精品解析：广东省梅县东山中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题

广东梅县东山中学2024-2025学年度高二第二学期开学检测 数学试卷 一､单项选择题：共10小题，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列，则是这个数列的（ ） A. 第11项 B. 第12项 C. 第13项 D. 第14项 【答案】B 【解析】 【分析】根据被开方数的特点求出数列的通项公式，最后利用通项公式进行求解即可. 详解】数列，即数列， 由数列的前几项观察归纳，知被开方数是以6为首项，4为公差的等差数列， 所以通项公式， 令，解得. 故选：B. 2. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】直线恒过定点，而此点在圆的内部，故可得直线与圆的位置关系. 【详解】直线恒过定点， 而，故点在圆的内部， 故直线与圆的位置关系为相交， 故选：B. 3. 向量，分别是直线，的方向向量，且，，若，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，即可得到存在非零实数，使得，从而求出、的值，求出，最后根据数量积的坐标表示计算可得. 【详解】解：，，存在非零实数，使得， ，解得，，即， . 故选：B 4. 已知双曲线：的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线a，b，c之间的关系即可值，然后根据渐近线的定义即可求得答案. 【详解】解：由题意得： 双曲线：的一个焦点为 故，即. 所以双曲线的渐近线方程为，即. 故选：A 5. 已知数列是公比为q的等比数列，若，且是与2的等差中项，则q的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 或1 D. 或2 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的性质和基本量代换，解方程即可求出q. 【详解】由解得. 因为是与2的等差中项，所以. 把代入得：， 消去得：，解得. 故选：A． 6. 三棱锥中， 分别是的中点，且 ，， ，用， ，表示 ，则等于 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据所给的图形，在图形中看出要求的向量可以怎么得到，用减法把向量先变化成已知向量的差的形式，再利用向量的加法法则，得到结果． ， 故选C． 考点：平面向量运算 7. 已知数列满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列递推式，利用迭代法（累加法）求出，化简计算，再利用双勾函数的单调性，即可求得的最小值. 【详解】因， 则 ， 则， 因函数在上单调递减，在上单调递增， ，，故当时的最小值为. 故选：C. 8. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】函数在区间上单调递增，则在上恒成立，参变分离求出函数的最小值代入，可得实数的取值范围． 【详解】函数在区间上单调递增，则在上恒成立，即恒成立，在上单调递增，时，， 故选：D 【点睛】本题考查利用导数解决函数的单调性问题，考查学生逻辑思维能力，属于基础题． 9. 已知为坐标原点，是椭圆上位于轴上方的点，为右焦点.延长、交椭圆于、两点，，，则椭圆的离心率为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设椭圆的左焦点为，连接、、，推导出四边形为矩形，设，在中，利用勾股定理可解得，然后在中，利用勾股定理可求得椭圆的离心率的值. 【详解】解：如图，设椭圆的左焦点为，连接、、， 由题意可知，、关于原点对称，且为的中点， 所以四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为矩形. 因为，设，， 则，， 所以，， 在中，，即， 解得，或（舍去），所以，，， 在中，由勾股定理可得，即， 整理可得，解得. 故选：C. 10. 设函数是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，根据题设条件以及导数，得出函数的单调性，将变形为，即，结合单调性，即可得出解集. 【详解】令 所以函数在上单调递增 可变形为 即，解得 故选：D 【点睛】本题主要考查了根据函数的单调性解不等式，属于中档题. 二､多项选择题：共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 11. 若，方程表示的曲线可以是（ ） A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线 【答案】ACD 【解析】 【分析】对分类讨论，分别求出所对应的曲线方程，即可判断； 【详解】解：当，即时，，得表示垂直轴的直线，故A正确； 当时，，方程表示椭圆，故C正确； 当时，，方程表示双曲线，故D正确； 故选：ACD. 12. 设等差数列的前项和为，，公差为，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当时，取得最大值 C. D. 使得成立的最大自然数是15 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据已知可判断，，然后可判断AB；利用通项公式将转化为可判断C；利用下标和性质表示出可判断D. 【详解】解：因为等差数列中，，， 所以，，，A正确； 当时，取得最大值，B正确； ，C正确； ，， 故成立的最大自然数，D错误． 故选：ABC． 13. 以下关于圆锥曲线的说法正确的是（ ） A. 设，为两定点，，动点满足，则动点的轨迹是双曲线 B. 方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 C. 双曲线与椭圆有相同的焦点 D. 