第三章 概率初步 知识归纳与题型突破（八类题型清单）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（北师大版2024）

第三章 概率初步（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 要点一：事件类型 必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. 不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. 不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）. 说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件. （2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①  必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1； ②  不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0； ③  如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1 要点二：概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 2. 求概率方法： （1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。 （2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 （3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 要点三：频率与概率 1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数 2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率 3、一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率 会稳定在某个常数p附近 ，那么，这个常数p就叫作事件A的概率 ，记为P（A）=P 。 03 题型归纳 题型一　事件类型 【典例1】（23-24七年级下·山西运城·期末）下列事件中，必然事件是（   ） A．明年“雨水”时节会下雨 B．任意买一张电影票，座位号是奇数 C．从地面向上踢出的足球会落下 D．任意掷一枚图钉，钉帽朝下 巩固训练 1．（23-24七年级下·山东青岛·期末）下列说法正确的是（   ） A．“400人中有两人生日在同一天”是随机事件 B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 C．“长度为，，的三条线段可以构成三角形”是必然事件 D．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数一定是质数 2．（23-24七年级下·山东淄博·期末）下列事件是必然事件的是（    ） A．清明时节雨纷纷 B．打开电视机，正在播动画片 C．袋中有4个黑球和2个白球，摸一次一定摸到红球 D．任意画一个三角形，其内角和一定是 3．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）下列事件中，属于不可能事件的是（    ） A．打开电视，正在播“天空课堂” B．足球运动员射门一次，球进了 C．从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到16 D．投掷一枚正六面体的骰子，掷得朝上一面的点数恰好是5 题型二　可能性大小 【典例2】（23-24七年级下·期末）下列成语所反映的事件中，发生的可能性最小的是（  ） A．水涨船高 B．守株待兔 C．瓜熟蒂落 D．水中捞月 巩固训练 1．（23-24七年级下·期末）一枚质地均匀的正方体骰子，各面上分别刻有1到6的点数，任意掷该骰子一次，下列情况出现的可能性最大的是（    ） A．面朝上的点数是2 B．面朝上的点数是偶数 C．面朝上的点数小于2 D．面朝上的点数大于2 2．（23-24七年级下·期末）不透明的袋子里装有8个小球，其中5个红色，3个蓝色，则下列说法不正确的是（    ） A．从中随机抽取1个球，抽到红色的可能性更大 B．从中随机抽取1个球，抽到红色和蓝色的可能性一样大 C．从中随机抽取6个球，一定有蓝色的 D．从中随机抽取5个球，可能都是红色的 3．（23-24七年级下·辽宁阜新·期末）下列说法正确的是（     ） A．某同学在一袋子球中连续摸了五次都是红球，那么这袋子中就都是红球 B．掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，“4点朝上”是随机事件 C．如果明天降水的概率是，那么明天有半天时间在降雨 D．几个人用抽签的方式决定电影票的归属，先抽的人得到电影票的概率大 4．（七年级下·期末）桌子上有一个不透明的盒子，其中装有形状、大小都相同的红球6个，白球4个，摸出一个球记录它的颜色，再放回去，重复30次，摸出 球的可能性大． 题型三　概率的意义 【典例3】（23-24七年级下·期末）天气预报称，明天全市的降水概率为，下列说法中正确的是（　　） A．明天全市将有的地方会下雨 B．明天全市将有的时间会下雨 C．明天全市下雨的可能性较大 D．明天全市一定会下雨 巩固训练 1．（23-24七年级下·重庆奉节·期末）下列说法正确的是（   ） A．任何数的0次幂都等于1 B．某彩票中奖率是，买100张彩票一定有一张中奖 C．两个等边三角形是全等图形 D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．成语“心想事成”描述的事件为必然事件 B．某彩票的中奖概率是，那么如果买100张彩票一定会有3张中奖 C．小明做3次掷图钉的试验，发现有2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 D．