培优课程讲义02：比例----2024—2025学年沪教版(上海)六年级数学下册

上海初中六年级数学新教材第5章比和比例（培优课程） 专题02 比例 知识点一、比例 1. 比例的意义。 （1）表示两个比相等的式子叫做比例。 （2）根据比例的意义可以判断两个比能否组成比例。 2. 比例的各部分名称。 （1）组成比例的四个数，叫做比例的项。 （2）在比例中，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 3. 比例的三种常见形式。 （1）比例式：例如：80:2=200:5 （2）分数式：例如： （3）乘积式：例如：80×5=200×2 知识点二、比例的基本性质 1. 比例的基本性质。 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质，用字母表示：如果a∶b=c∶d（b、d均不为0），那么ad=bc。 2. 比和比例的联系与区别。 比 比例 意义 两个数相除又叫做这两个数的比，比表示两个数相除的关系。 表示两个比相等的式子叫做比例，比例表示两个比相等的关系，是一个等式。 构成 由两项组成，分别叫做比的前项和后项。 由四项组成，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 基本性质 比的前项和后项同时乘或除以同一个数(0除外)，比值不变。 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 题型1：判断两个是否组成比例 【例1】能与3∶2组成比例的是( )。 A．∶ B．∶ C．∶ D．∶ 【例2】可以用图( )与图( )的数据组成比例，写成比例是：( )。 图A 图B 图C 【跟踪训练】 1．与5∶3能组成比例的比是( )。 A．∶ B．3∶5 C．5∶ D．∶ 2．下面每组中的4个数能组成比例的有（    ）组。 ①2、3、20和30         ②和       ③0.3、0.4、5和6        ④2、、和6 A．1 B．2 C．3 D．4 题型2：组比例或配比例 【例3】给0.4、0.6和3再配上一个整数组成比例，这个比例是( )。 【例4】有四个数0.3、6、4、可以组成一个比例，最大是( )，最小是( )。 【跟踪训练】 1．一个数能和3，4，15组成比例，这个数最小是( )，组成的比例是( )；这个数最大是( )，组成的比例是( )。 2．用3、6、12和另一个数组成比例，这个数最大是( )，最小是( )。 3．在9、5、10这三个数中添上一个数组成比例，这个数可能是( )。 题型3：比例的变换 【例5】如果6x＝7y，那么x∶y＝( )∶( )；如果x∶5＝8∶y，那么xy＝( )。 【跟踪训练】 1．如果（a、b均不为0），那么a∶b＝( )∶( )，。 2．根据4×6＝8×3，写出下列比例。 4∶8＝( )∶( )    6∶8＝( )∶( )      4∶3＝( )∶( ) 3∶6＝( )∶( )           8∶4＝( )∶( )       8∶6＝( )∶( ) 题型4：求比例式中某项 【例6】在一个比例里，两个外项分别是5和6，比值是，这个比例是( )或( )。 【例7】在一个比例里，两个外项分别是5和6，比值是，这个比例是( )或( )。 【跟踪训练】 1．一个比例的两个外项互为倒数，其中一个外项是1.25，另一个外项是( )。 2．一个比例的两个外项互为倒数，如果其中一个内项为0.4，另一个内项是( )。 题型5：项的变化规律 【例8】在比例4∶18＝6∶27中，如果把第一个比的后项加上36，那么第二个比的前项应减去( )，比例才能成立。 【例9】在比例25∶10＝15∶6中，如果将第一个比的后项增加20，第二个比的后项应该增加( )才能使该比例成立。 【跟踪训练】 1．在比例5∶4＝75∶60中，如果外项5增加10，4和60不变，那么内项75应( )，比例仍然成立。 2．根据比例3∶9＝6∶18，如果外项18减去12，那么内项9应该变成( )才能使比例仍然成立。 题型6：比例中项 【例10】已知数字4是数字2和另外一个数的比例中项，这个数是( )。 A．8 B．1 C．2 D． 【跟踪训练】 1．如果6是x和9的比例中项，那么x＝( )。 2．如果3是和9的比例中项，那么x=( )。 3．如果是和x的比例中项，则x=( )。 题型7：解比例式、分数式、混合式方程 【例11】解比例。 （1）3.75∶x＝3∶12 (2) (3)（5x+4）:（9x-6）=4:5 【跟踪训练】 解比例方程 (1) x∶＝13.6∶2 (2)＝ (3) ＝∶2 (4)（x+0.5）：2=（x﹣4）：， 题型8：用比例解决实际问题 设k法。若A : B = a : b，可设A = ak，B = bk，其中，那么： ，． 【例12】公园中柳树和杨树的共40棵，且棵数之比为5 : 3，那么柳树和杨树各有多少棵？ 【例13】师徒两人加工一批零件，师傅和徒弟的工作效率之比为7 : 4，完成任务时，师傅比徒弟多加工了90个零件，求这批零件的总数． 【例14】甲、乙两个班共种树若干棵，已知甲班种的棵数的等于乙班种的棵数的，且乙班比甲班多种树24棵，甲、乙两个班级各种树多少棵？ 【跟踪训练】 1．已知两个数的比是2 : 7，且和为81，则这两个数分别为______和______； 2．已知被减数与差的比是5 : 3，减数是120，被减数是____________． 3．三个数的平均数为120，这三个数的比是3 : 5 : 7，它们分别是______、______、______． 4．一个长方形的长和宽之比为5 : 3，周长为24，则这个长方形长是_____，宽是______，的面积为______． 5．已知，且，求． 6．一项工程，甲、乙两队合做20天完成，已知甲、乙两队每天完成的工作量的比是4 : 5，问甲、乙两队单独完成这项工程各需几天？ 7．一个长方形的长与宽之比为15 : 7，现截取一个边长与原矩形的宽相等的正方形，剩下的新的长方形的周长为30厘米，求原长方形的长与宽各是多少厘米？ 题型9：素养提升 【例15】有理数a、b、c满足a : b : c = 2 : 3 : 5，且，求的值． 