若双曲线：的左､右焦点分别为､，为双曲线上一点，若，则或 【答案】BC 【解析】 【分析】A、D由双曲线的定义：动点到两定点的距离差的绝对值为常数k = 2a < 2c，且动点到定点的距离范围为[，即可判断正误；B令判断零点的分布，结合椭圆、双曲线离心率的性质即可判断正误；C由曲线方程直接写出焦点坐标，即可判断正误. 【详解】A：根据双曲线定义，仅当时，动点的轨迹才是双曲线，故错误； B：令，则且对称轴为，若为的两个零点且，则，故原方程两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故正确； C：的焦点为，的焦点为，即有相同的焦点，故正确； D：由双曲线：知：、，而，，则不合要求，故，故D错误. 故选：BC 14. 如图，棱长为2的正方体中，点是底面上的动点，，下列结论正确的有（ ） A. 当时，则三棱锥的体积为定值 B. 当时，与平面所成角的正弦最小值为 C. 当时，有且仅有一个点，使得 D. 若与的夹角等于，则动点的轨迹是双曲线的一部分 【答案】AD 【解析】 【分析】A. 当时，点在线段上运动，点到平面的距离是一个定值，所以三棱锥的体积为定值，所以该选项正确；B. 当时，设分别是的中点，点在线段上运动，与平面所成角的正弦最小值为,所以该选项错误；C. 建立以点为原点的空间的直角坐标系，假设存在点，使得，解方程可判断该选项错误；D.设由题得，所以动点的轨迹是双曲线的一部分，所以该选项正确. 【详解】解：A. 当时，点在线段上运动，因为平面，平面，所以平面，所以点到平面等于到平面的距离，而到平面的距离是一个定值，的面积是一个定值，所以三棱锥的体积为定值，所以该选项正确； B. 当时，设分别是的中点，点在线段上运动，就是与平面所成角，最小，则最小，最大，此时点在处，此时，所以该选项错误； C. 如图所示，建立以点为原点的空间的直角坐标系，设分别是的中点，则点在线段上运动，,所以，所以或，因为，所以方程无解，所以不存在点，使得，所以该选项错误； D.如上图，设,所以, 由题得，所以， 所以动点的轨迹是双曲线的一部分，所以该选项正确. 故选：AD 三､填空题：本大题共6小题，共30分. 15. 圆与圆的公共弦长为______. 【答案】 【解析】 【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆的圆心到相交弦所在直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长. 【详解】将圆与圆的方程作差可得， 所以，两圆相交弦所在直线的方程为， 圆的圆心为原点，半径为， 原点到直线的距离为， 所以，两圆的公共弦长为. 故答案为：. 16. 已知函数，若直线与的图象相切的切点的横坐标为1，那么直线的方程为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】求出导函数，从而可求得切线斜率，得切线方程． 【详解】由题意，∴．又， 切线方程为． 故答案为． 【点睛】本题考查导数的几何意义．求切线方程：已知切点时，求出导函数，得切线斜率为，切线方程为；若已知切线过点，则设切点为，得切线方程，代入坐标可求得，从而得方程． 17. 若两个等差数列的前项和分别为，满足，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列的前项和公式结合等差数列的性质求解. 【详解】因为数列均为等差数列， 所以. 故答案为： 18. 如图，分别是二面角的两个半平面内两点，，，若，则异面直线，的夹角的余弦值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用余弦定理可求得，，根据，利用向量数量积的定义和运算律求得，由向量夹角公式可得异面直线夹角余弦值. 【详解】连接， 在中，由余弦定理得： ， 中，由余弦定理得：； 而 ， 则， 所以异面直线，夹角的余弦值为. 故答案为： 19. 已知正项数列中，，且，若，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意分析可得，利用裂项相消法可得，进而求的取值范围即可得解. 【详解】因为，则， 且，可得，即， 则， 又因为，即，且， 可得，即，故， 若，则， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 20. 已知抛物线的焦点为，斜率为2的直线与的交点为，若，则直线的方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】 设直线l的方程为，，联立直线l与抛物线C的方程，得到A，B点横坐标的关系式，代入到中，解出t的值，即可求得直线l的方程 【详解】设直线． 由题设得，故， 由题设可得． 由可得， 则， 从而，得， 所以l的方程为, 故答案为： 【点睛】本题主要考查了直线的方程，抛物线的定义，抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题. 四､解答题：本大题共3小题，共50分. 21. 已知数列和满足.若为等比数列，且 （1）求数列与的通项公式： （2）设.记数列的前项和为. （i）求； （ii）求正整数，使得对任意，均有. 【答案】（1）； （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】利用和求出公比，确定，结合指数运算求解； （i）利用分组求和求解；（ii） 时，作差法确定的单调性得正负项分界求解的最大值即可求解. 【小问1详解】 设数列的公比为， 因为，可知， 当时，， 所以，又因为，所以， 又因为，所以或（舍去）， 所以，由有： 所以. 【小问2详解】 （i）由（1）知，， 所以 （ii）因； 当时，，而 则，所以当时，， 综上对任意的恒有，故 22. 在平行四边形中（如图1），为的中点，将等边沿折起，连接，且（如图2）. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）点在线段上，若点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理以及勾股定理可得，，即可根据线面垂直的判断求证， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，根据向量的夹角公式求解， （3）根据点到平面的向量法求解是线段上靠近点的三等分点，即可求解法向量，利用法向量的夹角求解. 【小问1详解】 连接， 在中，， ， 在中，， 同理可得：， 平面 【小问2详解】 设为的中点，， 平面平面， 平面平面， 又平面平面平面， 平面以点为坐标原点，为轴，为轴，过点且平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 设平面的法向量为， ，， 取， 设直线与平面所成角为， 【小问3详解】 设， ，， 设点到平面的距离为， ， ， 是线段上靠近点的三等分点，易求平面的法向量为， 设平面的法向量为， ， . 取， 设平面与平面所成的角为， . 23. 已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8，的最大面积为． （1）求椭圆C的方程； （2）设，是否存在x轴上的定点P，使得的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组，求出即可得解； （2）由题意可将原问题转换为，设直线的方程为：，，联立椭圆方程，结合韦达定理可求得的值即可. 【小问1详解】 ∵的周长为8，的最大面积为， ∴，解得，或，． ∴椭圆C的方程为或等． 【小问2详解】 由（1）及易知， 不妨设直线MN的方程为：，，，， 联立，得． 则，， 若的内心在x轴上，则， ∴，即，即， 可得． 则，得，即． 当直线MN垂直于x轴，即时，显然点也是符合题意点． 故在x轴上存在定点，使得的内心在x轴上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东梅县东山中学2024-2025学年度高二第二学期开学检测 数学试卷 一､单项选择题：共10小题，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列，则是这个数列的（ ） A. 第11项 B. 第12项 C. 第13项 D. 第14项 2. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定 3. 向量，分别是直线，的方向向量，且，，若，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 4. 已知双曲线：的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为 A B. C. D. 5. 已知数列是公比为q的等比数列，若，且是与2的等差中项，则q的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 或1 D. 或2 6. 三棱锥中， 分别是的中点，且 ，， ，用， ，表示 ，则等于 A. B C. D. 7. 已知数列满足，则最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知为坐标原点，是椭圆上位于轴上方的点，为右焦点.延长、交椭圆于、两点，，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 10. 设函数是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 11. 若，方程表示的曲线可以是（ ） A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线 12. 设等差数列的前项和为，，公差为，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当时，取得最大值 C. D. 使得成立的最大自然数是15 13. 以下关于圆锥曲线说法正确的是（ ） A. 设，为两定点，，动点满足，则动点轨迹是双曲线 B. 方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 C. 双曲线与椭圆有相同的焦点 D. 若双曲线：的左､右焦点分别为､，为双曲线上一点，若，则或 14. 如图，棱长为2的正方体中，点是底面上的动点，，下列结论正确的有（ ） A. 当时，则三棱锥的体积为定值 B. 当时，与平面所成角的正弦最小值为 C. 当时，有且仅有一个点，使得 D. 若与的夹角等于，则动点的轨迹是双曲线的一部分 三､填空题：本大题共6小题，共30分. 15. 圆与圆的公共弦长为______. 16. 已知函数，若直线与的图象相切的切点的横坐标为1，那么直线的方程为_______________． 17. 若两个等差数列的前项和分别为，满足，则______. 18. 如图，分别是二面角的两个半平面内两点，，，若，则异面直线，的夹角的余弦值为__________. 19. 已知正项数列中，，且，若，则的最小值为______． 20. 已知抛物线的焦点为，斜率为2的直线与的交点为，若，则直线的方程为___________． 四､解答题：本大题共3小题，共50分. 21. 已知数列和满足.若为等比数列，且 （1）求数列与的通项公式： （2）设.记数列的前项和为. （i）求； （ii）求正整数，使得对任意，均有. 22. 在平行四边形中（如图1），为的中点，将等边沿折起，连接，且（如图2）. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）点在线段上，若点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值. 23. 已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8，的最大面积为． （1）求椭圆C的方程； （2）设，是否存在x轴上的定点P，使得的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $