微专题5-2 导数的运算11种常考题型总结-2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册）

2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 微专题5-2 导数的运算11种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 利用导数公式求函数的导数 题型2 求函数的和、差、积、商的导数 题型3 求复合函数的导数 题型4 求某点处的导数值 题型5 求切线的斜率（倾斜角）与方程 题型6 利用导数求过某点处的切线方程 题型7 利用导数公式求切点坐标问题 题型8 切线平行、垂直问题 题型9 公切线问题 题型10 与切线有关的最值问题 题型11 与切线有关的综合问题 知识点1 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 1 （常数的导数为0） 2 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝n·xn－1 （熟记） 3 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x 4 f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x 5 f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝axln a 6 f(x)＝ex f′(x)＝ex 7 f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝ 8 f(x)＝ln x f′(x)＝ 注：①对于根式f(x)＝，要先转化为f(x)＝，所以f′(x)＝. ②区分公式的结构特征，既要从纵的方面(lnx)′与(logax)′和(ex)′与(ax)′区分，又要从横的方面(logax)′与(ax)′区分及(ax)′与(xα)′区分，找出差异记忆公式． ③公式(logax)′记不准时，可以直接用(lnx)′推导：(logax)′＝′＝(lnx)′＝. 知识点2 导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； 证明：设f(x)、g(x)都是可导函数， F(x)＝f(x)＋g(x) 则＝ ＝＋， ∴ ＝ ＋ ＝f ′(x)＋g′(x)， 注： 函数和与差的导数运算法则可推广到任意有限个可导函数的和(或差)． 即：′＝f ′1(x)±f ′2(x)±…±f ′n(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；（前导后不导+前不导后导） 证明：设f(x)、g(x)都是可导函数，G(x)＝f(x)·g(x)， ＝ ＝ ＝＋， ∴ ＝g(x)·f ′(x)＋f(x)·g′(x)． 注： (3)＝(g(x)≠0)． （分子：上导下不导-上不导下导，分母变平方） 注： 知识点3 复合函数的导数 （1）复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作． 注：若f(x)与g(x)均为基本初等函数，则函数y＝f(g(x))或函数y＝g(f(x))均为复合函数． （2）复合函数的求导法则 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 注：（1）要分清楚每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆，常出现如下错误：，实际上应是 （2）对于含有参数的函数，要分清楚哪个字母是变量，哪个字母是参数，参数是常量，其导数为零。 知识点4 导数计算的原则和方法 （1）导数计算的原则： 先化简解析式，再求导． （2）导数计算的方法： ①连乘积形式：多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便． ②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； ③对数形式：先化为和、差的形式，再求导； ④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导； ⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导. ⑥绝对值形式：先化为分段函数，再求导 ⑦复合函数求导:先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元． 解题策略1：求切线方程 1.求曲线“在”点处的切线方程： 第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2.求曲线“过”点处的切线方程 第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 解题策略2：导函数的常用结论 1、奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数． 