精品解析：河南省新乡市封丘县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

封丘县2024-2025学年上学期九年级期末学情检测卷 数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间100分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 直径是圆中最长的弦 B. 弧是半圆 C. 半圆是圆中最长的弧 D. 弦是直径 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度（米）与飞行时间（秒）之间的关系式为，则第5秒时炮弹的飞行高度为（ ） A. 25米 B. 30米 C. 40米 D. 45米 5. 某商场今年10月份的营业额为440万元，12月份的营业额达到万元．设10月份到12月份营业额的月平均增长率为，则可列方程（ ） A. B. C D. 6. 一个盒子中装有标号分别为1，2，3的三个小球，这些球除标号外，其他都相同．随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，则两次摸出的小球的标号均为奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形内接于，为的中点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，这是二次函数的图象，对称轴是直线，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，是的中点，以为直径作，分别与，交于点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若最简二次根式与可以合并，请写出一个符合条件的：_____． 12. 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是______. 13. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．若，，是抛物线上一点，则的值为_____． 14. 如图，在中，，，则的长为_____． 15. 如图，在矩形中，，，是的边上的动点，沿直线将折叠．当点的落点恰好落在矩形的对称轴上时，_____；恰好落在矩形的对称轴上时，_____． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）解方程：． （2）计算：． 17. 二次函数的图象顶点坐标为，且过． （1）求该二次函数的表达式． （2）当时，求函数值的取值范围． 18. 如图，在中，，，分别是边，，上的点，且，，． （1）若，求的长． （2）若的面积为49，求的面积． 19. 如图，是半圆的直径，是半圆上的一点． （1）作的平分线交半圆于点． （2）在（1）的作图下，连接，求证：． 20. 在古老而富有历史底蕴的开封城，有一座闻名遐迩的铁塔（图1），它是现存最早的琉璃塔，享有“天下第一塔”的美誉．为了测量开封铁塔的高度，如图2，在观测点处测得铁塔顶端的仰角为，沿方向前进41米到达点处，在点处测得铁塔顶端的仰角为，求开封铁塔的高度．（结果精确到1米，参考数据：） 21. 如图，的直径与弦交于点，，． （1）求的长． （2）当时，求的长． 22. 某水果店销售一种苹果，当每千克苹果售价为10元时，每天能销售40千克．经市场调研发现：每千克苹果的售价每降低1元，每天的销售量就会增加20千克．设每千克苹果降价元，每天销售这种苹果的收入为元． （1）求与之间的函数关系式． （2）当每千克苹果降价多少元时，该水果店每天的收入最多？最多为多少元？ （3）若该水果店老板希望每天收入不低于640元，直接写出的范围． 23. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）求线段的最大值． （3）若以为顶点的三角形与相似，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 封丘县2024-2025学年上学期九年级期末学情检测卷 数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间100分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，掌握形如（a、b、c为常数，的函数）叫二次函数成为解题的关键． 根据二次函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．y是x的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； B．是二次函数，故本选项符合题意； C．，y是x的一次函数，故本选项不符合题意； D．不是二次函数，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 直径是圆中最长的弦 B. 弧是半圆 C. 半圆是圆中最长的弧 D. 弦是直径 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的相关概念，正确的了解有关概念及性质是解题的关键． 利用圆的有关概念及性质逐项判断即可解答． 【详解】解：A、直径是圆中最长的弦，故正确，符合题意； B、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故错误，不符合题意； C、半圆是小于优弧而大于劣弧的弧，故错误，不符合题意； D、直径是弦，但弦不一定是直径，故错误，不符合题意． 故选：A． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则计算解答即可． 本题考查了二次根式的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： A. 不是同类二次根式，无法计算， 本选项错误； B. ， 本选项错误； C. ， 本选项正确； D. ， 本选项错误； 故选：C． 4. 在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度（米）与飞行时间（秒）之间的关系式为，则第5秒时炮弹的飞行高度为（ ） A. 25米 B. 30米 C. 40米 D. 45米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的运用，根据题意，把代入计算即可求解． 【详解】解：炮弹的飞行高度（米）与飞行时间（秒）之间的关系式为， ∴第5秒时炮弹的飞行高度为（米）， 故选：D ． 5. 某商场今年10月份的营业额为440万元，12月份的营业额达到万元．设10月份到12月份营业额的月平均增长率为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设10月份到12月份营业额的月平均增长率为，则可列方程，解答即可． 