1.4数列在日常经济生活中的应用（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第二册)

1.4数列在日常经济生活中的应用 题型一：数列-单利 1．小蕾2018年1月31日存入银行若干万元，年利率为1.75%，到2019年1月31日取款时，银行按国家规定给付利息469元，则小蕾存入银行的本金介于（    ）元之间，并说明理由． A．1万~2万 B．2万~3万 C．3万~4万 D．4万~5万 2．某银行在某段时间内，规定存款按单利计算，且整存整取的年利率如下： 存期 1年 2年 3年 5年 年利率(%) 2．25 2．4 2．73 2．88 某人在该段时间存入10 000元，存期两年，利息税为所得利息的5%．则到期的本利和为（    ）元． A．10373 B．10396 C．10422 D．10456 3．复利是一种计算利息的方法.即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.某同学有压岁钱元，存入银行，年利率为；若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达.如果将这元选择合适方式存满年，可以多获利息（    ）元. （参考数据：，，，） A． B． C． D． 4．年月日，小王开始读小学一年级，小王父母决定给他开一张银行卡，每月的号存钱至该银行卡（假设当天存钱当天到账），用于小王今后的教育开支.年月日小王父母往卡上存入元，以后每月存的钱数比上个月多元，则他这张银行卡账上存钱总额（不含银行利息）首次达到元的时间为（    ） A．年月日 B．年月日 C．年月日 D．年月日 题型二：数列-复利 1．一个网上贷款平台在2024年初给出贷款的月利率为，某大学生此时从该平台贷款元，按照复利计算，他10个月后一次性还款的金额应为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．某高一学生家长于月日在某购物平台采用分期付款的形式购买了一台价值元的平板电脑给学生进行网上学习使用，该平台规定：分个月还清，从下个月日，即月日，开始偿还，每月日还款，且每个月还款钱数都相等．若购物平台的月利率为，则该家长每月的偿还金额是（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．银行一年定期的存款的利率为p，如果将a元存入银行一年定期，到期后将本利再存一年定期，到期后再存一年定期……，则10年后到期本利共 元． 4．某人向银行贷款10万元用于买房． (1)如果他向A银行贷款，年利率为，且这笔借款分10次等额归还（不计复利），每年一次，并从借后次年年初开始归还，问：每年应还多少元？（精确到1元） (2)如果他向B银行贷款，年利率为，要按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？（精确到1元） 题型三：数列-分期付款 1．（多选）刚考入大学的小明准备向银行贷款元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款.小明与银行约定：每个月还一次款，分次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为，设小明每个月所要还款的钱数为元，则下列说法正确的是（    ） A．小明选择的还款方式为“等额本金还款法” B．小明选择的还款方式为“等额本息还款法 C．小明第一个月还款的现值为元 D． 2．沈阳京东MALL于2022年国庆节盛大开业，商场为了满足广大数码狂热爱好者的需求，开展商品分期付款活动.现计划某商品一次性付款的金额为 a 元，以分期付款的形式等额分成 n 次付清，每期期末所付款是 x 元，每期利率为 r ，则爱好者每期需要付款 ． 3．小李向银行贷款14760元，并与银行约定：每年还一次款，分4次还清所有的欠款，且每年还款的钱数都相等，贷款的年利率为0.25，则小李每年所要还款的钱数是 元. 4．王先生今年初向银行申请个人住房贷款100万元购买住房，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分10年还清.银行给王先生提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款（包括本金和利息）. (1)若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还15000元，最后一个还贷月应还6500元，试计算王先生该笔贷款的总利息； (2)若王先生采取等额本息的还贷方式，贷款月利率为，.银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入为23000元，试判断王先生该笔贷款能否获批.（不考虑其他因素）参考数据，， 题型四：数列-产值增长 1．2019年我国国内生产总值增长率为6.1%，达到了990865亿元，实现了新的跨越，2020年我们将全面建成小康社会，实现第一个一百年的奋斗目标.如果从2020年初开始，以后每年的国内生产总值都按得增长率6.1%增长，那么2021年的国内生产总值为（    ） A．105.13万亿元 B．111.54万亿元 C．118.35万亿元 D．116.2万亿元 2．某超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加10%．从今年起10年内这家超市的总销售额为（    ）万元． A． B． C． D． 3．某汽车集团计划大力发展新能源汽车，2024年全年生产新能源汽车10000辆，如果在后续的几年中，后一年的产量在前一年的基础上提高20%，那么2032年全年生产新能源汽车约 辆. （参考数据：，，） 4．