2、函数的导数反映了函数的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小反映了变化的快慢，越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 题型1 利用导数公式求函数的导数 【例1】求下列函数的导数． (1)；(2)；(3)y＝x14；(4)y＝；(5)y＝；(6)y＝()x (7)；(8)y＝cosx；【变式1】【多选】下列求导运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数及其导数，若存在使得则称是的一个“巧值点”，给出下列四个函数：（1） ；（2）  ；（3）  ；（4）； 其中没有“巧值点”的函数是（        ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【变式3】【多选】下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型2 求函数的和、差、积、商的导数 【例2】求下列函数的导数． (1)y＝x4－3x2－5x＋6；(2)y＝3xex－2x＋e;(3)y＝3＋4.(4)y＝(3x5－4x3)(4x5＋3x3) (5)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(6)y＝(1－)；（7）y＝xcos x－sin x；(8)y=x2cos x (9)y＝tan x；(10)y＝x·tanx；(11)y＝；(12)y＝ 【变式1】求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)： 【变式2】求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型3 求复合函数的导数 【例3】已知函数，则 . 【变式1】已知某函数的导数为，则这个函数可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2】求下列函数的导数： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【变式3】已知函数，则 . 题型4 求某点处的导数值 【例4】已知函数的导函数为，且满足，则（    ） A．1 B． C． D．0 【变式1】已知，则 ． 【变式2】已知函数，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式3】若函数，则 . 题型5 求切线的斜率（倾斜角）与方程 【例5】曲线f(x)＝x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为(　　) A. B. C. D. 【变式1】【多选】已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值可以是(　　) A. B. C. D. 【变式2】曲线在点处的切线方程为 ． 【变式3】已知函数，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4】曲线在点处的切线方程为 ． 【变式5】已知为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 题型6 利用导数求过某点处的切线方程 【例6】若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【变式1】曲线过点的切线方程为 . 【变式2】过点作曲线的切线，则切线方程为 ． 【变式3】过点作两条直线与曲线（e是自然对数的底数）相切，切点的横坐标分别为，，则的值为（    ） A．e B．e C．3 D．3 【变式4】过原点可以作曲线的两条切线，则这两条切线方程为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型7 利用导数公式求切点坐标问题 【例7】【多选】曲线的一条切线平行于直线，则切点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知直线和曲线相切，则切点坐标为 ，实数a的值为 ． 【变式2】已知直线和曲线相切，求a的值及切点坐标． 【变式3】函数的图像在点处的切线为，则实数的值为 ，切点的坐标为 ． 题型8 切线平行、垂直问题 【例8】若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【变式1】已知函数.若曲线在点处的切线与其在点处的切线相互垂直，则的一个取值为 . 【变式2】若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．－4 B．－3 C．4 D．3 【变式3】与曲线和都相切的直线与直线垂直，则=（ ） A．-8 B．-3 C．4 D．6 【变式4】若曲线在点处的切线与直线平行，则 . 题型9 公切线问题 【例9】已知函数的图象与函数（且）的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为 . 【变式1】若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知直线是曲线和的公切线，则实数a= ． 【变式3】函数与函数公切线的斜率为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式4】若曲线与曲线存在公共切线，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型10 与切线有关的最值问题 【例10】点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离． 【变式1】曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是(　　) A. B. C．1 D．2 【变式2】已知a，b为正实数，直线y=x－a与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0，y0)，则的最小值是_______________. 题型11 与切线有关的综合问题 【例11】已知动点在圆上，动点Q在曲线上．