第17讲 三角形全等的判定（第2课时）（三类知识点+十大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（沪教版2024）

第17讲 三角形全等的判定（第2课时）（十大题型） 学习目标 1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“角边角”，判定方法4——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等． 2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等． 3. 会推理证明全等三角形判定方法5. 知识点1 全等三角形的判定方法3 如图17-4-12(1),给定一个△ABC.用直尺和圆规作△A'B'C',如图17-4-12(2),使∠B'=∠B,B'C'=BC,∠C'=∠C.将作好的△A'B'C'剪下来，经过平移、旋转、翻折后，能与△ABC完全重合吗? 作法 (1)作B'C'=BC; (2)分别以B'、C'为顶点，在B'C'的同侧作∠DB'C'=∠B,∠EC'B'=∠C,射线B'D、C'E的交点记作A'. △A'B'C′就是所求的三角形，如图17-4-12(2)所示. 公理 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（简记为“角边角”或“ASA”). 知识点2 全等三角形的判定方法4 定理 两角对应相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简记为“角角边”或“AAS”). 证明 如图17-4-15,已知：在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A',∠B=∠B',BC=B'C'. 求证：△ABC≌△A'B'℃'. 分析 要证△ABC≌△A'B'℃',只需证明∠C=∠C' 证明 ∵ ∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°), ∴∠C=180°-∠A-∠B.同理，∠C'=180°-∠A'-∠B'. 又∵∠A=∠A',∠B=∠B', ∴∠C=∠C'. 在△ABC和△A'B'℃'中， ∴△ABC≌△A'B'C'(ASA). 知识点3 全等三角形的判定方法5 两边对应相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形全等. 证明 如图17-4-22,已知：在△ABC和△A'B'C'中，AB=A'B',BC=B'℃',AD、A'D'分别是边BC、B'C'上的中线，且AD=A'D'. 求证：△ABC≌△A'B'C' 分析 要证明△ABC≌△A'B'C',由于已知AB=A'B',BC=B'C',因此只需要证明∠B=∠B'.为此考虑证明△ABD和△A'B'D'全等. 证明 ∵ AD、A'D'分别是边BC、B'C'上的中线， 又∵ BC=B'C', ∴BD=B'D'.在△ABD和△A'B'D'中， ∴△ABD≌△A'B'D'(SSS). ∴∠B=∠B'(全等三角形的对应角相等). 在△ABC和△A'B'C'中， ∴△ABC≌△A'B'C'(SAS). 【即学即练1】如图，与相交于点，，，不添加辅助线，判定的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．SSA D．AAS 【即学即练2】在和中，，则的根据是（　　） A． B． C． D．以上都正确 【即学即练3】如图，点B，D在上，，，要使，需要增加的一个条件是 ． 【即学即练4】如图，点、分别在边、上，与交于点，，，若，，则的长为（    ） A．5 B．2 C．3 D．7 【即学即练5】如图，点、在上，，，． 求证：． 题型1:ASA、AAS—证明三角形的全等 【典例1】．已知：如图，点D，E分别在上，．求证：． 【变式1-1】．已知：如图，．求证：． 【变式1-2】．已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，且．求证：． 【变式1-3】．已知：如图，A，E，F，B在同一条直线上，．求证：． 【变式1-4】．如图，△ABC的一个顶点A在△DEC的边DE上，AB交CD于点F，且AC＝EC，∠1＝∠2＝∠3．试说明AB与DE的大小关系． 【变式1-5】．如图，点C在上，．求证：． 题型2:ASA、AAS—辨析三角形全等的依据 【典例2】．如图，已知，垂足分别为E，F，，且，那么的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】．如图，与相交于点，不添加辅助线，能直接判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】．如图，已知，，，便能得到，这所依据的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】．如图，已知，，若可得，则判定这两个三角形全等的依据是（） A． B． C． D． 【变式2-4】．如图，已知，用“AAS”证，还需（    ） A． B． C． D． 【变式2-5】．如图所示，与全等，，，则正确的写法是（   ） A． B． C． D． 题型3:ASA、AAS—添加一个条件使三角形全等 【典例3】．如图中和中，，添加一个条件，使，可以添加的条件是 ． 【变式3-1】．如图，D在上，E在上，且，要说明． （1）若以“”为依据，还须添加的一个条件是 ； （2）若以“”为依据，还须添加的一个条件为 ． 【变式3-2】．如图，已知，，添加一个条件 判定． 题型4:ASA、AAS—三角形全等的应用 【典例4】．某同学把三角形的玻璃打碎成了3块，现要到玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（　　） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去 【变式4-1】．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成四块，他要带其中一块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他应该带去的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式4-2】．在解决问题时，小明发现下列两个被纸板挡住的三角形，只有图②能画出唯一的三角形，他判断的依据是 ． 【变式4-3】．黄河是中华民族的母亲河，是孕育中华文明的摇篮，黄河文化寄托着中华民族伟大复兴的梦想．聊城某中学以“保护母亲河——探寻黄河之美”为主题开展了主题活动，带领学生亲近黄河，了解黄河．如图，要量黄河两岸相对两点A，B的距离，可以在的垂线上取两点C，D，使，再作出的垂线，使A，C，E在一条直线上，这时可得，用于判定全等的最佳依据是 ．    【变式4-4】．如图，用7块长为8cm，宽为3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板 (，，点A， B，C，D，E在同--平面内)，点B在上，点A和C分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 .    题型5:ASA、AAS—全等三角形的性质与ASA、AAS综合 【典例5】．如图，，则的长为 ． 【变式5-1】．如图，D是上一点，交于点E，．若，则的长是 ． 【变式5-2】．如图，在中，过点B作，D是上的一点，连接，交于点F，且，求证：F是的中点． 【变式5-3】．如图，在中，，，于点E，于点D． (1)求证：； (2)，，求的长度． 【变式5-4】．将两个三角形纸板和按如图所示方式摆放，连接．已知，，． (1)求证； (2)若，求的度数． 题型6:灵活运用判定三角形全等的方法 【典例6】．下列条件中，不能判定的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式6-1】．