某公司生产一种产品，第一年投入资金1000万元，出售产品后收入40万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多80万元．同时，当预计投入资金低于20万元时，就按20万元投入，且当年出售产品的收入与上一年相同． (1)设第年的投入资金和收入金额分别为万元，万元，请求出、的通项公式； (2)预计从第几年起该公司开始并持续盈利？请说明理由（盈利是指总收入大于总投入）． 题型五：数列-养老保险及浓度匹配 1．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时的速度减小，问他至少要经过几小时才可以加强机动车（精确到小时) A．1小时 B．2小时 C．4小时 D．6小时 2．假设每次用相同体积的清水漂流一件衣服,且每次能洗去污垢的,那么至少要清洗 次才能使存留的污垢在以下. 3．公民在就业的第一年就缴纳养老储备金，以后每年缴纳的数目均比上一年增加，历年所缴纳的储备金数目，，…是一个公差为d的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．如果固定年利率为，那么，在第n年末，第一年所缴纳的储备金就变为，第二年所缴纳的储备金就变为，…．以表示到第n年末所累计的储备金总额，证明：，其中是一个等比数列，是一个等差数列． 4．甲、乙两个容器中分别盛有浓度为10％，20％的某种溶液500ml，同时从甲、乙两个容器中取出100ml溶液，将其倒入对方的容器并搅匀，这称为一次调和．记，，经次调和后，甲、乙两个容器的溶液浓度分别为，． (1)试用，表示，． (2)证明：数列是等比数列，并求出，的通项． 题型六：数列-其他模型 1．某林厂现在的森林木材存量是1 800万 m3，木材以每年25%的增长率生长，而每年要砍伐固定的木材量为x万 m3，为达到经两次砍伐后木材存量增加50%的目标，则x的值是(　　) A．40 B．45 C．50 D．55 2．一支车队有15辆车，某天下午依次出发执行运输任务，第一辆车于14时出发，以后每间隔发出一辆，假设所有的司机都连续开车，并都在19时停下来休息．已知每辆车行驶的速度都是，则这个车队当天一共行驶了 千米？ 3．某研究所计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，且每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列.已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1700万元，则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要 万元. 4．某产品具有一定的时效性．在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件．若做广告宣传，广告费为千元时比广告费为千元时多卖出件，其中，． (1)求销售量关于广告费用n的函数关系式； (2)当，时，厂家应生产多少件这种产品且广告宣传费用为多少元时才能使利润最大.（利润＝总获利－广告费，并假设厂家生产的产品全部销售完．） 1．假设一个蜂巢里只有1只蜜蜂，第1天它飞出去找回了2个伙伴：第2天，3只蜜蜂飞出去，各自找回了2个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，则到第4天所有蜜蜂都归巢后，蜂巢中全部蜜蜂的只数是（    ）． A．1 B．3 C．9 D．81 2．按活期存入银行1000元，年利率是0.52%，那么按照单利，第5年末的本利和是（    ） A．1036元 B．1028元 C．1043元 D．1026元 3．我国工农业总产值从年到年的年间翻了两番，设平均每年的增长率为，则有（    ） A． B． C． D． 4．哈雷彗星是唯一能用裸眼直接看见的短周期彗星，其绕太阳公转周期为76年，曾于1606年回到近日点，奥伯斯彗星的绕太阳公转周期为70年，也曾于1606年回到近日点，则哈雷彗星与奥伯斯彗星下次同年回到近日点的年份为（    ） A．3916年 B．4190年 C．4266年 D．4570年 5．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，已知数列为“斐波那契数列”，则（    ） A．1 B．2 C．2022 D．2023 6．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸；十二地支即：子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2023年是癸卯年，请问：在100年后的2123年为（    ） A．壬午年 B．癸未年 C．己亥年 D．戊戌年 7．刚考入大学的小明准备向银行贷款a元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月月末还一次款，分12次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为t．则小明每个月所要还款的钱数为（    ）元． A． B． C． D． 8．某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 9．（多选）有理数都能表示成（，且，与互质）的形式，进而有理数集且，与互质．任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数，反之，任一有限小数也可以化为的形式，从而是有理数．则（    ） A．是无理数 B．是有理数 C． D．无限循环小数是有理数 10（多选）．“苏州码子”发源于苏州，作为一种民间的数字符号流行一时，被广泛应用于各种商业场合.“苏州码子”0~9的写法依次为○､丨､刂､川､ㄨ､､〦､〧､〨､攵.