若对任意的，恒成立，则的最大值是 ． 【变式1】过点作曲线的切线有且只有两条，切点分别为，，则 . $$2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 微专题5-2 导数的运算11种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 利用导数公式求函数的导数 题型2 求函数的和、差、积、商的导数 题型3 求复合函数的导数 题型4 求某点处的导数值 题型5 求切线的斜率（倾斜角）与方程 题型6 利用导数求过某点处的切线方程 题型7 利用导数公式求切点坐标问题 题型8 切线平行、垂直问题 题型9 公切线问题 题型10 与切线有关的最值问题 题型11 与切线有关的综合问题 知识点1 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 1 （常数的导数为0） 2 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝n·xn－1 （熟记） 3 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x 4 f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x 5 f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝axln a 6 f(x)＝ex f′(x)＝ex 7 f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝ 8 f(x)＝ln x f′(x)＝ 注：①对于根式f(x)＝，要先转化为f(x)＝，所以f′(x)＝. ②区分公式的结构特征，既要从纵的方面(lnx)′与(logax)′和(ex)′与(ax)′区分，又要从横的方面(logax)′与(ax)′区分及(ax)′与(xα)′区分，找出差异记忆公式． ③公式(logax)′记不准时，可以直接用(lnx)′推导：(logax)′＝′＝(lnx)′＝. 知识点2 导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； 证明：设f(x)、g(x)都是可导函数， F(x)＝f(x)＋g(x) 则＝ ＝＋， ∴ ＝ ＋ ＝f ′(x)＋g′(x)， 注： 函数和与差的导数运算法则可推广到任意有限个可导函数的和(或差)． 即：′＝f ′1(x)±f ′2(x)±…±f ′n(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；（前导后不导+前不导后导） 证明：设f(x)、g(x)都是可导函数，G(x)＝f(x)·g(x)， ＝ ＝ ＝＋， ∴ ＝g(x)·f ′(x)＋f(x)·g′(x)． 注： (3)＝(g(x)≠0)． （分子：上导下不导-上不导下导，分母变平方） 注： 知识点3 复合函数的导数 （1）复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作． 注：若f(x)与g(x)均为基本初等函数，则函数y＝f(g(x))或函数y＝g(f(x))均为复合函数． （2）复合函数的求导法则 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 注：（1）要分清楚每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆，常出现如下错误：，实际上应是 （2）对于含有参数的函数，要分清楚哪个字母是变量，哪个字母是参数，参数是常量，其导数为零。 知识点4 导数计算的原则和方法 （1）导数计算的原则： 先化简解析式，再求导． （2）导数计算的方法： ①连乘积形式：多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便． ②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； ③对数形式：先化为和、差的形式，再求导； ④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导； ⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导. ⑥绝对值形式：先化为分段函数，再求导 ⑦复合函数求导:先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元． 解题策略1：求切线方程 1.求曲线“在”点处的切线方程： 第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2.求曲线“过”点处的切线方程 第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 解题策略2：导函数的常用结论 1、奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数． 2、函数的导数反映了函数的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小反映了变化的快慢，越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 题型1 利用导数公式求函数的导数 【例1】求下列函数的导数． (1)；(2)；(3)y＝x14；(4)y＝；(5)y＝；(6)y＝()x (7)；(8)y＝cosx； 【解析】(1)∵y＝e0＝1，∴y′＝0. (2)y′＝－2·x－3＝－. (3)y′＝(x14)′＝14x13. (4)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－. (5)y′＝()′＝()′＝＝ . (6)y′＝[()x]′＝()x·ln＝－()xln3. (7)y′＝(log3x)′＝. (8)y′＝(cosx)′＝－sinx. 