精品解析：山东省烟台市福山区（五四制）2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

2024-2025学年第一学期期末学业水平考试 初三数学试题 温馨提示： 1．考试时间120分钟，满分120分． 2．考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的有几个（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：观察四个图形，只有第三个图形是轴对称图形，也是中心对称图形， 其他三个图形，是轴对称图形，不是中心对称图形， 故选：A ． 2. 下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质．熟练掌握分式的基本性质是解题关键．分式的基本性质：分子分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变． 据此即可求解． 【详解】解：A．分子、分母同时减，不符合分式的性质，故A错误，不符合题意； B．，故B错误，不符合题意； C．分子乘了，分母乘了，不符合分式的性质，故C错误，不符合题意； D．分子、分母同时乘了一个不为零的数，分式的值不变，故D正确，符合题意． 故选：D． 3. 期末考试后，办公室里有两位数学老师正在讨论他们班的数学考试成绩，邱老师：“我班的学生考得还不错，有一半的学生考90分以上，一半的学生考不到90分，”张老师：“我班大部分的学生都考在85分到90分之间，”依照上面两位老师所叙述的话你认为邱者师、张者师所说的话分别针对（ ） A. 平均数、众数 B. 中位数、众数 C. 中位数、方差 D. 平均数、中位数 【答案】B 【解析】 【分析】根据两位老师的说法中的有一半的学生考90分以上，一半的学生考不到90分，可以判断90分是中位数，大部分的学生都考在85分到90分之间，可以判断众数． 【详解】解：∵有一半的学生考90分以上，一半的学生考不到90分， ∴90分是这组数据的中位数， ∵大部分的学生都考在85分到90分之间， ∴众数在此范围内， 故选：B． 【点睛】本题考查了统计量的选择，解题的关键是抓住题目中的关键词语． 4. 分式方程约去分母得（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解分式方程中的去分母化为整式方程的过程．找到最简公分母，两边同时乘以这个最简公分母，注意不要漏乘，单独的一个数和字母也必须乘最简公分母，还有就是分子分母互为相反数时约分为． 【详解】解：， 方程两边都乘得：． 故选：C． 5. 如图，Rt△ABC的两条直角边AC，BC分别经过正五边形的两个顶点，则∠1＋∠2等于（ ） A. 126° B. 130° C. 136° D. 140° 【答案】A 【解析】 【分析】根据正五边形的特征求出正五边形的一个内角，进一步得到2个内角的和；再根据三角形内角和为180°以及角的和差即可解答． 【详解】解：∵正五边形， ∴每一个内角为：180°-=108°，即：两个内角和为216°， ∴∠1＋∠2=216°-90°=126°． 故选A． 【点睛】本题主要考查了多边形内角与外角，根据多边形内角和外角的性质求得正五边形的一个内角的度数成为解答本题的关键． 6. 甲、乙两个城市3月初前5天的最高气温如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 甲、乙两城市最高气温的中位数都是 B. 甲城市最高气温的众数是 C. 甲城市比乙城市最高气温相对的稳定 D. 乙城市最高气温的平均数是 【答案】B 【解析】 【分析】计算出甲、乙两城市最高气温的中位数，判定A；计算出甲城市最高气温的众数判定B；根据甲城市与乙城市的方差判定C；计算出乙城市气温的平均数判定D． 【详解】解：A、甲城市最高气温按从小到大排列为，， ，，， 所以甲城市最高气温的中位数为； 乙城市最高气温按从小到大排列为，， ，，， 所以乙城市最高气温的中位数为； 所以甲、乙两城市最高气温的中位数都是，正确，故此选项不符合题意； B、甲城市最高气温都要出现了一次，没有众数， 所以甲城市最高气温的众数是说法错误，故此选项符合题意； C、由图可知：甲城市最高气温气温的波动小，相对比较稳定． 所以甲城市比乙城市最高气温相对的稳定说法正确，故此选项不符合题意； D、乙城市最高气温的平均数为，正确，故故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了折线统计图，平均数，众数，中位数，方差，熟练掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 7. 如图，四边形ABCD是正方形，△ADE绕着点A旋转90°后到达△ABF的位置，连接EF，则△AEF的形状是（　　） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【详解】AF=AE,所以△AEF是等腰三角形，图象旋转90°，所以∠FAE=90°，所以△AEF的形状是等腰直角三角形，选C. 8. 若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解．先解方程，用含有m的式子表示出方程的解，再根据分式方程的解为正数，并且分母不为零，可得到满足条件的m的范围． 【详解】解：去分母得，， 解得， ∵关于x的分式方程的解为正数， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 故选：D． 9. 如图，在中，E、F分别为边、的中点，是对角线．下列说法错误的是（ ） A. 当时，四边形是菱形 B. 当时，四边形是菱形 C. 当时，四边形是矩形 D. 当平分时，四边形是矩形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质与菱形的判定，先根据平行四边形性质得到，，得到四边形是平行四边形，再结合选项条件结合菱形的判定，逐个判定即可得到答案； 【详解】解：∵在中，E、F分别为边、的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∴四边形是矩形，故D选项正确不符合题意， 当时，得不到四边形菱形，故A选项错误，符合题意， 当时， ， ∴四边形是菱形，故B选项正确不符合题意， 当时， ∵E为边的中点， ∴， ∴四边形是矩形，故C选项正确不符合题意， 故选：A． 10. 如图，的周长为，以它的各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，……如此下去，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、图形类规律探究，正确找出三角形的周长的变化规律是解题的关键．根据三角形中位线定理得到的周长，的周长，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：点、、分别为、、的中点， ，，， 的周长， 同理，的周长， 则的周长， 故选：A． 二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 将多项式进行因式分解得到，则的值为______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式以及因式分解的概念：先把运用多项式乘多项式的法则展开，再与进行比较，即可作答． 【详解】解：依题意， 因为多项式进行因式分解得到， 所以 那么，， 故，， 所以， 故答案为：． 12. 若分式的值为0，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】此题主要考查了分式值为零的条件，分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．根据分式值为零的条件可得，且，再解即可． 【详解】解：由题意得：得，且， 解得：， 故答案为：2． 13. 如图，直线，菱形和等边在，之间，点A，F分别在，上，点B，D，E，G在同一直线上；若，，则______． 【答案】##42度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，根据相关性质确定角度之间的数量关系是解题关键． 由平角的定义求得，由外角定理求得，根据平行线的性质得，进而求得． 【详解】解：如图，设直线与直线，相交于H、I， ， ， ， ， ， ， ∵等边， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，2），B（-2，2），C（-1，0）．将△ABC绕某点顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是_____________． 【答案】（1，-1） 【解析】 【分析】由旋转性质可得A的对应点为D，B的对应点为E，C的对应点为F，同时旋转中心在AD和BE的垂直平分线上，进而求出旋转中心坐标． 【详解】解：由旋转的性质，得 A的对应点为D，B的对应点为E，C的对应点为F 作BE和AD的垂直平分线，交点为P ∴点P的坐标为（1，-1） 故答案为：（1，-1） 【点睛】本题考查坐标与图形变化—旋转，图形的旋转需结合旋转角求旋转后的坐标，常见的旋转角有30°，45°，60°，90°，180°． 15. 如图，在正方形中，、是对角线上两点，且，将绕点顺时针旋转90°后，得到，连接，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意知，，，由旋转的性质可得，，，，，则，，证明，则，由勾股定理得，，然后作答即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，， 由旋转的性质可得，，，，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握半角的全等模型，旋转的性质是解题的关键． 16. 如图 ，在平面直角坐标系中 ，平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A(﹣1，﹣2) ， D(1，1) ，C(5，2) ，则顶点B的坐标为___________ 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标为，根据平行四边形的对角互相平分，利用中点坐标公式即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， ∵平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A(﹣1，﹣2) ， D(1，1) ，C(5，2) ， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键． 三、解答题（本大题共9个题，满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 先化简，再求值：，其中m是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且m是整数． 