小乐做了3次掷均匀硬币的试验，结果有1次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是 题型四　几何意义 【典例4】（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图②是用图①的七巧板拼成的“龙马精神”图形，现将一个飞镖随机投掷到该图形上，则飞镖落在阴影部分的概率是 ． 巩固训练 1.（23-24七年级下·期末）如图，在圆形转盘中，指针转动时恰好落在阴影部分的概率为，则阴影部分的圆心角是 ． 2．（23-24七年级下·期末）如图，飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是 ． 题型五　概率公式 【典例5】（23-24七年级下·广东揭阳·期末）一个不透明的袋子里装有2个白球，3个红球，除颜色外，其余如材料、大小、质量等完全相同．随机从中抽出一个球，抽到红球的概率是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（2024·贵州遵义·一模）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小兰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“立春”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“立春”概率是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南·一模）象棋是起源于中国的一种棋戏，现今通行的象棋，相传为唐代牛僧孺所制，刻圆木或牙、骨为棋子三十二枚，红黑各半，黑方以将统士、象、车、马、炮各二，卒五，若从一套完整的象棋棋子中随机摸一枚棋子，则该棋子为黑马的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·江西赣州·阶段练习）如图，是某公园的进口，是不同的出口，若小贤从处进入公园，随机选择出口离开公园，则恰好从北面的出口出来的概率为 ． 题型六　列表法与树状图法 【典例6】（2023·北京·中考真题）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24七年级下·期末）河南省教育厅高度重视安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育活动．某数学兴趣小组准备了4张印有安全图标的卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面图案中没有轴对称图形的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·期末）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·期末）秦腔，别称“梆子腔”中国汉族最古老的戏剧之一，起于西周，源于西府，成熟于秦，是中国国家级非物质文化遗产之一．如图是某同学收藏的秦腔邮票，分别是《火焰驹》《三滴血》和《游西湖》，它们除正面外完全相同．把这三张邮票背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（    ） A． B． C． D． 题型七　游戏的公平性 【典例7】（23-24七年级下·陕西汉中·期末）如图，转盘被分成六个相同的扇形，并在上面依次写上数字：，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止． (1)当转盘停止时，指针指向奇数区域的概率是多少？ (2)当转盘停止时，指针指向的数小于或等于5的概率是多少？ 巩固训练 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，一个转盘被平均分成8等份，分别标有“我”“骄”“傲”“我”“是”“中”“国”“人”这8个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字． (1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是_____________，指针指向汉字的笔画数是偶数的概率是_____________； (2)小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画多于7画时小明获胜，否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平？并说明理由． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）有五张不透明的卡片，正面的数字为1，2，3，4，4，背面图案完全一样．洗匀后，背面朝上放在桌面上．请你完成下列各题． (1)随机抽取一张卡片，求抽到卡片上的数字为4的概率； (2)随机抽取一张卡片，求抽到卡片上的数字为奇数的概率； (3)小明和小亮用这五张卡片来玩游戏，小明随机抽取一张卡片，若卡片上的数字为偶数，则小明赢；若卡片上的数字为奇数，则小亮赢．这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请修改游戏规则（不改变卡片的数值和内容）使游戏公平． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）垃圾分类是建设生态文明的重要举措，为提高大家对垃圾分类的认识，某校学生会组织学生到社区服务，因名额有限，小明和小亮只能去一人，小红提出一个方法：从正面印有1，2，3，4，4，5，6，7的8张卡片（卡片除所印数字不同，其他均相同）中任取一张，抽到所印数字比4大的卡片，小明去；否则，小亮去， (1)求抽到印有4的卡片的概率； (2)你认为这个规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请说明理由并修改规则，使其对双方都公平． 4．