9.4矩形、菱形 、正方形（矩形） （分层练习） 2024-2025学年苏科版数学八年级下册

2024-2025学年苏科版数学八年级下册 9.4矩形、菱形 、正方形（矩形） （分层练习） （满分100分，时间90分钟） 1、 选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.下列说法中能判定四边形是矩形的是　　 A．有两个角为直角的四边形 B．对角线互相平分的四边形 C．对角线相等的四边形 D．四个角都相等的四边形 2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（　　） A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．AD＝AB D．∠BAD＝∠ADC 3.矩形的两条对角线的夹角为60度，对角线长为15，则矩形的较短边长为（　　） A．12 B．10 C．7.5 D．5 4.如图，在矩形中，对角线，交于点O.若，则的度数为（    ） A．30° B．35° C．40° D．45° 5.如图，在矩形 中，对角线 ， 交于点 ，以下说法错误的是（    ） A． B． C． D． 6.如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC＝3：2，则∠BDE的度数为（　　） A．36° B．9° C．27° D．18° 7.如图，在矩形中，点的横坐标为，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交轴的正半轴于，且点的坐标为，则的长为（    ）      A．1 B． C． D．2 8.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（ ） A. 当时，四边形ABMP为矩形 B. 当时，四边形CDPM为平行四边形 C. 当时， D. 当时，或6s 2、 填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.若顺次连接一个四边形各边中点所得的图形为矩形，则这个四边形需要满足的条件为______． 10.如图，矩形的两条对角线夹角为，一条短边为2，则矩形的长边长为________． 11.如图，AB∥CD，PM、PN、QM、QN分别为∠APQ、∠BPQ、∠CQP、∠DQP的平分线，则四边形PMQN是　　　　. 12.如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED．若AB＝2，∠EBC＝45°，则BC＝_____． 13. 如图，四边形与均为矩形，点分别在线段上．若，矩形的周长为，则图中阴影部分的面积为___________． 14.如图，在矩形中，，点分别是的中点，连接，则的长为______． 15.如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E、F，连接PB、PD，若AE＝2，PF＝9，则图中阴影面积为 　　． 16. 如图，ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是_____． 三、解答题（本题共6小题，共52分） 17.如图，中，，于点，四边形是平行四边形．求证：四边形是矩形． 18.矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为，D是的中点，点E在上，当的周长最小时，求点E的坐标． 19.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、DC上的点，且AE＝CF，∠DEB＝90°． 求证：（1）△ADE≌△CBF； （2）四边形DEBF是矩形． 20.如图，AC为平行四边形ABCD的对角线，将△ABC沿对角线翻折，得到△AB′C，B′C与AD边交于点E，连接B′D， （1）当△CDE为等边三角形时，证明：四边形ACDB′为矩形： （2）在（1）的条件下，当AB＝3时，求S△AEC． 21.如图所示，沿折叠长方形的一边，使点C落在边上的点F处，若，且的面积为60，求： （1）边的长； （2）的面积． 22.在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝15，E、F是对角线AC上的两个点，AE＝CF＝3.5，动点G、H，分别从A、C同时以每秒1个单位长度的速度，分别沿AD，CB运动，运动时间为t秒．（0＜t＜15） （1）求证：四边形EGFH是平行四边形； （2）若四边形EGFH为矩形，请直接写出t的值． 答案解析 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.下列说法中能判定四边形是矩形的是　　 A．有两个角为直角的四边形 B．对角线互相平分的四边形 C．对角线相等的四边形 D．四个角都相等的四边形 【答案】D 2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（　　） A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．AD＝AB D．∠BAD＝∠ADC 【答案】C 3.矩形的两条对角线的夹角为60度，对角线长为15，则矩形的较短边长为（　　） A．12 B．10 C．7.5 D．5 【答案】C 4.如图，在矩形中，对角线，交于点O.若，则的度数为（    ） A．30° B．35° C．40° D．45° 【答案】A 5.如图，在矩形 中，对角线 ， 交于点 ，以下说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 6.如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC＝3：2，则∠BDE的度数为（　　） A．36° B．9° C．27° D．18° 【答案】D 7.如图，在矩形中，点的横坐标为，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交轴的正半轴于，且点的坐标为，则的长为（    ）      A．1 B． C． D．2 【答案】D 8.