【答案】； 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用三角形三边的关系，求得m的值，代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ∵m是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长， ∴3-2＜m＜3+2，即1＜m＜5， ∵m为整数， ∴m=2、3、4， 又∵m≠0、2、3 ∴m=4， ∴原式=． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值以及三角形三边的关系，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 18. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题关键是熟练运用提取公因式和公式法进行因式分解，注意：因式分解要彻底． （1）先用平方差公式分解，再利用完全平方公式继续分解即可； （2）先用完全平方公式分解，再提取公因式即可． 【小问1详解】 解：； ； 【小问2详解】 解： ． 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）原方程无解 （2） 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，利用了转化的思想，注意要检验． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【小问1详解】 解：， 方程两边乘以，得：， 解得：， 检验：当时，， 所以原方程无解； 【小问2详解】 解：， 方程两边乘以，得： ， 解得， 检验：当时，， 所以原分式方程的解为． 20. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点A(－2，2)，B(0，5)，C(0，2) ． (1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C的图形． (2)平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为(－2，－6)，请画出平移后对应的△A2B2C2的图形． (3)若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】(1)画图见解析；（2）画图见解析；（3）(0，－2) 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质得出对应点坐标进而得出答案； （2）利用平移规律得出对应点位置，进而得出答案； （3）利用旋转图形的性质，连接对应点，即可得出旋转中心的坐标． 【详解】解：（1）如图所示：△A1B1C即为所求； （2）如图所示：△A2B2C2即为所求； （3）旋转中心坐标（0，﹣2）． 作图－旋转变换；作图－平移变换． 【点睛】本题考查作图一旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型． 21. 如图，点E为的边上一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，H为的中点，连接，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若的面积为4，则的面积为__________．（直接写出结果） 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，证明是的中位线，可得，，证明，，由平行四边形的判定方法可得出结论． （2）根据中位线的性质可求出的面积，从而得出平行四边形的面积． 【小问1详解】 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵，， ∴为的中位线， ∴，， ∴，， ∵H为的中点， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 【小问2详解】 如图，连接，， ∵点H为的中点，，， ∴点B，C分别为，的中点， ∴，，是的中位线， ∵的面积为4， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积为2． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理，熟练掌握相关定理并能进行运用是解题的关键． 22. 某中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件．学期末，学校对七、年级的学生投稿情况进行调查．分别从两个年级随机抽取部分学生，统计每人在本学期投稿的篇数，制作了如下的扇形统计图和条形统计图： 根据统计图，分别计算有关统计量： 统计量 中位数 众数 方差 七年级 a b 1.48 八年级 c d 1.01 根据上述信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________，________； （2）分别计算七、八年级被调查学生投稿篇数的平均数； （3）从中位数、众数、平均数、方差中，任选两个统计量，对七、八年级学生的投稿情况进行比较，并做出评价． 【答案】（1）3篇，3篇，3.5篇，4篇 （2）七、八年级被调查学生投稿篇数的平均数分别为3篇，3.3篇 （3）从中位数、众数、平均数来看，八年级学生的均高于七年级学生的，而且从方差来看，八年级学生的小于七年级学生的，所以八年级学生的投稿情况比七年级学生的投稿情况好 【解析】 【分析】本题考查条形图与扇形统计图的综合应用，求中位数，众数和平均数．从统计图中有效的获取信息，是解题的关键． （1）根据将数据排序后，位于中间一位或中间两位的平均数为中位数，出现次数最多的数据为众数，进行求解即可； （2）利用平均数的计算方法进行计算即可； （3）利用中位数、众数、平均数和方差做决策即可． 