（23-24七年级下·江西吉安·期末）某校组织篮球队，在一次定点3分投篮训练中，教练记录了一个队员的情况，制成表格如下： 投篮次数m 20 50 100 200 500 命中次数n 9 26 49 102 250 命中率 a b (1) ； ． (2)直接写出该运动员投篮命中的概率； (3)估计该运动员3分投篮24次的得分数． 题型八 用频率估计概率 【典例8】（24-25七年级下·全国·课后作业）马老师带领的数学兴趣小组做“频率的稳定性”试验时，统计某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（   ） A．掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后朝上的是正面 B．一副去掉大小王的普通扑克牌（52张，四种花色）洗匀后，从中抽出一张牌，花色是梅花 C．不透明袋子中有1个红球和4个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意取出一个球是白球 D．在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小颖随机出的是“石头” 巩固训练 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）投掷同一枚啤酒瓶盖1000次，经过统计得到“凸面向上”的频率为，则抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的频数为（　　） A．240 B．480 C．500 D．520 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）青田林业局考查一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（   ）    A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）社团课上，同学们进行了“摸球游戏”．在一个不透明的盒子里装有20个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图如图所示，经分析可以估计盒子里黑球的个数可能为 个． 4．（24-25七年级下·全国·随堂练习）为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中打捞了200条鱼，在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次试验后，试验数据如下表： 每次打捞鱼数a 20 50 100 200 300 500 每次打捞鱼中带标记的鱼数b 3 6 11 19 31 n 0.150 0.120 m 0.095 0.103 0.100 根据表中的数据，回答下列问题： (1)求表中m，n的值； (2)随机从鱼塘打捞一条鱼，估计打捞到的鱼是带标记的鱼的概率，并利用概率估计值计算这个鱼塘中约有多少条鱼． 36 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 概率初步（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 要点一：事件类型 必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. 不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. 不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）. 说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件. （2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①  必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1； ②  不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0； ③  如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1 要点二：概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 2. 求概率方法： （1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。 （2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 （3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 要点三：频率与概率 1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数 2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率 3、一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率 会稳定在某个常数p附近 ，那么，这个常数p就叫作事件A的概率 ，记为P（A）=P 。 03 题型归纳 题型一　事件类型 【典例1】（23-24七年级下·山西运城·期末）下列事件中，必然事件是（   ） A．明年“雨水”时节会下雨 B．任意买一张电影票，座位号是奇数 C．从地面向上踢出的足球会落下 D．任意掷一枚图钉，钉帽朝下 【答案】C 【分析】本题主要考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念．用到的知识点为：确定事件包括必然事件和不可能事件．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据实际情况即可解答． 【详解】解：A、明年“雨水”时节会下雨，是随机事件，故A不符合题意； B、任意买一张电影票，座位号是奇数，是随机事件，故B不符合题意； C、从地面向上踢出的足球会落下，是必然事件；故C符合题意； D、任意掷一枚图钉，钉帽朝下，是随机事件，故D不符合题意． 