如图，已知的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形和全等的图是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【变式6-2】．根据所给条件，下列各题中的两个三角形一定全等吗？若不一定，请画出两个符合所给条件，但不全等的三角形， (1)和中，． (2)和中，． 【变式6-3】．如图，要使，下面给出的四组条件，错误的一组是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式6-4】．如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使≌的条件有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型7:判断能唯一画出三角形的条件 【典例7】．根据下列条件，能画出唯一的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．， 【变式7-1】．根据下列已知条件，则形状和大小能完全确定的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 题型8:尺规作图与全等三角形的判定综合 【典例8】．如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连结AD，CD．由作法可得：的根据是（    ）    A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【变式8-1】．如图，已知；，线段，求作． 作法；（1）作线段； （2）在的同旁作，，与的另一边交于点．则是所作三角形，这样作图的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】．如图，为锐角，，点在射线上（点与点不重合），点到射线的距离为，若取某一确定值时，的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是 ．    题型9:格点、网格问题 【典例9】．如图，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，试在方格纸上按下列要求画格点三角形（三角形的顶点在格点上），只需画出一个即可： (1)在图（1）中画出与全等的三角形，且有条公共边： (2)在图（2）中画出与全等的三角形，且有一个公共顶点： (3)在图（3）中画出与全等的三角形，且有一个公共角． 【变式9-1】．如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画 个．    题型10:解答综合题 【典例10】．如图所示，在中，点为的中点，点在边上，与交于点，连接，已知，．证明： (1)； (2)． 【变式10-1】．如图，在中，，，点在边上，点，在线段上，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式10-2】．如图，在△ABC中，高线AD，BE，相交于点O，AE=BE，BD=2，DC=2BD． (1)证明：△AEO≌△BEC； (2)求OA的长； (3)F是直线AC上的一点，且CF=BO，动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发，沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P到达A点时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t秒，则是否存在t值，使得以点B，O，P为顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的t值，若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．如图，若，，则直接判定的理由是（   ） A． B． C． D． 2．玻璃三角板摔成三块如图，现在到玻璃店在配一块同样大小的三角板，下列可行的方案是（   ） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②去 3．如图，，点C是的中点，直接应用“”定理证明还需要的条件是（    ） A． B． C． D． 4．已知：如图所示，B、C、E三点在同一条直线上，AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（    ） A．∠A与∠D互为余角 B．∠A＝∠2 C．△ABC≌△CED D．∠1＝∠2 5．如图，在中，于点D，于点E，与相交于点F，若，则与相等的线段是（    ） A． B． C． D． 6．在和中，①，，；②，，；③，，；④，，；⑤，，能判断这两个三角形全等的条件有（    ） A．①②④ B．①③⑤ C．④⑤ D．①③ 7．已知，，，的相关数据如图所示，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，添加的一组条件不正确的是（　　） A．BC＝DC，∠A＝∠D B．BC＝EC，AC＝DC C．∠B＝∠E，∠BCE＝∠ACD D．BC＝EC，∠B＝∠E 9．如图，交于点O，过点O的直线分别交于点E、F，，则图中全等的三角形的对数共有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 10．如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，于点P，连接PC，若△PAB的面积为，△PBC的面积为，则△PAC的面积为（    ）． A．2 B．2.5 C．3 D．4 二、填空题 11．如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，请添加一个条件，使≌，这个添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线）． 12．在和中，若，，，，则和是否全等？答： ，理由是 ． 13．如图，在中，，平分，于，则△ △ ． 14．如图，已知，要说明，若以“”为依据，则需添加一个条件是 ． 15．如图，已知，，且，那么是的 ．（填“中线”或“角平分线”）    16．下列命题： ①两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等； ②两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等； ③两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等； ④两边和其夹角对应相等的两个三角形全等； 其中正确的命题有 ． 17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2，BE＝1．则DE＝ ． 18．已知：中，，，D为射线上一动点，连接，在直线右侧作，且．连接交直线于M，若，则的值为 ． 三、解答题 19．完成下面的证明过程． 已知：如图，，于，于，．试说明：． 解：∵（已知） ∴（______）． ∵，（已知）， ∴____________． ∵．（已知）， ∴______（______）． 即______． ∴____________（______）． ∴（______）． 20．如图，点A，C，B，D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD，求证：AE=FC. 21．如图，已知，，，求证：，． 22．如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．    23．已知和的位置如下图所示，．求证： (1)． (2) 24．如图，在四边形中，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 25．在中，，，直线经过点，且于，于．    (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，，，求线段的长． 26．在直线上依次取互不重合的三个点、、，在直线上方有，且满足． 【积累经验】 （1）如图1，当时，猜想线段、、之间的数量关系是______； 【类比迁移】 （2）如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是，请求出与的面积之和． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 三角形全等的判定（第2课时）（十大题型） 学习目标 1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“角边角”，判定方法4——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等． 2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等． 3. 会推理证明全等三角形判定方法5. 知识点1 全等三角形的判定方法3 如图17-4-12(1),给定一个△ABC.用直尺和圆规作△A'B'C',如图17-4-12(2),使∠B'=∠B,B'C'=BC,∠C'=∠C.将作好的△A'B'C'剪下来，经过平移、旋转、翻折后，能与△ABC完全重合吗? 作法 (1)作B'C'=BC; (2)分别以B'、C'为顶点，在B'C'的同侧作∠DB'C'=∠B,∠EC'B'=∠C,射线B'D、C'E的交点记作A'. △A'B'C′就是所求的三角形，如图17-4-12(2)所示. 公理 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（简记为“角边角”或“ASA”). 知识点2 全等三角形的判定方法4 定理 两角对应相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简记为“角角边”或“AAS”). 证明 如图17-4-15,已知：在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A',∠B=∠B',BC=B'C'. 求证：△ABC≌△A'B'℃'. 分析 要证△ABC≌△A'B'℃',只需证明∠C=∠C' 证明 ∵ ∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°), ∴∠C=180°-∠A-∠B.同理，∠C'=180°-∠A'-∠B'. 又∵∠A=∠A',∠B=∠B', ∴∠C=∠C'. 在△ABC和△A'B'℃'中， ∴△ABC≌△A'B'C'(ASA). 知识点3 全等三角形的判定方法5 两边对应相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形全等. 证明 如图17-4-22,已知：在△ABC和△A'B'C'中，AB=A'B',BC=B'℃',AD、A'D'分别是边BC、B'C'上的中线，且AD=A'D'. 求证：△ABC≌△A'B'C' 分析 要证明△ABC≌△A'B'C',由于已知AB=A'B',BC=B'C',因此只需要证明∠B=∠B'.为此考虑证明△ABD和△A'B'D'全等. 证明 ∵ AD、A'D'分别是边BC、B'C'上的中线， 又∵ BC=B'C', ∴BD=B'D'.在△ABD和△A'B'D'中， ∴△ABD≌△A'B'D'(SSS). ∴∠B=∠B'(全等三角形的对应角相等). 在△ABC和△A'B'C'中， ∴△ABC≌△A'B'C'(SAS). 【即学即练1】如图，与相交于点，，，不添加辅助线，判定的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．SSA D．AAS 【答案】D 【分析】由“AAS”可证． 【解析】在和中， ， ∴（AAS）， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【即学即练2】在和中，，则的根据是（　　） A． B． C． D．以上都正确 【答案】C 【分析】根据题意得∶是和和两角的夹边，由全等三角形的判定定理得出结果． 【解析】解：∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理：①两边夹角对应相等，②两角夹边对应相等，③三边对应相等，④两角及一边对应相等． 【即学即练4】如图，点B，D在上，，，要使，需要增加的一个条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据“”全等判定方法来添加条件即可作答． 【解析】添加的条件为：， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：．（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握证明两个三角形全等的判定方法，此题难度不大． 【即学即练5】如图，点、分别在边、上，与交于点，，，若，，则的长为（    ） A．5 B．2 C．3 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．证明，得出，求出结果即可． 【解析】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【即学即练6】如图，点、在上，，，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，先由得，再用证明即可． 【解析】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 题型1:ASA、AAS—证明三角形的全等 【典例1】．已知：如图，点D，E分别在上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】利用公共角相等和已知条件证明，即可得证． 【解析】证明：在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握公共角是对应角，证明三角形全等，是解题的关键． 【变式1-1】．已知：如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据，得到，再利用对顶角相等，证明，即可得证． 【解析】证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的对应边和对应角相等，对顶角是对应角，是解题的关键． 【变式1-2】．已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】 首先求出，进而利用全等三角形的判定定理ASA证明两个三角形全等． 【解析】 解： ， ， 在和中， (ASA)． 【点睛】 本题考查三角形全等的判定方法，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【变式1-3】．已知：如图，A，E，F，B在同一条直线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据，得到，利用证明，即可得证． 【解析】证明：∵， ∴，即：， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键． 【变式1-4】．如图，△ABC的一个顶点A在△DEC的边DE上，AB交CD于点F，且AC＝EC，∠1＝∠2＝∠3．试说明AB与DE的大小关系． 【答案】AB=DE，证明见解析 【分析】由已知条件易证得∠B= ∠D，∠BCA =∠DCE，利用AAS可证得△ABC≌△EDC，从而可得AB= ED． 【解析】∵∠1=∠2，∠AFD=∠BFC， ∴∠B=∠D， 又∵∠2=∠3， ∴∠2+∠ACD=∠3+∠ACD， 即∠BCA=∠DCE， 在△ABC和△EDC中， ∴△ABC≌△EDC (AAS)， ∴AB=ED． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是证得∠B=∠D，∠BCA=∠DCE． 