某铁路的里程碑所刻数代表距离始发车站的里程，如某处里程碑上刻着的“○”代表距离始发车站的里程为0公里，刻着“〦○”代表距离始发车站的里程为60公里，已知每隔3公里摆放一个里程碑，若在A点处里程碑上刻着“川攵”，在B点处里程碑上刻着“〨ㄨ”，则（    ） A．从始发车站到A点的所有里程碑个数为14 B．从A点到B点的所有里程碑个数为16 C．从A点到B点的所有里程碑上所刻数之和为987 D．从A点到B点的所有里程碑上所刻数之和为984 11．某校准备以诗歌朗诵的形式庆祝即将到来的五四青年节，现将筛选出的100名学生排列成“等腰梯形”人墙，最上面一层16人，从最上面一层开始，每一层人数比上一层少1人，则该“等腰梯形”人墙最下面一层的人数为 ． 12．某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药（片剂），要求此患者每天早、晩间隔12小时各服一次药，每次一片，每片200毫克.假设该患者的肾脏每12小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的50%，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过400毫克时无明显副作用.若该患者第一天上午8点第一次服药，则第二天上午8点服完药时，药在其体内的残留量是 毫克，若该患者坚持长期服用此药 明显副作用（此空填“有”或“无”）. 13．峨眉山是一个著名的旅游和朝圣地，以其壮丽的自然风光和宗教文化遗址而闻名.其中“九十九道拐”景点约有2000级台阶，某游客一次上1个或2个台阶，设爬上第个台阶的方法数为，给出下列四个结论： ①；②；③；④. 其中所有正确结论的序号是 . 14．甲、乙、丙、丁四人合资注册一家公司，每人出资50万元作为启动资金投入生产，到当年年底，资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年相同.四人决定从第一年开始，每年年底拿出60万元分红，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底公司分红后的剩余资金为万元. (1)求，，并写出与的关系式； (2)至少经过多少年，公司分红后的剩余资金不低于1 200万元？（年数取整数，参考数据：，） 15．某次生日会上，餐桌上有一个披萨饼，小华同学准备用刀切的方式分给在座的位小伙伴，由此思考一个数学问题：假设披萨近似可看成平面上的一个圆，第条切痕看作直线，设切下，最多能切出的块数为，如图易知，.    (1)试写出，，作出对应简图，并指出要将披萨分给在座的位小伙伴（不考虑大小平分），最少要切几下； (2)这是一个平面几何问题，利用“降维打击”思想，联想到一条线段被切下能划分成段，由此求出数列的通项公式； (3)若将披萨换成一个蛋糕（近似看成空间中的一个圆柱体），同样用刀切方式分蛋糕，可以从上下底面和侧面各方向切入，每次切面都看作一个平面.若切下，最多能切出的块数为，求出的通项公式，并指出这时最少需要切几下能分给个人.（已知） ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4数列在日常经济生活中的应用 题型一：数列-单利 1．小蕾2018年1月31日存入银行若干万元，年利率为1.75%，到2019年1月31日取款时，银行按国家规定给付利息469元，则小蕾存入银行的本金介于（    ）元之间，并说明理由． A．1万~2万 B．2万~3万 C．3万~4万 D．4万~5万 【答案】B 【分析】设存入本金元，再列出方程求解即可. 【详解】设小蕾存入银行的本金元，依题意，，解得（元）， 所以小蕾存入银行的本金介于2万~3万元之间. 故选：B 2．某银行在某段时间内，规定存款按单利计算，且整存整取的年利率如下： 存期 1年 2年 3年 5年 年利率(%) 2．25 2．4 2．73 2．88 某人在该段时间存入10 000元，存期两年，利息税为所得利息的5%．则到期的本利和为（    ）元． A．10373 B．10396 C．10422 D．10456 【答案】D 【分析】先求出存期两年的利息与本金和，再求得利息税，作差即可. 【详解】由题意存期两年的利息与本金为10 000×(1＋2×2.4%)，利息税为10 000×2×2.4%×5%， 所以到期的本利和为10 000×(1＋2×2.4%)－10 000×2×2.4%×5%＝10 456． 故选：. 3．复利是一种计算利息的方法.即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.某同学有压岁钱元，存入银行，年利率为；若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达.如果将这元选择合适方式存满年，可以多获利息（    ）元. （参考数据：，，，） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，某同学有压岁钱元，分别计算存入银行和放入微信零钱通或者支付宝的余额宝所得的利息，即可得答案. 【详解】将元钱存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法， 则存满年后的本息和为， 故而共得利息元. 将元存入银行，不选择复利的计算方法，则存满年后的利息为， 故可以多获利息. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是计算元钱存入微信零钱通或者支付宝的余额宝选择复利计算五年的利息减去元钱存入银行计算年利息即可得利息. 4．年月日，小王开始读小学一年级，小王父母决定给他开一张银行卡，每月的号存钱至该银行卡（假设当天存钱当天到账），用于小王今后的教育开支.年月日小王父母往卡上存入元，以后每月存的钱数比上个月多元，则他这张银行卡账上存钱总额（不含银行利息）首次达到元的时间为（    ） A．