9.4矩形、菱形 、正方形（正方形） （分层练习） 2024-2025学年苏科版数学八年级下册

2024-2025学年苏科版数学八年级下册 9.4矩形、菱形 、正方形（正方形） （分层练习） （满分100分，时间90分钟） 1、 选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.下列性质中，正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 四条边相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 2.如图，已知四边形是平行四边形，下列结论不正确的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 3.下列判断正确是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 两组邻边相等的四边形是平行四边形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 有一个角是直角的平行四边形是正方形 4.如图，在菱形中，对角线，相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（ ） A. B. C. D. 平分 5.如图，在正方形中，O是的中点，过点O作于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6.在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（﹣3，0），则点C到y轴的距离是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 7.如图，边长为6的正方形内部有一点P，，，点Q为正方形边上一动点，且是等腰三角形，则符合条件的Q点有 （ ）个． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8.如图，在矩形中，，，点在边上，且，为边上的一个动点，连接，以为边作正方形，且点在矩形内，连接，则的最小值为( )． A. 3 B. 4 C. D. 2、 填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.一个正方形的对角线长为2，则其面积为_____． 10.正方形绕着它的中心至少旋转__________度能与自身重合． 11.如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC，AE交CD于点F，则∠E=_____ 12.如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝________． 13.如图，直线、、分别过正方形的三个顶点A，B，D，且相互平行，若与的距离为1，与的距离为1，则该正方形的面积是_______． 14.如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，过P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，若PE＝1，PF＝2，则AP＝_____． 15.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上且BE=1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为________ 16.如图，已知∠MON＝30°，B为OM上一点，BA⊥ON于A，四边形ABCD为正方形，P为射线BM上一动点，连结CP，将CP绕点C顺时针方向旋转90°得CE，连结BE，若AB＝，则BE的最小值为________． 三、解答题（本题共6小题，共52分） 17.已知：如图，在中，，平分，，，垂足分别为E、F，求证：四边形是正方形． 18.如图，将一边长为12的正方形纸片的顶点A折叠至边上的点E，使，若折痕为，求的长． 19.已知：如图，在中，的平分线相交于点D，，垂足分别为E，F．求证：四边形是正方形． 20.如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作，交延长线于点F，以，为邻边作平行四边形，连接． （1）求证：四边形是正方形． （2）求证：； 21.如图，四边形是正方形，是等腰三角形，，．连接，过B作于F，连接，． （1）若，求的度数； （2）当变化时，的大小会发生变化吗?请说明理由； （3）试用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 22.已知：正方形中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点，．当绕点A旋转到时（如图1），易证． （1）当绕点A旋转到时（如图2），线段，和之间有怎样的数量关系？ 请直接写出猜想：________________________． （2）当绕点A旋转到如图3的位置时，线段，和之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． （3）图3中若，，求的面积． 答案解析 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.下列性质中，正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 四条边相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 【答案】C 2.如图，已知四边形是平行四边形，下列结论不正确的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 【答案】D 3.下列判断正确是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 两组邻边相等的四边形是平行四边形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 有一个角是直角的平行四边形是正方形 【答案】C 4.如图，在菱形中，对角线，相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】A 5.如图，在正方形中，O是的中点，过点O作于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 6.在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（﹣3，0），则点C到y轴的距离是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 7.如图，边长为6的正方形内部有一点P，，，点Q为正方形边上一动点，且是等腰三角形，则符合条件的Q点有 （ ）个． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 8.如图，在矩形中，，，点在边上，且，为边上的一个动点，连接，以为边作正方形，且点在矩形内，连接，则的最小值为( )． A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.一个正方形的对角线长为2，则其面积为_____． 【答案】2 10.正方形绕着它的中心至少旋转__________度能与自身重合． 【答案】90 11.如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC，AE交CD于点F，则∠E=_____ 【答案】22.5 ° 12.如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝________． 【答案】1 13.如图，直线、、分别过正方形的三个顶点A，B，D，且相互平行，若与的距离为1，与的距离为1，则该正方形的面积是_______． 【答案】5 14.如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，过P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，若PE＝1，PF＝2，则AP＝_____． 【答案】 15.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上且BE=1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为________ 【答案】6 16.如图，已知∠MON＝30°，B为OM上一点，BA⊥ON于A，四边形ABCD为正方形，P为射线BM上一动点，连结CP，将CP绕点C顺时针方向旋转90°得CE，连结BE，若AB＝，则BE的最小值为________． 【答案】 三、解答题（本题共6小题，共52分） 17.已知：如图，在中，，平分，，，垂足分别为E、F，求证：四边形是正方形． 【答案】∵，，， ∴四边形是矩形． 又∵平分，，， ∴， ∴四边形是正方形． 18.如图，将一边长为12的正方形纸片的顶点A折叠至边上的点E，使，若折痕为，求的长． 【答案】如图：过点P作于点M， 由折叠得到， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19.已知：如图，在中，的平分线相交于点D，，垂足分别为E，F．求证：四边形是正方形． 【答案】过D作， ∵，， ∴四边形是矩形， ∵的平分线相交于点D，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 20.如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作，交延长线于点F，以，为邻边作平行四边形，连接． （1）求证：四边形是正方形． （2）求证：； 【答案】(1)过点E作于点Q，作于点P，如图所示： 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为菱形， ∵， ∴四边形为正方形． (2)证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 21.如图，四边形是正方形，是等腰三角形，，．连接，过B作于F，连接，． （1）若，求的度数； （2）当变化时，的大小会发生变化吗?请说明理由； （3）试用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）当变化时，的大小不变，理由如下： ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）线段与的数量关系为，理由如下： 过C作交延长线于G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴ 由（2）知，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 22.已知：正方形中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点，．当绕点A旋转到时（如图1），易证． （1）当绕点A旋转到时（如图2），线段，和之间有怎样的数量关系？ 请直接写出猜想：________________________． （2）当绕点A旋转到如图3的位置时，线段，和之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． （3）图3中若，，求的面积． 【答案】（1） （2）， 证明如下：如图3，在上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴，， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴的面积为：， ∴． 即的面积为． ( 第 1 页 共 6 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$