【例16】如图，大、小两个正方形中阴影部分的面积比是3∶1，小正方形中空白部分的面积是8平方分米，大正方形中空白部分的面积是多少平方分米？ 【例17】如图，乙长方形的面积是甲长方形面积的，它们的长宽比也都是5∶3，乙长方形的长是15厘米。 （1）求甲长方形的面积是多少？ （2）把图（1）中乙长方形向左平移，重叠部分又是一个长宽比为5∶3的长方形，这个长方形的面积是多少平方厘米？ （3）如果把这两个长方形随意重叠放置，如图（3），求甲乙两长方形未重叠部分的面积差。 （4）由第（3）小题的计算你能得出什么结论？请用自己的语言描述出来。 一、选择题 1．（2024莘松中学月考）在下面各比中，能与组成比例的比是（    ）。 A． B． C． D． 2. （2022徐汇区期末）已知数字4是数字2和另外一个数的比例中项，这个数是（ ） A. 8 B. 1 C. 2 D. 3．（2023浦东外国语附中期中）a∶b＝c∶d（a、b、c、d均不为0），如果a扩大到原来的10倍，要使该比例仍然成立，那么可以把（    ）。 A．b缩小到原来的 B．c缩小到原来的 C．c扩大到原来的10倍 D．d扩大到原来的10倍 4．（2024闵行区期中）x、y是两个大于0的数，若x的等于y的，则x与y的最简整数比是（    ）。 A．1∶3 B．3∶1 C．8∶3 D．3∶8 5．（2024闵行区期中）一个比例是a∶b＝c∶d，如果a和d互为倒数，b是最小的合数，则c是( )。 A．4 B． C．2 D． 6．（2024黄浦区期中）如果＝（A、B均不为0），那么A∶B＝( )。 A．2022∶2023 B．2023∶2022 C．2023∶1011 D．1011∶2023 7．（2024黄浦区期中）如图，涂色部分的周长相当于A圆周长的，相当于B圆周长的，则B与A两个圆的面积比是( )。 A．3∶2 B．4∶9 C．2∶3 D．9∶4 8．（2023青浦区期中）张强收藏图书本数的与赵伟收藏图书本数的相等，张强与赵伟收藏图书本数的比是( )。 A．5∶7 B．7∶5 C．5∶12 D．7∶12 9．（2023青浦区期中）如果a∶b＝c∶d，那么不成立的等式有( )。 A．ad＝bc B．b∶a＝d∶c C．a∶d＝c∶b D．c∶a＝d∶b 二、填空题 10．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）若x与2、5、6这三个数可以组成比例式，则x可能是__________． 11. （2021长宁区期末）如果4是a和2的比例中项，那么a＝_____． 12. （2021松江期末）已知6是2和x的比例中项，则x＝________． 13．（2023上海市静安区实验中学课时练习）若∶x=8∶6，则x=________． 14．（2023青浦区期中）在一个比例中，两个外项互为倒数，其中一个内项是，另一个内项是( )。 15．（2024杨浦区期中）如果A×＝B×，那么A∶B＝( )∶( )。 16．（2023青浦区期中）如果3a＝4b，那么a∶b＝( )；如果，那么4a＝( )。 17．（2024浦东新区期中）在比例5∶12＝20∶48中，如果内项12减少2，要使比例成立，外项48应该减少( )，或内项20应该增加( )。 18．（2023青浦区期中）在A∶3＝B∶7的比例中，如果将第一个比的后项加上6，那么第二个比的前项应该乘( )，比例才能成立。 三、解答题 19. （2021长宁区期末）解方程：已知，求x的值 20. （2021松江期末）求x的值：0.5：x＝4：． 21. （2021松江期末）在一张地图上量得上海与南京两地的距离为3.2厘米，又已知上海与南京、北京两地的实际距离分别约为300千米和1080千米，那么在这张地图上，上海与北京两地的距离为多少厘米？ 22．（2023长宁区期末）解比例方程 25∶7＝x∶35                                         23．（2024长宁区期末）修一条路，前3天修了360米，照这样计算，六月份（30天）能修多少米？ 24．（2024宝山区期末）小芳看一本450页的故事书，前3天看了150页。照这样计算，她看完剩下的页数需要多少天？（用比例解答） 25．（2024长宁区期末）师徒两人加工一批零件，他们工作效率之比是5∶3。任务完成时徒弟加工240个，求师傅做了多少个？（列比例方程解） 27．（2024奉贤区期中）盒子里有红、黄两种玻璃球，红球的个数与黄球的个数之比为4:7,如果每次取出4个红球和5个黄球，若干次后，盒子里只剩下24个黄球，那么盒子里原有多少个玻璃球？ 28．（2024上宝中学月考）一种喷洒果树的药水中药粉与水的比是1:150,现有6kg药粉，要配成这种药水需要加入多少千克水? 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海初中六年级数学新教材第5章比和比例（培优课程） 专题02 比例 知识点一、比例 1. 比例的意义。 （1）表示两个比相等的式子叫做比例。 （2）根据比例的意义可以判断两个比能否组成比例。 2. 比例的各部分名称。 （1）组成比例的四个数，叫做比例的项。 （2）在比例中，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 3. 比例的三种常见形式。 （1）比例式：例如：80:2=200:5 （2）分数式：例如： （3）乘积式：例如：80×5=200×2 知识点二、比例的基本性质 1. 比例的基本性质。 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质，用字母表示：如果a∶b=c∶d（b、d均不为0），那么ad=bc。 2. 比和比例的联系与区别。 比 比例 意义 两个数相除又叫做这两个数的比，比表示两个数相除的关系。 表示两个比相等的式子叫做比例，比例表示两个比相等的关系，是一个等式。 构成 由两项组成，分别叫做比的前项和后项。 由四项组成，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 基本性质 比的前项和后项同时乘或除以同一个数(0除外)，比值不变。 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 题型1：判断两个是否组成比例 【例1】能与3∶2组成比例的是( )。 