精品解析：湖南省长沙市长沙县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

八年级学业水平考试卷数学 时量：120分钟　　总分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 2. 近日，“湘潮”号主题列车正式上线长沙地铁2号线，“湘潮”号地铁列车以“非遗潮起来”为主题，采用“锦灰堆”非遗设计风格，将长沙、汕头两地的非遗元素进行融合，打造了创意满满的沉浸地铁车厢场景，下列与“非遗”相关的图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 给出如下式子：①；②；③；④，其中是分式的是（ ） A. ①②③④ B. ①③④ C. ①③ D. ①④ 4. 如图，是一个建筑工地的三角形支撑架，它的上部被一个长方形钢架遮挡，测量得，则被遮挡的的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 2024年，一款完全由中国高科技公司自主研发的处理器取得了重大突破，它成功适配了多款产品，涉及安全防护、医疗健康、运维管理等多个领域，标志着“中国芯”正迈向产业化的新阶段，这款中国芯的制程在7纳米方面取得了重大突破．数据“7纳米”相当于0.00000007米，将数据“0.000000007米”用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 一个三角形三边的长度分别为4，，9，则这个三角形的边长的长度可能是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 13 7. 美术课上，周老师和同学们一起玩折纸游戏，学生李星将三角形纸片折叠，如图所示，使得点正好落在边上的点处，折痕为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，六边形的每一个内角都相等，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 9. 下列各式，从左到右的变形，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图是一个正方形网格，每个小正方形的边长相等，我们把该网格中正方形的顶点称之为“好点”，的三个顶点都在这个正方形网格的“好点”上，在这个正方形网格图中找一个“好点”（点与点不重合），使得以点为顶点的三角形与全等，则这样的“好点”的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若分式的值为，则的取值为_____． 12. 如图是长沙的香炉洲大桥，它的桥墩设计为三角形，这种设计的原理是利用了三角形的_____． 13. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点为，则点的坐标为________． 14. 若满足，则_____． 15. 如图，在中，，于点，点是上一点，连接，，若，则线段的长度为_____． 16. 如图，为美化小区，给居民营造良好的宜居环境，某物业公司准备在如图所示的长方形的场地上，修建两条宽为的长方形甬道，剩下的其它四个区域种植花草绿化，若，，则种植花草的四个区域面积总和为_____．（用含的式子表示） 三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 分解因式： （1）； （2）4． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 人教版教材八年级数学上册给出了作一个角的角平分线的方法，内容如下： 已知：． 求作的平分线． 作法：（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点． （3）画射线，射线即为所求． 根据以上作图过程，我们来证明射线是的平分线． 证明：根据已知条件和作图过程可知，在和中， ，（推理依据：②） ，（推理依据：③） 射线即为的平分线． 由以上的作图和证明过程，回答下列问题： 问题一：证明过程中的①处应填_____； 问题二：证明过程中的②处应选（ ）； ．．．． 问题三：证明过程中的③处应填_____． 20. 计算： （1）； （2）． 21. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，直线上所有点的横坐标都是． （1）在平面直角坐标系中，作出关于直线对称的，其中点，点，点的对应点分别是点，点，点； （2）直接写出点，点，点的坐标：点（_____，_____），点（_____，_____），点（_____，_____）； （3）直接写出的长度：_____． 22. 为了加快长株潭城市群建设与发展，要在长沙和株洲两座城市之间新建一条城际铁路方便出行．铁路建成后，铁路运行里程由现在的缩短至，城际铁路的预计平均时速要比现行的平均时速快，运行时间是现行时间的． （1）设该城际铁路建成前在长沙和株洲两地运行的现行时间是小时，则该城际铁路建成后在长沙和株洲两地的运行时间是_____时（用含的式子表示）； （2）根据（1）中的设未知数，结合题意，列方程，求出该城际铁路建成后在长沙和株洲两地之间的运行时间． 23. 如图，在Rt中，，，点是边上一点且不与点重合，点是边上一点且不与点重合，的延长线交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 24. 