【变式1-5】．如图，点C在上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】直接根据一线三垂直模型利用ASA证明即可． 【解析】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE， ∴∠B=∠D=∠ACE=90°， ∴∠BAC+∠BCA=90°=∠BCA+∠DCE， ∴∠BAC=∠DCE， 在△ABC和△CDE中， ， ∴△ABC≌△CDE（ASA）． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知一线三垂直模型是解题的关键． 题型2:ASA、AAS—辨析三角形全等的依据 【典例2】．如图，已知，垂足分别为E，F，，且，那么的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定定理，先由得到，然后由、得到，再结合即可得到的理由，解题的关键是熟知平行线的性质和全等三角形的判定定理． 【解析】解：， ， ，， ， ， 的理由为， 故选：D． 【变式2-1】．如图，与相交于点，不添加辅助线，能直接判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形全等的判定．利用全等三角形的判定定理，判断即可． 【解析】解：在和中， ∴ 故选：C． 【变式2-2】．如图，已知，，，便能得到，这所依据的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判断，根据已知条件结合全等三角形的判定方法，进行判断即可． 【解析】解：∵， ∴， 在和中： ， ∴； 故选B． 【变式2-3】．如图，已知，，若可得，则判定这两个三角形全等的依据是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据等式的性质可得然后利用来证明，即可解答． 【解析】解：， ，， 故选：C． 【变式2-4】．如图，已知，用“AAS”证，还需（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．利用全等三角形判定定理分析即可得出答案． 【解析】解：由图可知，， ， 用“”证，还需， 故选：C 【变式2-5】．如图所示，与全等，，，则正确的写法是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．根据题目所给条件结合全等三角形的判定方法解答即可． 【解析】解：在和中， ∵，，， 即的顶点A、B、D分别与的顶点B、A、C对应， ∴． 故选：A． 题型3:ASA、AAS—添加一个条件使三角形全等 【典例3】．如图中和中，，添加一个条件，使，可以添加的条件是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．根据全等三角形的判定方法结合图形添加条件即可． 【解析】解：∵，， 添加，根据得到； 添加，根据得到； 故答案为：或． 【变式3-1】．如图，D在上，E在上，且，要说明． （1）若以“”为依据，还须添加的一个条件是 ； （2）若以“”为依据，还须添加的一个条件为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理． （1）根据全等三角形的判定定理得出即可； （2）根据全等三角形的判定定理得出即可． 【解析】解：（1）条件是， 理由是：在和中， ， ∴， 故答案为：； （2）条件是， 理由是：在和中， ， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】．如图，已知，，添加一个条件 判定． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定定理求解即可． 【解析】解：添加一个条件，判定， 理由如下： 在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 题型4:ASA、AAS—三角形全等的应用 【典例4】．某同学把三角形的玻璃打碎成了3块，现要到玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（　　） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定，已知两角及其夹边，就可以确定一个三角形． 【解析】解：第①块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这块不能配一块与原来完全一样的； 第②块只保留了原三角形的部分边，根据这两块中的任意一块均不能配一块与原来完全一样的； 第③块不仅保留了原三角形的两个角还保留了一边，则可根据来配一块与原来一样的玻璃． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【变式4-1】．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成四块，他要带其中一块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他应该带去的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法，结合实际情况分析即可求解． 根据题意，运用边角边判定①，结合边长无法确定得出结论；根据②③的特点，无法得到一块与原来一样的三角形模具，由角边角判定④，即可求解． 【解析】解：∵可以运用边角边判定三角形全等，但①中角的两边可以无限延长，无法判定边长， 故A选项不符合题意； ②③不具备边角的关系，无法得到与原来一样的三角形，故B、C选项不符合题意； 可以运用角边角的方法判定三角形全等，④中的两边延长可以交于一点，得到三角形， 故他要带碎片④到商店去配一块与原来一样的三角形模具， 故选：D ． 【变式4-2】．在解决问题时，小明发现下列两个被纸板挡住的三角形，只有图②能画出唯一的三角形，他判断的依据是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据图形可知图中三角形纸片两角及其夹边已知，则可根据解答． 【解析】解：∵图中三角形纸片两角及其夹边已知， ∴可以根据画出了一个与原三角形完全重合的三角形， 故答案为：． 【变式4-3】．黄河是中华民族的母亲河，是孕育中华文明的摇篮，黄河文化寄托着中华民族伟大复兴的梦想．聊城某中学以“保护母亲河——探寻黄河之美”为主题开展了主题活动，带领学生亲近黄河，了解黄河．如图，要量黄河两岸相对两点A，B的距离，可以在的垂线上取两点C，D，使，再作出的垂线，使A，C，E在一条直线上，这时可得，用于判定全等的最佳依据是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先通过垂直的定义得到，进而利用即可证明，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 【解析】解：∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【变式4-4】．如图，用7块长为8cm，宽为3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板 (，，点A， B，C，D，E在同--平面内)，点B在上，点A和C分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 .    【答案】 【分析】根据题意可得，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明，利用全等三角形的性质进行解答 【解析】解：，， ， ， ， 在和中， ， 依题意可得：， ， ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了全等三角形的应用，解题的关键是正确找出证明三角形全等的条件． 