年月日 B．年月日 C．年月日 D．年月日 【答案】C 【分析】由题意分析每月所存钱数依次成首项为，公差为的等差数列，求出其前项和列不等式即可解得. 【详解】由题可知，小王父母从年月开始，每月所存钱数依次成首项为，公差为的等差数列，其前项和为.令，即.因为，，所以第个月的号存完钱后，他这张银行卡账上存钱总额首次达到元，即年月日他这张银行卡账上存钱总额首次达到元. 故选：C 题型二：数列-复利 1．一个网上贷款平台在2024年初给出贷款的月利率为，某大学生此时从该平台贷款元，按照复利计算，他10个月后一次性还款的金额应为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】依据应还金额=贷款金额 (1+月利率) 月份进行求解即可. 【详解】应还金额=贷款金额 (1+月利率) 月份， 由题意知贷款金额为，月利率为，月份为10， 所以. 故选：D. 2．某高一学生家长于月日在某购物平台采用分期付款的形式购买了一台价值元的平板电脑给学生进行网上学习使用，该平台规定：分个月还清，从下个月日，即月日，开始偿还，每月日还款，且每个月还款钱数都相等．若购物平台的月利率为，则该家长每月的偿还金额是（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】设每月的偿还金额都是元，根据等比数列的求和公式可得出关于的等式，即可求得结果. 【详解】设每月的偿还金额都是元，则， 即，得． 故选：B. 3．银行一年定期的存款的利率为p，如果将a元存入银行一年定期，到期后将本利再存一年定期，到期后再存一年定期……，则10年后到期本利共 元． 【答案】 【分析】根据题意求出每年底的本利和，归纳即可. 【详解】由题意知， 第一年本利和为：元， 第二年本利和为：元， 第三年本利和为：元， 以此类推， 第十年本利和为：元， 故答案为： 4．某人向银行贷款10万元用于买房． (1)如果他向A银行贷款，年利率为，且这笔借款分10次等额归还（不计复利），每年一次，并从借后次年年初开始归还，问：每年应还多少元？（精确到1元） (2)如果他向B银行贷款，年利率为，要按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？（精确到1元） 【答案】(1)12245元 (2)12330元 【分析】（1）根据不复利的条件，设每年还款元，列出等式，即可求得结果； （2）根据复利的条件，设每年还款元，列出等式，即可求得结果. 【详解】（1）设每年还款元，依题意得 ， 解得（元）， 当年利率为，按单利计算，每年应归还12445元． （2）设每年还款元，依题意得 ， 解得（元）， 当年利率为，按复利计算时，每年还款12330元． 题型三：数列-分期付款 1．（多选）刚考入大学的小明准备向银行贷款元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款.小明与银行约定：每个月还一次款，分次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为，设小明每个月所要还款的钱数为元，则下列说法正确的是（    ） A．小明选择的还款方式为“等额本金还款法” B．小明选择的还款方式为“等额本息还款法 C．小明第一个月还款的现值为元 D． 【答案】BCD 【分析】AB根据还款特点，得到还款方式；C选项，设出第一个月还款的现值为，列出方程，求出答案；D选项，表达出第12个月末所欠银行贷款数，因为分次还清所有的欠款，故得到方程，求出答案. 【详解】AB选项，由于每个月还款的钱数都相等，故小明选择的还款方式为“等额本息还款法，A错误，B正确； C选项，设小明第一个月还款的现值为，则，解得，故C正确； D选项，根据等额本息还款法可得，第一个月末所欠银行贷款为， 第二个月末所欠银行贷款为， 第三个月末所欠银行贷款为， …… 第12个月末所欠银行贷款为 ， 由于分次还清所有的欠款，故， 解得，D正确. 故选：BCD 2．沈阳京东MALL于2022年国庆节盛大开业，商场为了满足广大数码狂热爱好者的需求，开展商品分期付款活动.现计划某商品一次性付款的金额为 a 元，以分期付款的形式等额分成 n 次付清，每期期末所付款是 x 元，每期利率为 r ，则爱好者每期需要付款 ． 【答案】 【分析】根据等比数列求和公式即得. 【详解】由题意得， ， . 故答案为：. 3．小李向银行贷款14760元，并与银行约定：每年还一次款，分4次还清所有的欠款，且每年还款的钱数都相等，贷款的年利率为0.25，则小李每年所要还款的钱数是 元. 【答案】6250 【分析】根据等额本息还款法，列出方程，利用等比数列前项和即可求解. 【详解】设每年还款的金额为，由题意可知：，所以 故答案为：6250 4．王先生今年初向银行申请个人住房贷款100万元购买住房，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分10年还清.银行给王先生提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款（包括本金和利息）. (1)若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还15000元，最后一个还贷月应还6500元，试计算王先生该笔贷款的总利息； (2)若王先生采取等额本息的还贷方式，贷款月利率为，.银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入为23000元，试判断王先生该笔贷款能否获批.（不考虑其他因素）参考数据，， 【答案】(1)290000元 (2)王先生该笔贷款能够获批 【分析】（1）由题意，每月的还贷额构成一个等差数列，对数列求和可得所求利息； （2）利用等比数列求和公式，求得王先生每月还货额，与题目所给数据比较，得结论. 