【变式1】【多选】下列求导运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，，A错误，故A满足题意； 对于B，，B错误，故B满足题意； 对于C，，C正确，故C不满足题意； 对于D，，D错误，故D满足题意. 故选：ABD. 【变式2】已知函数及其导数，若存在使得则称是的一个“巧值点”，给出下列四个函数：（1） ；（2）  ；（3）  ；（4）； 其中没有“巧值点”的函数是（        ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【答案】A 【分析】根据题意利用“巧值点”的定义及方程解的情况判断即可. 【详解】对于，，不存在“巧值点”； 对于，，令可得或，有“巧值点”； 对于，，令， 因为与的图象有一个公共点，所以有解，有“巧值点”； 对于，，令，可知是的一个解，有“巧值点”. 故选：A 【变式3】【多选】下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】对于A，因为是常数函数，所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，则，故D正确. 故选：ACD. 题型2 求函数的和、差、积、商的导数 【例2】求下列函数的导数． (1)y＝x4－3x2－5x＋6；(2)y＝3xex－2x＋e;(3)y＝3＋4.(4)y＝(3x5－4x3)(4x5＋3x3) (5)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(6)y＝(1－)；（7）y＝xcos x－sin x；(8)y=x2cos x (9)y＝tan x；(10)y＝x·tanx；(11)y＝；(12)y＝ 【解析】(1)y′＝(x4－3x2－5x＋6)′＝(x4)′－(3x2)′－(5x)′＋6′＝4x3－6x－5. (2)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xln 3·ex＋3xex－2xln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2. (3)y′＝(3＋4)′＝(3x)′＋(4x)′＝4＋6＝4＋6. (4)解法1：y′＝(3x5－4x3)′(4x5＋3x3)＋(3x5－4x3)(4x5＋3x3)′＝(15x4－12x2)(4x5＋3x3)＋(3x5－4x3)(20x4＋9x2)＝60x9－48x7＋45x7－36x5＋60x9－80x7＋27x7－36x5＝120x9－56x7－72x5. 解法2：∵y＝12x10－7x8－12x6 ∴y′＝120x9－56x7－72x5. (5)解法1：y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′ ＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11； 解法2：∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11； (6)因为y＝(1－)＝－＝x－－x，所以y′＝(x－)′－(x)′＝－x－－x－. (7)y′＝(xcos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x. (8)＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2xcos x－x2sin x． (9)y′＝＝. (10)y′＝(x·tanx)′＝′＝＝＝. (11)解法1：y′＝′＝＝＝； 解法2：∵y＝＝＝1－，∴y′＝′＝′＝. (12)y′＝′＝＝＝. 【变式1】求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)： 【答案】(1) (2)； (3) 【详解】（1）解：因为， 所以； （2）解：因为， 所以； （3）解：因为， 所以. 【变式2】求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1）方法一：， ∴； 方法二： ； （2）， ∴； （3） ； （4） ． 题型3 求复合函数的导数 【例3】已知函数，则 . 【答案】 【详解】函数，求导得， 所以. 故答案为： 【变式1】已知某函数的导数为，则这个函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，函数可以看作和的复合函数， ∴，符合题意； 对于B，，∴，不符合题意； 对于C，可以看作和的复合函数， ∴，不符合题意； 对于D，，∴，不符合题意． 故选：A. 【变式2】求下列函数的导数： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【解析】（1）因为，所以 （2）因为，所以 （3）因为，所以 （4）因为，所以 （5）因为，所以 （6）因为，所以 【变式3】已知函数，则 . 【答案】 【分析】先求导，然后再求. 【详解】由导数的运算可知，，. 故答案为： 题型4 求某点处的导数值 【例4】已知函数的导函数为，且满足，则（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【分析】已知函数的导函数为，利用求导公式对进行求导，再把代入，即可求解． 