故选：C． 巩固训练 1．（23-24七年级下·山东青岛·期末）下列说法正确的是（   ） A．“400人中有两人生日在同一天”是随机事件 B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 C．“长度为，，的三条线段可以构成三角形”是必然事件 D．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数一定是质数 【答案】C 【分析】本题主要考查了事件的分类，等腰三角形三线合一，三角形三边关系，事熟练掌握相关概念和性质，是解题的关键 根据事件的分类，等腰三角形三线合一，三角形三边关系，逐项进行判断即可． 【详解】A． 一年365天，所以400人中肯定有两人的生日是在同一天，是必然事件，故该选项错误，不符合题意； B． 等腰三角形底边上的高、中线和顶角的平分线才互相重合，所以原说法错误，故该选项不符合题意； C．因为，，所以一定能构成三角形，所以是必然事件，故该选项是说法正确，符合题意； D．抛掷一枚硬币，可能是1、2、3、4、5、6，当是1、2、4时，就不是质数，故该选项是说法错误，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级下·山东淄博·期末）下列事件是必然事件的是（    ） A．清明时节雨纷纷 B．打开电视机，正在播动画片 C．袋中有4个黑球和2个白球，摸一次一定摸到红球 D．任意画一个三角形，其内角和一定是 【答案】D 【分析】本题考查了事件的分类，熟练掌握随机事件、必然事件的定义是解题的关键．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A、清明时节雨纷纷属于随机事件，不符合题意； B、打开电视机，正在播动画片属于随机事件，不符合题意； C、袋中有4个黑球和2个白球，摸一次一定摸到红球属于随机事件，不符合题意； D、任意画一个三角形，其内角和一定是属于必然事件，符合题意； 故选：D． 3．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）下列事件中，属于不可能事件的是（    ） A．打开电视，正在播“天空课堂” B．足球运动员射门一次，球进了 C．从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到16 D．投掷一枚正六面体的骰子，掷得朝上一面的点数恰好是5 【答案】C 【分析】本题考查事件的分类，熟知必然事件、不可能事件、随机事件的概念：必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件的分类逐项判断即可． 【详解】解：A、打开电视，正在播“天空课堂”，是随机事件，故本选项不符合题意； B、足球运动员射门一次，球进了，是随机事件，故本选项不符合题意； C、从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到16，属于不可能事件，故本选项符合题意； D、投掷一枚正六面体的骰子，掷得朝上一面的点数恰好是5，是随机事件，故本选项不符合题意； 故选：C 题型二　可能性大小 【典例2】（23-24七年级下·期末）下列成语所反映的事件中，发生的可能性最小的是（  ） A．水涨船高 B．守株待兔 C．瓜熟蒂落 D．水中捞月 【答案】D 【分析】本题考查了随机事件，必然事件，不可能事件，一般地必然事件的可能性大小为，不可能事件发生的可能性大小为，随机事件发生的可能性大小在至之间，熟练掌握在一定情况下有可能发生，有可能不发生的事件是随机事件是解题的关键． 【详解】解：、水涨船高是必然事件，故不符合题意； 、守株待兔是随机事件，故不符合题意； 、瓜熟蒂落是必然事件，故不符合题意； 、水中捞月是不可能事件，故符合题意； 故选：． 巩固训练 1．（23-24七年级下·期末）一枚质地均匀的正方体骰子，各面上分别刻有1到6的点数，任意掷该骰子一次，下列情况出现的可能性最大的是（    ） A．面朝上的点数是2 B．面朝上的点数是偶数 C．面朝上的点数小于2 D．面朝上的点数大于2 【答案】D 【分析】本题考查概率大小，涉及简单概率公式，根据选项，逐项得到相应事件的概率，比较大小即可得到答案，熟练掌握事件概率的求法是解决问题的关键． 【详解】解：A、面朝上的点数是2的概率是； B、面朝上的点数是偶数的数有2、4、6，从而得到概率是； C、面朝上的点数小于2的数有1，从而得到其概率是； D、面朝上的点数大于2的数有3、4、5、6，从而得到概率是； ， 四个选项中可能性最大的是D， 故选：D． 2．（23-24七年级下·期末）不透明的袋子里装有8个小球，其中5个红色，3个蓝色，则下列说法不正确的是（    ） A．从中随机抽取1个球，抽到红色的可能性更大 B．从中随机抽取1个球，抽到红色和蓝色的可能性一样大 C．从中随机抽取6个球，一定有蓝色的 D．从中随机抽取5个球，可能都是红色的 【答案】B 【分析】本题考查了随机事件，通过概率说明可能性大小，理解随机事件，掌握概率计算公式是解题的关键． 【详解】解：A．从中随机抽取1个球，抽到红球的概率为，抽到蓝球的概率为，结论正确，不符合题意； B．从中随机抽取1个球，抽到红球的概率为，抽到蓝球的概率为，结论错误，符合题意； C．因为只有个红球，所以从中随机抽取6个球，至少有个是蓝色的，结论正确，不符合题意； D．从中随机抽取5个球，可能都是红色的，结论正确，不符合题意； 故选：B． 3．（23-24七年级下·辽宁阜新·期末）下列说法正确的是（     ） A．某同学在一袋子球中连续摸了五次都是红球，那么这袋子中就都是红球 B．掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，“4点朝上”是随机事件 C．如果明天降水的概率是，那么明天有半天时间在降雨 D．几个人用抽签的方式决定电影票的归属，先抽的人得到电影票的概率大 【答案】B 【分析】本题主要考查了事件的分类，事件的可能性，概率的意义等等，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小，概率表示的事件发生的可能性，并不一定代表事件发生或不发生，据此求解即可． 【详解】解：A、某同学在一袋子球中连续摸了五次都是红球，那么这袋子中不一定都是红球，原说法错误，不符合题意； B、掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，“4点朝上”是随机事件，原说法正确，符合题意； C、如果明天降水的概率是，那么明天下雨的可能性是，原说法错误，不符合题意； D、几个人用抽签的方式决定电影票的归属，所有抽的人得到电影票的概率相同，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 4．（七年级下·期末）桌子上有一个不透明的盒子，其中装有形状、大小都相同的红球6个，白球4个，摸出一个球记录它的颜色，再放回去，重复30次，摸出 球的可能性大． 【答案】红 【分析】本题考查了可能性的大小，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案，关键是根据概率公式列出算式解答． 【详解】摸出红球的概率为，摸出白球的概率为， ∵， ∴摸出红球的可能性大． 故答案为：红． 题型三　概率的意义 【典例3】（23-24七年级下·期末）天气预报称，明天全市的降水概率为，下列说法中正确的是（　　） A．明天全市将有的地方会下雨 B．明天全市将有的时间会下雨 C．明天全市下雨的可能性较大 D．明天全市一定会下雨 【答案】C 【分析】本题考查概率的意义，掌握生活中常用的知识点是解题的关键．下雨的降水概率指的是下雨的可能性，据此进行解题即可． 【详解】解：天气预报称，明天全市的降水概率为，则代表明天全市下雨的可能性较大， 故C说法正确， 故选：C． 巩固训练 1．（23-24七年级下·重庆奉节·期末）下列说法正确的是（   ） A．任何数的0次幂都等于1 B．某彩票中奖率是，买100张彩票一定有一张中奖 C．两个等边三角形是全等图形 D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 【答案】D 【分析】根据判定A；根据概率的意义判定B；根据全等图形的定义判定C；根据平行线的判定判定D． 【详解】解：A、任意非0数的0次幂都等于1，原说法错误，故此选项不符合题意； B、某彩票中奖率是，买100张彩票有可能有一张中奖，原说法错误，故此选项不符合题意； C、两边长相等的等边三角形是全等图形，原说法错误，故此选项不符合题意； D、垂直于同一条直线的两条直线互相平行，说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是零指数幂的条件，概率的意义，全等图形的判定，平行线的判定，熟知以上知识是解题的关键． 2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．成语“心想事成”描述的事件为必然事件 B．某彩票的中奖概率是，那么如果买100张彩票一定会有3张中奖 C．小明做3次掷图钉的试验，发现有2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 D．小乐做了3次掷均匀硬币的试验，结果有1次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是 【答案】D 【分析】根据概率的意义，模拟实验，随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答． 【详解】解：A．成语“心想事成”描述的事件为随机事件，故选项不符合题意； B．某彩票的中奖概率是3%，那么如果买100张彩票不一定会有3张中奖，故选项不符合题意； C．小明做3次掷图钉的试验，发现有2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是，是错误的，故选项不符合题意； D．小乐做了3次掷均匀硬币的试验，结果有1次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是，故选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了概率的意义，模拟实验，随机事件，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 题型四　几何意义 【典例4】（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图②是用图①的七巧板拼成的“龙马精神”图形，现将一个飞镖随机投掷到该图形上，则飞镖落在阴影部分的概率是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了七巧板，以及几何概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据图形和七巧板特点可得到阴影部分面积占正方形面积的，进而根据概率公式，即可得到飞镖落在阴影部分的概率． 【详解】解：由七巧板特点可知，图②中阴影部分的面积，可转化为图①中阴影部分面积，如图所示： 阴影部分面积占正方形面积的， 飞镖落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 巩固训练 1.（23-24七年级下·期末）如图，在圆形转盘中，指针转动时恰好落在阴影部分的概率为，则阴影部分的圆心角是 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了几何概率的知识．阴影部分所对圆心角的度数与的比，即为转动停止后指针指向阴影部分的概率． 【详解】解：设圆心角的度数为， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·期末）如图，飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是 ． 【答案】 【分析】利用黑色区域的面积除以游戏板的面积即可． 【详解】解：∵游戏板的面积为3×3=9，其中黑色区域为3， ∴小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是， 故答案是： ． 【点睛】本题考查了几何概率：求概率时，与几何有关的就是几何概率．计算方法是面积比或体积比等． 题型五　概率公式 【典例5】（23-24七年级下·广东揭阳·期末）一个不透明的袋子里装有2个白球，3个红球，除颜色外，其余如材料、大小、质量等完全相同．随机从中抽出一个球，抽到红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率．据此解答即可． 【详解】解：根据题意可得：一个袋子中装有5个球，其中有2个白球，3个红球， 随机从这个袋子中摸出一个红球的概率是． 故选：C． 巩固训练 1．（2024·贵州遵义·一模）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小兰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“立春”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“立春”概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等可能条件下的概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．直接利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：“立春”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“立春”概率是； 故选A． 2．（2024·湖南·一模）象棋是起源于中国的一种棋戏，现今通行的象棋，相传为唐代牛僧孺所制，刻圆木或牙、骨为棋子三十二枚，红黑各半，黑方以将统士、象、车、马、炮各二，卒五，若从一套完整的象棋棋子中随机摸一枚棋子，则该棋子为黑马的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查随机事件概率的求法，让“黑马”的总个数2除以棋子的总个数32即为所求的概率． 【详解】解：一幅中国象棋由红黑两色棋子共32个棋子组成，其中有2个“黑马”； 故从中随机摸出一枚棋子能摸到“黑马”的概率是． 故选：C． 3．（23-24七年级下·江西赣州·阶段练习）如图，是某公园的进口，是不同的出口，若小贤从处进入公园，随机选择出口离开公园，则恰好从北面的出口出来的概率为 ． 【答案】/0.4 【分析】本题考查了概率公式的应用； 根据共有5个出口，北面有两个出口，直接利用概率公式得出答案． 【详解】解：∵共有5个出口，其中北面有B和C两个出口， ∴恰好从北面的出口出来的概率为， 故答案为：． 题型六　列表法与树状图法 【典例6】（2023·北京·中考真题）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整个实验分两步完成，每步有两个等可能结果，用列表法或树状图工具辅助处理． 【详解】    如图，所有结果有4种，满足要求的结果有1种，故概率为. 故选：A 【点睛】本题考查概率的计算，运用树状图或列表工具是解题的关键． 巩固训练 1．（23-24七年级下·期末）河南省教育厅高度重视安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育活动．某数学兴趣小组准备了4张印有安全图标的卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面图案中没有轴对称图形的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率和概率公式，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键．把四张卡片分别记为：A、B、C、D，画树状图得到所有的组合情况，只有C卡片正面是轴对称图形，找出没有轴对称图形的情况，用概率公式计算即可求解． 【详解】把四张卡片分别记为：A、B、C、D，画树状图，如图： 共有12种情况，都是等可能性，这两张卡片的正面图案中没有轴对称图形的情况有6种（只有C卡片正面是轴对称图形），则这两张卡片的正面图案中没有轴对称图形的概率是． 故选：A． 2．（23-24七年级下·期末）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得：    ∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况， ∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为， 故选：A． 【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键． 3．（23-24七年级下·期末）秦腔，别称“梆子腔”中国汉族最古老的戏剧之一，起于西周，源于西府，成熟于秦，是中国国家级非物质文化遗产之一．如图是某同学收藏的秦腔邮票，分别是《火焰驹》《三滴血》和《游西湖》，它们除正面外完全相同．把这三张邮票背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列表法求概率，先令三张邮票的正面是A，B，C，再列表得出所有可能出现的结果，符合条件的结果，然后根据概率公式得出答案． 【详解】令三张邮票的正面是A，B，C，列表如下： A B C A B C 由表格可知，一共有9种可能出现的结果，3种符合条件的结果，所以两次抽取的卡片正面相同的概率是． 故选：A． 题型七　游戏的公平性 【典例7】（23-24七年级下·陕西汉中·期末）如图，转盘被分成六个相同的扇形，并在上面依次写上数字：，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止． (1)当转盘停止时，指针指向奇数区域的概率是多少？ (2)当转盘停止时，指针指向的数小于或等于5的概率是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为且． （1）当转盘停止转动时，指针指向数字区域2，3，4，5，6，7的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向奇数区域3，5，7有3种结果，根据概率公式求解即可． （2）当转盘停止转动时，指针指向数字区域2，3，4，5，6，7的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向的数小于或等于5区域2，3，4，5有4种结果，根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：当转盘停止转动时，指针指向数字区域2，3，4，5，6，7的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向奇数区域3，5，7有3种结果， 所以指针指向奇数区域的概率是； （2）解：当转盘停止转动时，指针指向数字区域2，3，4，5，6，7的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向的数小于或等于5区域2，3，4，5有4种结果， 所以指针指向的数小于或等于5的概率是． 巩固训练 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，一个转盘被平均分成8等份，分别标有“我”“骄”“傲”“我”“是”“中”“国”“人”这8个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字． (1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是_____________，指针指向汉字的笔画数是偶数的概率是_____________； (2)小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画多于7画时小明获胜，否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平？并说明理由． 【答案】(1)； (2)公平，理由见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．实际考查概率的计算与游戏公平性的理解，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）分别计算出小明、小华获胜的概率，判断大小关系即可得出答案． 【详解】（1）解：转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是， 指针指向汉字的笔画数是偶数的有：人，傲，中，国，有4个，故指针指向汉字的笔画数是偶数的 概率是， 故答案为：，； （2）解：游戏公平，理由如下： 8个汉字中笔画多于7画的有：骄、傲、是、国， 8个汉字中笔画不多于7画的有：我、我、中、人， 所以小明获胜的概率为， 小华获胜的概率为， 小明获胜的概率小华获胜的概率， 所以游戏公平． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）有五张不透明的卡片，正面的数字为1，2，3，4，4，背面图案完全一样．洗匀后，背面朝上放在桌面上．请你完成下列各题． (1)随机抽取一张卡片，求抽到卡片上的数字为4的概率； (2)随机抽取一张卡片，求抽到卡片上的数字为奇数的概率； (3)小明和小亮用这五张卡片来玩游戏，小明随机抽取一张卡片，若卡片上的数字为偶数，则小明赢；若卡片上的数字为奇数，则小亮赢．这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请修改游戏规则（不改变卡片的数值和内容）使游戏公平． 【答案】(1) (2) (3)不公平，见解析 【分析】本题主要考查了概率的计算，概率的应用，根据概率判断游戏的公平性是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）根据概率公式计算即可； （3）先计算出哥哥抽到偶数的概率和弟弟抽到奇数的概率，比较大小，判断游戏是否公平，不公平，我们需要修改游戏规则，使哥哥弟弟获胜的概率相等即可． 【详解】（1）解：卡片上的数字为4的有2张，共有5张卡片， 抽到卡片上的数字为4的概率为； （2）解：卡片上的数字为奇数的有2张，共有5张卡片， 抽到卡片上的数字为奇数的概率为； （3）解：由（2）得，抽到卡片上的数字为偶数的概率为， ， 这个游戏不公平． 修改游戏规则为：小明随机抽取一张卡片，若卡片上的数字为4，则小明赢；若卡片上的数字为奇数，则小亮赢， ， ， 游戏公平（答案不唯一）． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）垃圾分类是建设生态文明的重要举措，为提高大家对垃圾分类的认识，某校学生会组织学生到社区服务，因名额有限，小明和小亮只能去一人，小红提出一个方法：从正面印有1，2，3，4，4，5，6，7的8张卡片（卡片除所印数字不同，其他均相同）中任取一张，抽到所印数字比4大的卡片，小明去；否则，小亮去， (1)求抽到印有4的卡片的概率； (2)你认为这个规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请说明理由并修改规则，使其对双方都公平． 【答案】(1) (2)不公平，理由及修改规则见解析 【分析】本题考查了概率公式，游戏公平性的判断． （1）根据概率公式求解，即可得到答案； （2）分别求出小明去和小亮去的概率，比较大小可得方法不公平，再修改出公平的规则即可． 【详解】（1）解：因为8张卡片中，有2张是印有4的， 所以（抽到印有4的卡片）． （2）不公平． 理由：根据题意，得（小明去），（小亮去）． 因为，所以不公平． 修改规则如下：从印有1，2，3，4，4，5，6，7的8张卡片中任取一张，抽到所印数字比4大的卡片，小明去；抽到所印数字比4小的卡片，小亮去；抽到印有4的卡片重新抽．（答案不唯一） 4．（23-24七年级下·江西吉安·期末）某校组织篮球队，在一次定点3分投篮训练中，教练记录了一个队员的情况，制成表格如下： 投篮次数m 20 50 100 200 500 命中次数n 9 26 49 102 250 命中率 a b (1) ； ． (2)直接写出该运动员投篮命中的概率； (3)估计该运动员3分投篮24次的得分数． 