题型5:ASA、AAS—全等三角形的性质与ASA、AAS综合 【典例5】．如图，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的知识；根据全等三角形的性质，通过证明，即可得到答案． 【解析】∵， ，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：5． 【变式5-1】．如图，D是上一点，交于点E，．若，则的长是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，根据平行线的性质，得出，，根据全等三角形的判定，得出，根据全等三角形的性质，得出，根据，，即可求线段的长，能判定是解此题的关键，解题时注意运用全等三角形的对应边相等，对应角相等． 【解析】解：， ，， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：1． 【变式5-2】．如图，在中，过点B作，D是上的一点，连接，交于点F，且，求证：F是的中点． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质．根据平行线的性质求出，，利用证明，再根据全等三角形的性质及中点的定义即可得证． 【解析】证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴F是的中点． 【变式5-3】．如图，在中，，，于点E，于点D． (1)求证：； (2)，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点是解此题的关键． （1）先证明，再利用证明即可得证； （2）由全等三角形的性质可得，即可得解． 【解析】（1）证明：∵， ∴      ∵，， ∴      ∴， ∴       在和中， ∴； （2）解：由（1）知，， ∴，      ∴． 【变式5-4】．将两个三角形纸板和按如图所示方式摆放，连接．已知，，． (1)求证； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用“角角边”证明即可； （2）由得到，然后利用“边边边”证明，得到即可求解． 【解析】（1）证明：， 即， 在和中 ， ． （2）解：， ，， 在和中 ， ， ， ， ， ． 题型6:灵活运用判定三角形全等的方法 【典例6】．下列条件中，不能判定的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，根据三角形全等的判定方法，、、、，逐一检验． 【解析】解：A、符合判定定理，故本选项不合题意； B、符合判定定理，故本选项不合题意； C、没有判定定理，故本选项符合题意； D、符合判定定理，故本选项不合题意． 故选：C． 【变式6-1】．如图，已知的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形和全等的图是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定，看图形中含有的条件是否与定理相符合即可． 【解析】解：甲、边a、c夹角不是，∴甲错误； 乙、两角为，夹边是a，符合，∴乙正确； 丙、两角是角对的边是a，符合，∴丙正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查对全等三角形的判定的理解和掌握，能熟练地根据全等三角形的判定定理进行判断是解此题的关键． 【变式6-2】．根据所给条件，下列各题中的两个三角形一定全等吗？若不一定，请画出两个符合所给条件，但不全等的三角形， (1)和中，． (2)和中，． 【答案】(1)不一定全等，画图见详解 (2)不一定全等，画图见详解 【分析】（1）两个三角形中，已知两个角对应相等，两条边对应相等，根据三角形全等的判断，即可求解； （2）两个三角形中，三个角对应相等，根据三角形全等的判断即可求解． 【解析】（1）解：如图所示， 和中，，但和不全等． （2）解：如图所示， 和中，，但和不全等． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判断，掌握三角形全等判断的条件是解题的关键． 【变式6-3】．如图，要使，下面给出的四组条件，错误的一组是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定定理逐项判定即可． 【解析】解：A、∵，，AB=AB，∴(AAS)，正确，故此选项不符合题意； B、∵，，AB=AB，∴(SSS)，正确，故此选项不符合题意； C、∵，，AB=AB，∴(ASA)，正确，故此选项不符合题意； D、，，AB=AB，两边以及一边对角对应相等，不能判定，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查全靠等三角形的判定，熟练掌握全靠三角形判定定理：SSS，SAS，ASA，AAS，HL 是解题的关键． 【变式6-4】．如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使≌的条件有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答． 【解析】解：①，，， 和不一定全等， 故①不符合题意； ②，，， ≌， 故②符合题意； ③， ， ， ，， ≌， 故③符合题意； ④，，， ≌， 故④符合题意； 所以，增加上列条件，其中能使≌的条件有个， 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 题型7:判断能唯一画出三角形的条件 【典例7】．根据下列条件，能画出唯一的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系，熟练掌握全等三角形的判定以及三角形三边关系是解题的关键． 利用全等三角形的判定方法以及三角形三边关系分别判断得出即可． 【解析】解：A：，，，，不符合三角形三边关系定理，不能画出三角形，故此选项不合题意； B：，，，不符合全等三角形判定定理，不能画出唯一三角形，故此选项不合题意； C：，，，符合角角边定理，能画出唯一，故此选项符合题意； D：，，不符合全等三角形判定定理，不能画出唯一三角形，故此选项不合题意． 故选： C． 【变式7-1】．根据下列已知条件，则形状和大小能完全确定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．由全等三角形的判定方法，逐项进行判断即可． 【解析】解：A选项中的条件没有边的长度，因此不能画出唯一的，故A不符合题意； B选项只是知道两边的长度，不能画出唯一的； C选项中已知两边及一边的对角，因此不能画出唯一的，故C不符合题意； D．已知两角和这两角的夹边，能够画出唯一的，故D符合题意． 故选：D． 【变式7-2】．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法及三角形三边关系对各选项逐一进行判断即可得答案． 【解析】解：A．只有一角与一边，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的，不符合题意， B．，，，符合全等三角形判定定理，能画出唯一的，符合题意， C．，，，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的，不符合题意， D．，，，不能构成三角形，不能画出唯一的，不符合题意， 故选：B． 题型8:尺规作图与全等三角形的判定综合 【典例8】．如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连结AD，CD．由作法可得：的根据是（    ）    A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【答案】D 【分析】根据题意和全等三角形判定的方法可以得到ABC≌△CDA的根据，本题得以解决． 