【详解】函数的导函数为，且满足， ，把代入可得， 解得． 故选：C． 【变式1】已知，则 ． 【答案】 【分析】求导后代入计算即可； 【详解】由题意得，所以. 故答案为：. 【变式2】已知函数，则的值为（ ） A． B． C． D． 【解析】因为 所以 所以 故选：B 【变式3】若函数，则 . 【答案】 【详解】对求导，得， 所以，解得， 所以，将代入，可得. 故答案为： 题型5 求切线的斜率（倾斜角）与方程 【例5】曲线f(x)＝x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为(　　) A. B. C. D. 【解析】因为f′(x)＝x2－2x，k＝f′(1)＝－1，所以在x＝1处的切线的倾斜角为.故选B 【变式1】【多选】已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值可以是(　　) A. B. C. D. 【解析】因为y＝， 所以y′＝＝＝. 因为ex>0，所以ex＋≥2(当且仅当x＝0时取等号)， 所以y′∈[－1,0)，所以tan α∈[－1,0)． 又因为α∈[0，π)，所以α∈.故选CD 【变式2】曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【详解】由题可得，当时，， 即曲线在点处的切线斜率，所以所求切线方程为． 故答案为： 【变式3】已知函数，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，故，，所以曲线在处的切线方程为，即. 故选：D. 【变式4】曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】求出函数的导数，并求出的值，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】由，求导得，则， 解得，于是，， 所以所求切线方程为，即. 故答案为： 【变式5】已知为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为奇函数，且在处有定义， 所以，因为，所以，故， 而，得到切点为，又， 设切线斜率为，由斜率的几何意义得， 故切线方程为，化简得，故D正确. 故选：D 题型6 利用导数求过某点处的切线方程 【例6】若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】C 【详解】设切点为，由，所以，得， 所以切线方程为，即． 因为切线过点，所以，解得或， 所以过点作曲线的切线可以作2条. 故选：C 【变式1】曲线过点的切线方程为 . 【答案】或 【详解】， 因为点不在曲线上， 所以设切线的切点是，则切线的斜率， 又切线过点和， 所以， 所以， 化简得， 因为，所以或. 所以，或， 所以所求切线方程是或， 即或. 故答案为：或. 【变式2】过点作曲线的切线，则切线方程为 ． 【答案】 【详解】因为点不在曲线上，设切点，且，则，① 又，则切线斜率为，② 由①②解得，，所以，切线的斜率为， 切线方程为，即. 故答案为：. 【变式3】过点作两条直线与曲线（e是自然对数的底数）相切，切点的横坐标分别为，，则的值为（    ） A．e B．e C．3 D．3 【答案】C 【详解】由，得， 设切点坐标为，则切线斜率为，所以切线方程为. 因为点在切线上，所以，即， 结合题意，则，是上述方程的根，所以根据韦达定理得. 故选：. 【变式4】过原点可以作曲线的两条切线，则这两条切线方程为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【详解】由，得为偶函数， 故过原点作的两条切线一定关于y轴对称． 当时，，则， 设切点为，故，解得或（舍）， 所以切线斜率为1，从而切线方程为． 由对称性知：另一条切线方程为． 故选：A 题型7 利用导数公式求切点坐标问题 【例7】【多选】曲线的一条切线平行于直线，则切点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】设点，因为，则， 由题意可知：，解得， 当时，，此时点的坐标为； 当时，，此时点的坐标为； 故选：AB. 【变式1】已知直线和曲线相切，则切点坐标为 ，实数a的值为 ． 【答案】 【详解】设直线与曲线相切于点， 则 ， 故，解得或， 当时，；当时，. 切点坐标为或． 当切点为时，有，故（舍去）． 当切点为时，有，故， 因此切点坐标为，的值为. 故答案为：； 【变式2】已知直线和曲线相切，求a的值及切点坐标． 【答案】当时，切点坐标为；当时，切点坐标为． 【详解】设直线l与曲线C相切于点， 因为函数，可得，所以， 由题意得，解得或，所以切点的坐标为或， 当切点的坐标为时，有，解得． 当切点的坐标为（2，3）时，有，解得， 所以当时，切点坐标为；当时，切点坐标为. 【变式3】函数的图像在点处的切线为，则实数的值为 ，切点的坐标为 ． 【答案】 【详解】由题意得：， 设直线与相切于点，， 又直线恒过点，， ，解得：， ，切点 故答案为：；. 题型8 切线平行、垂直问题 【例8】若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】由，求导， 则在点处的切线的斜率为， 而在点处的切线与直线垂直, 则，故. 故选：D 【变式1】已知函数.若曲线在点处的切线与其在点处的切线相互垂直，则的一个取值为 . 【答案】(答案不唯一) 【详解】，由题意可知，， 即，所以，得，，， 或，得，，， 所以，，, 所以的一个取值为. 故答案为：(答案不唯一) 【变式2】若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．－4 B．－3 C．4 D．