A．∶ B．∶ C．∶ D．∶ 【答案】A 【分析】表示两个比相等的式子叫比例，分别求出题干和各选项比的比值，找到与题干比的比值相等的即可。 【详解】3∶2＝3÷2＝ A.∶＝÷＝×3＝ B.∶＝÷＝×4＝ C.∶＝÷＝×3＝ D.∶＝÷＝×4＝2 能与3∶2组成比例的是∶，3∶2＝∶。 故答案为：A 【例2】可以用图( )与图( )的数据组成比例，写成比例是：( )。 图A 图B 图C 【跟踪训练】 1．与5∶3能组成比例的比是( )。 A．∶ B．3∶5 C．5∶ D．∶ 【答案】A 【分析】先求5∶3的比值是，再分别求出选项ABCD的比值，看比值是否是，如果是就能组成比例，据此解答即可。 【详解】A．∶＝÷＝×＝，符合题意。 B．3∶5＝3÷5＝，不符合题意。 C．5∶＝5÷＝5×3＝15，不符合题意。 D．∶＝÷＝×3＝，不符合题意。 故答案为：A 2．下面每组中的4个数能组成比例的有（    ）组。 ①2、3、20和30         ②和       ③0.3、0.4、5和6        ④2、、和6 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】表示两个比相等的式子叫作比例，在比例中，两个内项的乘积等于两个外项的乘积，如果这组数中的4个数可以组成比例，那么其中两个数的乘积等于另外两个数的乘积，先求出最大数与最小数的乘积，再求出其它两个数的乘积，如果它们的积相等，则这4个数能组成比例，如果它们的积不相等，则这4个数不能组成比例，据此解答。 【详解】①2×30＝60，3×20＝60，因为60＝60，所以2、3、20和30能组成比例，如：2∶3＝20∶30； ②×＝，×＝，因为＝，所以和能组成比例，如：∶＝∶； ③0.3×6＝1.8，0.4×5＝2，因为1.8≠2，所以0.3、0.4、5和6不能组成比例； ④×6＝，2×＝，因为＝，所以2、、和6能组成比例，如：2∶＝6∶。 综上所述，能组成比例的有①②④，一共3组。 故答案为：C 【点睛】掌握比例的意义和比例的基本性质是解答题目的关键。 题型2：组比例或配比例 【例3】给0.4、0.6和3再配上一个整数组成比例，这个比例是( )。 【答案】0.6∶0.4＝3∶2 【分析】表示两个比相等的式子叫比例，据此先求出0.6和0.4的比值，再根据比与除法之间的关系，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。如果3是另一个比的前项，用3除以0.6和0.4的比值，即可求出另一个比的后项，据此分析。 【详解】0.6∶0.4＝0.6÷0.4＝1.5 3÷1.5＝2 这个比例是0.6∶0.4＝3∶2。（答案不唯一） 【例4】有四个数0.3、6、4、可以组成一个比例，最大是( )，最小是( )。 【答案】 80 0.2/ 【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 根据题意，要使最大，那么与相乘的另一数要最小，0.3＜6＜4，所以与0.3的乘积等于6与4的乘积，据此求出的最大值； 要使最小，那么与相乘的另一数要最大，6＞4＞0.3，所以与6的乘积等于0.3与4的乘积，据此求出的最小值。 【详解】6×4÷0.3 ＝24÷0.3 ＝80 0.3×4÷6 ＝1.2÷6 ＝0.2 最大是80，最小是0.2。 【跟踪训练】 1．一个数能和3，4，15组成比例，这个数最小是( )，组成的比例是( )；这个数最大是( )，组成的比例是( )。 【答案】 3∶15＝∶4 20 15∶3＝20∶4 【分析】根据比例的基本性质，在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，用已知数中两个大数的积除以最小数即可求出最大数；用已知数中两个小数的积除以最大数即可求出最小数；进而根据比例的性质解答即可。 【详解】15×4÷3 ＝60÷3 ＝20 3×4÷15 ＝12÷15 ＝ 则一个数能和3，4，15组成比例，这个数最小是，组成的比例是3∶15＝∶4；这个数最大是20，组成的比例是15∶3＝20∶4。（比例不唯一） 2．用3、6、12和另一个数组成比例，这个数最大是( )，最小是( )。 【答案】 24 /1.5 【分析】根据比例的基本性质，在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。用任意两个数的乘积÷第三个数，求出另一个数可能是哪些，再从中找出最大的数和最小的数即可。 【详解】，组成比例； ，组成比例； ，组成比例； 所以，用3、6、12和另一个数组成比例，这个数最大是24，最小是。 3．在9、5、10这三个数中添上一个数组成比例，这个数可能是( )。 【答案】18 【分析】根据比例的意义：比值相等的两个比组成一个比例，由于10∶5＝2，则另一个比可以选择一个数∶9＝2，据此即可求出一个数，之后组成比例即可。（答案不唯一） 【详解】由分析可知： 10∶5＝10÷5＝2 9×2＝18 则可以组成比例是：18∶9＝10∶5。 所以这个数可能是18。（答案不唯一） 题型3：比例的变换 【例5】如果6x＝7y，那么x∶y＝( )∶( )；如果x∶5＝8∶y，那么xy＝( )。 【答案】 7 6 40 【分析】依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，据此解答。 【详解】由分析可得：如果6x＝7y，那么x∶y＝7∶6。 5×8＝40 如果x∶5＝8∶y，那么xy＝40。 【跟踪训练】 1．如果（a、b均不为0），那么a∶b＝( )∶( )，。 【答案】5；3； 【分析】根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积；据此逆推，即可解答。 【详解】a＝b 3a＝5b a∶b＝5∶3 b∶a＝3∶5 ＝ 如果a＝b（a、b均不为0），那么a∶b＝5∶3，＝。 2．根据4×6＝8×3，写出下列比例。 4∶8＝( )∶( )    6∶8＝( )∶( )      4∶3＝( )∶( ) 3∶6＝( )∶( )           8∶4＝( )∶( )       8∶6＝( )∶( ) 【答案】 3 6 3 4 8 6 4 8 6 3 4 3 【分析】 根据比例的基本性质，比例的两内项积＝两外项积，4和6同时在比例的内项或外项，8和3同时在比例的外项或内项即可，据此填空。 【详解】根据4×6＝8×3，可得： 4∶8＝3∶6          6∶8＝3∶4     4∶3＝8∶6 3∶6＝4∶8          8∶4＝6∶3     8∶6＝4∶3 题型4：求比例式中某项 【例6】在一个比例里，两个外项分别是5和6，比值是，这个比例是( )或( )。 【答案】 5∶15＝2∶6 6∶18＝∶5 【分析】表示两个比相等的式子叫做比例，两个外项分别是5和6，组成这个比例的两个比中，前一个比缺少后项，后一个比缺少前项，根据“后项＝前项÷比值”“前项＝后项×比值”分别求出比例的内项，最后写出比例，据此解答。 【详解】情况一：5为前一个比的前项，6为后一个比的后项。 5÷ ＝5×3 ＝15 6×＝2 则这个比例是5∶15＝2∶6。 情况二：6为前一个比的前项，5为后一个比的后项。 6÷ ＝6×3 ＝18 5×＝ 则这个比例是6∶18＝∶5。 所以，这个比例是5∶15＝2∶6或6∶18＝∶5。 【点睛】掌握比例的意义，并灵活运用比的前项、后项、比值之间的关系是解答题目的关键。 【例7】在一个比例里，两个外项分别是5和6，比值是，这个比例是( )或( )。 【答案】 5∶15＝2∶6 6∶18＝∶5 【分析】表示两个比相等的式子叫做比例，两个外项分别是5和6，组成这个比例的两个比中，前一个比缺少后项，后一个比缺少前项，根据“后项＝前项÷比值”“前项＝后项×比值”分别求出比例的内项，最后写出比例，据此解答。 【详解】情况一：5为前一个比的前项，6为后一个比的后项。 5÷ ＝5×3 ＝15 6×＝2 则这个比例是5∶15＝2∶6。 情况二：6为前一个比的前项，5为后一个比的后项。 6÷ ＝6×3 ＝18 5×＝ 则这个比例是6∶18＝∶5。 所以，这个比例是5∶15＝2∶6或6∶18＝∶5。 【点睛】掌握比例的意义，并灵活运用比的前项、后项、比值之间的关系是解答题目的关键。 【跟踪训练】 1．一个比例的两个外项互为倒数，其中一个外项是1.25，另一个外项是( )。 【答案】0.8/ 【分析】乘积是1的两个数互为倒数。 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 根据题意，一个比例的两个外项互为倒数，那么这两个外项的积等于1；用两个外项的积除以已知的一个外项，即可求出另一个外项。 【详解】1÷1.25＝0.8 另一个外项是0.8。 2．一个比例的两个外项互为倒数，如果其中一个内项为0.4，另一个内项是( )。 【答案】2.5/ 【分析】根据比例的性质“在比例里，两个外项的积等于两个内项的积”，根据倒数的意义，两个外项互为倒数即两外项的乘积是1，故两内向的乘积也是1，据此可计算出另一个内项。 【详解】由分析可知，0.4乘另一个内项等于1，求另一个内项； 1÷0.4＝2.5 所以另一个内项是2.5。 【对应练习2】 在一个比例里，两个外项的积是最小的质数，其中一个内项是，另一个内项是( )。 【答案】 【分析】依题可知两个外项的积是最小的质数，即为2，再根据比例的基本性质：在比例里两个内项的积等于两个外项的积，则两个内项的积也是2，据此解答。 【详解】由分析可知：2÷＝，故另一个内项为。 题型5：项的变化规律 【例8】在比例4∶18＝6∶27中，如果把第一个比的后项加上36，那么第二个比的前项应减去( )，比例才能成立。 【答案】4 【分析】根据比例的基本性质：在比例中，两个外项之积等于两个内项之积，可以求出变化后的第二个比的前项，再用6减去这个变化后的前项即可。 【详解】18＋36＝54 4×27÷54 ＝108÷54 ＝2 6－2＝4 所以，第二个比的前项应减去4，比例才能成立。 【例9】在比例25∶10＝15∶6中，如果将第一个比的后项增加20，第二个比的后项应该增加( )才能使该比例成立。 【答案】12 【分析】根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积，第一个比的后项增加20，化为10＋20＝30，用30×15，再除以25，求出第二个比的后项的值，减去原来第二个比的后项的值，即可解答。 【详解】（10＋20）×15÷25－6 ＝30×15÷25－6 ＝450÷25－6 ＝18－6 ＝12 在比例25∶10＝15∶6中，如果将第一个比的后项增加20，第二个比的后项应该增加12才能使该比例成立。 【跟踪训练】 1．在比例5∶4＝75∶60中，如果外项5增加10，4和60不变，那么内项75应( )，比例仍然成立。 【答案】扩大到原来的3倍/加上150 【分析】比例的内项之积等于外项之积，外项5变化后，得到4×（）＝15×60，括号里的数是原内项75变化后的数值，据此先计算该数值是多少，再看75如何变化即可。 【详解】5＋10＝15 4×（）＝15×60 4×（）＝900 （）＝900÷4 （）＝225 内项75变化后是225，因为225－75＝150，225÷75＝3，所以内项75扩大到原来的3倍或加上150，原比例仍然成立。 故内项75应扩大到原来的3倍或加上150，比例仍然成立。 2．根据比例3∶9＝6∶18，如果外项18减去12，那么内项9应该变成( )才能使比例仍然成立。 【答案】3 【分析】从“如果外项18减去12”可知，一个外项减少了，外项之积也会减少，减少后的外项积是（18－12）×3；再根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积；用减少后的外项积÷6，即可求出另一个内项。据此解答。 【详解】（18－12）×3÷6 ＝6×3÷6 ＝3 根据比例3∶9＝6∶18，如果外项18减去12，那么内项9应该变成（  3  ）才能使比例仍然成立。 题型6：比例中项 【例10】已知数字4是数字2和另外一个数的比例中项，这个数是( )。 A．8 B．1 C．2 D． 解析： 解：设这个数是x，根据题意得， x∶4＝4∶2， 解得x＝8。 故答案选：A 【跟踪训练】 1．如果6是x和9的比例中项，那么x＝( )。 解析：4 2．如果3是和9的比例中项，那么x=( )。 解析：1 3．如果是和x的比例中项，则x=( )。 