【详解】解：设10月份到12月份营业额的月平均增长率为，则可列方程， 故选：C． 6. 一个盒子中装有标号分别为1，2，3的三个小球，这些球除标号外，其他都相同．随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，则两次摸出的小球的标号均为奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或画树状图法求概率．正确运用列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数是解题的关键． 先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号均为奇数的情况，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如图所示： ∵共有6种等可能的结果，其中两次摸出的小球的标号均为奇数有2种结果， ∴两次摸出的小球的标号均为奇数的概率为． 故选：D． 7. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式即可． 本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】解：令， 得方程，， 由二次函数的图象与轴有交点， ∴， ∴， 解得． 故选：A． 8. 如图，四边形内接于，为的中点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据四边形内接于，，结合为的中点，得到，于是得到，解答即可． 本题考查了圆的内接四边形的性质，圆周角，弧的关系，熟练掌握性质和关系是解题的关键． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，这是二次函数的图象，对称轴是直线，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断与0的关系，然后根据对称轴计算与0的关系以及的符号；由抛物线与轴的交点位置可得，由判断，由，进而对所得结论进行判断即可． 【详解】解：A、由抛物线开口向下知，对称轴为直线，则，故本选项错误； B、由图象可知，当时，，故本选项错误； C、由对称轴直线， ， ，则，故本选项正确； D、由图象可知，当时，，则，故本选项错误； 故选：C． 10. 如图，在中，，，，是的中点，以为直径作，分别与，交于点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据为的直径，得到，结合，可以判定四边形是矩形，于是得到，利用勾股定理，直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∵是的中点， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若最简二次根式与可以合并，请写出一个符合条件的：_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 先化简，然后根据同类二次根式的定义即可求解． 【详解】解：由， ∵最简二次根式与可以合并， ∴可以取， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是______. 【答案】 【解析】 【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的规律得到点（0，0）平移所得对应点的坐标为（1，2），然后根据顶点式写出新抛物线解析式． 【详解】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），点（0，0）先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得对应点的坐标为（1，2），所以新抛物线的解析式为y=（x-1）2+2 故答案为y=（x-1）2+2． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 13. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．若，，是抛物线上的一点，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，先求出，然后用待定系数法求出，再把代入计算即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴是y轴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入，得． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，则的长为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形判定与性质，掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理得，再证明为等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为：2． 15. 如图，在矩形中，，，是的边上的动点，沿直线将折叠．当点的落点恰好落在矩形的对称轴上时，_____；恰好落在矩形的对称轴上时，_____． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】过点作，交、于点E、F，根据折叠可知：，，求出，得出，求出，再求出此时即可；当点在上时，先求出，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，最后求出正切值即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 过点作，交、于点E、F，如图所示： ∵m为矩形的对称轴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 根据折叠可知：，， 在中， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在上时， ∵n为矩形的对称轴， ∴，， 根据折叠可知：，， 根据勾股定理得：， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，轴对称的性质，折叠的性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）解方程：． （2）计算：． 【答案】（），；（）． 【解析】 【分析】（）利用配方法分解法求解即可； （）代入特殊角三角函数值进行计算即可； 本题主要考查了配方法分解法解一元二次方程，特殊角锐角三角函数值的混合运算，熟练掌握配方法法解一元二次方程解法和特殊角锐角三角函数值是解题的关键． 