【阅读材料】①“换元法”是我们解数学题时常用的一种方法．它主要是将一个较为复杂的表达式用一个较为简单的符号或字母代替，从而简化问题，降低难度，使问题易于解决．②例如解分式方程时，可以设，则原方程可以化为，解得，即，去分母得，所以，检验：当0时，，所以是原方程的解． 【基本应用】 （1）用换元法解方程； （2）已知x，y满足方程，结合“换元法”的解题思路，求的值． 【创新应用】 （3）结合“换元法”的思路探究分解因式． 25. 我们约定：若一个三角形中，有一个内角是另一个内角的2倍，我们就称这个三角形为“2倍角三角形”．根据约定，解答下列问题． （1）如图1，在Rt中，，若这个三角形是“2倍角三角形”，请求出另两个锐角的度数． （2）如图2，在中，点是边上一点，且，求证：是“2倍角三角形”． （3）如图3，是“2倍角三角形”，，是的角平分线，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级学业水平考试卷数学 时量：120分钟　　总分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方运算法则是解题关键，根据幂的乘方运算法则直接计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 2. 近日，“湘潮”号主题列车正式上线长沙地铁2号线，“湘潮”号地铁列车以“非遗潮起来”为主题，采用“锦灰堆”非遗设计风格，将长沙、汕头两地的非遗元素进行融合，打造了创意满满的沉浸地铁车厢场景，下列与“非遗”相关的图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 3. 给出如下式子：①；②；③；④，其中是分式的是（ ） A. ①②③④ B. ①③④ C. ①③ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了分式，形如（其中、都是整式，且中含有字母），这样的式子叫做分式，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 根据分式的定义进行解答即可． 【详解】解：下列式子：①；②；③；④，分式有①；③． 故选：C． 4. 如图，是一个建筑工地的三角形支撑架，它的上部被一个长方形钢架遮挡，测量得，则被遮挡的的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 5. 2024年，一款完全由中国高科技公司自主研发的处理器取得了重大突破，它成功适配了多款产品，涉及安全防护、医疗健康、运维管理等多个领域，标志着“中国芯”正迈向产业化的新阶段，这款中国芯的制程在7纳米方面取得了重大突破．数据“7纳米”相当于0.00000007米，将数据“0.000000007米”用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的知识，解题的关键是熟练掌握科学记数法的性质：对于绝对值小于1的数，用科学记数法表示成的形式，其中a的取值范围为：，而n的值恰好等于第一个非零数字前所有零数的个数． 【详解】， 故选：C． 6. 一个三角形三边的长度分别为4，，9，则这个三角形的边长的长度可能是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此求出第三边长的取值范围，即可得到答案． 【详解】∵三角形三边的长度分别为4，，9， ∴， ∴， ∴第三边长可能是6． 故选：C． 7. 美术课上，周老师和同学们一起玩折纸游戏，学生李星将三角形纸片折叠，如图所示，使得点正好落在边上的点处，折痕为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查翻折变换的性质，推出垂直平分是解题的关键． 由折叠得点与点B关于直线对称，则垂直平分，而点在边上，所以，可判断A正确；由可得，因为与不一定相等，所以与不一定相等，可判断B错误；的条件是，与已知条件不符，可判断C错误；的条件是，与已知条件不符，可判断D错误． 【详解】解：∵将三角形纸片折叠，点正好落在边上的点处，折痕为， ∴与点B关于直线对称， ∴垂直平分， ∴，故A正确； ∵， ∴， ∵点与点C不一定重合， ∴与不一定相等， ∴与不一定相等，故B错误； ∵， ∴的条件是，显然与已知条件不符， ∴不成立，故C错误； ∵， ∴的条件是，显然与已知条件不符， ∴不成立，故D错误． 故选：A． 8. 如图，六边形的每一个内角都相等，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和和外角和综合，根据六边形的每一个内角都相等，得到每一个外角也相等，再根据外角和为360度进行求解即可． 【详解】解：∵六边形的每一个内角都相等， ∴六边形的每一个外角都相等， ∴的度数； 故选D． 9. 下列各式，从左到右的变形，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查添括号法则及乘方的意义，掌握互为相反数的两个代数式，其乘方的符号法则是本题的解题关键． 按照添括号分法则和乘方的意义进行判断即可． 【详解】解：A、，原写法错误，不符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、，原写法正确，符合题意； D、，原写法错误，不符合题意； 故选：C． 10. 