27.2.2 相似三角形的性质 教案 2024--2025学年人教版九年级数学下册

第二十七章 相似 第 6 课时 相似三角形的性质 【教学目标】 1. 能探索相似三角形性质的证明过程，理解相似三角形的性质，并能运用相似三角形的性质计算有关角，边，周长和面积问题。 2. 经历观察——猜想——论证——归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度。 3. 掌握初步的逻辑推理及类比的思维方法，感受从一般到特殊的认知规律，通过主动探索，体验成功的喜悦。 【教学重难点】 教学重点是相似三角形性质定理的探索及应用； 教学难点是相似三角形性质的归纳推理，特别是面积之间的关系，并且注意“相似比”与“相似比的平方”的区分。 . 【教学过程】 教学环节 教学内容 设计意图 导入新课 （一） 情景引入 隔壁老王有一块三角形的土地，如图所示，△ABC，DE∥ BC， DE:BC=2:3.老王决定把这块土地分给他的两个儿子，大王和 小王. 四边形 DBCE 的面积会比△ADE 的面积大吗？如果会，那么会大多少呢？ 提问导入，引起学生注意与好奇心，明确学习目标. 环节一导入 今天我们就要通过学习相似三角形的性质来帮助小王解决 这个问题. （二）温故知新 复习相似三角形的定义，通过谈话给学生建立起新旧知识的联系，从而引出新课. 根据相似三角形的定义，我们知道相似三角形的对应角相 等，对应边成比例. 而三角形中有各种各样的几何量，除了三条边的长度，三个 内角的度数，还有高，中线，角平分线的长度，以及周长， ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 面积等. 那么同学们，如果两个三角形相似，它们的这些几何量之间 有什么关系呢? 观察 1：如图，已知△𝐴�∽△�'�'�'，相似比为1，��，�'�' 2 分别为△𝐴�和△�'�'�'的高. 𝐴 1 那么对应高的比:�'�' = 2 . 猜想 1： 相似三角形对应高的比等于相似比. 观察 2：如图，已知△𝐴�∽△�'�'�'，相似比为1，��，�'�' 2 分别为△𝐴� 和△�'�'�' 的 中线. 𝐴 1 那么对应中线的比:�'�' = 2 . 猜想 2： 相似三角形对应中线的比等于相似比. 观察 3： 如图，已知△𝐴�∽△�'�'�'，相 似比为1，𝐴，�'�'分别为△𝐴� 2 和△�'�'�'的角平分线. 𝐴 1 那么对应角平分线的比:�'�' = 2 . 猜想 3 相似三角形对应角平分线的比等于相似比. 引学生通过观察动画，猜想 相似三角形对应高的比与相 似比的关系. 引导学生通过观察动画，猜 想相似三角形对应中线的比 与相似比的关系. 环节二 观察与猜 想 引导学生通过观察动画，猜 想相似三角形对应中线的比 与相似比的关系. 推理论证 1：如图，△ �'�'�'∽ △ 𝐴�，相似比为 k， 引导学生进行猜想 1 的推理论证，证明相似三角形对应高的比等于相似比，培养学生逻辑推理的能力。 分别作�'�'，��上的高 A'D'，AD.求证 A'D' 环节三推理论证 AD =k. 证明：∵△A'B'C'∽△ABC， ∴∠B'=∠B． ∵ A'D'，AD 分别为�'�'，��上的高， ∴∠A'D'B'=∠ADB =90°， ∴△A'B'D'∽△ABD. A'D' A'B' ∴ AD = AB =k. 推理论证 2：已知△ABC∽△DEF,AM,DN 分别为 △ABC 和△DEF 的中线.求证： AM = AB. DN DE 证明：∵△ABC∽△DEF, ∴∠B=∠E, BC = AB. EF DE 又∵AM,DN 分别是△ABC 和△DEF 的中线, ∴BC=2BM,EF=2EN. ∴ BC = BM, EF EN ∴ AB = BM, DE EN ∴△ABM∽△DEN. ∴AM = AB . DN DE 推理论证 3：已知△ABC∽△DEF,AM,DN 分别为△ABC 和 △DEF 的角平分线.求证： AM = AB. DN DE 证明：∵△ABC∽△DEF, ∴∠B=∠E,∠BAC=∠EDF. 又∵AM,DN 分别是∠BAC 和∠EDF 的角平分线, ∴∠BAM=1∠BAC,∠EDA=1 2 2 ∠EDF. ∴∠BAM=∠EDN. ∴△AMB∽△DNE. ∴ AM = AB. DN DE 归纳 由此我们可以得到： 相似三角形对应高的比等于相似比. 引导学生进行猜想 2 的推理 论证，证明相似三角形对应 中线的比等于相似比，培养 学生逻辑推理的能力。 让学生根据猜想 1 的证明方 法，类比推理，从而证明相 似三角形角平分线的比等于 相似比；培养学生类比数学 思想，引导学生自主探索， 应用旧知来证明新结论。 