【解析】解：由题意可得， AD=BC，AB=CD， 在△ADC和△CBA中， ， ∴△ADC≌△CBA（SSS）， 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定方法解答． 【变式8-1】．如图，已知；，线段，求作． 作法；（1）作线段； （2）在的同旁作，，与的另一边交于点．则是所作三角形，这样作图的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图—复杂作图，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，据此得出全等的判定方法． 【解析】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即． 故选C． 【变式8-2】．如图，为锐角，，点在射线上（点与点不重合），点到射线的距离为，若取某一确定值时，的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是 ．    【答案】或 【分析】先找出点D的位置，再画出符合的所有情况即可． 【解析】解：过B作于D，    ∵点B到射线的距离为d， ∴， ①如图，    当C点和D点重合时，，此时是一个直角三角形； ②如图，    当时，此时C点的位置有两个，即有两个； ③如图，    当时，此时是一个三角形； 所以x的范围是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了考查全等三角形的判定，点到直线的距离等知识点，注意：能求出符合的所有情况是解此题的关键． 题型9:格点、网格问题 【典例9】．如图，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，试在方格纸上按下列要求画格点三角形（三角形的顶点在格点上），只需画出一个即可： (1)在图（1）中画出与全等的三角形，且有条公共边： (2)在图（2）中画出与全等的三角形，且有一个公共顶点： (3)在图（3）中画出与全等的三角形，且有一个公共角． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（ 1）可根据全等三角形判定中的边边边（）为依据作图； （2 ）（ 3）可根据全等三角形的判定中的边角边（）为依据作图． 【解析】（1）解：如图1，即为所求（答案不唯一）， ； （2）解：如图2，即为所求， ； （3）解：如图3，即为所求， ． 【点睛】本题考查的是作图－复杂作图，熟知全等三角形的作法是解答此题的关键． 【变式9-1】．如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画 个．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定画出三角形即可，注意观察图形，数形结合是解决本题的关键． 【解析】解：如图所示：    使，则这样的格点三角形最多可以画7个， 故答案为：7 题型10:解答综合题 【典例10】．如图所示，在中，点为的中点，点在边上，与交于点，连接，已知，．证明： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形，三角形的内角和等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，三角形的内角和的应用，根据题意，构造全等三角形，进行解答，即可． （1）根据三角形的内角和，求出，根据等量代换，则，再根据三角形的内角和，即可； （2）过点作，与的延长线交于点，根据全等三角形的判定和性质，可得，推出，，再根据全等三角形的判定和性质，可得，得到，根据，即可证明． 【解析】（1）解：证明如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴． （2）解：证明如下： 过点作，与的延长线交于点， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式10-1】．如图，在中，，，点在边上，点，在线段上，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、三角形的外角性质，解题的关键是熟悉掌握全等三角形的性质和证明． （1）由和，得到，根据等量代换得； （2）根据等角的补角相等得到，从而证明．得到，再根据，，求得的长． 【解析】（1）证明：，， ， 又， ， （2）解：，，， ． 在和中， ， ． ， 又，， ， ． 【变式10-2】．如图，在△ABC中，高线AD，BE，相交于点O，AE=BE，BD=2，DC=2BD． (1)证明：△AEO≌△BEC； (2)求OA的长； (3)F是直线AC上的一点，且CF=BO，动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发，沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P到达A点时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t秒，则是否存在t值，使得以点B，O，P为顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的t值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)OA的长为6 (3)存在，当s或s时，以点B，O，P为顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等 【分析】（1）根据三角形的高得，根据角之间的关系得，用ASA即可证明； （2）根据边之间的关系得，即可得求出BC的长度，根据全等三角形的性质得，即可得； （3）由题意得，，，根据等边对等叫得，分情况讨论：时，OP=CQ，得，进行计算即可得，时，OP=CQ，得，进行计算即可得． 【解析】（1）证明：∵AD，BE是的高， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ (ASA)； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：6． （3）存在，理由如下： 解：由题意得，，， ∵， ∴， 如图所示， 当时，OP=CQ， ∴， 解得：； 如图所示， 当时，OP=CQ， ∴， 解得：， 综上所述，存在，当秒或2秒时，以点B，O，P为顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，适当的添加辅助线． 一、单选题 1．如图，若，，则直接判定的理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，掌握“角边角”的判定方法是解题的关键，根据题意，运用“角边角”的判定方法即可求解． 【解析】解：∵， ∴， 故选：C ． 2．玻璃三角板摔成三块如图，现在到玻璃店在配一块同样大小的三角板，下列可行的方案是（   ） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②去 【答案】C 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键，根据全等三角形的判定判断即可得解． 【解析】③这块保留了原三角板的两角及其夹边，新三角板的两角及其夹边和③对应相等，配制的新三角板和原三角板满足“角边角”，自然就同样大小了． 故选C． 3．如图，，点C是的中点，直接应用“”定理证明还需要的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质推出∠B=∠DCE，再根据全等三角形的判定进行判断即可． 【解析】解：∵点C是BE的中点， ∴BC=CE， ∵AB∥CD， ∴∠B=∠DCE， A、根据SAS证△ABC≌△DCE，故本选项错误； B、∵∠ACB=∠E，CB=CE，∠B=∠DCE， ∴△ABC≌△DCE（ASA），故本选项正确； C、根据AAS证三角形全等，故本选项错误； D、根据条件不能证△ABC和△DCE全等，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键． 