3 【答案】D 【详解】因为，所以， 当时，， 所以曲线在点处的切线的斜率等于3， 所以直线的斜率等于， 即，解得， 故选:D. 【变式3】与曲线和都相切的直线与直线垂直，则=（ ） A．-8 B．-3 C．4 D．6 【答案】A 【详解】因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为2， 设直线与相切于， 因为，所以，解得，故直线与相切于， 设直线与相切于， 因为，则，解得，则， 所以直线的方程为，即， 在直线上，则，解得. 故选：A. 【变式4】若曲线在点处的切线与直线平行，则 . 【答案】 【详解】由题意知，令，则 ，， ， 所以点在曲线上， ， ， ，， ， 所以， 又曲线在点处的切线与直线平行， 所以，得. 故答案为：. 题型9 公切线问题 【例9】已知函数的图象与函数（且）的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为 . 【答案】 【详解】设公共点为，即可得到，再由导数的几何意义得到，从而求出，即可求出切点坐标，从而求出，再求出切线方程. 【详解】解：因为函数与的图象关于直线对称， 所以与互为反函数，所以， 则．由，得， 设直线与函数的图象的切点坐标为， 与函数的图象的切点坐标为， 则直线的斜率，故， 显然，故， 所以直线的倾斜角为， 故选：B． 【变式1】若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出曲线在点处的切线方程,设切线与曲线的切点为，通过导数分别写出切线方程，由两条切线重合得出方程，再通过此方程有解得出结果. 【详解】的导数，令，则， 所以曲线在处的切线方程为， 即 的导数，设直线与曲线切于点， 则曲线在点处的切线方程为， 即，所以解得． 故选：D 【变式2】已知直线是曲线和的公切线，则实数a= ． 【答案】3 【分析】先设在上的切点，然后求出切点和切线，然后再设在上的切点，即可求出a的值. 【详解】设直线l与曲线相切于点， 由，得，因为l与曲线相切， 所以消去，得，解得． 设l与曲线相切于点，由，得，即， 因为是l与曲线的公共点， 所以消去，得，即，解得． 故答案为：3. 【变式3】函数与函数公切线的斜率为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先设切点分别为，并通过点斜式方程写出两条切线方程，根据公切线方程得，最后计算值即可. 【详解】设切点分别为， 且导数为， 所以切斜方程为既为， 也为， 所以， 且， 所以， 所以或， 所以公切线的斜率为或. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查求公切线问题，解题关键是分别在函数上设不同切点并求切线方程，根据两切线方程一样来求解公切线斜率. 【变式4】若曲线与曲线存在公共切线，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设切点，根据导数求解斜率，可得和，进而将问题转化为与函数的图象有交点，即可根据导数求解. 【详解】由得，曲线在点处的切线斜率为 由得在点处的切线斜率为， 如果两条曲线存在公共切线，那么． 又由斜率公式可得，由此得到，则有解， 所以直线与函数的图象有交点即可． 当直线与函数的图象相切时， 设切点为，则，且，得，即有切点，此时， 故实数a的取值范围是．    故选：D． 题型10 与切线有关的最值问题 【例10】点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离． 【解析】如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近． 则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex， 所以＝1，得x0＝0， 代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)． 利用点到直线的距离公式得最小距离为. 【变式1】曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是(　　) A. B. C．1 D．2 【解析】设曲线y＝xln x在点(x0，y0)处的切线与直线x－y－2＝0平行． ∵y′＝ln x＋1， ∴＝ln x0＋1＝1， 解得x0＝1， ∴y0＝0，即切点坐标为(1,0)． ∴切点(1,0)到直线x－y－2＝0的距离为d＝＝， 即曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是.故选B 【变式2】已知a，b为正实数，直线y=x－a与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0，y0)，则的最小值是_______________. 【解析】对求导得， 因为直线y=x－a与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0，y0)， 所以即， 所以，所以切点为， 由切点在切线y=x－a上可得即， 所以， 当且仅当时，等号成立. 所以的最小值是. 故答案为：. 题型11 与切线有关的综合问题 【例11】已知动点在圆上，动点Q在曲线上．若对任意的，恒成立，则的最大值是 ． 【答案】 【解析】由题意可知的圆心在直线上， 曲线，，曲线在点处的切线为，与平行； 故曲线上的动点Q到直线的最小距离为到的距离为， 因此，故n的最大值是． 故答案为：. 【变式1】过点作曲线的切线有且只有两条，切点分别为，，则 . 【答案】 【解析】由题意得， 过点作曲线的切线，设切点坐标为， 则，即， 由于，故， 因为过点作曲线的切线有且只有两条， 所以有两个解，且，即或， 所以，， 所以. 故答案为： $$