【小问1详解】 七年级3篇所占比例为：， 所以众数3， ∵，， 所以中位数也是3， 即：； 由条形图可知：4篇的人数最多，故众数为4， 将数据排序后第25，26个数据分别为3，4，故中位数为； 即：，； 故答案为：3篇，3篇，3.5篇，4篇 【小问2详解】 七年级投稿的平均数为：（篇）； 八年级的投稿的平均数为：（篇）； 【小问3详解】 从中位数、众数、平均数来看，八年级学生的均高于七年级学生的，而且从方差来看，八年级学生的小于七年级学生的，所以八年级学生的投稿情况比七年级学生的投稿情况好． 23. 如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是，连接，设点P、Q运动的时间为． （1）当t为何值时，四边形矩形？ （2）当t为何值时，四边形是菱形？求出此时菱形的面积． 【答案】（1）当时，四边形是矩形 （2）当时，四边形是菱形，菱形的面积是 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，菱形的判定和性质．掌握相关判定方法和性质，是解题的关键． （1）根据题意，得到当时，四边形是矩形，列出方程进行求解即可； （2）根据题意，得到当四边形是菱形时，，列出方程求出的值，根据菱形的面积公式求出面积即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 当四边形是矩形时，， ∴， 解得：， ∴当时，四边形是矩形； 【小问2详解】 ∵， ∴， 当四边形是菱形时，， ∴， 解得：， 当时，， ∴， 菱形的面积为． 24. 为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用．经调查，某公司有A，B两种健身器材可供选择，每套A型健身器材售价比B型健身器材售价低万元，用16万元购买A型健身器材和用20万元购买B型健身器材购得的器材数量相同． （1）求A，B两种健身器材每套的售价分别为多少万元？ （2）经协商，该公司承诺：每套A型健身器材在售价的基础上减免万元；每套B型健身器材在售价的基础上打七五折．若学校购进的80套健身器材中，B型健身器材的数量不少于A型健身器材数量的2倍，学校应如何购买才能使总费用最少？ 【答案】（1）A种健身器材每套万元，B种健身器材每套万元 （2）学校购买A种健身器材套，B种健身器材套才能使总费用最少 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用， （1）设种健身器材每套的售价为万元，则种健身器材每套的售价为万元，根据用16万元购买A型健身器材和用20万元购买型健身器材购得的器材数量相同列出分式方程，解方程即可； （2）设学校购买型健身器材m套，则购买型健身器材套，根据型健身器材的数量不少于型健身器材数量的2倍，列出一元一次不等式，解得，再设总费用为w元，然后由题意得出w关于m的一次函数关系式，即可解决问题． 【小问1详解】 解：设种健身器材每套的售价为万元，则种健身器材每套的售价为万元， ∴，解得：， 经检验，时原方程的解，且符合题意， ∴， 答：种健身器材每套的售价为万元，则种健身器材每套的售价为万元； 【小问2详解】 解：设学校购买型健身器材m套，则购买型健身器材套， ∴，解得：， ∵m为正整数， ∴m的最大值为， 设总费用为w元， ∴， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w有最小值， 此时，， 答：学校购买型健身器材26套，则购买型健身器材54套． 25. 如图，在矩形中，，，是边上一动点，将沿折叠得到． （1）连接，若，求此时的面积． （2）①若点P，E，D在同一直线上，求此时的长度．②若射线与矩形的边交于点M，当时，求的长． 【答案】（1） （2）①，②的长为或． 【解析】 【分析】（1）在中，解直角三角形求出，由折叠的性质得到，过点作于点，求出，即可求解； （2）①利用勾股定理求出，证明，利用全等三角形的性质，即可得出结果；分当点在边上时，当点在边上时，两种情况讨论，利用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：中，，， ， ． 由折叠知， ． 如图1，过点作于点， ， ； 【小问2详解】 解：①如图2， 由折叠知， ． ， ． 又，， ， ， ， ； ②如图3，当点在边上时， 设，则，， ， ． 如图4，当点在边上时， 设，则，， ， ． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，三角形全等的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期期末学业水平考试 初三数学试题 温馨提示： 1．考试时间120分钟，满分120分． 2．考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的有几个（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列各式从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 期末考试后，办公室里有两位数学老师正在讨论他们班数学考试成绩，邱老师：“我班的学生考得还不错，有一半的学生考90分以上，一半的学生考不到90分，”张老师：“我班大部分的学生都考在85分到90分之间，”依照上面两位老师所叙述的话你认为邱者师、张者师所说的话分别针对（ ） A 平均数、众数 B. 中位数、众数 C. 中位数、方差 D. 平均数、中位数 4. 分式方程约去分母得（ ） A. B. C. D. 5. 如图，Rt△ABC的两条直角边AC，BC分别经过正五边形的两个顶点，则∠1＋∠2等于（ ） A. 126° B. 130° C. 136° D. 140° 6. 