4．已知：如图所示，B、C、E三点在同一条直线上，AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（    ） A．∠A与∠D互为余角 B．∠A＝∠2 C．△ABC≌△CED D．∠1＝∠2 【答案】D 【分析】利用同角的余角相等求出∠A＝∠2，再利用“角角边”证明△ABC和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等、对应角相等，即可解答． 【解析】∵∠B＝∠E＝90°， ∴∠A+∠1＝90°，∠D+∠2＝90°， ∵AC⊥CD， ∴∠1+∠2＝90°，故D错误； ∴∠A＝∠2，故B正确； ∴∠A+∠D＝90°，故A正确； 在△ABC和△CED中， ， ∴△ABC≌△CED（AAS）， 故C正确； 故选：D． 【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，解题关键是熟练掌握三角形全等的判定方法并确定出全等的条件∠A=∠2． 5．如图，在中，于点D，于点E，与相交于点F，若，则与相等的线段是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得：，，所以可推出，结合其它条件可证明，则可得出． 【解析】解：∵于点D，于点E，， ∴， ∵，∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，倒角是解题的关键． 6．在和中，①，，；②，，；③，，；④，，；⑤，，能判断这两个三角形全等的条件有（    ） A．①②④ B．①③⑤ C．④⑤ D．①③ 【答案】B 【分析】依据全等三角形的判定定理进行判断即可． 【解析】解：第①组满足AAS，能证明△ABC≌△EFD． 第②组不是两角及一边对应相等，不能证明△ABC和△DEF全等． 第③组满足ASA，能证明△ABC≌△FDE． 第④组只是SSA，不能证明△ABC≌△FED． 第⑤组满足AAS，能证明△ABC≌△DEF． 故选B． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 7．已知，，，的相关数据如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定与性质，逐一判断即可解答．本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【解析】解：A、，，和不一定相等， 和不一定全等， 故A不符合题意； B、，， ， ，， ，， ， ， 故B符合题意； C、和不一定全等， 和不一定相等， 故C不符合题意； D、，， ， ，， ，， 和不一定相等， 和不一定全等， 和不一定相等， 故D不符合题意； 故选：B． 8．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，添加的一组条件不正确的是（　　） A．BC＝DC，∠A＝∠D B．BC＝EC，AC＝DC C．∠B＝∠E，∠BCE＝∠ACD D．BC＝EC，∠B＝∠E 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【解析】解：A．AB＝DE，BC＝DC，∠A＝∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEC，故本选项符合题意； B．AC＝DC，AB＝DE，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意； C．∵∠BCE＝∠ACD， ∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE， 即∠ACB＝∠DCE， ∵∠B＝∠E，AB＝DE， ∴△ABC≌△DEC（AAS），故本选项不符合题意； D．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法—— ， ， ， ． 9．如图，交于点O，过点O的直线分别交于点E、F，，则图中全等的三角形的对数共有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据判定定理逐个进行判断即可． 【解析】解：， 同理可得： 全等三角形有△AEO≌△BFO，△CEO≌△DFO，△ACO≌△BDO，共3对， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直线平行，内错角相等． 10．如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，于点P，连接PC，若△PAB的面积为，△PBC的面积为，则△PAC的面积为（    ）． A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】A 【分析】延长交于点，证明，可得是的中线，，结合已知条件即可求解． 【解析】如图，延长交于点， ，BP平分∠ABC， 又 ， 是的中线 △PAB的面积为，△PBC的面积为， 故选A 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，三角形全等的性质与判定，角平分线的意义，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 二、填空题 11．如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，请添加一个条件，使≌，这个添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线）． 【答案】（还可以添加∠A=∠D或∠ACB=∠EFD或AC∥DF，答案不唯一） 【分析】根据等式的性质可得BC=EF，再添加AB=DE，可利用SAS判定△ABC≌△DEF． 【解析】添加的条件是， ∵， ∴， 即． ∵在中中， ． 故答案为：．（还可以添加或或，答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 12．在和中，若，，，，则和是否全等？答： ，理由是 ． 【答案】 是全等 AAS 【分析】根据，，，可利用“AAS”判定全等． 【解析】解：∵，，， ∴≌（AAS）， 故答案为：是全等；AAS． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键在于能够熟练掌握三角形全等的判定条件． 13．如图，在中，，平分，于，则△ △ ． 【答案】 【分析】根据角平分线定理得到，利用直角三角形HL定理证明即可． 【解析】证明： 平分， ， 又 ， , 在和中， ， ． 故答案为：；． 【点睛】本题考查角平分线性质定理、直角三角形判定定理，能够根据定理推导出相关的条件是解题的关键． 14．如图，已知，要说明，若以“”为依据，则需添加一个条件是 ． 【答案】 【分析】根据证明，即可． 【解析】解：添加，理由如下： ∵，，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 15．如图，已知，，且，那么是的 ．（填“中线”或“角平分线”）    【答案】中线 【分析】证明，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的中线的概念判断即可． 【解析】解：，， ， 在和中， ， ∴， ， 是的中线， 故答案为：中线． 【点睛】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，同时考查了全等三角形的判定与性质． 16．下列命题： ①两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等； ②两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等； ③两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等； ④两边和其夹角对应相等的两个三角形全等； 其中正确的命题有 ． 