【详解】解：（）原方程整理，得， 配方，得， 即， 解得，； （）原式 ． 17. 二次函数的图象顶点坐标为，且过． （1）求该二次函数的表达式． （2）当时，求函数值的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，设该二次函数的表达式为，把代入解答即可． （2）根据抛物线的对称轴，开口方向，确定时，二次函数的最大值与最小值，再确定范围即可． 本题考查了待定系数法，抛物线的增减性，最值，熟练掌握增减性和最值确定方法，是解题的关键． 【小问1详解】 解：设该二次函数的表达式为． 二次函数图象过点， ， 解得， 该二次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，函数有最小值， 且抛物线上的点与对称轴的距离越大，函数值越大， ∵， ∴在这个范围内， ∴二次函数的最小值为, ∵， ∴当时，取得最大值，且最大值为， 故取值范围为． 18. 如图，在中，，，分别是边，，上的点，且，，． （1）若，求的长． （2）若的面积为49，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定与性质． （1）根据平行线分线段成比例得到，，进而可得，设，则．即可解题； （2）证明，由（1），得，推出，利用三角形相似性质解答． 【小问1详解】 解：， ． ， ， ． 设，则． ， ， 解得， ； 【小问2详解】 解：， ． 由（1），得， ． ，， ． 19. 如图，是半圆的直径，是半圆上的一点． （1）作的平分线交半圆于点． （2）在（1）的作图下，连接，求证：． 【答案】（1）作图见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的作图、等腰三角形的判定和性质、圆的基本性质等知识， （1）根据角平分线的作法作图即可； （2）由角平分线定义得到．由得到，则，即可证明． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 如图． 平分， ． ， ， ， ． 20. 在古老而富有历史底蕴的开封城，有一座闻名遐迩的铁塔（图1），它是现存最早的琉璃塔，享有“天下第一塔”的美誉．为了测量开封铁塔的高度，如图2，在观测点处测得铁塔顶端的仰角为，沿方向前进41米到达点处，在点处测得铁塔顶端的仰角为，求开封铁塔的高度．（结果精确到1米，参考数据：） 【答案】开封铁塔的高度约为56米 【解析】 【分析】设米，建立方程，解答即可． 本题考查了解直角三角形的应用，仰角的计算，熟练掌握仰角的计算是解题的关键． 【详解】解：设米． 在中，， ∵， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴， 解得． 答：开封铁塔的高度约为56米． 21. 如图，的直径与弦交于点，，． （1）求的长． （2）当时，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理及直角三角形的性质． （1）过点作于点，根据是的直径，，，求出，进而利用勾股定理求出，再根据垂径定理即可求出； （2）根据题意求出，利用勾股定理求出即可解答． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点． 是的直径，， ． ， ， ， ，即的长为； 【小问2详解】 解：，， ． 又，， ，． ，即的长为． 22. 某水果店销售一种苹果，当每千克苹果的售价为10元时，每天能销售40千克．经市场调研发现：每千克苹果的售价每降低1元，每天的销售量就会增加20千克．设每千克苹果降价元，每天销售这种苹果的收入为元． （1）求与之间的函数关系式． （2）当每千克苹果降价多少元时，该水果店每天的收入最多？最多为多少元？ （3）若该水果店老板希望每天收入不低于640元，直接写出的范围． 【答案】（1） （2）当每千克苹果降价4元时，该水果店每天的收入最多，最多为720元 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意列出函数解析式，同时考查利用二次函数的性质求最大利润，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意，销售数量可表示为，利用收入等于每千克的售价乘以销售数量，列出函数关系式即可； （2）根据二次函数的性质即可求解最大值； （3）令，根据二次函数解析式建立不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每千克苹果降价元，每天销售这种苹果的收入为元， 由题意得 ； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴当时，有最大值为720， ∴当每千克苹果降价4元时，该水果店每天的收入最多，最多为720元； 【小问3详解】 解：由题意可得： ， 解得：， 答：每天收入不低于640元，的取值范围为：． 23. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）求线段的最大值． （3）若以为顶点的三角形与相似，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点的坐标，再求出直线的函数表达式为，设点的横坐标为，则点．得到点，求出，利用二次函数的性质即可解答； （3）根据（1）中抛物线的解析式，然后再根据是等腰直角三角形，得出是等腰直角三角形，再分类讨论，列出方程，即可求解． 【小问1详解】 解：将点，代入， 得， 解得， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由（1），得抛物线的函数表达式为， 点的坐标为． 设直线的函数表达式为， 将点，代入， 得， 解得， 直线的函数表达式为． 设点的横坐标为，则点． 轴， 点． 为线段上的一个动点， 点在点的上方， ， 当时，有最大值，的最大值为； 【小问3详解】 解： ，， 为等腰直角三角形． 以，，为顶点的三角形与相似， 为等腰直角三角形． 分两种情况讨论： ①如图1，，则， 轴， 点，关于对称轴对称． 又二次函数图象的对称轴为直线，点的横坐标为0， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的坐标为； ②如图2，，则， 由（2）知直线的函数表达式为， 设点，则， ， 又是等腰直角三角形，， ， 又，， ， 又， ，即， 解得：或（舍去）， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和相似三角形与等腰直角三角形的性质，解题关键是熟练运用待定系数法和设出相关点的坐标，根据题意列出方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$