【答案】(1)； (2)这个运动员投篮命中率的概率是； (3)36分 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，得到的值越来越精确，还考查了频率的计算公式． （1）用对应的n除以m即可求解； （2）根据（1）的计算结论可估计这个运动员投篮3分球命中率的概率； （3）根据（2） 的估计得到投篮24次命中次，然后用12乘以3即可． 【详解】（1）解：根据题意得：，， 故答案为：；； （2）解：这个运动员投篮命中率的概率是； （3）解：这个运动员3分球投篮24次大约命中（次）， ∴这个运动员3分球投篮24次的得分大约为（分）． 题型八 用频率估计概率 【典例8】（24-25七年级下·全国·课后作业）马老师带领的数学兴趣小组做“频率的稳定性”试验时，统计某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（   ） A．掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后朝上的是正面 B．一副去掉大小王的普通扑克牌（52张，四种花色）洗匀后，从中抽出一张牌，花色是梅花 C．不透明袋子中有1个红球和4个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意取出一个球是白球 D．在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小颖随机出的是“石头” 【答案】A 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，正确求出各试验的概率是解题关键．利用折线统计图可得出试验的频率在左右，进而得出答案． 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后朝上的是正面的概率为，符合题意； B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗均匀后，从中抽出一张牌花色是梅花的概率为，不符合题意； C．不透明袋子中有1个红球和4个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意取出一个球是白球的概率为，不符合题意； D．在玩“石头、剪、布”的游戏中，小预随机出的是“石头”的概率为，不符合题意． 故选A． 巩固训练 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）投掷同一枚啤酒瓶盖1000次，经过统计得到“凸面向上”的频率为，则抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的频数为（　　） A．240 B．480 C．500 D．520 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，解答此题关键是理解频数与频率的关系，根据频数与频率的关系进行计算即可． 【详解】解：瓶盖只有两面，“凸面向上”的频率约为， 则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为． 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）青田林业局考查一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率．由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等．用到的知识点为：总体数目=部分数目÷相应频率．部分的具体数目=总体数目×相应频率． 由图可知，成活概率在上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值为． 【详解】解：这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值约是． 故选：B． 3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）社团课上，同学们进行了“摸球游戏”．在一个不透明的盒子里装有20个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图如图所示，经分析可以估计盒子里黑球的个数可能为 个． 【答案】 【分析】本题考查用频率估计概率，根据频率估计概率得出摸到黑球的近似概率，再根据概率公式进行计算即可求解． 【详解】解：由图可知，摸到黑球的概率约为， ∴ 解得： 故答案为：． 4．（24-25七年级下·全国·随堂练习）为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中打捞了200条鱼，在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次试验后，试验数据如下表： 每次打捞鱼数a 20 50 100 200 300 500 每次打捞鱼中带标记的鱼数b 3 6 11 19 31 n 0.150 0.120 m 0.095 0.103 0.100 根据表中的数据，回答下列问题： (1)求表中m，n的值； (2)随机从鱼塘打捞一条鱼，估计打捞到的鱼是带标记的鱼的概率，并利用概率估计值计算这个鱼塘中约有多少条鱼． 【答案】(1)， (2)这个鱼塘中约有2000条鱼 【分析】本题考查了用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． （1）根据频率=频数÷总数求解即可； （2）用200除以打捞到的鱼是带标记的鱼的概率可得总条数，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， ， 解得； （2）解：根据表中的数据发现随着每次打捞鱼数的增加，带标记的鱼的频率趋于0.100左右， ∴打捞到带标记的鱼的概率约为0.100， 故（条）， ∴这个鱼塘中约有2000条鱼． 36 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$