【详解】（1）由题可知，等额本金还货方式中，每月的还贷额构成一个等差数列，表示数列的前项和. 则，故. 故王先生该笔贷款的总利息为：1290000-1000000=290000元. （2）设王先生每月还货额为元，则有 ， 即， 故. 因为，故王先生该笔贷款能够获批. 题型四：数列-产值增长 1．2019年我国国内生产总值增长率为6.1%，达到了990865亿元，实现了新的跨越，2020年我们将全面建成小康社会，实现第一个一百年的奋斗目标.如果从2020年初开始，以后每年的国内生产总值都按得增长率6.1%增长，那么2021年的国内生产总值为（    ） A．105.13万亿元 B．111.54万亿元 C．118.35万亿元 D．116.2万亿元 【答案】A 【分析】根据2020年初国内生产总值为99.0865万亿，然后计算99.0865（1+6.1%），可得结果. 【详解】由题可知：2020年初国内生产总值为99.0865万亿 则2021年的国内生产总值为99.0865（1+6.1%）=105.13万亿元 故选：A 【点睛】本题考查等比数列在实际应用中的应用，理清思路，审清题意，属基础题. 2．某超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加10%．从今年起10年内这家超市的总销售额为（    ）万元． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，后10年每年的销售额成等比数列，公比为1.1，首项为，进而根据等比数列求和公式求解即可. 【详解】设今后10年每年的销售额为， 因为超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加. 所以今年的销售额为，今后第年与第年的关系为， 所以今后10年每年的销售额构成等比数列， 公比为1.1，首项为. 所以今年起10年内这家超市的总销售额为 故从今年起10年内这家超市的总销售额为万元. 故选：D 3．某汽车集团计划大力发展新能源汽车，2024年全年生产新能源汽车10000辆，如果在后续的几年中，后一年的产量在前一年的基础上提高20%，那么2032年全年生产新能源汽车约 辆. （参考数据：，，） 【答案】43000 【分析】将其转化为等比数列，运用等比数列通项知识求基本量即可求出结果 【详解】根据题意，从2024年开始，每一年新能源汽车的产量构成等比数列，则 ，公比， 所以， 则2032年全年约生产新能源汽车为（辆）， 故2032年全年生产新能源汽车约43000辆. 故答案为：43000. 4．某公司生产一种产品，第一年投入资金1000万元，出售产品后收入40万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多80万元．同时，当预计投入资金低于20万元时，就按20万元投入，且当年出售产品的收入与上一年相同． (1)设第年的投入资金和收入金额分别为万元，万元，请求出、的通项公式； (2)预计从第几年起该公司开始并持续盈利？请说明理由（盈利是指总收入大于总投入）． 【答案】(1)， (2)该公司从第8年开始盈利，理由见解析. 【分析】（1）根据等差数列和等比数列通项公式求解即可. （2）根据题意得到当时，总利润，时，，再分类讨论即可得到答案. 【详解】（1）由题知：， 当，，解得， 所以. . （2）当时， 总利润. 因为， 为增函数， 且，， 所以当时，，当时，， 因为， ， 所以时，，即前6年未盈利. 当时，， 令，解得，所以该公司从第8年开始盈利. 题型五：数列-养老保险及浓度匹配 1．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时的速度减小，问他至少要经过几小时才可以加强机动车（精确到小时) A．1小时 B．2小时 C．4小时 D．6小时 【答案】C 【分析】设n个小时后才可以驾车，由题意得方程，解得即可． 【详解】设n个小时后才可以驾车，根据题意可知，每小时酒精下降的量成等比数列，公比为进而可得方程得，即，所以至少要经过4小时后才可以驾驶机动车． 故选C． 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质及实际应用，考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力，属于基础题. 2．假设每次用相同体积的清水漂流一件衣服,且每次能洗去污垢的,那么至少要清洗 次才能使存留的污垢在以下. 【答案】 【分析】设每次用升清水漂流一件衣服,通过题意可知, 存留的污垢是以为首项, 为公比的等比数列,最后列出存留的污垢与洗涤次数之间的关系,最后结合已知求出的值即可. 【详解】设每次用升清水漂流一件衣服, 洗涤次数,通过题意可知, 存留的污垢是以为首 项, 为公比的等比数列,所以有,由题意可知: ,所以至少要清洗4次才能使存留的污垢在以下. 故答案为：4 【点睛】本题考查了等比数列的实际应用,考查了数学阅读能力和数学运算能力. 3．公民在就业的第一年就缴纳养老储备金，以后每年缴纳的数目均比上一年增加，历年所缴纳的储备金数目，，…是一个公差为d的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．如果固定年利率为，那么，在第n年末，第一年所缴纳的储备金就变为，第二年所缴纳的储备金就变为，…．以表示到第n年末所累计的储备金总额，证明：，其中是一个等比数列，是一个等差数列． 【答案】证明见解析 【分析】首先根据题意写出与得递推关系式，利用错位相减求和得方法，求出的表达式，即可证明出结论. 【详解】 证明：根据题意可得， ，对反复使用上述关系式，得         ①． 在①式等导两端同乘，得     ②． ②－①，得 ， 即． 如果记，， 则． 