第二章 相交线与平行线 知识归纳与题型突破（十类题型清单）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（北师大版2024）

第二章 相交线与平行线（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 要点一：相交线 1. 相交线的定义 在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。 图1 图2 图3 2. 对顶角的定义 若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。 注意：两个角互为对顶角的特征是： （1）角的顶点公共； （2）角的两边互为反向延长线； （3）两条相交线形成2对对顶角。 3. 对顶角的性质：对顶角相等。 4. 邻补角的定义 如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。 要点二：垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 注意：垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD⊥AB． 2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 注意： (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图4 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 注意： （1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 要点三：平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 注意： (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 要点四：三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 图5 要点五：平行公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 注意： (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． （2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性 要点六：平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 要点七：平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 03 题型归纳 题型一　对顶角 【典例1】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）下列各图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的定义，两个角有一个公共顶点，且其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角．根据对顶角的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、与不满足对顶角的定义，故与不是对顶角，本选项不符合题意； B、与没有公共顶点，故与不是对顶角，本选项不符合题意； C、与满足对顶角的定义，故与是对顶角，本选项符合题意； D、与不满足对顶角的定义，故与不是对顶角，本选项不符合题意； 故选：C． 巩固训练 1．（23-24七年级下·广东东莞·阶段练习）下图中，和是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查对顶角的定义，是一个需要熟记的内容．根据对顶角的定义，分析选项可得答案． 【详解】解：根据对顶角的定义，只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线， 分析可得，只有D符合定义， 故选：D 2．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，两直线交于点O，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的性质，邻补角；由对顶角的性质得，由邻补角得，即可求解；掌握对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：C． 3．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线相交于点O，，，则 ． 【答案】35 【分析】本题考查了对顶角相等，角的和差计算，掌握对顶角相等是解题的关键． 根据对顶角相等得到，再由角度和差计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：35． 题型二　点到直线的距离 【典例2】（2024七年级上·全国·专题练习）已知P为直线m外一点，A，B，C为直线m上三点，，，，则点P到直线m的距离为（   ） A． B． C．小于 D．不大于 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，熟练掌握“直线外一点到这条直线所画的线段中，垂线段最短”是解题的关键．根据点到直线的距离是直线外的点与直线上垂足间的线段的长，再根据垂线段最短，可得答案． 【详解】解∶当时，PC是点P到直线m的距离，即点P到直线m的距离为， 当不垂直m时，点P到直线m的距离小于的长，即点P到直线m的距离小于， 综上所述：点P到直线m的距离不大于， 故选∶D． 巩固训练 1．（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）如图，点在直线上，点，分别在直线上，，，，，，则下列说法正确的是（   ） A．点到直线的距离等于 B．点到直线的距离等于 C．点到直线的距离等于 D．点到直线的距离等于 【答案】B 【分析】本题考查了点到直线的距离．解决本题的关键是熟记点到直线的距离．点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，根据点到直线的距离的概念解答即可． 【详解】解：A、∵不垂直与，∴点B到直线 的距离不等于4，故本选项错误； B、∵，∴点C到直线的距离等于5，故本选项正确； C、∵，，∴点到直线的距离等于4，故本选项错误； D、点B到直线的距离等于，故本选项错误． 故选：B． 2．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，在中，，，，点P是边BC上的动点，则的长不可能是（    ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线段最短的性质．利用垂线段最短分析． 【详解】解：已知，在中，，， 根据垂线段最短，可知的长不可小于3，当和重合时，， 则的长不可能是， 故选：A． 3．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期末）如图，三角形 中，，已知，，，则点B到直线的距离是 ． 【答案】4 【分析】本题考查点到直线的距离，能够灵活运用三角形的面积公式是解答本题的关键． 根据点到直线的距离可判断出表示点 B到直线的距离是线段长解题． 【详解】解：点B到直线的距离是， 故答案为：． 题型三　垂线段最短 【典例3】（2023·贵州遵义·模拟预测）如图，河道的同侧有两地，现要铺设一条引水管道，从地把河水引向、两地．下列四种方案中，最节省材料的是（    ） A．     B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂线段最短的运用，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．根据垂线段最短以及两点之间线段最短，求解即可． 【详解】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是： 故选：D． 