GH、MN分别平分∠AGE、∠DMF，且∠AGH＝∠DMN，试说明ABCD的理由． 【答案】见解析 【分析】根据角平分线的意义可得∠AGE＝2∠AGH，∠DMF＝2∠DMN，等量代换可得∠DMF＝∠FGB，根据平行线的判定定理即可求得ABCD 【详解】∵GH平分∠AGE， ∴∠AGE＝2∠AGH 同理∠DMF＝2∠DMN ∵∠AGH＝∠DMN ∴∠AGE＝∠DMF 又∵∠AGE＝∠FGB ∴∠DMF＝∠FGB ∴ABCD （同位角相等，两直线平行）． 【点睛】本题考查了平行线的判定定理，角平分线的意义，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【题型5 平行线判定-内错角相等，两直线平行】 30．如图所示，已知，，平分，可以判断吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定方法，也考查了角平分线定义．先由角平分线定义得出，那么，根据内错角相等，两直线平行即可证明． 【详解】解：可以判断，理由如下： ∵，平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 31．如图，于点，，求证： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，垂线的定义，先由垂线的定义得到，再由已知条件推出，据此可证明． 【详解】证明：， ， ， ， ． 32．如图，已知，．判断与的位置关系，并证明．    【答案】，证明见解析 【分析】本题考查平行线的判定，先求出，根据内错角相等、两直线平行，可证． 【详解】解：，证明如下： ， ， ， ， ． 33．如图，已知平分，平分，，试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，掌握内错角相等，两直线平行是解题关键．由角平分线的性质，得到，，进而得出，即可证明平行． 【详解】证明：平分，平分， ，， ， ， ． 34．证明填空题 如图，∵，（已知）， ∴， （垂直定义）， ∴ （                 ）， ∵（已知）， ∴ ， ∴ （               ）．      【答案】；；等量代换；；；；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了垂直、平行线的判定等知识，熟练掌握平行线的判定是解题关键．先根据垂直的定义可得，从而可得，再根据平行线的判定即可得证． 【详解】证明：如图，∵，（已知）， ∴，（垂直定义）， ∴（等量代换）， ∵（已知）， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；；等量代换；；；；内错角相等，两直线平行． 【题型6 平行线判定-同旁内角互补，两直线平行】 35．完成下面的证明． 已知：如图，． 求证：． 证明：， ______________（_______）． ， ______________． （_______）． 【答案】；；同旁内角互补，两直线平行；；；同平行于一条直线的两条直线互相平行 【分析】本题考查平行线的判定，熟记并灵活运用这两条定理是解本题的关键． 先由，得到再由，得到，最后得到． 【详解】证明：， （同旁内角互补，两直线平行）． ， ． （同平行于一条直线的两条直线互相平行）． 36．如图，直线被直线所截，与交于点C，平分，，，试说明：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的判定．根据角平分线定义及对顶角性质，则，再根据“同旁内角互补，两直线平行”即可得解． 【详解】证明：平分，， ， ， ， ， ∴． 37．已知，分别平分，，且与互余，试说明． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解本题的关键；先证明，，结合，可得，从而可得结论． 【详解】证明：∵，分别平分， ∴，， ∵与互余， ∴， ∴， ∴． 38．如图，已知，，试探究与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，先根据同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行得到，再根据平行于同一直线的两直线平行可得． 【详解】解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴． 39．如图，点为直线上一点，，，平分，．证明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定定理，角平分线与垂直的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 利用角平分线的定义与垂直的定义求出，从而得出，即可由平行线的判定定理得出结论． 【详解】证明：， ， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 40．如图，台球运动中母球P击中桌边的点A，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点B，再次反弹经过点C（提示：，）．    (1)若，求的度数； (2)已知，母球P经过的路线与一定平行吗？请说明理由． 【答案】(1)116° (2)平行，见解析 【分析】（1）由平角定义，知，结合已知条件计算求解； （2）由平角为可求得，，由直角三角形性质，得，于是，所以． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴． 同理：． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查平角的定义，几何图形中角度计算，平行线的判定，直角三角形两锐角互余；掌握平行线的判定定理是解题的关键． 41．如图，已知，分别平分，且与互余，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先根据余角的定义得到，再由角平分线的定义得到，进而可证明，由此即可证明． 【详解】证明：∵与互余， ∴， 又∵，分别平分， ∴， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，余角的定义，证明是解题的关键． 42．如图，已知，．试说明． 【答案】见解析 【分析】先根据得出，先根据，得出，最后根据平行于同一条直线的两直线平行得出即可． 【详解】解：∵， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴（平行于同一条直线的两直线平行）． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两直线平行． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$