其中是以为首项，为公比的等比数列； 是以为首项，为公差的等差数列． 4．甲、乙两个容器中分别盛有浓度为10％，20％的某种溶液500ml，同时从甲、乙两个容器中取出100ml溶液，将其倒入对方的容器并搅匀，这称为一次调和．记，，经次调和后，甲、乙两个容器的溶液浓度分别为，． (1)试用，表示，． (2)证明：数列是等比数列，并求出，的通项． 【答案】(1)，． (2)证明见解析，，． 【分析】（1）根据题意，得到，，即可求解； （2）由（1）得到可得，得出数列是等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求解. 【详解】（1）解：由题意，经次调和后甲、乙两个容器中的溶液浓度分别为， 所以，． （2）解：由（1）知，，， 可得， 所以数列是等比数列， 因为％，所以 ①， 又因为  ②． 联立①②得，． 题型六：数列-其他模型 1．某林厂现在的森林木材存量是1 800万 m3，木材以每年25%的增长率生长，而每年要砍伐固定的木材量为x万 m3，为达到经两次砍伐后木材存量增加50%的目标，则x的值是(　　) A．40 B．45 C．50 D．55 【答案】C 【分析】分成两次来计算，首先计算第一年砍伐和增长后得到的，然后再算第二年砍伐和增长后得到的，结合木材增加列方程，可求得的值. 【详解】经过一次刊发后，木材存量为，经过两次砍伐后，木材存量为.由题意有，解得，故选. 【点睛】本小题主要考查增长和减少同时进行的实际问题，由于题目砍伐的次数只有两次，所以只需要计算两次，按的增长要求列出方程，可求得的值.属于中档题. 2．一支车队有15辆车，某天下午依次出发执行运输任务，第一辆车于14时出发，以后每间隔发出一辆，假设所有的司机都连续开车，并都在19时停下来休息．已知每辆车行驶的速度都是，则这个车队当天一共行驶了 千米？ 【答案】3450 【分析】通过分析，这15辆车的行驶路程可以看作等差数列，利用等差数列求和公式进行求解即可. 【详解】由题意知，第一辆车行程为km， 且从第二辆车开始，每辆车都比前一辆少走km， 这15辆车的行驶路程可以看作首项为300，公差为-10的等差数列， 则15辆车的行程路程之和为（km）. 故答案为：3450. 3．某研究所计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，且每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列.已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1700万元，则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要 万元. 【答案】4709 【分析】根据题意借助于等比数列的通项公式以及求和公式分析运算. 【详解】设第个实验室的设备费为，装修费为，则， 由题意可得，则，解得或（舍去）， 故， ∵对任意的均成立， ∴，即， 故该研究所改建这十个实验室投入的总费用， 即该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要4709万元. 故答案为：4709. 4．某产品具有一定的时效性．在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件．若做广告宣传，广告费为千元时比广告费为千元时多卖出件，其中，． (1)求销售量关于广告费用n的函数关系式； (2)当，时，厂家应生产多少件这种产品且广告宣传费用为多少元时才能使利润最大.（利润＝总获利－广告费，并假设厂家生产的产品全部销售完．） 【答案】(1). (2)7875件，5000元. 【分析】（1）根据题意，不做广告时销售量，随后广告费为千元时比广告费为千元时多卖出件，即时比时多卖件，，时又比时多卖件，即，以此类推可得的表达式. （2）设利润为，由（1）可表示出利润与n的关系式，再根据关系式分析当最大时n的取值为多少. 【详解】（1）由题意得，， 因为广告费为千元时比广告费为千元时多卖出件， 所以，… 于是可得 ， 由等比数列求和可得， ， 所以. （2）由（1）可得，设利润为， 则， 所以当，时， ， 若要使最大，则，代入可得， 故，此时， 所以商家应生产7875件产品且广告费用为5000元时利润最大. 1．假设一个蜂巢里只有1只蜜蜂，第1天它飞出去找回了2个伙伴：第2天，3只蜜蜂飞出去，各自找回了2个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，则到第4天所有蜜蜂都归巢后，蜂巢中全部蜜蜂的只数是（    ）． A．1 B．3 C．9 D．81 【答案】D 【分析】先由前几天结束时，蜂巢中的蜜蜂数量观察出其组成了首项为3，公比为3的等比数列，求出通项公式，把4直接代入即可. 【详解】由题意知， 第一天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有1+2=3只蜜蜂， 第二天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有只蜜蜂， 第三天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有只蜜蜂， 第n天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有只蜜蜂， 所以归巢后的蜜蜂数列组成了首项为3，公比为3的等比数列， 所以其通项公式为：， 所以，第四天共有只蜜蜂. 故选：D 2．按活期存入银行1000元，年利率是0.52%，那么按照单利，第5年末的本利和是（    ） A．1036元 B．1028元 C．1043元 D．1026元 【答案】D 【解析】根据单利计算公式直接计算第5年的本利和. 【详解】因为是按照单利计算，所以第5年的利息是， 第五年末的本利和是. 