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，现要从村庄A修建一条连接公路的最短小路，过点A作于点H，沿修建公路，则这样做的理由是 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短，作答即可． 【详解】解：过点A作于点H，沿修建公路，则这样做的理由是垂线段最短； 故答案为：垂线段最短． 2．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在直角三角形中，．点P为边上一动点，连接，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】依据垂线段最短，即可得到当时，最短．根据面积法求得垂线段的长即可． 本题主要考查了垂线段最短的性质，问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 【详解】解：如图所示，当时，最短，    ， ， 的最小值是． 故答案为：． 题型四　同位角，内错角和同旁内角的判定 【典例4】（13-14七年级下·新疆昌吉·期中）如图，按各组角的位置判断错误的是（    ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 【答案】C 【分析】本题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角分别进行分析可得答案． 【详解】解：A、与是同旁内角，原说法正确，不符合题意； B、与是内错角，原说法正确，不符合题意； C、与不是同旁内角，原说法错误，符合题意； D、与是同位角，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 巩固训练、 1．（2024七年级下·全国·专题练习）数学课上老师用双手表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示（ ） A．同旁内角、同位角、内错角 B．同位角、内错角、同旁内角 C．内错角、同旁内角、同位角 D．内错角、同位角、同旁内角 【答案】D 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区别它们． 两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可． 【详解】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知 第一个图是内错角，第二个图是同位角，第三个图是同旁内角． 故选：D． 2．（23-24七年级下·河南郑州·期中）下列说法不正确的是（　　） A．与是同位角 B．与是同旁内角 C．与是内错角 D．与是同位角 【答案】D 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角．根据同位角、内错角、同旁内角的定义分别分析即可． 【详解】解：A、与是同位角，故本选项不符合题意； B、与是同旁内角，故本选项不符合题意； C、与是内错角，故本选项不符合题意； D、与不是同位角，故本选项符合题意； 故选：D． 3．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）如图，图中标示的五个角中，与是同位角的是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同位角的概念，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． 【详解】解：由图可得，与构成同位角的是， 故答案为：． 题型五　利用平行线的性质求角度 【典例5】（23-24七年级上·河南南阳·期末）如图，，，若，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、直角三角形的性质；熟练掌握“两直线平行，同为角相等；直角三角形两锐角互余”是解题的关键．根据平行线的性质可得；根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】如图， ， ． 故选B． 巩固训练 1．（23-24七年级下·重庆九龙坡·期末）如图，直线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．过点作，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出，，求出结果即可． 【详解】解：过点作，如图所示： ∵， ， ，， ． 故选：A． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，则 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查平行线的性质和三角形的外角的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键；由平行线的性质可得，由外角的性质可得，即可求得答案． 【详解】解：如图所示，延长交于点F，取直线上一点N，点N位于点A右侧， ， ， ， ， ， 故答案为：30． 3．（22-23七年级下·陕西咸阳·期末）如图，，平分，，．则的度数是 ．    【答案】/35度 【分析】由平行线的性质可得出，，从而可求出，再由角平分线的定义可得出，即得出． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义．利用数形结合的思想是解题关键． 题型六　利用平行线的性质解决三角板问题 【典例6】（2024七年级上·全国·专题练习）已知，直线分别交、于点、，，将一个含有角的直角三角尺如图放置（角的顶点与H重合），则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．依据，可得，再根据，即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 巩固训练 1．（23-24七年级下·北京海淀·期中）一把直尺和一块三角板(含，角)如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点，且，那么的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，先根据平行线的性质得出，然后再求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 2．（23-24八年级上·内蒙古包头·期末）将一副三角板如图1放置，使点A落在DE上，三角板ABC的顶点C与三角板CDE的直角顶点C重合，若，AB与CE交于点F，则的度数为（    ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】D 【分析】根据平行线的性质，三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由题意可知，∠E=30°，∠ACB=45°，∠FAC=90°， ∵ ∴∠ECB=∠E=30°， ∴∠ACF=∠ACB-∠ECB=45°-30°=15°， 在△AFC中，∠AFC=180°-∠FAC-∠ACF=75°． 故选D 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，根据图形灵活运用这些知识是解题的关键． 3．（23-24七年级下·广东东莞·期中）如图，把三角尺的直角顶点放在直线b上，若，则当 °时，． 【答案】52 【分析】本题主要考查了平行线的判定方法、平角的定义；熟记同位角相等，两直线平行是解题的关键． 由直角三角板的性质可知，当时，得出即可． 【详解】解：当时， ，理由如下： ∵， ∴， 当，， 故答案为：52 题型七　利用平行线解决折叠的有关问题 【典例7】（23-24八年级上·山西朔州·期中）如图，把矩形ABCD沿EF折叠，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质．根据折叠的性质及可求出的度数，再由平行线的性质即可得到的度数． 