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（ ） A. 当时，四边形ABMP为矩形 B. 当时，四边形CDPM为平行四边形 C. 当时， D. 当时，或6s 【答案】D 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.若顺次连接一个四边形各边中点所得的图形为矩形，则这个四边形需要满足的条件为______． 【答案】对角线互相垂直 10.如图，矩形的两条对角线夹角为，一条短边为2，则矩形的长边长为________． 【答案】 11.如图，AB∥CD，PM、PN、QM、QN分别为∠APQ、∠BPQ、∠CQP、∠DQP的平分线，则四边形PMQN是　　　　. 【答案】矩形 12.如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED．若AB＝2，∠EBC＝45°，则BC＝_____． 【答案】2 13. 如图，四边形与均为矩形，点分别在线段上．若，矩形的周长为，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 14.如图，在矩形中，，点分别是的中点，连接，则的长为______． 【答案】 15.如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E、F，连接PB、PD，若AE＝2，PF＝9，则图中阴影面积为 　　． 【答案】18 16. 如图，ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是_____． 【答案】 三、解答题（本题共6小题，共52分） 17.如图，中，，于点，四边形是平行四边形．求证：四边形是矩形． 【答案】，， ，． 在中，，， ，． 四边形是平行四边形． 又， 四边形是矩形． 18.矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为，D是的中点，点E在上，当的周长最小时，求点E的坐标． 【答案】如图，作点D关于直线的对称点H，连接的与交点为E，此时的周长最小． ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵D为的中点， ∴D， ∵点D关于直线的对称点H ∴， 设的解析式为， 则有， 解得， ∴， ∴时， ， ∴点E坐标， 故答案为. 19.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、DC上的点，且AE＝CF，∠DEB＝90°． 求证：（1）△ADE≌△CBF； （2）四边形DEBF是矩形． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝CB，∠A＝∠C， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵AE＝CF， ∴BE＝DF， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∵∠DEB＝90°， ∴四边形DEBF是矩形． 20.如图，AC为平行四边形ABCD的对角线，将△ABC沿对角线翻折，得到△AB′C，B′C与AD边交于点E，连接B′D， （1）当△CDE为等边三角形时，证明：四边形ACDB′为矩形： （2）在（1）的条件下，当AB＝3时，求S△AEC． 【答案】（1）证明：∵△CDE是等边三角形， ∴DE＝DC＝EC，∠ADC＝∠CED＝60°， 根据折叠的性质可知：∠BCA＝∠B′CA， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EAC＝∠BCA， ∴∠EAC＝∠ECA， ∴EA＝EC， ∴∠DAC＝∠ECA＝30°， ∴∠ACD＝90°， ∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD＝90°， ∴AC⊥AB， 由折叠可知：∠B′AC＝∠BAC＝90°， ∴B，A，B′三点在同一条直线上， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， 由折叠可知：AB＝AB′， ∴AB′∥CD，AB'＝CD， ∴四边形ACDB′为平行四边形， ∵∠ACD＝90°， ∴四边形ACDB′为矩形； （2）解：在Rt△ACB′中，∠CAB′＝90°， ∵∠ACB′＝30°，AB′＝AB＝3， ∴AC＝AB′＝3， ∴S△AEC＝S△ACB′＝AC•AB′＝×3×3＝． 21.如图所示，沿折叠长方形的一边，使点C落在边上的点F处，若，且的面积为60，求： （1）边的长； （2）的面积． 【答案】（1）∵四边形矩形， ∴， ∵的面积为60， ∴， 解得：， ∴， 由折叠性质得：， ∴； （2）∵，， ∴， 设， 在中，， 即， 解得：， 即 ∴的面积． 22.在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝15，E、F是对角线AC上的两个点，AE＝CF＝3.5，动点G、H，分别从A、C同时以每秒1个单位长度的速度，分别沿AD，CB运动，运动时间为t秒．（0＜t＜15） （1）求证：四边形EGFH是平行四边形； （2）若四边形EGFH为矩形，请直接写出t的值． 【答案】（1）证明：由题意得：AE＝CF＝3.5，AG＝CH＝t， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠GAE＝∠HCF， 在△AEG和△CFH中， ， ∴△AEG≌△CFH（SAS）， ∴EG＝FH，∠AEG＝∠CFH， ∴∠FEG＝∠EFH， ∴EG∥HF， ∴四边形EGFH是平行四边形； （2）解：如图，连接GH， 在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝15， ∴AC＝＝17， ∵AE＝CF＝3.5， ∴EF＝10， ∵四边形EHFG是矩形， ∴GH＝EF＝10， ∴82+（15﹣2t）2＝102， 解得t＝或t＝， 若四边形EGFH为矩形，t的值为或． ( 第 1 页 共 6 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$