解析： 题型7：解比例式、分数式、混合式方程 【例11】解比例。 （1）3.75∶x＝3∶12 (2) (3)（5x+4）:（9x-6）=4:5 解：（1）3x＝3.75×12 3x＝45 3x÷3＝45÷3 x＝15 (2) (3)x=4 【跟踪训练】 解比例方程 (1) x∶＝13.6∶2 (2)＝ (3) ＝∶2 (4)（x+0.5）：2=（x﹣4）：， 解：(1)2x＝×13.6 2x＝3.4 x＝3.4÷2 x＝1.7 (2) 42%x＝6.3×0.9 0.42x＝5.67 0.42x÷0.42＝5.67÷0.42 x＝13.5 (3) (4) 4.5 题型8：用比例解决实际问题 设k法。若A : B = a : b，可设A = ak，B = bk，其中，那么： ，． 【例12】公园中柳树和杨树的共40棵，且棵数之比为5 : 3，那么柳树和杨树各有多少棵？ 【答案】柳树25棵，杨树15棵． 【解析】柳树的棵数为：（棵）， 杨树的棵数为：（棵）． 答：柳树有25棵，杨树有15棵． 【例13】师徒两人加工一批零件，师傅和徒弟的工作效率之比为7 : 4，完成任务时，师傅比徒弟多加工了90个零件，求这批零件的总数． 【难度】★ 【答案】330件． 【解析】师傅加工零件个数为：（个）， 徒弟加工零件个数为：（个）， （个） 答：这批零件共330个． 【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题，两个量、，数量之比为，（），数量之差为，则的数量为，的数量为． 【例14】甲、乙两个班共种树若干棵，已知甲班种的棵数的等于乙班种的棵数的，且乙班比甲班多种树24棵，甲、乙两个班级各种树多少棵？ 【难度】★★ 【答案】甲班种树96棵，乙班种树120棵． 【解析】甲班与乙班所种棵数比是：， 甲班的棵数：（棵），乙班的棵数：（棵）， 答：甲班种树96棵，乙班种树120棵． 【总结】本题考查了按比例分配应用题，关键是根据已知条件求出甲乙两班所种棵数比． 【跟踪训练】 1．已知两个数的比是2 : 7，且和为81，则这两个数分别为______和______； 2．已知被减数与差的比是5 : 3，减数是120，被减数是____________． 【难度】★ 【答案】（1）18，63；（2）300． 【解析】（1），； （2）． 【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题． 3．三个数的平均数为120，这三个数的比是3 : 5 : 7，它们分别是______、______、______． 【难度】★★ 【答案】72、120、168． 【解析】由题意知三个数的和为， ，，， ∴这三个数分别是72、120、168． 【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题． 4．一个长方形的长和宽之比为5 : 3，周长为24，则这个长方形长是_____，宽是______，的面积为______． 【难度】★★ 【答案】，，． 【解析】长方形的长是：，长方形的宽是：， ∴面积为． 【总结】本题考查了按比例分配应用题，关键是灵活利用长方形的周长公式． 5．已知，且，求． 【难度】★★ 【答案】16． 【解析】设，，，代入得，解得， 所以． 【总结】本题考查了比例的性质，解题的关键是注意比例的性质及设法的运用， 设法，若，可设，，其中，那么： ，． 6．一项工程，甲、乙两队合做20天完成，已知甲、乙两队每天完成的工作量的比是4 : 5，问甲、乙两队单独完成这项工程各需几天？ 【难度】★★ 【答案】甲单独完成这项工程需45天，乙单独完成这项工程需36天． 【解析】甲、乙两队合做20天完成，可知甲、乙两队的工作效率和为， （天），（天）． 答：甲单独完成这项工程需45天，乙单独完成这项工程需36天． 【总结】本题考查了工程问题，根据工作效率、工作时间和工作量三者之间的关系是完成本题的关键． 7．一个长方形的长与宽之比为15 : 7，现截取一个边长与原矩形的宽相等的正方形，剩下的新的长方形的周长为30厘米，求原长方形的长与宽各是多少厘米？ 【难度】★★★ 【答案】长15厘米，宽7厘米． 【解析】设原长方形的长为厘米，宽为厘米，则新长方形的长为， ∴，解得，∴原来长方形的长为15厘米，宽为7厘米． 答：原长方形的长15厘米，宽7厘米． 【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题，关键是灵活利用长方形的周长公式． 题型9：素养提升 【例15】有理数a、b、c满足a : b : c = 2 : 3 : 5，且，求的值． 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】设，，， 代入得，解得， 所以． 【总结】本题考查了比例的性质，解题的关键是注意比例的性质及设法的运用． 【例16】如图，大、小两个正方形中阴影部分的面积比是3∶1，小正方形中空白部分的面积是8平方分米，大正方形中空白部分的面积是多少平方分米？ 【答案】120平方分米 【分析】根据“大、小两个正方形中阴影部分面积比是3∶1”可知，两个三角形的高相等，都等于小正方形的边长，根据三角形的面积＝底×高÷2可知，两个正方形边长的比是3∶1。假设大正方形的边长是3，小正方形的边长是1，则大、小两个正方形中空白部分的面积比是（3×3－3×1÷2）∶（1×1÷2）＝15∶1，根据小正方形中空白部分的面积可求出大正方形中空白部分的面积。 【详解】（3×3－3×1÷2）∶（1×1÷2） ＝（9－1.5）∶0.5 ＝7.5∶0.5 ＝（7.5×2）∶（0.5×2） ＝15∶1 8×15＝120（平方分米） 答：大正方形中空白部分的面积是120平方分米。 【例17】如图，乙长方形的面积是甲长方形面积的，它们的长宽比也都是5∶3，乙长方形的长是15厘米。 （1）求甲长方形的面积是多少？ （2）把图（1）中乙长方形向左平移，重叠部分又是一个长宽比为5∶3的长方形，这个长方形的面积是多少平方厘米？ （3）如果把这两个长方形随意重叠放置，如图（3），求甲乙两长方形未重叠部分的面积差。 （4）由第（3）小题的计算你能得出什么结论？请用自己的语言描述出来。 【答案】（1）225平方厘米 （2）48.6平方厘米 （3）90平方厘米 （4）根据第（3）小题的计算可知，无论怎么重叠，两个长方形未重叠部分的面积之差就是这两个长方形的面积之差，即90平方厘米。 【分析】（1）长宽比是5∶3，可将乙长方形一条长看作单位“1”，则宽是长的，根据分数乘法的意义，求一个数的几分之几是多少，用乘法，即用长乘为乙的宽； 根据长方形面积公式：S＝长×宽，求出乙长方形的面积，将甲长方形面积看作单位“1”，根据分数除法的意义，用乙长方形的面积除以其占甲长方形面积的分率，即可求出甲长方形的面积。 （2）乙长方形的宽为9厘米，并且乙长方形的宽等于新小长方形的长，形成的新小长方形的长宽比为5∶3，将乙长方形的宽看作单位“1”（也就是新的小长方形的长），则新长方形的宽占单位“1”的分率为，根据分数乘法的意义，求一个数的几分之几是多少，用乘法，即用乙长方形的宽乘即为新小长方形的宽，最后用长乘宽即为小长方形的面积。 （3）假设甲乙两长方形重叠部分面积为x平方厘米，用甲长方形面积减去x求出甲长方形剩下的面积，乙长方形面积减去x求出乙长方形剩下的面积，最后用甲剩下的面积减去乙剩下的面积即为未重叠部分的面积差。 （4）根据第一小问求出的两个长方形面积，用甲长方形的面积减去乙长方形的面积，求出二者的面积差，再与第3问的结论进行比较即可。 【详解】（1）15×＝9（厘米） 15×9＝135（平方厘米） 135÷＝135×＝225（平方厘米） 答：甲长方形的面积是225平方厘米。 （2）9×＝（厘米） 48.6（平方厘米） 答：重叠部分长方形的面积是48.6平方厘米。 （3）假设重叠部分的面积是x平方厘米 （225－x）－（135－x） ＝225－x－135＋x ＝225－135 ＝90（平方厘米） 答：甲乙两长方形未重叠部分的面积之差是90平方厘米。 （4）225－135＝90（平方厘米） 答：根据第（3）小题的计算可知，无论怎么重叠，两个长方形未重叠部分的面积之差就是这两个长方形的面积之差，即90平方厘米。 一、选择题 1．（2024莘松中学月考）在下面各比中，能与组成比例的比是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】若两组比的比值相等，则两组比可以组成比例。据此选择即可。 【详解】4∶0.3＝4÷0.3＝ A．＝8÷0.6＝ B．＝0.8÷6＝ C．＝0.8÷0.6＝ D．＝0.6÷0.8＝ 故答案为： 【点睛】本题考查比例的意义，明确比例的意义是解题的关键。 2. （2022徐汇区期末）已知数字4是数字2和另外一个数的比例中项，这个数是（ ） A. 8 B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：设另外一个数为 则 所以 解得： 所以另外一个数是8. 故选A 【点睛】本题考查的是比例中项的含义，利用比例中项列比例式是解本题的关键. 3．（2023浦东外国语附中期中）a∶b＝c∶d（a、b、c、d均不为0），如果a扩大到原来的10倍，要使该比例仍然成立，那么可以把（    ）。 A．b缩小到原来的 B．c缩小到原来的 C．c扩大到原来的10倍 D．d扩大到原来的10倍 3．C 【分析】先根据比例的基本性质把比例式a∶b＝c∶d改写成ad＝bc，再根据积的变化规律得出结论。 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘（或除以）几。 【详解】由a∶b＝c∶d可得：ad＝bc； 如果a扩大到原来的10倍，则ad的积扩大到原来的10倍； A．b缩小到原来的，则bc的积缩小到原来的，那么ad≠bc，该比例不成立； B．c缩小到原来的，则bc的积缩小到原来的，那么ad≠bc，该比例不成立； C．c扩大到原来的10倍，则bc的积扩大到原来的10倍，那么ad＝bc，该比例成立； D．d扩大到原来的10倍，则ad的积扩大到原来的10×10＝100倍，那么ad≠bc，该比例不成立。 故答案为：C 4．（2024闵行区期中）x、y是两个大于0的数，若x的等于y的，则x与y的最简整数比是（    ）。 A．1∶3 B．3∶1 C．8∶3 D．3∶8 6．C 【分析】根据题意，若x的等于y的，即x＝y，根据比例的基本性质，两个内项之积等于两个外项之积，再根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数，比值不变，据此解答。 【详解】x＝y x∶y＝∶ x∶y＝（×12）∶（×12） x∶y＝8∶3 故答案为：C 【点睛】利用比例的基本性质和比的基本性质进行解答。 5．（2024闵行区期中）一个比例是a∶b＝c∶d，如果a和d互为倒数，b是最小的合数，则c是( )。 A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】已知a和d互为倒数，根据倒数的意义“乘积是1的两个数互为倒数”可知，a与d的乘积为1；b是最小的合数，即b为4； 根据比例的基本性质把a∶b＝c∶d改写成bc＝ad，再把ad＝1，b＝4代入bc＝ad中，求出c的值。 【详解】如果a和d互为倒数，则ad＝1； b是最小的合数，即b＝4； 由a∶b＝c∶d，可得bc＝ad； 4c＝1 c＝1÷4 c＝ 则c是。 故答案为：B 6．（2024黄浦区期中）如果＝（A、B均不为0），那么A∶B＝( )。 A．2022∶2023 B．2023∶2022 C．2023∶1011 D．1011∶2023 【答案】A 【分析】根据比例的基本性质“两个外项的积等于两个内项的积”，先将比例式改写成乘法的形式，再将其改写成A∶B的比例式即可。 【详解】由＝可得：2023A＝2022B； 那么A∶B＝2022∶2023。 故答案为：A 7．（2024黄浦区期中）如图，涂色部分的周长相当于A圆周长的，相当于B圆周长的，则B与A两个圆的面积比是( )。 A．3∶2 B．4∶9 C．2∶3 D．9∶4 【答案】B 【分析】根据题意可得出，A圆周长×＝ B圆周长×，依据比例的基本性质将乘法等式改写成比例式，并化简比，由此得出两个圆的周长比； 根据圆的周长公式C＝2πr可知，两个圆的半径比等于它们的周长比； 根据圆的面积公式S＝πr2可知，两个圆的面积比等于它们半径的平方比。 【详解】A圆周长×＝ B圆周长× B圆周长∶A圆周长＝∶ ＝（×6）∶（×6） ＝2∶3 B圆半径∶A圆半径＝2∶3 B圆面积∶A圆面积＝22∶32＝4∶9 故答案为：B 8．（2023青浦区期中）张强收藏图书本数的与赵伟收藏图书本数的相等，张强与赵伟收藏图书本数的比是( )。 A．5∶7 B．7∶5 C．5∶12 D．7∶12 【答案】A 【分析】求一个数的几分之几是多少，用乘法解答，据此列式为：张强收藏图书本数×＝赵伟收藏图书本数×，比例的两个内项积等于两个外项积，据此把张强收藏图书本数×＝赵伟收藏图书本数×化成比例，再化简即可。 【详解】张强收藏图书本数×＝赵伟收藏图书本数× 张强收藏图书本数∶赵伟收藏图书本数＝∶＝5∶7 所以张强与赵伟收藏图书本数的比是5∶7。 故答案为：A 9．（2023青浦区期中）如果a∶b＝c∶d，那么不成立的等式有( )。 A．ad＝bc B．b∶a＝d∶c C．a∶d＝c∶b D．c∶a＝d∶b 【答案】C 【分析】比例a∶b＝c∶d，a和d是比例的外项，b和c是比例的内项，根据比例的基本性质进行分析，即比例的两内项积＝两外项积，只要能写成b和c相乘的积等于a和d相乘的积即可。 【详解】根据a∶b＝c∶d，可得bc＝ad。 A．ad＝bc，将等号两边进行交换就是bc＝ad，成立； B．b∶a＝d∶c，根据比例的基本性质，可得bc＝ad，成立； C．a∶d＝c∶b，根据比例的基本性质，可得ab＝cd，不成立； D．c∶a＝d∶b，根据比例的基本性质，可得ad＝bc，成立。 不成立的等式有a∶d＝c∶b。 故答案为：C 二、填空题 10．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）若x与2、5、6这三个数可以组成比例式，则x可能是__________． 【答案】或15或 【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积，列式解答即可． 【详解】 当x与6组成外项时，，； 当x与2组成外项时，，； 当x与5组成外项时，，. 故答案为：或15或 【点睛】此题考查了比例的基本性质，熟练掌握两外项之积等于两内项之积是解答此题的关键． 11. （2021长宁区期末）如果4是a和2的比例中项，那么a＝_____． 【答案】8 【解析】 【分析】先根据比例中项的定义列出比例式，再利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案． 【详解】解：∵4是a与2的比例中项， ∴a：4＝4：2， ∴2a＝16， 解得a＝8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了比例中项的定义，比例中项是一种特殊的比例项，成比例的四个量（包括数或线段），如果内项相等，即比例式为，则内项b称为外项a和c的比例中项，这时 a，b，c 成为等比数列或集合数列，所以比例中项亦称为等比中项或几何中项． 12. （2021松江期末）已知6是2和x的比例中项，则x＝________． 【答案】18 【解析】 【分析】根据比例中项的定义求解即可． 【详解】解：根据题意可得： 2：6＝6：x， 解得x＝18， 故答案为：18． 【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是理解两个数的比例中项，然后列出比例式进一步解答． 13．（2023上海市静安区实验中学课时练习）若∶x=8∶6，则x=________． 【答案】 【分析】根据比例的性质得到方程，求解方程即可． 【详解】解： ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了解比例，熟练掌握比例的基本性质是解答此题的关键． 14．（2023青浦区期中）在一个比例中，两个外项互为倒数，其中一个内项是，另一个内项是( )。 【答案】 【分析】由“在一个比例中，两个外项互为倒数”，可知两个外项的乘积是1，根据比例的性质“两内项的积等于两外项的积”，可知两个内项的积也是1；再根据“其中一个内项是”，进而用两内项的积1除以一个内项即得另一个内项的数值。 【详解】1÷＝ 【点睛】此题考查比例性质的运用：在比例里，两内项的积等于两外项的积；也考查了互为倒数的两个数的乘积是1。 15．（2024杨浦区期中）如果A×＝B×，那么A∶B＝( )∶( )。 【答案】 6 5 【分析】在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质；比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变；根据比的基本性质，把原式化为比例，再根据比的基本性质，化成最简单的整数比。 【详解】因为A×＝B× 所以A∶B＝∶ ＝ ＝6∶5 所以A∶B＝6∶5 16．（2023青浦区期中）如果3a＝4b，那么a∶b＝( )；如果，那么4a＝( )。 【答案】 4∶3// 9x 【分析】根据比例的基本性质，比例的两内项积＝两外项积，进行填空。 【详解】如果3a＝4b，那么a∶b＝4∶3；如果，那么4a＝9x。 17．（2024浦东新区期中）在比例5∶12＝20∶48中，如果内项12减少2，要使比例成立，外项48应该减少( )，或内项20应该增加( )。 【答案】 8 4 【分析】（1）在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。先根据比例的基本性质求出内项12减少2后的内项积，即（12－2）×20＝200，则外项积也应是200；再算出5乘几是200，即200÷5＝40；最后用48－40即可求出48应该减少几。 （2）先根据比例的基本性质求出外项积5×48＝240，则内项积也应是240；再算出内项12减少2后，（12－2）乘几是240，即240÷（12－2）＝24；最后用24－20即可求出20应该增加几。 【详解】48－（12－2）×20÷5 ＝48－10×20÷5 ＝48－200÷5 ＝48－40 ＝8 5×48÷（12－2）－20 ＝240÷10－20 ＝24－20 ＝4 所以外项48应该减少8，或内项20应该增加4。 【点睛】此题考查了比例的基本性质。解决此题关键是明确根据内项积可以确定外项积，根据外项积也可以确定内项积。 18．