【详解】解：根据折叠的性质有：，即 ， ∵， ∴ ， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 巩固训练 1．（22-23七年级下·黑龙江双鸭山·期末）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据平行线的性质得到，，然后由折叠的性质得到，，然后根据得到，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵沿，折叠，使点和点都落在点处， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴． 故选：C． 2．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，在中，，，点D，E分别在，上，将沿折叠得，且满足，则 ． 【答案】/74度 【分析】此题主要考查了图形的折叠变换及其性质，三角形的内角和定理，平行线的性质． 先根据三角形的内角和定理求出，根据折叠的性质得，再根据得，然后根据平角的定义得，据此可得的度数． 【详解】解：∵在中，，， ， 由折叠的性质得：， ∵， ， ， ， ． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图，四边形为一长方形纸带，，将纸带沿折叠，两点分别与对应，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质、折叠的性质，根据平行线的性质和折叠的性质求出、的度数，再相减即可得出答案． 【详解】解：设， ， ，， ， ， 由折叠的性质可得：，， ， 解得：， ， ， ， 故答案为：． 题型八 平行线的实际应用 1【典例8】（2024·河南濮阳·一模）通过实验发现凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向， 点F是凸透镜的焦点，，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，对顶角的性质，先由两直线平行，同旁内角互补得到，，再根据求解即可 【详解】解：∵， ∴， ， ∴， 故选；B． 巩固训练 1．（23-24七年级下·河北廊坊·期中）滑雪运动深受年轻人的喜欢，滑雪时正确的滑雪姿势尤为重要．如图①，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态．图②是其示意图，已知，，则当时，上身与水平线夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，延长交于M，利用“两直线平行，同旁内角互补”求出的度数，再利用“两直线平行，内错角相等”求出的度数即可． 【详解】解：延长交于M， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．（23-24八年级上·河北保定·期末）我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，当为（    ）度时，． A．15 B．65 C．70 D．115 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；由题意易得， 则有，然后问题可求解． 【详解】解：当为70度时，，理由如下： ∵，都与地面l平行， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； 故选C． 3．（24-25七年级上·山西临汾·期末）为响应“绿色环保，节能减排”的号召，人们纷纷将购买节能灯作为践行环保理念的重要方式．如图，这是一盏可调节的节能台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线组成．现调节台灯，使外侧光线．若，则的度数为    【答案】/45度 【分析】本题考查平行线的性质、平行公理的应用，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．过B作，过A作，根据平行线的性质推导出，即可求解． 【详解】解：如图，过B作，过A作，    ∴， ∴， ， ∵固定支撑杆垂直底座于点， ∴，又， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 题型九　平行线的判定 【典例9】（23-24七年级下·广东揭阳·期末）如图，下列四个选项中，不能判定的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的判定，利用平行线的判定定理进行分析即可． 【详解】解：A、当时，由内错角相等，两直线平行得，故A不符合题意； B、当时，由同旁内角互补，两直线平行得，故B不符合题意； C、当时，由同旁内角互补，两直线平行得，而不能得到，故C符合题意； D、当时，由内错角相等，两直线平行得，故D不符合题意． 故选：C． 巩固训练 1．（24-25七年级上·吉林四平·期末）如图，木工师傅用图中的角尺画平行线的依据是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线的判定的应用，根据同位角相等，两直线平行可得答案． 【详解】解：木工师傅用图中的角尺画平行线的依据是： 同位角相等，两直线平行． 故选：B 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线、被直线所截，平分交于点．下列条件中，不能判定的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定及角平分线的定义，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．根据平行线的判定及角平分线的定义进行判断即可． 【详解】解：A．根据内错角相等，两直线平行，由可得，故本选项不符合题意； B．∵平分交于点． ， ∵， ， 根据内错角相等，两直线平行，由可得，故本选项不符合题意； C．∵，， ∴， 根据同位角相等，两直线平行，由可得，故本选项不符合题意； D．不能得出，故本选项符合题意． 故选：D． 3．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图（，，三点在同一直线上），要使，需要添加的条件是 （只用图中的数字与字母，任意添加一组）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查学生对平行线的判定的理解与应用的能力，要认真审题，明确题目中的已知条件，解题的关键是熟练掌握平行线判定定理．根据内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行来判定两直线平行． 【详解】解：添加， ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）； 添加， ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）； 添加， ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； 添加， ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； 故答案为：（答案不唯一）． 题型十　平行线的性质与判定综合 【典例10】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知． 如 (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的判定和性质． （1）根据同旁内角互补两直线平行即可证明结论成立； （2）根据平行线的性质得到，由等量代换得到，即可证明，再根据平行线的性质即可得到的度数． 【详解】（1）解：证明：， ， ． （2）， ． 又， ， ， ． 巩固训练 1．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图所示，已知，，，且，，，在同一条直线上． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，线段的和与差．熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行线的判定，线段的和与差是解题的关键． （1）证明，则，进而可证； （2）由题意得，，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长度为9． 2．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，，，证明：，请将说明过程填写完整．    证明：∵，（已知） ∴______，（____________） ∴．（已知） ∴____________．（____________） ∴． ∴．（____________） 【答案】见详解 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练运用平行线的性质和判定是解题的关键． 先根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等，得到，再等量代换，根据平行线的判定，得到，再根据平行线的性质即可． 【详解】证明：∵，（已知） ∴（两直线平行，同位角相等） ∴．（已知） ∴．（同旁内角互补，两直线平行） ∴． ∴．（等量代换）． 3．（24-25七年级上·山西临汾·期末）综合与探究 【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展探究两角之间数量关系的数学活动．如图1，这是凹透镜的剖面图，从位于点发出的灯光照射到凹面镜上反射出的光线都是水平线，即． 【探索发现】 （1）如图1，之间的数量关系为______． 【深入探究】 （2）如图2，直线分别为直线上的点，是平面内的任意一点，连接，．都是直线上的点，且，直线，交于点，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下，若，试探究与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了利用平行线的性质探求角的度数及关系，根据图准确作出辅助线是解题关键． （1）过O作，利用平行公理得到，利用平行线的性质得到，，两式相加可得结论； （2）设，利用邻补角定义可得；利用平行线的性质可推导出，进而可得结论； （3）过点F作，设，利用平行线的性质即可求证． 【详解】解：（1）如图所示，过O作， ， ， ∴，， ∴， 即； （2）与之间的数量关系为，理由如下： 设， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）设， 过点F作， ， ， ∴，， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴． 4．（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）已知三角形，点在直线上，过点作交直线于点，交直线于点．    (1)如图，若点在边上，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图，若点在边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若成立，给予说明；若不成立，说明理由． 【答案】(1)；见解析 (2)不成立；见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，补角的性质，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键． （1）根据平行线的性质得出，，根据补角的性质得出结果即可； （2）根据平行线的性质得出，，从而得出． 【详解】（1）解：；理由： 因为， 所以， 因为， 所以． 所以． （2）解：（1）中的结论不成立． 当点在边的延长线上时，． 理由：因为， 所以． 因为， 所以． 所以． 36 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 相交线与平行线（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 要点一：相交线 1. 相交线的定义 在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。 图1 图2 图3 2. 对顶角的定义 若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。 注意：两个角互为对顶角的特征是： （1）角的顶点公共； （2）角的两边互为反向延长线； （3）两条相交线形成2对对顶角。 3. 对顶角的性质：对顶角相等。 4. 邻补角的定义 如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。 要点二：垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 注意：垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD⊥AB． 2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 注意： (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图4 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 注意： （1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 要点三：平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 注意： (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 要点四：三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 图5 要点五：平行公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 注意： (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． （2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性 要点六：平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 要点七：平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 03 题型归纳 题型一　对顶角 【典例1】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）下列各图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24七年级下·广东东莞·阶段练习）下图中，和是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，两直线交于点O，若，则（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线相交于点O，，，则 ． 题型二　点到直线的距离 【典例2】（2024七年级上·全国·专题练习）已知P为直线m外一点，A，B，C为直线m上三点，，，，则点P到直线m的距离为（   ） A． B． C．小于 D．不大于 巩固训练 1．（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）如图，点在直线上，点，分别在直线上，，，，，，则下列说法正确的是（   ） A．点到直线的距离等于 B．点到直线的距离等于 C．点到直线的距离等于 D．点到直线的距离等于 2．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，在中，，，，点P是边BC上的动点，则的长不可能是（    ） A． B．3 C．4 D．5 3．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期末）如图，三角形 中，，已知，，，则点B到直线的距离是 ． 题型三　垂线段最短 【典例3】（2023·贵州遵义·模拟预测）如图，河道的同侧有两地，现要铺设一条引水管道，从地把河水引向、两地．下列四种方案中，最节省材料的是（    ） A．     B． C． D． 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，现要从村庄A修建一条连接公路的最短小路，过点A作于点H，沿修建公路，则这样做的理由是 2．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在直角三角形中，．点P为边上一动点，连接，则的最小值是 ．    题型四　同位角，内错角和同旁内角的判定 【典例4】（13-14七年级下·新疆昌吉·期中）如图，按各组角的位置判断错误的是（    ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 巩固训练、 1．（2024七年级下·全国·专题练习）数学课上老师用双手表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示（ ） A．同旁内角、同位角、内错角 B．同位角、内错角、同旁内角 C．内错角、同旁内角、同位角 D．内错角、同位角、同旁内角 2．（23-24七年级下·河南郑州·期中）下列说法不正确的是（　　） A．与是同位角 B．与是同旁内角 C．与是内错角 D．与是同位角 3．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）如图，图中标示的五个角中，与是同位角的是 ． 题型五　利用平行线的性质求角度 【典例5】（23-24七年级上·河南南阳·期末）如图，，，若，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24七年级下·重庆九龙坡·期末）如图，直线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，则 ． 3．（22-23七年级下·陕西咸阳·期末）如图，，平分，，．则的度数是 ．    题型六　利用平行线的性质解决三角板问题 【典例6】（2024七年级上·全国·专题练习）已知，直线分别交、于点、，，将一个含有角的直角三角尺如图放置（角的顶点与H重合），则等于（　　） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24七年级下·北京海淀·期中）一把直尺和一块三角板(含，角)如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点，且，那么的大小为（     ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·内蒙古包头·期末）将一副三角板如图1放置，使点A落在DE上，三角板ABC的顶点C与三角板CDE的直角顶点C重合，若，AB与CE交于点F，则的度数为（    ） A．30° B．45° C．60° D．75° 3．（23-24七年级下·广东东莞·期中）如图，把三角尺的直角顶点放在直线b上，若，则当 °时，． 题型七　利用平行线解决折叠的有关问题 【典例7】（23-24八年级上·山西朔州·期中）如图，把矩形ABCD沿EF折叠，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（22-23七年级下·黑龙江双鸭山·期末）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，在中，，，点D，E分别在，上，将沿折叠得，且满足，则 ． 3．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图，四边形为一长方形纸带，，将纸带沿折叠，两点分别与对应，若，则的度数为 ． 题型八 平行线的实际应用 1【典例8】（2024·河南濮阳·一模）通过实验发现凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向， 点F是凸透镜的焦点，，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24七年级下·河北廊坊·期中）滑雪运动深受年轻人的喜欢，滑雪时正确的滑雪姿势尤为重要．如图①，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态．图②是其示意图，已知，，则当时，上身与水平线夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·河北保定·期末）我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，当为（    ）度时，． A．15 B．65 C．70 D．115 3．（24-25七年级上·山西临汾·期末）为响应“绿色环保，节能减排”的号召，人们纷纷将购买节能灯作为践行环保理念的重要方式．如图，这是一盏可调节的节能台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线组成．现调节台灯，使外侧光线．若，则的度数为    题型九　平行线的判定 【典例9】（23-24七年级下·广东揭阳·期末）如图，下列四个选项中，不能判定的是（   ）    A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25七年级上·吉林四平·期末）如图，木工师傅用图中的角尺画平行线的依据是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线、被直线所截，平分交于点．下列条件中，不能判定的是（） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图（，，三点在同一直线上），要使，需要添加的条件是 （只用图中的数字与字母，任意添加一组）． 题型十　平行线的性质与判定综合 【典例10】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知． 如 (1)求证：； (2)若，求的度数． 巩固训练 1．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图所示，已知，，，且，，，在同一条直线上． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 2．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，，，证明：，请将说明过程填写完整．    证明：∵，（已知） ∴______，（____________） ∴．（已知） ∴____________．（____________） ∴． ∴．（____________） 3．（24-25七年级上·山西临汾·期末）综合与探究 【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展探究两角之间数量关系的数学活动．如图1，这是凹透镜的剖面图，从位于点发出的灯光照射到凹面镜上反射出的光线都是水平线，即． 【探索发现】 （1）如图1，之间的数量关系为______． 【深入探究】 （2）如图2，直线分别为直线上的点，是平面内的任意一点，连接，．都是直线上的点，且，直线，交于点，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下，若，试探究与之间的数量关系． 4．（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）已知三角形，点在直线上，过点作交直线于点，交直线于点．    (1)如图，若点在边上，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图，若点在边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若成立，给予说明；若不成立，说明理由． 36 / 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