如图是一个正方形网格，每个小正方形的边长相等，我们把该网格中正方形的顶点称之为“好点”，的三个顶点都在这个正方形网格的“好点”上，在这个正方形网格图中找一个“好点”（点与点不重合），使得以点为顶点的三角形与全等，则这样的“好点”的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及全等三角形的判定，熟练掌握勾股定理是解题的关键，根据全等三角形的判定判定即可． 【详解】解：如图， ，，， ∴， 同理可得，，， ∴这样的“好点”的个数为， 故选∶． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若分式的值为，则的取值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式的值为零的条件，根据分式值为零的条件即可得到答案， 掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 如图是长沙的香炉洲大桥，它的桥墩设计为三角形，这种设计的原理是利用了三角形的_____． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，掌握三角形具有稳定性的特点并能够在生活问题中灵活应用是解决本题的关键．根据三角形具有稳定性的特点，即可获得答案． 【详解】解：长沙的香炉洲大桥，它的桥墩设计为三角形，这种设计的原理是利用了三角形的稳定性． 故答案为：稳定性． 13. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点为，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，根据关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点为， 点的坐标为， 故答案为：． 14. 若满足，则_____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式即可得出答案，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ， 得：， 故答案为：． 15. 如图，在中，，于点，点是上一点，连接，，若，则线段的长度为_____． 【答案】27 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，垂直平分线的判定与性质，先因为，于点，则，故是线段的垂直平分线，即可作答． 【详解】解：∵，于点， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 故答案为：27． 16. 如图，为美化小区，给居民营造良好的宜居环境，某物业公司准备在如图所示的长方形的场地上，修建两条宽为的长方形甬道，剩下的其它四个区域种植花草绿化，若，，则种植花草的四个区域面积总和为_____．（用含的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式与多项式的乘法法则，解题的关键是学会利用平移的知识得到剩余的四块草坪组成了一个矩形，熟练掌握多项式的混合运算法则，属于中考常考题型．将两条通道分别向上向左平移，则剩余的四块草坪组成了一个矩形：矩形的长是，矩形的宽是，根据矩形的面积公式计算即可． 【详解】由题意，可得修建后剩余草坪的面积是： 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 分解因式： （1）； （2）4． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解； （）先把通过乘法运算得，再根据完全平方公式进行因式分解即可； 本题考查了平方差公式、完全平方公式因式分解，单项式乘以多项式，熟练掌握提公因式法及公式法因式分解是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 人教版教材八年级数学上册给出了作一个角的角平分线的方法，内容如下： 已知：． 求作的平分线． 作法：（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点． （3）画射线，射线即为所求． 根据以上作图过程，我们来证明射线是的平分线． 证明：根据已知条件和作图过程可知，在和中， ，（推理依据：②） ，（推理依据：③） 射线即为的平分线． 由以上的作图和证明过程，回答下列问题： 问题一：证明过程中的①处应填_____； 问题二：证明过程中的②处应选（ ）； ．．．． 问题三：证明过程中的③处应填_____． 【答案】问题一：；问题二：；问题三：全等三角形的对应角相等． 【解析】 【分析】本题考查的是作已知角的角平分线，全等三角形的判定与性质，掌握“全等三角形的判定方法”是解本题的关键．由作图的方法可得作图依据；由，，，再利用可得，从而可得答案． 【详解】证明：根据已知条件和作图过程可知，在和中， ，（推理依据：） ，（推理依据：全等三角形的对应角相等） 射线即为的平分线． ∴问题一：证明过程中的①处应填； 问题二：证明过程中的②处应选（）； ． 问题三：证明过程中的③处应填:全等三角形的对应角相等 故答案为：；；全等三角形的对应角相等． 20. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算法则、乘法公式的知识，熟记单项式乘以多项式法则，多项式乘以多项式法则，多项式除以单项式法则的内容是解此题的关键． （1）根据分式混合运算法则进行计算即可； （2）根据整式乘法和加减运算法则、完全平方公式和平方差公式的性质进行计算即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 21. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，直线上所有点的横坐标都是． （1）在平面直角坐标系中，作出关于直线对称的，其中点，点，点的对应点分别是点，点，点； （2）直接写出点，点，点的坐标：点（_____，_____），点（_____，_____），点（_____，_____）； （3）直接写出的长度：_____． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2），， （3） 【解析】 【分析】（）根据轴对称的性质作图即可； （）根据图形写出坐标即可； （）根据图形即可求解； 本题考查了作轴对称图形，坐标与图形，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可得，，，， 故答案为：，，； 【小问3详解】 解：由图可得，， 故答案为：． 22. 为了加快长株潭城市群建设与发展，要在长沙和株洲两座城市之间新建一条城际铁路方便出行．铁路建成后，铁路运行里程由现在的缩短至，城际铁路的预计平均时速要比现行的平均时速快，运行时间是现行时间的． （1）设该城际铁路建成前在长沙和株洲两地运行的现行时间是小时，则该城际铁路建成后在长沙和株洲两地的运行时间是_____时（用含的式子表示）； （2）根据（1）中的设未知数，结合题意，列方程，求出该城际铁路建成后在长沙和株洲两地之间的运行时间． 【答案】（1）； （2）该城际铁路建成后在长沙和株洲两地之间的运行时间是小时． 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）根据铁路建成后，运行时间是现行时间的，由此列式即可； （2）根据题意，列分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：铁路建成后，运行时间是现行时间的，现行时间是小时， ∴该城际铁路建成后在长沙和株洲两地的运行时间是时， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴（小时）， ∴该城际铁路建成后在长沙和株洲两地之间的运行时间为小时． 23. 如图，在Rt中，，，点是边上一点且不与点重合，点是边上一点且不与点重合，的延长线交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，外角的性质． （1）先由直角三角形的性质得，再由等边对等角得，进而得，即可得出结论； （2）先由等腰直角三角形的性质得，再利用外角的性质得，再结合（1）的结论得，最后根据外角的性质得，即可求出的度数． 【小问1详解】 证明：在中，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：在中，， ， ， 由（1）得，， ， ． 24. 【阅读材料】①“换元法”是我们解数学题时常用的一种方法．它主要是将一个较为复杂的表达式用一个较为简单的符号或字母代替，从而简化问题，降低难度，使问题易于解决．②例如解分式方程时，可以设，则原方程可以化为，解得，即，去分母得，所以，检验：当0时，，所以是原方程的解． 【基本应用】 （1）用换元法解方程； （2）已知x，y满足方程，结合“换元法”的解题思路，求的值． 【创新应用】 （3）结合“换元法”的思路探究分解因式． 【答案】（1），过程见解析；（2）6；（3）． 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，解一元二次方程，因式分解，熟练掌握换元法是解题的关键． （1）设，利用换元法求解即可； （2）设，利用换元法求解即可； （3），利用换元法进行因式分解即可． 【详解】解：（1）设，则原方程可以化为，解得， ，去分母得， 解得，检验：当时， 是原方程的解． （2）设，则原方程可以化为， 即， ， ． （3）设，则原式 故原式． 25. 我们约定：若一个三角形中，有一个内角是另一个内角的2倍，我们就称这个三角形为“2倍角三角形”．根据约定，解答下列问题． （1）如图1，在Rt中，，若这个三角形是“2倍角三角形”，请求出另两个锐角的度数． （2）如图2，在中，点是边上一点，且，求证：是“2倍角三角形”． （3）如图3，是“2倍角三角形”，，是的角平分线，求证：． 【答案】（1）或； （2）见解析； （3）见解析． 【解析】 【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，正确地理解新定义“2倍角三角形”是解题的关键． （1）根据是“2倍角”，或者一个锐角是另一个锐角的2倍，且两个锐角的和为得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形外角的性质得到，得到是“2倍角三角形”； （3）延长至点，使得，连接．则， 已知，故．可得．故， 将两边平方得：．于是得到结论， 【小问1详解】 解：情形一：若是“2倍角”，则另一个锐角的度数为，故另两个锐角的度数是； 情形二：若中一个锐角是另一个锐角的2倍，且两个锐角的和为，故另两个锐角的度数是． 综上所述，另两个锐角的度数为或． 【小问2详解】 证明：， ，． ， ． 是“2倍角三角形”． 【小问3详解】 证明：如图，延长至点，使得，连接． 则． ， ． 是的角平分线， ． 在和中， ． ． ， 将两边平方得：． 整理得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $