第二章 相交线与平行线（压轴题特训）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（北师大版2024）

第二章 相交线与平行线（压轴题特训） 一、单选题 1．如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（    ） A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360° B．∠A+∠D＝∠C+∠E C．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180° D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90° 2．如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 3．将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，分别是和的平分线，，交于点D，于点F．若，，，则的面积为（    ）    A．50 B．55 C．60 D．65 5．如图，，，平分，设，，，则的数量关系是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在长方形纸片中，把纸片沿折叠后，点C、D分别落在的位置．若，则等于（   ） A． B． C． D． 7．如图，已知，记，则m的值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，一艘快艇向正东方向行驶至点时，接到指令向右转，航行到处，再向左转，航行到处，再向右转继续航行，此时这艘快艇的航行方向为（    ） A．北偏西 B．北偏西 C．南偏东 D．南偏东 9．如图，在中，，分别平分和，且相交于于点G，则下列结论①；②平分；③；④；⑤，其中正确的结论有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图，，、分别是、的角平分线，，，下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 11．如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 12．如图，，平分，，，，则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 13．如图，锐角中，、分别是、边上的点，，，且，、交于点．若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 14．如图，，则之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 15．如图，，与的角平分线交于点G，且，已知，若，，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 16．如图，AB∥CD，点P在AB，CD之间，∠ACP＝2∠PCD＝40°，连结AP，若∠BAP=α，∠CAP＝α+β．下列说法中正确的是（　　） A．当∠P＝60°时，α＝30° B．当∠P＝60°时，β＝40° C．当β＝20°时，∠P＝90° D．当β＝0°时，∠P＝90° 17．将一副三角板按如图放置，则下列结论①；②如果则有；③如果，则有；④如果，必有，其中正确的有（    ）    A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③④ 二、填空题 18．如图，点O为直线上一点，过点O作射线，使．将直角三角板绕点O旋转一周，当直线与直线互相垂直时，的度数是 ．    19．如图，，，，，分别平分和，则，满足的数量关系为： ． 20．如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和，交射线于点，，当点运动到使时，的度数为 （用含有的代数式表示）    21．如图，在中，，，D是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点C落在同一平面内的点E处，当平行于的边时，的度数为 ． 22．如图，为直线上一点，，平分，平分，平分，下列结论：；与互补；；．请你把所有正确结论的序号填写在横线上 ．    23．如图，，为上一点，且垂足为，，平分，且，则下列结论： ①；②；③；④； 其中正确的有 .（请填写序号） 24．如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则 ． 25．折纸能锻炼人的综合协调能力，包括手、眼和大脑． 如图，纸艺社团的小凡拿出一张长方形纸片，他先将纸片沿 折叠，再将折叠后的纸片沿 折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现， 则的度数是 ． 26．图①是某自行车的实物图，图②是图①的示意图．经测得，且都与地面平行，．有如下四个结论：①；②若，则；③若，则；④若，则．在这四个结论中正确的序号为 ． 27．图1是瑞瑞在跑步机上健身，其示意图如图2所示．折线是固定支架，且，显示屏，，则 度．当眼睛视线，且瑞瑞身体时， 度． 28．将一条两边互相平行的纸带沿EF折叠，如图（1），AD∥BC，ED'∥FC'，设∠AED'＝x° （1）∠EFB＝ ．（用含x的代数式表示） （2）若将图1继续沿BF折叠成图（2），∠EFC″＝ ．（用含x的代数式表示）． 29．已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点，则： ①； ②； ③若，则； ④若，则； 以上说法正确的是 ． 30．如图，，为上一点，且，垂足为F，，平分，且，则下列结论： ①； ②； ③； ④∠；其中正确的有 ．（请填写序号） 31．如图，在四边形中，H为四边形内部一点，连接，点E在线段的延长线上，，，点F在内部，连接，连接交于点G，，的余角比大．则下列结论：①；②；③；④其中所有正确的结论是 ．（填序号） 三、解答题 32．问题情境：如图①，直线，点E，F分别在直线AB，CD上． (1)猜想：若，，试猜想______°； (2)探究：在图①中探究，，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)拓展：将图①变为图②，若，，求的度数． 33．如图，在四边形中，点在上，平分，，． (1)求证：； (2)若平分交的延长线于点，交于点，交于点，，，求的度数． 34．如图，已知AM∥BN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D． （1）∠ABN的度数是_____，∠CBD的度数是_______； （2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律； （3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是多少？ 35．【探究结论】 （1）如图1，，E为形内一点，连接、得到，则、、的关系是 （直接写出结论，不需要证明）： 【探究应用】利用（1）中结论解决下面问题： （2）如图2，，直线分别交、于点E、F，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和，求证：． （3）如图3，已知，F为上一点，，，若，的度数为整数，则的度数为 ．    36．（1）①如图1，已知，，根据　　　　可得，　　　　； ②如图2，在①的条件下，若平分，则　　　；  ③如图3，在①②的条件下，若，则　　　； （2）尝试解决下面问题： 如图，，，是的平分线，，求的度数． 37．阅读材料，解决问题： 【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且，这就是光的反射定律． （1）在图1中，证明； 【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有，． （2）请问和有什么关系？并说明理由； （3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜，的位置，并给出建议（合理即可）． 38．综合与探究 【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展探究两角之间数量关系的数学活动．如图1，这是凹透镜的剖面图，从位于点发出的灯光照射到凹面镜上反射出的光线都是水平线，即． 【探索发现】 （1）如图1，之间的数量关系为______． 【深入探究】 （2）如图2，直线分别为直线上的点，是平面内的任意一点，连接，．都是直线上的点，且，直线，交于点，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下，若，试探究与之间的数量关系． 39．已知直线，点E、F分别在直线、上，连接，平分． (1)如图1，连接，若平分．求的度数； (2)如图2，连接，若，猜想和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点H为线段（端点除外）上的一个动点，过点H作的垂线交于M，连接，若平分，问的度数是否为定值？若是，求出的度数；若不是，请说明理由． 40．已知直线，点是直线上的一个动点（不与点重合），平分，交直线于点． (1)如图1，当点在点左侧时，若，求的度数； (2)若，平分，交直线于点． ①如图2，若点在点左侧运动时，的度数是否会发生变化？若不变，求出该度数；若变化，请说明理由； ②与之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论，不必说明理由． 41．已知直线，点A、C在直线上，点B、D在直线上． (1)如图1，若，，且，求的度数； (2)如图2，若，平分，，过D点作交于F，求证：； (3)如图3，若，直线和直线相交于K，点H在直线上，探究、和之间的数量关系，请直接写出结论． 42．在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量关系．（其中）    (1)将三角尺如图1所示叠放在一起． ①与大小关系是________； ②与的数量关系是________． (2)小亮固定其中一块三角尺不变，绕点顺时针转动另一块三角尺，从图2的与重合开始，到图3的与在一条直线上时结束，探索的一边与的一边平行的情况． ①求当时，如图4所示，的大小； ②直接写出的其余所有可能值． 43．【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间． （1）求证：∠CAB＝∠MCA＋∠PBA； 证明：如图1，过点A作， ∵，， ∴， ∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB， ∴∠CAB＝∠DAC＋∠DAB＝∠MCA＋∠PBA， 即：∠CAB＝∠MCA＋∠PBA； 【类比应用】已知直线，P为平面内一点，连接PA、PD． （1）如图2，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；说明理由． （2）如图3，设、、直接写出、、∠P之间的数量关系为______． 【联系拓展】如图4，直线，P为平面内一点，连接PA、PD．AP⊥PD，DN平分∠PDC，若，运用（2）中的结论，求∠N的度数．说明理由． 44．如图所示，，的顶点E，F分别在直线、直线上，点在直线与直线之间，平分． (1)如图1，平分，，则的度数． (2)如图2，已知点为延长线上一点，且，请用含的式子表示的度数，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，，将绕点顺时针以每秒的速度旋转得到，将绕点顺时针以每秒的速度旋转得到，当首次旋转到直线上时，立刻绕点逆时针以原速旋转，当旋转到直线上时，两个三角形同时停止旋转，请直接写出当时的旋转时间的值． 36 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 相交线与平行线（压轴题特训） 一、单选题 1．如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（    ） A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360° B．∠A+∠D＝∠C+∠E C．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180° D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90° 【答案】C 【分析】如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，根据平行线的性质可得∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，根据AB∥EF可得CG∥DH，根据平行线的性质可得∠CDH＝∠DCG，进而根据角的和差关系即可得答案． 【详解】如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF， ∴∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E， ∵AB∥EF， ∴CG∥DH， ∴∠CDH＝∠DCG， ∴∠ACD＝∠ACG+∠CDH＝∠A+∠CDE﹣（180°﹣∠E）， ∴∠A﹣∠ACD+∠CDE+∠E＝180°． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键． 2．如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，正确添加辅助线是解决本题的关键．过点A作，过点E作，则，由题意可设，，则，，，，因此，，，则． 【详解】解：过点A作，过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴. 故选：B． 3．将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理推论，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．如图（见解析），过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行线的判定可得，根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作， 由题意得：，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4．如图，在中，，分别是和的平分线，，交于点D，于点F．若，，，则的面积为（    ）    A．50 B．55 C．60 D．65 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质的综合应用以及等角对等边的应用；解题的关键是熟练掌握相关性质．过E作于M，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求得，根据平行线和角平分线的性质易证，根据等角对等边求得，从而求得，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：过E作于M，     平分，，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 5．如图，，，平分，设，，，则的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线，解题的关键是理解题意并掌握这些知识点． 过点E作，过点F作，根据题意得，，根据平行线的性质得，，可得，，，，即可得，，则，，得，即可得，进行计算即可得． 【详解】解：如图所示，过点E作，过点F作， ∵，平分，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ，， ∴， ， 即，， ∴， ∴ ∴ ∴ 故选A． 6．如图，在长方形纸片中，把纸片沿折叠后，点C、D分别落在的位置．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质及折叠的性质，由折叠可知，，由题可知，，可知，由平角为，可知的度数，熟练掌握两直线平行内错角相等是解决此题的关键． 【详解】解：由折叠可知，， ， ， ， 故选：C． 7．如图，已知，记，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是平行线的判定和性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．过点F作，则，依据平行线的性质可证明，同理可证明，然后结合已知条件可得到问题的答案． 【详解】解：如图所示：过点F作． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 同理：． ∴ ∵， ∴． 故选：B． 8．如图，一艘快艇向正东方向行驶至点时，接到指令向右转，航行到处，再向左转，航行到处，再向右转继续航行，此时这艘快艇的航行方向为（    ） A．北偏西 B．北偏西 C．南偏东 D．南偏东 【答案】C 【分析】只需要根据平行线的性质求出∠PCQ的度数即可得到答案． 【详解】解：由题意得，∠BAF=70°， ∵， ∴∠EBH=∠BAF=70°， ∵∠CBE=100°， ∴∠CBH=30°， ∵， ∴∠PCG=∠CBH=30°， 又∵∠GCQ=45°， ∴∠PCQ=15°， ∴此时的航行方向为南偏东75°， 故选C． 【点睛】本题主要考查了与方位角有关的计算，平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 9．如图，在中，，分别平分和，且相交于于点G，则下列结论①；②平分；③；④；⑤，其中正确的结论有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，熟知平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键． 根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断结论①；只需要证明，即可判断结论③；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出，即可判断结论④⑤；根据现有条件无法推出结论②． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴，故结论①正确； ∵， ∴，即 ， ∴， 又∵， ∴，故结论③正确； ∵， ∴， ∵、分别平分、， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论④正确； ∵， ∴，故结论⑤正确； 若平分，而， ∴，与题干条件不相符，故结论②错误． 故选：C． 10．如图，，、分别是、的角平分线，，，下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到即可判断①；证明即可判断③；根据三角形内角和定理求出，进而求出即可判断④；根据现有条件无法证明②． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别是的角平分线， ∴， ∴，故①正确； ∵，即， ∴， ∵，，即， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵、分别是、的角平分线， ∴， ∴， ∴，故④正确； 根据现有条件无法证明平分，故②错误； ∴正确的一共有3个， 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，灵活运用所学知识是解题的关键． 11．如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据平行线的性质得到，，然后由折叠的性质得到，，然后根据得到，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵沿，折叠，使点和点都落在点处， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴． 故选：C． 12．如图，，平分，，，，则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质、垂线、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． 由可得，由平分可得可判定①；根据垂直的定义、交的和差可判定②正确；再结合角平分线的定义可判定③；先说明，而不一定成立即可判定④． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分， ∴，即①正确； ∵平分， ∴, ∵， ∴， ∴,，即③正确； ∴ ∴平分，故②正确； ∵， ∴， ∴， 而题目中不能得到，故④错误． 故选：B． 13．如图，锐角中，、分别是、边上的点，，，且，、交于点．若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，由全等三角形的对应角相等得到，，，利用外角的性质得到，，利用平行线的性质得出，，再利用三角形内角和定理求出结果． 【详解】解：设，， ，， ，，， ，． ， ，， ，即． 则． ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，此题利用了“全等三角形的对应角相等”和“两直线平行，内错角相等”进行推理的． 14．如图，，则之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与余角有关的计算．解题的关键是熟练掌握余角的定义．两个角的和等于，称为这两个角互为余角． 根据余角性质可得，得到，结合，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 15．如图，，与的角平分线交于点G，且，已知，若，，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过D作，连接并延长到H，连接，根据平行线的性质得到，利用三角形的内角和定理和平行线的性质得到，再根据角平分线的定义证得；再利用三角形的外角性质得到，进而可求解． 【详解】解：过D作，连接并延长到H，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵∠BAC与∠CDE的角平分线交于点G， ∴，， ∴， ∴，即； ∵，， ∴， 则， ∴， 则， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的内角和定理和外角性质、角平分线的定义，添加辅助线，利用平行线的性质探索角之间的数量关系是解答的关键． 16．如图，AB∥CD，点P在AB，CD之间，∠ACP＝2∠PCD＝40°，连结AP，若∠BAP=α，∠CAP＝α+β．下列说法中正确的是（　　） A．当∠P＝60°时，α＝30° B．当∠P＝60°时，β＝40° C．当β＝20°时，∠P＝90° D．当β＝0°时，∠P＝90° 【答案】B 【分析】先根据平行线的性质得出α+β=120°-α，β=120°-2α，根据三角形内角和得出∠P=20°+α，再逐项分析即可． 【详解】解：∵∠ACP＝2∠PCD＝40°， ∴∠PCD=20°， ∴∠ACD=60°． ∵AB//CD， ∴∠CAB=180°-∠ACD=120°． ∵∠BAP=α，∠CAP＝α+β， ∴∠CAB=2α+β， ∴2α+β=120°， ∴α+β=120°-α，β=120°-2α． ∵∠P+∠CAP+∠ACP=180°， ∴∠P=180°-(α+β+40°)=α+20°． A. 当∠P＝60°时，α=60°-20°＝40°，故错误； B. ∵当∠P＝60°时，α=40°，∴β=120°-2α＝40°，正确； C. 当β＝20°时，20°=120°-2α，∴α=50°，∴∠P＝α+20°=70°，故错误； D. 当β＝0°时，0°=120°-2α，∴α=60°，∴∠P＝α+20°=80°，故错误； 故选B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和等于180°等知识，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解答本题的关键． 17．将一副三角板按如图放置，则下列结论①；②如果则有；③如果，则有；④如果，必有，其中正确的有（    ）    A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据余角的性质可知①正确；再根据直角三角形的判定及平行线的判定可知②正确；根据直角三角形的性质可知③错误；最后利用直角三角形的性质和三角形外角的性质可知④正确． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， 故③错误； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故④正确； ∴正确的序号为①②④， 故选．    【点睛】本题考查了直角三角形的性质和判定，平行线的判定，三角形外角的性质，余角的性质，掌握直角三角形的性质和判定是解题的关键． 二、填空题 18．如图，点O为直线上一点，过点O作射线，使．将直角三角板绕点O旋转一周，当直线与直线互相垂直时，的度数是 ．    【答案】或 【分析】本题考查了垂直的定义，角的和差计算，分在直线的右侧和在直线的左侧两种情况求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 当在直线的右侧时，如图，    ∵， ∴， ∴． 当在直线的左侧时，如图，    ∵， ∴， ∴． 故答案为：或． 19．如图，，，，，分别平分和，则，满足的数量关系为： ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，涉及到的是知识点有内错角和角平分线的定义，解题过程中是否能熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题重点，能否画对辅助线是解题的关键． 根据拐角和的特性，作，，根据两直线平行内错角相等分别推出四个角对应的相等角，再根据平角的定义和角平分线的定义推出，两者的数量关系． 【详解】解：过点作，过点作 ， ，分别平分和 故答案为： 20．如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和，交射线于点，，当点运动到使时，的度数为 （用含有的代数式表示）    【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据平行线的性质可得，再结合角平分线的定义，三角形的外角的性质可证明，即可得到的度数． 【详解】解：∵，， ， ， ，分别平分和， ，， ，，， ， ， ， ∴， ， 故答案为：． 21．如图，在中，，，D是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点C落在同一平面内的点E处，当平行于的边时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠问题，三角形的内角和等知识点，分两种情况，和，分别画出图形，再利用平行线的性质求解即可，正确分类并画出图形是解题的关键． 【详解】由折叠的性质得：， 设， ∵， ∴， 由题意，分以下两种情况： 如图，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 即； 如图，当时， ∴， ∵， ∴， 解得， 即， 综上，的大小为或． 故答案为：或． 22．如图，为直线上一点，，平分，平分，平分，下列结论：；与互补；；．请你把所有正确结论的序号填写在横线上 ．    【答案】 【分析】设，则，，由角平分线的定义得出，，，然后再逐项分析即可得到答案． 【详解】解：设， ， ， ， ， 平分，平分，平分， ，，， ，故正确，符合题意； ， 度数未知， 与不一定互补，故错误，不符合题意； ，故正确，符合题意； ，， ，故正确，符合题意； 综上所述，正确的有：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是补角和余角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 23．如图，，为上一点，且垂足为，，平分，且，则下列结论： ①；②；③；④； 其中正确的有 .（请填写序号） 【答案】①④/④① 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，解题的关键是利用表示各个角度．根据平行线的性质，角平分线和垂线的定义逐个分析计算即可． 【详解】解：，， ， ， 平分， ， ， ， ， 即平分， ， 故①正确，②错误； ，， ， ， ， 故③错误； ， ， ，， ， ，即， 故④正确； 综上所述，正确的有①④， 故答案为：①④． 24．如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则 ． 【答案】/82度 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，四边形内角和定理等．过F作，则，根据平行线的性质和角平分线的定义，可得，，进而可得，，利用四边形内角和为360度，可得，再结合即可求出的度数． 【详解】解：如图，过F作， ∵， ∴， ∵的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F， ∴可设，， ∴，， ∴四边形中， ， 即，① 又∵， ∴，② ∴， 解得， 故答案为：． 25．折纸能锻炼人的综合协调能力，包括手、眼和大脑． 如图，纸艺社团的小凡拿出一张长方形纸片，他先将纸片沿 折叠，再将折叠后的纸片沿 折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现， 则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了折叠的性质，理解并掌握折叠后对应的角相等，角的互补关系，直角三角形两锐角互余等知识是解题的关键． 根据折叠可得，，由与互补可得，从而求出的度数，在中根据直角三角形两锐角互余可得的度数，由对顶角相等可得的度数，最后再由折叠的性质得，由此即可求解． 【详解】解：将纸片沿 折叠，再将折叠后的纸片沿 折叠，使得与重合， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， 故答案为： ． 26．图①是某自行车的实物图，图②是图①的示意图．经测得，且都与地面平行，．有如下四个结论：①；②若，则；③若，则；④若，则．在这四个结论中正确的序号为 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质定理是解题的关键． 根据平行线的判定与性质定理逐项分析判断即可． 【详解】解：， ， ， ， 故结论①正确； 当时， ， ， 又， ， ， 故结论②正确； 当时， ， ， 与不平行， 故结论③错误； 当时， 则， ， 故结论④正确； 综上，正确的结论有：， 故答案为：． 27．图1是瑞瑞在跑步机上健身，其示意图如图2所示．折线是固定支架，且，显示屏，，则 度．当眼睛视线，且瑞瑞身体时， 度． 【答案】 155 65 【分析】本题考查平行线的判定及性质，垂直的定义，三角形外角的性质． 延长，交于点N，延长，交于点M．由得到，再根据三角形外角的性质得到，由，即可求得，进而，又，则，再由即可求得． 【详解】解：延长，交于点N，延长，交于点M． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：155；65 28．将一条两边互相平行的纸带沿EF折叠，如图（1），AD∥BC，ED'∥FC'，设∠AED'＝x° （1）∠EFB＝ ．（用含x的代数式表示） （2）若将图1继续沿BF折叠成图（2），∠EFC″＝ ．（用含x的代数式表示）． 【答案】 90°- x° x°-90° 【分析】（1）由平行线的性质得∠DEF=∠EFB，∠AEH+∠EHB=180°，折叠和三角形的外角得∠D'EF=∠EFB，∠EFB=∠EHB，最后计算出∠EFB=90°- x°； （2）由折叠和平角的定义求出∠EFC'=90°+ x°，再次折叠经计算求出∠EFC"= x°-90°． 【详解】解：（1）如图1所示， ∵AD∥BC， ∴∠DEF=∠EFB，∠AEH+∠EHB=180°， 又∵∠DEF=∠D'EF， ∴∠D'EF=∠EFB， 又∵∠EHB=∠D'EF+∠EFB， ∴∠EFB=∠EHB， 又∵∠AED'=x°， ∴∠EHB=180°-x° ∴∠EFB=（180°-2）=90°- x° 故答案为：90°- x°； (2)如图2所示， ∵∠EFB+∠EFC'=180°， ∴∠EFC=∠EFC'=180°-（90°- x°）=90°+ x°， 又∵∠EFC'=2∠EFB+∠EFC"， ∴∠EFC"=∠EFC'-2∠EFB=90°+ x°-2（90°- x°） = x°-90°， 故答案为： x°-90°． 【点睛】本题综合考查了平行线的性质，折叠问题，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，平角的定义以及角的和差等相关知识，重点掌握平行线的性质，难点是折叠前后的变及不变的问题，二次折叠角的前后大小等量关系． 29．已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点，则： ①； ②； ③若，则； ④若，则； 以上说法正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，辅助线的应用是解题关键．由平行线的性质可判断①正确，同样根据平行线的性质可判断②正确，根据平行的性质已知可求出的度数不等于，故③不正确，根据和的关系及，可判断④正确． 【详解】解：如图，作， ， ， ，， ，即，故①正确； 如图，作， ， ， ，， ， 即，故②正确； 若，则， 平分，平分， ， ，故③不正确； 同理可证：， 若， 则， ，， ， ， ， ，故④正确； 故答案为：①②④． 30．如图，，为上一点，且，垂足为F，，平分，且，则下列结论： ①； ②； ③； ④∠；其中正确的有 ．（请填写序号） 【答案】①④/④① 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，先由平行线的性质得到 ，，，再由角平分线的定义得到，则由平角的定义可得，据此可判断②；由垂线的定义得到，则，再由平行线的性质得到，据此可判断①；先证明，得到，则，据此可判断③；分别求出，，，据此可判断④． 【详解】解：，， ，，， 平分， ， ∴，故②错误； ，即， ， ， ∵， ∴，故①正确 ，， ∴， ， ， ，故③错误； ， ， ，， ，故④正确； 综上所述，正确的有①④， 故答案为：①④． 31．如图，在四边形中，H为四边形内部一点，连接，点E在线段的延长线上，，，点F在内部，连接，连接交于点G，，的余角比大．则下列结论：①；②；③；④其中所有正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】此题考查了平行线的判定和性质、余角的定义、对顶角的性质等知识，根据内错角相等两直线平行即判断①，由角之间的相等关系得到，根据同位角相等两直线平行即判断②，根据余角的定义和对顶角相等得到，求出，即可判断③，根据两直线平行内错角相等即可判断④． 【详解】解：∵， ∴； 故①正确； ∵，， ∴， ∴, ∴， 故②正确； ∵的余角比大． ∴， ∵， ∴， 解得 故③错误； ∵， ∴， 故④正确； 故答案为：①②④ 三、解答题 32．问题情境：如图①，直线，点E，F分别在直线AB，CD上． (1)猜想：若，，试猜想______°； (2)探究：在图①中探究，，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)拓展：将图①变为图②，若，，求的度数． 【答案】(1) (2)；证明见详解 (3) 【分析】（1）过点作，利用平行的性质就可以求角度，解决此问； （2）利用平行线的性质求位置角的数量关系，就可以解决此问； （3）分别过点、点作、，然后利用平行线的性质求位置角的数量关系即可． 【详解】（1）解：如图过点作， ∵， ∴． ∴， ． ∵，， ∴ ∴． ∵， ∴∠P=80°． 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图过点作， ∵， ∴． ∴， ． ∴ ∵， ． （3）如图分别过点、点作、 ∵， ∴． ∴， ， ． ∴ ∵， ， ， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质定理，准确的作出辅助线和正确的计算是解决本题的关键． 33．如图，在四边形中，点在上，平分，，． (1)求证：； (2)若平分交的延长线于点，交于点，交于点，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线，平行线的判定与性质．熟练掌握角平分线，平行线的判定与性质是解题的关键． （1）由，可得，由平分，可得，则，，进而可证； （2）由（1）知，则，由平分，可得，由，，可得，，如图，过作，则，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴，， 如图，过作， ∴，， ∴， ∴的度数为． 34．如图，已知AM∥BN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D． （1）∠ABN的度数是_____，∠CBD的度数是_______； （2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律； （3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是多少？ 【答案】（1）116°；58°；（2）不变，∠APB=2∠ADB，理由见解析；（3）29° 【分析】（1）由平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补可直接求出∠ABN；由角平分线的定义可以证明∠CBD＝∠ABN，即可求出结果； （2）证∠APB＝∠PBN，∠PBN＝2∠DBN，即可推出结论； （3）可先证明∠ABC＝∠DBN，由（1）∠ABN＝116°，可推出∠CBD＝58°，所以∠ABC+∠DBN＝58°，则可求出∠ABC的度数． 【详解】（1）∵AM//BN，∠A＝64°， ∴∠ABN＝180°﹣∠A＝116°， ∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN， ∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP， ∴2∠CBP+2∠DBP＝116°， ∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝58°； 故答案为：116°；58°； （2）不变，∠APB=2∠ADB， ∵AM//BN， ∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN， ∵BD平分∠PBN， ∴∠PBN＝2∠DBN， ∴∠APB=2∠ADB； （3）∵AM//BN， ∴∠ACB＝∠CBN， 当∠ACB＝∠ABD时， 则有∠CBN＝∠ABD， ∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN ∴∠ABC＝∠DBN， 由（1）∠ABN＝116°， ∴∠CBD＝58°， ∴∠ABC+∠DBN＝58°， ∴∠ABC＝29°． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质等，解题关键是能熟练运用平行线的性质并能灵活运用角平分线的定义等． 35．【探究结论】 （1）如图1，，E为形内一点，连接、得到，则、、的关系是 （直接写出结论，不需要证明）： 【探究应用】利用（1）中结论解决下面问题： （2）如图2，，直线分别交、于点E、F，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和，求证：． （3）如图3，已知，F为上一点，，，若，的度数为整数，则的度数为 ．    【答案】（1）；（2）见解析；（3）或． 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质可得，，由此即可得到结论； （2）由（1）可知：，由角平分线的定义结合可得，再根据三角形的内角和定理可证明结论； （3）由（1）知：，设，则，可求得，结合度数的取值范围可求解的取值范围，再利用三角形外角的性质可求解． 【详解】解：（1）如图所示，过点作，   ， ，， ， ． ， ， 故答案为：；   （2）由（1）可知：， 平分， ， ， ， ， ； （3）由（1）知：， 设，则， ， ， ， 又， ， 解得， 又是的外角， ， 的度数为整数， 或， 或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识的综合运用，灵活运用平行线的性质求解角的关系是解题的关键． 36．（1）①如图1，已知，，根据　　　　可得，　　　　； ②如图2，在①的条件下，若平分，则　　　；  ③如图3，在①②的条件下，若，则　　　； （2）尝试解决下面问题： 如图，，，是的平分线，，求的度数． 【答案】（1）①两直线平行，内错角相等；；②； ③60；（2）． 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、垂线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①根据两直线平行，内错角相等即可得出答案； ②根据角平分线的定义即可得出； ③由垂线的定义得出，再根据计算即可得解； （3）根据两直线平行，同旁内角互补求得，再根据角平分线的定义求出的度数，由垂线的定义得出，据此计算即可得出答案． 【详解】解：（1）①，， 由两直线平行，内错角相等，得； 故答案为：两直线平行，内错角相等；； ② 平分， ， 故答案为：； ③， ， ； 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 37．阅读材料，解决问题： 【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且，这就是光的反射定律． （1）在图1中，证明； 【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有，． （2）请问和有什么关系？并说明理由； （3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜，的位置，并给出建议（合理即可）． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）调整平面镜，使得两面镜子达到平行（合理即可） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． （1）根据等角的余角相等解答即可； （2）根据平行线的性质求解即可； （3）根据潜望镜的原理，平行线的性质进行分析即可． 【详解】（1）证明：， ，， ； （2），理由如下： ，，， ， ， ； （3）因为潜望镜它是根据光的折射，而潜望镜是要改变光的传播方向的，光线无法顺利通过，说明没有与光线平行，需要调整平面镜，的位置，使得两面镜子，达到平行（合理即可）． 38．综合与探究 【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展探究两角之间数量关系的数学活动．如图1，这是凹透镜的剖面图，从位于点发出的灯光照射到凹面镜上反射出的光线都是水平线，即． 【探索发现】 （1）如图1，之间的数量关系为______． 【深入探究】 （2）如图2，直线分别为直线上的点，是平面内的任意一点，连接，．都是直线上的点，且，直线，交于点，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下，若，试探究与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了利用平行线的性质探求角的度数及关系，根据图准确作出辅助线是解题关键． （1）过O作，利用平行公理得到，利用平行线的性质得到，，两式相加可得结论； （2）设，利用邻补角定义可得；利用平行线的性质可推导出，进而可得结论； （3）过点F作，设，利用平行线的性质即可求证． 【详解】解：（1）如图所示，过O作， ， ， ∴，， ∴， 即； （2）与之间的数量关系为，理由如下： 设， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）设， 过点F作， ， ， ∴，， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴． 39．已知直线，点E、F分别在直线、上，连接，平分． (1)如图1，连接，若平分．求的度数； (2)如图2，连接，若，猜想和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点H为线段（端点除外）上的一个动点，过点H作的垂线交于M，连接，若平分，问的度数是否为定值？若是，求出的度数；若不是，请说明理由． 【答案】(1)∠EGF＝90° (2)∠EGF＋∠EHF＝180°；理由见解析 (3)∠MGF​的度数是为定值，且∠MGF＝45°​ 【分析】（1）根据EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，得到∠BEF＝2∠FEG，∠EFD＝2∠GFE，由干 到∠BEF＋∠EFD＝180°，于是得到2∠FEG＋2∠GFD＝180°，即可得到结论： （2）过点G作，因为，所以．设∠EGN＝∠BEG＝α，∠NGF＝∠GFD＝β．由已知可得∠EGF＝∠BEG＋∠GFD＝α＋β，∠EHF＝180°−∠EFG−∠FEH＝180°−α−β，即可解答； （3）过点 G作，因为，所以．所以设∠MGN＝∠BMG＝α，∠NGF＝∠GFD＝β．即∠MGF＝∠BMG＋∠GFD＝α＋β．根据∠EMH、∠EFD的平分线相交于G，得到∠MEF＝∠EFD＝2β．所以∠HME＝90°−∠MEF＝90°−2β．再因为MH⊥EF，所以∠HME＝90°−∠MEF＝90°−2β．再根据MG平分∠BMH，利用等量代换即可得到结论MH⊥EF，所以∠HME＝90°−∠MEF＝90°−2β．再根据条件MG平分∠BMH，得到∠EMG＝45°−β，即可得解． 【详解】（1）解：∵EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD， ∴∠BEF＝2∠FEG，∠EFD＝2∠EFG， ∵， ∴∠BEF＋∠EFD＝180°， ∴2∠FEG＋2∠GFE＝180°， ∴∠FEG＋∠GFE＝90°， ∵∠EGF＋∠FEG＋∠GFE＝180°， ∴∠EGF＝90°． （2）解：猜想：∠EGF＋∠EHF＝180°， 过点G作， ∵， ∴， ∴设∠EGN＝∠BEG＝α，∠NGF＝∠GFD＝β， ∴∠EGF＝∠BEG＋∠GFD＝α＋β， ∵FG平分∠EFD， ∴∠EFG＝∠GFD＝β， ∵∠EHF＝180°−∠EFG−∠FEH＝180°−α−β， ∴∠EHF＝180°−α−β＝180°−∠EGF， ∴∠EGF＋∠EHF＝180°． （3）解：结论：∠MGF＝45°，理由如下： 过点 G作， ∵， ∴， ∴设∠MGN＝∠BMG＝α，∠NGF＝∠GFD＝β， ∴∠MGF＝∠BMG＋∠GFD＝α＋β， ∵FG平分∠EFD， ∴∠EFG＝∠GFD＝β， ∵， ∴∠MEF＝∠EFD＝2β， ∵MH⊥EF， ∴∠HME＝90°−∠MEF＝90°−2β， ∵MG平分∠BMH， ∴∠EMG＝∠GMH＝α＝∠HME， ∴∠EMG＝α＝∠HME＝(90°−2β)＝45°−β， ∴∠MGF＝α＋β＝45°−β＋β＝45°， ∴∠MGF＝45°， ∴∠MGF的度数是为定值． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． 40．已知直线，点是直线上的一个动点（不与点重合），平分，交直线于点． (1)如图1，当点在点左侧时，若，求的度数； (2)若，平分，交直线于点． ①如图2，若点在点左侧运动时，的度数是否会发生变化？若不变，求出该度数；若变化，请说明理由； ②与之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论，不必说明理由． 【答案】(1) (2)①点在点左侧运动时，的度数不会发生变化，，理由见解析；②与之间的关系为或 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）延长到，由平行线的性质可得，求出，由角平分线的定义得出，最后再由平行线的性质可得答案； （2）①延长到，设，由角平分线的定义得出，，由平行线的性质得出，从而得出，求出，由角平分线的定义得出，再由计算即可得出答案；②分两种情况：当点在点的左侧时，延长至；当点在点的右侧时，延长至，分别利用平行线的性质并结合角平分线的定义计算即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，延长到， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：①点在点左侧运动时，的度数不会发生变化，，理由如下： 如图，延长到， 设， ∵平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②与之间的关系为或， 当点在点的左侧时，延长至，如图， 设， ∵平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 当点在点的右侧时，延长至，如图， 设， ∵平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 综上所述，与之间的关系为或． 41．已知直线，点A、C在直线上，点B、D在直线上． (1)如图1，若，，且，求的度数； (2)如图2，若，平分，，过D点作交于F，求证：； (3)如图3，若，直线和直线相交于K，点H在直线上，探究、和之间的数量关系，请直接写出结论． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)当点H在点K上方时，；当点H在之间时，；当点H在点D下方时， 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，角平分线的定义： （1）由垂直的定义先求出，再根据平行线的性质即可得到； （2）设，则，由角平分线的定义得到，则，同理可得，再由垂直的定义得到，则； （3）分当点H在点K上方时，当点H在之间时，当点H在点D下方时， 三种情况画出图形，根据角之间的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，当点H在点K上方时，过点H作，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点H在之间时，过点H作，则， ∴，， ∴， ∴， ∴，即； 如图所示，当点H在之间时，过点H作，则， ∴，， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点H在点D下方时，过点H作，则， ∴，， ∴， ∴； 综上所述，当点H在点K上方时，；当点H在之间时，；当点H在点D下方时，． 42．在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量关系．（其中）    (1)将三角尺如图1所示叠放在一起． ①与大小关系是________； ②与的数量关系是________． (2)小亮固定其中一块三角尺不变，绕点顺时针转动另一块三角尺，从图2的与重合开始，到图3的与在一条直线上时结束，探索的一边与的一边平行的情况． ①求当时，如图4所示，的大小； ②直接写出的其余所有可能值． 【答案】(1)①相等；② (2)①；②或或或 【分析】（1）①利用同角的余角相等，即可得到答案； ②根据，，即可得到； （2）①过点O作则AB∥CD∥OE，即可得到30°，45°即可得到答案； ②分情况讨论：当时；当时，当时，当时，分别根据平行线的性质进行计算即可． 【详解】（1）解：①与大小关系是相等； ∵，， ∴， 故答案为：相等； ②与的数量关系是：； ∵，， ∴； （2）解：①过点O作，    ∵， ∴， ∴，， ∴； ②当时，如图，则；    当时，如图，则；    当时，如图，则， ∴；    当时，则， ∴；    ∴综上所述：的其余可能值为或或或． 【点睛】本题考查了同角的余角相等，角的和差计算，平行线的判定和性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质，正确分类讨论． 43．【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间． （1）求证：∠CAB＝∠MCA＋∠PBA； 证明：如图1，过点A作， ∵，， ∴， ∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB， ∴∠CAB＝∠DAC＋∠DAB＝∠MCA＋∠PBA， 即：∠CAB＝∠MCA＋∠PBA； 【类比应用】已知直线，P为平面内一点，连接PA、PD． （1）如图2，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；说明理由． （2）如图3，设、、直接写出、、∠P之间的数量关系为______． 【联系拓展】如图4，直线，P为平面内一点，连接PA、PD．AP⊥PD，DN平分∠PDC，若，运用（2）中的结论，求∠N的度数．说明理由． 【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠a+∠β-∠P= 180°；（3）∠N的度数为45° 【分析】(1)过点P作PE// AB，根据平行线的性质可得∠APE=∠A= 50°，∠EPD= 180°- 150°= 30°，即可求出∠APD的度数； (2)过点P作PE// AB，则AB//PE//CD，根据平行线的性质可得∠DPE=∠CDP=β，∠APE+ ∠PAB= 180°，即可得出∠CDP+∠PAB-∠APD= 180°； (3)PD交AN于点O，由AP⊥PD，得出∠APO= 90°，由∠PAN+∠PAB=∠APD得出 ∠PAN +∠PAB= 90°，由∠POA+∠PAN= 90°，得出∠POA=∠PAB，由对顶角相等得出∠NOD=∠PAB，由角平分线的性质得出∠ODN =∠PDC，即∠AND=180°- (PAB+∠PDC)，由(2)得：∠CDP+∠PAB-∠APD= 180°，代入计算即可求出∠AND的度数． 【详解】(1)如图2，过点P作PE//AB， ∵AB//CD， PE// AB， ∴AB//PE//CD， ∴∠APE=∠A = 50°， ∠DPE+∠D= 180°， ∴∠DPE= 180°- 150° = 30° ∴∠APD=∠APE+∠DPE = 50°+ 30°= 80° (2)如图3，过点P作PE//AB， ∵AB//CD， PE// AB， ∴AB// PE//CD， ∴∠DPE=∠CDP=β， 又∠APE+∠PAB= 180° ∴∠APE= 180°- a， ∠DPE=∠DPA+∠APE=∠DPA+ 180°-a ∴β=∠DPA + 180°- a， ∴a+β-∠P= 180°， 故答案为：∠a+∠β-∠P= 180°； 【联系拓展】如图4，PD交AN于点O， ∵ AP⊥PD， ∴∠APO=90° ∵∠PAN +∠PAB=∠APD， ∴∠PAN +∠PAB= 90° ， ∵∠POA+∠PAN = 90°， ∴∠POA=∠PAB， ∵∠POA=∠NOD， ∴∠NOD=∠PAB， ∵DN平分∠PDC， ∴∠ODN=∠PDC， ∴∠AND= 180°-∠NOD-∠ODN = 180°- (∠PAB +∠PDC)， 由(2)得： ∠CDP+∠PAB-∠APD= 180° ∴∠CDP+ ∠PAB= 180°+∠APD， ∴∠AND= 180°- (∠PAB +∠PDC) = 180°- (180°+∠APD) = 180°- (180° + 90°) = 45° 【点睛】本题考查了平行线的性质及垂线，对顶角，平行公理的应用，角平分线的性质，掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 44．如图所示，，的顶点E，F分别在直线、直线上，点在直线与直线之间，平分． (1)如图1，平分，，则的度数． (2)如图2，已知点为延长线上一点，且，请用含的式子表示的度数，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，，将绕点顺时针以每秒的速度旋转得到，将绕点顺时针以每秒的速度旋转得到，当首次旋转到直线上时，立刻绕点逆时针以原速旋转，当旋转到直线上时，两个三角形同时停止旋转，请直接写出当时的旋转时间的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或或或或或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，平行线的性质，角平分线的定义，正确根据题意画出对应的图形并利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）如图所示，过点作，则，由平行线的性质得到，，，即可推出，利用平角的定义求出，再利用角平分线的定义推出即可得到答案； （2）如图所示，过点作，则，由平行线的性质得到，，由平角的定义得到，再利用角平分线的定义和角度之间的关系求出，即可． （3）由题意得，首次到的时间为，首次到的时间为；当时，如图所示，可以把线段，，，的端点放在同一个位置，当两线段平行的时候，即这两条线段共线，当时，建立方程求解即可；当时，如图所示，可以把线段，，，的端点放在同一个位置，当两线段平行的时候，即这两条线段共线，当时建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图1所示，过点作， ，， ， ，，， ， ， ， ， 平分， ， ， 平分， ， ． （2）解：，理由如下： 如图2所示，过点作， ，， ， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． （3）解：由题意得，首次到的时间为，首次到的时间为； 当时，如图所示，可以把线段，，，的端点放在同一个位置，当两线段平行的时候，即这两条线段共线， 当时，则， 解得； 当时，如图所示，可以把线段，，，的端点放在同一个位置，当两线段平行的时候，即这两条线段共线， 由（2）的结论可知， ； ④当时，则或， 解得或（舍去）； 综上所述，或． 36 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$