故选：D 3．我国工农业总产值从年到年的年间翻了两番，设平均每年的增长率为，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设的总产值为，我国工农业总产值从年到年的年间翻了两番，说明年的工农业总产值是年工农业总产值的倍，然后根据平均增长率的定义列等式即可. 【详解】本题为增长率模型函数，为指数函数形式. 设年总产值为，由于我国工农业总产值从年到年的年间翻了两番，说明年的工农业总产值是年工农业总产值的，则. 故选D. 【点睛】本题考查平均增长律的定义，根据题意列式是解本题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题. 4．哈雷彗星是唯一能用裸眼直接看见的短周期彗星，其绕太阳公转周期为76年，曾于1606年回到近日点，奥伯斯彗星的绕太阳公转周期为70年，也曾于1606年回到近日点，则哈雷彗星与奥伯斯彗星下次同年回到近日点的年份为（    ） A．3916年 B．4190年 C．4266年 D．4570年 【答案】C 【分析】哈雷彗星与奥伯斯彗星回到近日点的年份分别成等差数列，首项都是，根据间隔求出公共项即可得到结果. 【详解】哈雷彗星回到近日点的年份为，奥伯斯彗星回到近日点的年份为， 则与公共项构成以1606为首项，70与76的最小公倍数为公差的等差数列，又70与 76 的最小公倍数为2660，则哈雷彗星与奥伯斯彗星同年回到近日点的年份为.令，则. 故选：C. 5．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，已知数列为“斐波那契数列”，则（    ） A．1 B．2 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】由题意，求得，进而得到，即可求解. 【详解】由题意得 ， ，， 所以， 所以. 故选：A. 6．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸；十二地支即：子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2023年是癸卯年，请问：在100年后的2123年为（    ） A．壬午年 B．癸未年 C．己亥年 D．戊戌年 【答案】B 【分析】根据题意，天干和地支的年份分别是以和为公差的等差数列，根据等差数列的性质即可求解. 【详解】由题意得：天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列， 由于，余数为0，故100年后天干为癸，由于，余数为4，故100年后地支为未， 综上：100年后的2123年为癸未年. 故选：B. 7．刚考入大学的小明准备向银行贷款a元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月月末还一次款，分12次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为t．则小明每个月所要还款的钱数为（    ）元． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等额本息还款法，分别写出第一个月末，第二个月末，…，第12个月末所欠银行贷款，其中第12月末还清所有的欠款，利用递推关系由等比数列前项和公式列出方程求出结果． 【详解】设小明每个月所要还款的钱数为元， 根据等额本息还款法得，第一个月末所欠银行贷款为：， 第二个月末所欠银行贷款数为：； ．．．， 第12个月末所欠银行贷款为： ； 由于分12次还清所有的欠款，所以， 解得. 故选：D． 8．某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】设小胡每月月底还款钱数为元，根据等额本息还款法可得每次还款后欠银行贷款，即第12次还款后欠银行贷款为，进而由等比数列的前项和公式可得，从而可得. 【详解】设小胡每月月底还款钱数为元，根据等额本息还款法可得： 第1次还款后欠银行贷款为， 第2次还款后欠银行贷款为， …， 第12次还款后欠银行贷款为 ， 因为贷款12个月还清，所以，即， 所以. 故选：C. 9．（多选）有理数都能表示成（，且，与互质）的形式，进而有理数集且，与互质．任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数，反之，任一有限小数也可以化为的形式，从而是有理数．则（    ） A．是无理数 B．是有理数 C． D．无限循环小数是有理数 【答案】BCD 【分析】由于，设，①，得，②，由②－①得出，即可判断C；由可判断A，B；由于无限循环小数也可以化成，且，m与n互质）的形式，从而可判断D． 【详解】由于，设，①，得，② ②－①得，解得，于是得，故C正确； 因为，可以化为的形式，故是有理数，故A错误，B正确； 无限循环小数也可以化成，且，m与n互质）的形式，故无限循环小数是有理数，故D正确． 故选：BCD． 10（多选）．“苏州码子”发源于苏州，作为一种民间的数字符号流行一时，被广泛应用于各种商业场合.“苏州码子”0~9的写法依次为○､丨､刂､川､ㄨ､､〦､〧､〨､攵.某铁路的里程碑所刻数代表距离始发车站的里程，如某处里程碑上刻着的“○”代表距离始发车站的里程为0公里，刻着“〦○”代表距离始发车站的里程为60公里，已知每隔3公里摆放一个里程碑，若在A点处里程碑上刻着“川攵”，在B点处里程碑上刻着“〨ㄨ”，则（    ） A．从始发车站到A点的所有里程碑个数为14 B．从A点到B点的所有里程碑个数为16 C．从A点到B点的所有里程碑上所刻数之和为987 D．从A点到B点的所有里程碑上所刻数之和为984 【答案】ABD 【分析】由题意可知A点处里程碑刻着数字，B点处里程碑刻着数字84，里程碑上的数字成等差数列，公差为3，根据等差数列的通项和求和公式，即可判断正误. 