【答案】①③④ 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．利用全等三角形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项． 【解析】解：如图，在，中，、是中线，，，， ， ， ， ，所以①正确． 如图，在，中，，是中线，，，， 延长到点，使得， ∵，，， ， ∴， 同理，在中，可证， ，所以③正确； 有两边和其夹角对应相等的两个三角形全等，所以④正确； 如图，在和中，公共，，高公共，但是和不一定全等， 故两边和第三边上的高对应相等的两个三角形不一定全等，所以②错误． 故答案为：①③④． 17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2，BE＝1．则DE＝ ． 【答案】1 【分析】先证明△ACD≌△CBE，再求出DE的长，解决问题． 【解析】解：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴． 故答案为：1 【点睛】此题考查三角形全等的判定和性质，掌握再全等三角形的判定和性质是解题的关键． 18．已知：中，，，D为射线上一动点，连接，在直线右侧作，且．连接交直线于M，若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质和线段之间的关系，解题的关键是熟悉全等的性质和分类讨论思想的应用，当点D在的延长线上时，作，交的延长线于点G，利用可证明，有，，则．进一步利用证明，有．设，则，可求得，结合三角形面积公式得，，即可求得答案；当点D在线段上时，同理可设，有成立，可求得，则，即可． 【解析】解：点D在的延长线上时，作，交的延长线于点G，如图， 则． ∵， ∴． ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，，， ∴， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 当点D在线段上时，同理可得，，， 可设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 故答案为：或． 三、解答题 19．完成下面的证明过程． 已知：如图，，于，于，．试说明：． 解：∵（已知） ∴（______）． ∵，（已知）， ∴____________． ∵．（已知）， ∴______（______）． 即______． ∴____________（______）． ∴（______）． 【答案】两直线平行，内错角相等；；；；等式性质；；；；；全等三角形的对应边相等； 【分析】先由，运用平行线的性质得，再由垂直定义得，根据即可判定三角形全等． 【解析】证明：（已知） （两直线平行，内错角相等）． （已知）， ． ，（已知）， （等式性质）， 即． ， （全等三角形的对应边相等）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；；等式性质；；全等三角形的对应边相等． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、垂直定义，熟悉判定三角形全等的方法是解题关键． 20．如图，点A，C，B，D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD，求证：AE=FC. 【答案】证明见解析. 【分析】由已知条件BE∥DF，可得出∠ABE=∠D，再利用ASA证明△ABE≌△FDC即可． 【解析】证明：∵BE∥DF， ∴∠ABE=∠D， 在△ABE和△FDC中， ∠ABE=∠D，AB=FD，∠A=∠F ∴△ABE≌△FDC（ASA）， ∴AE=FC． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质等知识点的理解和掌握，此题的关键是利用平行线的性质求证△ABC和△FDC全等． 21．如图，已知，，，求证：，． 【答案】证明见解析 【分析】先证明可得：再证明从而可得结论. 【解析】证明： ，，， 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握利用边边边公理，角角边定理判定两个三角形全等是解题的关键. 22．如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．    【答案】证明过程见解析 【分析】由∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，可求得∠DCE=∠ACB，且∠B+∠CEA=∠CEA+∠DEC=180°，可求得∠DEC=∠ABC，再结合条件可证明△ABC≌△DEC． 【解析】∵∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°， ∴∠5+∠4=∠4+∠3， ∴∠5=∠3，且∠B+∠CEA=180°， 又∠7+∠CEA=180°， ∴∠B=∠7， 在△ABC和△DEC中 , ∴△ABC≌△DEC（ASA）． 23．已知和的位置如下图所示，．求证： (1)． (2) 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）证明即可求证； （）证明即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【解析】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 24．如图，在四边形中，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由，得，再根据“”可证明； （）由，得，再根据三角形外角的性质可得出答案； 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的外角性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【解析】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴． 25．在中，，，直线经过点，且于，于．    (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，，，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键． （1）由已知推出，因为，推出，根据“”即可得到答案； （2）与（1）证法类似可证出，能推出，得到，代入已知即可得到答案． 【解析】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 26．在直线上依次取互不重合的三个点、、，在直线上方有，且满足． 【积累经验】 （1）如图1，当时，猜想线段、、之间的数量关系是______； 【类比迁移】 （2）如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是，请求出与的面积之和． 【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）由得到，，进而得到，然后结合得证，推出，，即可求解； （2）由得到，进而得到，然后结合得证，推出，，即可证明； （3）由，，得出，证明，得出，根据，得出，即可得出结果． 【解析】解：（1）， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：； （2）仍然成立，理由如下： ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3），， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ，， ， ， 与的面积之和为． 1 / 53 学科网（北京）股份有限公司 $$