（2023青浦区期中）在A∶3＝B∶7的比例中，如果将第一个比的后项加上6，那么第二个比的前项应该乘( )，比例才能成立。 【答案】 【分析】先求出第一个比的后项加上6后扩大到原来的多少倍，在比例中，两个内项的乘积等于两个外项的乘积，一个内项扩大到原来的多少倍，另一个内项应该缩小到原来的几分之一，据此解答。 【详解】（3＋6）÷3 ＝9÷3 ＝3 分析可知，一个内项扩大到原来的3倍，则另一个内项应该缩小到原来的，所以第二个比的前项应该乘，比例才能成立。 【点睛】掌握比例的基本性质是解答题目的关键。 三、解答题 19. （2021长宁区期末）解方程：已知，求x的值 【答案】 【解析】 【分析】先根据比例的性质改写成乘法，然后根据等式的性质解方程即可． 【详解】 【点睛】本题主要考查了解比例式，熟练掌握比例式的性质是解题的关键． 20. （2021松江期末）求x的值：0.5：x＝4：． 【答案】x＝ 【解析】 【分析】根据比例的性质即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ∴x=． 【点睛】本题考查了比例的性质，此题利用“内项之积等于外项之积”求解． 21. （2021松江期末）在一张地图上量得上海与南京两地的距离为3.2厘米，又已知上海与南京、北京两地的实际距离分别约为300千米和1080千米，那么在这张地图上，上海与北京两地的距离为多少厘米？ 【答案】11.52厘米 【解析】 【分析】根据地图上距离的比值等于实际距离的比值即可求解． 【详解】解：设在这张地图上，上海与北京两地的距离为x厘米． 根据题意得到：． 解得x＝11.52， 答：在这张地图上，上海与北京两地的距离为11.52厘米． 【点睛】本题主要考查了地图上距离的比值等于实际距离的比值，关键是根据题意得出方程解答． 22．（2023长宁区期末）解比例方程 25∶7＝x∶35                                         【答案】x＝125；x＝； x＝1.6；x＝3 【分析】（1）根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，把比例转化成方程后，再根据等式的性质2，方程左右两边同时除以7，解出方程。 （2）根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，把比例转化成方程后，再根据等式的性质2，方程左右两边同时除以，解出方程。 （3）根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，把比例转化成方程后，再根据等式的性质2，方程左右两边同时除以4.5，解出方程。 （4）根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，把比例转化成方程后，再根据等式的性质2，方程左右两边同时除以3，解出方程。 【详解】25∶7＝x∶35 解：7×x＝25×35 7x＝875 x＝875÷7 x＝125 解： 解： 解： 23．（2024长宁区期末）修一条路，前3天修了360米，照这样计算，六月份（30天）能修多少米？ 【答案】3600米 【分析】每一天修的路长度是一样的，前3天修了360米，要求30天能修多少可先设为未知数，根据每天修的长度相等即可列出方程，最后求出答案。 【详解】解：设六月份（30天）能修米，根据每天修的路程相等的关系可列出方程： 答：六月份（30天）能修3600米。 【点睛】本题主要考查的是列方程、解方程在实际中的运用，需要掌握题干中的相等关系，之后再列方程求解问题。 24．（2024宝山区期末）小芳看一本450页的故事书，前3天看了150页。照这样计算，她看完剩下的页数需要多少天？（用比例解答） 【答案】6天 【分析】设她看完剩下的页数需要x天，由题意可知，看书的速度是不变的，则有：用剩下的页数÷剩下需要的天数＝前3天看的页数÷三天，据此列比例解答。 【详解】解：设她看完剩下的页数需要x天。 （450－150）÷x＝150÷3 300÷x＝50 300÷x×x＝50×x 50x＝300 50x÷50＝300÷50 x＝6 答：她看完剩下的页数需要6天。 【点睛】此题主要考查了用比例解答应用题，关键是要认真分析题意，找出题目中窜在的数量关系。 25．（2024长宁区期末）师徒两人加工一批零件，他们工作效率之比是5∶3。任务完成时徒弟加工240个，求师傅做了多少个？（列比例方程解） 【答案】400个 【分析】先根据题意，设师傅做了x个零件，根据师徒两个人的工作效率之比是5∶3，列出比例，然后根据比例的基本性质求出师傅做的零件个数。 【详解】解：设师傅做了x个零件。 5∶3＝x∶240 3x＝5×240 3x＝1200 x＝400 答：师傅做了400个零件。 【点睛】本题的解题关键是师徒两个人的工作效率之比是5∶3，所以他们任务完成时，他们加工零件的个数也是5∶3。 27．（2024奉贤区期中）盒子里有红、黄两种玻璃球，红球的个数与黄球的个数之比为4:7,如果每次取出4个红球和5个黄球，若干次后，盒子里只剩下24个黄球，那么盒子里原有多少个玻璃球？ 【答案】 132 【分析】可以设取了x次，每次取出4个红球，则红球有4x个。每次取出5个黄球，盒子里只剩下24个黄球，则黄球有(5x+24)。红球的个数与黄球的个数之比为4:7,列出比例，求出方程的解。则盒子里面原有的球=4×拿的次数+5×拿的次数+24。 【详解】解：设取了x次 4x:(5x+24)=4:7 (5x+24)×4=4x×7 20x+96=28x 28x-20x=96 8x=96 x=96÷8 x=12 4×12+5×12+24=48+60+24=132(个) 则盒子里原有132个。 28．（2024上宝中学月考）一种喷洒果树的药水中药粉与水的比是1:150,现有6kg药粉，要配成这种药水需要加入多少千克水? 【答案】900千克 【分析】根据题意可知，药粉和水的比是1:150,现有6kg药粉，设要配成这种药水需要加入x千克水，据此列出比例式，根据比例的基本性质解比例即可。 【详解】解：设需要加入x千克水。 6:x=1:150 x=6×150 x=900 答：需要加入900千克水。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$