【详解】由题意知，A点处里程碑刻着数字，B点处里程碑刻着数字84，里程碑上的数字成等差数列，公差为3， 则从始发车站到A点的所有里程碑个数为，A选项正确； 从A点到点的所有里程碑个数为，B选项正确； 从A点到点的所有里程碑上的数字之和为，D选项正确，则C选项错误； 故选：ABD. 11．某校准备以诗歌朗诵的形式庆祝即将到来的五四青年节，现将筛选出的100名学生排列成“等腰梯形”人墙，最上面一层16人，从最上面一层开始，每一层人数比上一层少1人，则该“等腰梯形”人墙最下面一层的人数为 ． 【答案】9 【分析】从上到下各层的人数构成公差为的等差数列，利用等差数列求和公式得到方程，求出或，舍去不合要求的解，得到答案. 【详解】记最上面一层人数为，一共层， 从上到下各层的人数构成公差为的等差数列，则， 整理得，解得或． 当时，；当时，（舍）， 故最下面一层的人数为9． 故答案为：9 12．某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药（片剂），要求此患者每天早、晩间隔12小时各服一次药，每次一片，每片200毫克.假设该患者的肾脏每12小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的50%，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过400毫克时无明显副作用.若该患者第一天上午8点第一次服药，则第二天上午8点服完药时，药在其体内的残留量是 毫克，若该患者坚持长期服用此药 明显副作用（此空填“有”或“无”）. 【答案】 350 无 【分析】空1：根据题意依次计算出，，的值，即可得到第2天上午服完药时，药在他体内还残留量；空2：先根据等比数列求和求该运动员若长期服用此药，此药在体内残留量，与400比照后，即可得到答案. 【详解】设该生第次服药后，药在他体内的残留量为毫克， 由题意可得：，，， 故第二天早间他第三次服药后，药在他体内的残留量为350毫克； 该运动员若长期服用此药，则此药在体内残留量为， ∵，则， ∴长期服用此药，不会产生副作用， 即该患者长期服用该药，不会产生副作用. 故答案为：350；无. 13．峨眉山是一个著名的旅游和朝圣地，以其壮丽的自然风光和宗教文化遗址而闻名.其中“九十九道拐”景点约有2000级台阶，某游客一次上1个或2个台阶，设爬上第个台阶的方法数为，给出下列四个结论： ①；②；③；④. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②④ 【分析】根据题意可以得到,再对每一个进行判断即可. 【详解】由于到第级阶梯有两种方法：从第级阶梯上一级台阶或者从第级阶梯上两级台阶， 因此由题意有， 可得 , 当时，,所以②正确; 所以 , 所以①正确, 所以，③错误; ,所以④正确. 故答案为：①②④ 14．甲、乙、丙、丁四人合资注册一家公司，每人出资50万元作为启动资金投入生产，到当年年底，资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年相同.四人决定从第一年开始，每年年底拿出60万元分红，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底公司分红后的剩余资金为万元. (1)求，，并写出与的关系式； (2)至少经过多少年，公司分红后的剩余资金不低于1 200万元？（年数取整数，参考数据：，） 【答案】(1)，， (2)7年 【分析】（1）根据题设条件可得. （2）由（1）中的递推关系可得，结合题设条件可得关于的不等式，从而可得至少经过7年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元. 【详解】（1）由题意得，投入生产的启动资金共有万元， ， ， ． （2）由（1）知 ， 而也满足该式，故. 令，所以， 因为：，，即． 所以至少经过7年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元. 15．某次生日会上，餐桌上有一个披萨饼，小华同学准备用刀切的方式分给在座的位小伙伴，由此思考一个数学问题：假设披萨近似可看成平面上的一个圆，第条切痕看作直线，设切下，最多能切出的块数为，如图易知，.    (1)试写出，，作出对应简图，并指出要将披萨分给在座的位小伙伴（不考虑大小平分），最少要切几下； (2)这是一个平面几何问题，利用“降维打击”思想，联想到一条线段被切下能划分成段，由此求出数列的通项公式； (3)若将披萨换成一个蛋糕（近似看成空间中的一个圆柱体），同样用刀切方式分蛋糕，可以从上下底面和侧面各方向切入，每次切面都看作一个平面.若切下，最多能切出的块数为，求出的通项公式，并指出这时最少需要切几下能分给个人.（已知） 【答案】(1)，，图形见解析，最少要切下 (2) (3)，最少需要切4下 【分析】（1）根据题意，作出相应简图，从而分析得解； （2）根据题意分析得，从而利用累加法，结合等差数列的求和公式即可得解； （3）利用（2）中结论，分析得，进而利用累加法，结合等差数列的求和公式即可得解. 【详解】（1）如图：，，    可知，再作一条直线，使其与，，都相交于圆内，且与相交于圆上，可分为块，    故最少要切下. （2）记线段上个点将其划分成段，则， 为使得划分区域块尽可能多，每添加一条直线， 使其与前条直线，，，都相交于个不同的点， 则新增个区域块，即，且， 故. （3）记第刀所形成的切面所在平面为， 若切第刀，新增切面平面与前个平面，，，， 相交于条不同的直线，，，，， 这条不同的直线把划分的区块数即为新增的空间区块数， 由（2）可知为使此数最大，则，且， 故 ， 则，故此时最少切下即可. 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