甲、乙两个城市3月初前5天的最高气温如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 甲、乙两城市最高气温的中位数都是 B. 甲城市最高气温的众数是 C. 甲城市比乙城市最高气温相对的稳定 D. 乙城市最高气温的平均数是 7. 如图，四边形ABCD是正方形，△ADE绕着点A旋转90°后到达△ABF的位置，连接EF，则△AEF的形状是（　　） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 8. 若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 如图，在中，E、F分别为边、的中点，是对角线．下列说法错误的是（ ） A. 当时，四边形是菱形 B. 当时，四边形是菱形 C. 当时，四边形是矩形 D. 当平分时，四边形是矩形 10. 如图，的周长为，以它的各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，……如此下去，则的周长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 将多项式进行因式分解得到，则的值为______． 12. 若分式的值为0，则的值为______． 13. 如图，直线，菱形和等边在，之间，点A，F分别在，上，点B，D，E，G在同一直线上；若，，则______． 14. 如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，2），B（-2，2），C（-1，0）．将△ABC绕某点顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是_____________． 15. 如图，在正方形中，、是对角线上两点，且，将绕点顺时针旋转90°后，得到，连接，若，，则的长为______． 16. 如图 ，在平面直角坐标系中 ，平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A(﹣1，﹣2) ， D(1，1) ，C(5，2) ，则顶点B的坐标为___________ 三、解答题（本大题共9个题，满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 先化简，再求值：，其中m是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且m是整数． 18. 因式分解： （1）； （2）． 19. 解方程： （1） （2） 20. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点A(－2，2)，B(0，5)，C(0，2) ． (1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C的图形． (2)平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为(－2，－6)，请画出平移后对应的△A2B2C2的图形． (3)若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标． 21. 如图，点E为的边上一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，H为的中点，连接，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若的面积为4，则的面积为__________．（直接写出结果） 22. 某中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件．学期末，学校对七、年级的学生投稿情况进行调查．分别从两个年级随机抽取部分学生，统计每人在本学期投稿的篇数，制作了如下的扇形统计图和条形统计图： 根据统计图，分别计算有关统计量： 统计量 中位数 众数 方差 七年级 a b 1.48 八年级 c d 1.01 根据上述信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________，________； （2）分别计算七、八年级被调查学生投稿篇数的平均数； （3）从中位数、众数、平均数、方差中，任选两个统计量，对七、八年级学生的投稿情况进行比较，并做出评价． 23. 如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是，连接，设点P、Q运动的时间为． （1）当t为何值时，四边形矩形？ （2）当t为何值时，四边形是菱形？求出此时菱形的面积． 24. 为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用．经调查，某公司有A，B两种健身器材可供选择，每套A型健身器材售价比B型健身器材售价低万元，用16万元购买A型健身器材和用20万元购买B型健身器材购得的器材数量相同． （1）求A，B两种健身器材每套售价分别为多少万元？ （2）经协商，该公司承诺：每套A型健身器材在售价的基础上减免万元；每套B型健身器材在售价的基础上打七五折．若学校购进的80套健身器材中，B型健身器材的数量不少于A型健身器材数量的2倍，学校应如何购买才能使总费用最少？ 25. 如图，在矩形中，，，是边上一动点，将沿折叠得到． （1）连接，若，求此时的面积． （2）①若点P，E，D在同一直线上，求此时的长度．②若射线与矩形的边交于点M，当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$