相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比. 一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比. 通过对猜想的论证，最后作总结归纳，得出相似三角形的性质. 思考1：我们前面得到相似三角形对应线段的比等于相似比，那么相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？ 解：如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为 k，那么 AB = BC = CA =k， A'B' B'C' C'A' 因此 AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'， 从而 AB+BC+CA = kA'B'+kB'C'+kC'A'=k. A'B'+B'C'+C'A' A'B'+B'C'+C'A' 于是得到：相似三角形周长比等于相似比. 思考 2 ：如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们的面积比是多少？ 由前面的结论，我们有 1 S△ABC BC∙AD BC AD = 12 = ∙ = k∙k = �2. S△A'B'C' B'C'∙A'D' B'C' A'D' 2 于是得到：相似三角形的面积比等于相似比的平方. 让学生自主探索，应用旧知 来证明相似相似三角形周长 的比等于相似比。 环节四 自主探究 让学生自主探索，应用旧知 来证明相似相似三角形面积 的比等于相似比的平方. 环节五 例题讲解 例 1.如图，在△ABC 和△DEF 中，AB=2DE，AC=2DF， ∠A=∠D.若△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 12 5， 通过例题巩固相似三角形的 判定与相似三角形的性质综 求△DEF 的边 EF 上的高和面积. 解：在△ABC和△DEF中, ∵AB=2DE，AC=2DF, DE = DF = 1 . ∴ AB AC 2 又∵∠D=∠A, 1 ∴△DEF∽△ABC，△DEF 与△ABC 的相似比为 . 2 ∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 12 5， 1 ∴△DEF 的边 EF 上的高为2×6=3. 面积为( 1 )2×12 5=3 5. 2 合应用. 环节六现学现用 老李有一块三角形的土地，如图所示：△ABC，DE∥BC， DE:BC=2:3,他决定把这块土地分给他的两个儿子，大李和小 李. 四边形 DBCE 的面积会比△ADE 的面积大吗？如果会，那么会大多少呢？ 解：∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC. S△𝐴� = ( �� )2 2 2 4 ∴ =( ) = 9 S△𝐴� �� 3 4 5 ∴ S△𝐴�= 9 S△𝐴� , S 四 边 形 ���� = 9 S△𝐴�. 1 ∴四边形 DBCE 的面积比△ADE 的面积大,大了9 S△ABC. 让学生应用新学习的知识解决导入设疑的问题，从而让他们感受到通过应用数学知识解决实际问题的成功，从而提升学习兴趣. 环节七 1.△ABC 与△A'B'C'的相似比为 3:4，若 BC 边上的高 AD＝ 巩固练习 12 cm，则 B'C'边上的高 A'D'＝ . 练习的设计由浅入深，通过 解：16 cm. 练习巩固新学的知识. 2. 如图，在▱ABCD 中，AB＝6，BC＝9，∠ABC，∠BCD 的角平分线分别交 AD 于 E 和 F，BE 与 CF 交于点 O， 则△EFO 与△BCO 面积之比是 . 答案为：1. 9 3.如图，菱形 ABCD 中，AB＝5，S 菱形 ABCD＝24，E 为 AD 上一点，且 AE＝1，连接 BE，AC 交于点 F，过点 F 作 FG⊥BC 于点 G，则 FG 的长为 ． 答案为：4. 环节七课堂小结 小结：相似三角形有哪些性质？ 相似三角形对应角相等，对应边成比例. 相似三角形对应线段的比等于相似比. 相似三角形周长的比等于相似比. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 帮助学生归纳总结，巩固所学知识,形成知识网络. 环节八 见课后作业文件 通过课后练习，让学生巩固 布置作业 知识 $$