精品解析：浙江省宁波市九校2024-2025学年高三上学期期末联考数学试题

宁波市2024学第一学期期末九校联考 高三数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求解即可. 【详解】， 故选：C 2. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式后，根据补集运算求解. 【详解】因为，， 所以， 故选：D 3. 已知向量，，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量平行的充要条件求出即可得解. 【详解】因为向量，， 所以，即， 解得或， 所以是的充分不必要条件， 故选：B 4. 展开式中的系数为（ ） A. B. 5 C. 15 D. 35 【答案】A 【解析】 【分析】由分类、分步计数原理结合组合数即可运算求解. 【详解】若要产生这一项，则 当在中取1时，再在中取2个、取4个1， 当在中取时，再在中取3个、取3个1， 所以展开式中的系数为. 故选：A. 5. 圆台的上下底面半径分别为1和3，圆台的母线与下底面所成角为，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆台上下底面半径以及夹角之间的关系求出圆台的高，再利用圆台的体积公式求解即可. 【详解】由题意该圆台的轴截面如图所示， 设上下底面半径分别为，圆台的高为， 则由题意可得，， 所以， 所以圆台的体积， 故选：D. 6. 下列不等式正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】幂函数的单调性判断A，根据指数与根式化简可判断B，利用对数函数的性质及换底公式可判断C，根据正弦函数的单调性判断D. 【详解】由幂函数在上为增函数可知，，故A错误； 由，故B错误； 由，所以，故C正确； 因为，，即， 又，即，所以， 即，故D错误. 故选：C 7. 如图，直线与函数交点的横坐标分别为，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】结合图象可知，，从而可解，进而求值. 【详解】由图象知图象的对称轴为直线， 即，可得， 又图象的对称中心为，即， 所以，可得， 解得，又，所以， 所以，则. 故选：A 8. 在平面直角坐标系中，若点到直线的距离不小于2，则的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由点A的坐标消参可得点所在轨迹方程为圆，利用圆心到直线的距离求出圆上点到直线最近距离，建立不等式求解即可. 【详解】由点可知，点A在圆上， 圆心到直线的距离， 由题意知，即，化简可得， 解得， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 从40个能歌善舞的人中选择15个人参加艺术节表演，其中7个人唱歌，8个人跳舞，共有多少种选择方式，下列各式表述正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】应用分步乘法原理结合组合数计算即可. 【详解】从40个能歌善舞的人中选择15个人参加艺术节表演，其中7个人唱歌，8个人跳舞， 先从40个能歌善舞的人中选择15个人有种选择，再从15个人参加艺术节表演中选择7个人唱歌有种选择，剩下的8人跳舞，共有种选择方式，A选项正确； 先从40个能歌善舞的人中选择7个人唱歌有种选择，再从剩下33个人中选择8个人跳舞有种选择，共有种选择方式，B选项正确； 先从40个能歌善舞的人中选择8个人跳舞有种选择，再从剩下32个人中选择7个人跳舞有种选择，共有种选择方式，C选项正确； 不能满足从40个能歌善舞的人中选择15个人参加艺术节表演，其中7个人唱歌，8个人跳舞，D选项错误； 故选：ABC. 10. 如图，圆锥SO的底面圆直径为AB，，，D为底面圆上的动点，则（ ） A. 当直线SD与AB所成角为60°时，直线SD与OC所成角为30° B. 当直线SD与AB所成角为60°时，直线SD与OC所成角为60° C. 直线SD与AB所成角的最小值为45° D. 直线SD与AB所成角的最大值为60° 【答案】BC 【解析】 【分析】作出两条异面直线所成的角求解即可判断AB，根据线面角的定义及性质可判断CD. 【详解】过作直线分别平行于，交分别为，连接，如图， 则为直线与所成的角，即，且为直线所成的角， 设，则， 在中，， 所以，故A错误，B正确； 对于C、D，易知直线与所成角的最小值即为直线与底面所成角，同时直线与所成角的最大值为直线与所成角， 故D错误，C正确. 故选：BC 11. 已知函数，数列满足，前项和为．则（ ） A. 函数的对称中心为 B. 函数为奇函数 C. 不等式的解集为 D. 若，，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A：计算的和是否为即可判断；B：设，计算的和是否为即可判断；C：根据函数的单调性和对称中心即可判断；D：利用数列求和得到，再根据基本不等式求最小值即可. 【详解】 . 所以函数关于对称，A正确； 令，则， 由A知，，所以. 所以不是奇函数，B错误； 因为，所以 因为在R上单调递增，所以，，C正确； 由A知，，且，， . 又因为，所以. 时，， 当且仅当即，，时等号成立； 时， ， 当且仅当即，，时等号成立； 所以若，，则的最小值为，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数据的平均数为3，方差为1，则数据，，，…，的平均数与方差的和为__________． 【答案】19 【解析】 【分析】根据平均数和方差的公式即可计算. 【详解】设数据，，，…，的平均数为，方差为， 设，设的平均数为，方程为， 则有 ， ， 所以， 故答案为：19. 13. 过点的直线与抛物线交于两点，且，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线垂直可得直线方程，与抛物线方程联立利用韦达定理可求，根据可求的值. 【详解】 由题意得，， ∵，∴，故直线方程为，即， 设，则， 由得，，， ∴， ∵，∴，解得. 故答案为：. 14. 已知函数有两个极值点，，当时，的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，令，可得关于n的表达式，然后可得关于n的表达式，最后分别利用导数研究，，可得答案. 【详解】，因有两个极值点，， 则. 令，则，则，， 两式相除可得， 又，则. 构造函数，，令，两边取对数得：， 两边求导数，可得， 则，因，则符号与有关. 令，则，故在上单调递减， 则，则，即在上单调递减. 则，则， 对于，注意到， 因，则，则. 则，，构造函数， 则，则在上单调递减， 故，即. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：对于形如，等形式函数的求导，可参照解析中的过程引入辅助变量y解决；为重要极限，对于学有余力的同学可了解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5个白球和3个黑球，乙箱中有4个白球和3个黑球． （1）若从甲箱中任取2个小球，求这2个小球同色的概率； （2）若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个小球，求从乙箱中取出的球是白球的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）先求出从甲箱中任取2个小球的事件数，再求出这2个小球同色的事件数即可得出； （2）先求出从从甲箱中取出的2个小球的各种情况的概率，再利用条件概率公式求解. 【小问1详解】 从甲箱中任取2个小球的事件数为， 这2个小球同色的事件数为， 所以这2个小球同色的概率为． 【小问2详解】 设事件A为“从乙箱中任取1个小球，取出的这个小球是白球”， 事件为“从甲箱中取出的2个小球都是白球”， 事件为“从甲箱中取出的2个小球为1个白球1个黑球”， 事件为“从甲箱中取出的2个小球都是黑球”， 则事件，，彼此互斥． ，，， ，，， 所以 ， 所以取出的这个小球是白球的概率为． 16. 已知函数．数列的首项．以后各项按如下方式取定：记曲线在处的切线为，若，则记与轴交点的横坐标是． （1）证明：数列为等比数列； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数来求出切线，再求出与轴交点横坐标，从而可得到数列的递推关系，然后再利用证明的等比数列后一项，通过递推代入得到与前一项的关系，再加以说明非0，即可得证等比数列； （2）利用第一问即可求得，从而利用错位相减法来求数列的前项和即可. 【小问1详解】 由，得， 曲线在处的切线方程为， 根据题意令可得，， 由， 因为，所以，且由得， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列． 【小问2详解】 由上式得，， 则，① 两边乘以2可得：，②. 由①－②得，， 所以． 17. 如图，三棱锥中，，．异面直线和所成角的余弦值为，点是线段上的一个动点． （1）证明：平面平面； （2）若二面角的正弦值为，求． 【答案】（1） 法一：（几何法）如图，取中点，由，得， 作，，则四边形为菱形，且， 连接，， ，则，. ∵异面直线与所成角的余弦值为，∴， 当时，， 此时，不能构成，舍去， 故，， ∵，，∴为直角三角形，故， ∴，即， ∵，，平面，∴平面， ∵平面，∴平面平面． 法二：（基底法）如图，取中点，由，得，，故二面角的平面角为， 由题意，得，， 设，，，． 则，，，，， ， ∵，∴， ∴或（舍去）， ∴，此时，平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）结合题目条件，利用线面垂直可证面面垂直. （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量可求结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以，，分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，， ∴，，， 设，，则， ∴，得，故. 设平面的法向量，则 令，得，，即， 设平面的法向量为，则 令，则，即， 设二面角的平面角为， 则， 得或（舍），故， ∴，故. 18. 如图，双曲线的左右焦点分别为，，双曲线与有相同的渐近线和焦距．过上一点作的两条切线，切点分别为A，B，A在轴上方，连接AB交于点M． （注：过曲线外一点作曲线的两条切线，则两切点所在直线方程为） （1）求双曲线的方程； （2）证明：直线AB与切于点M，且； （3）当点在第三象限，且时，求的值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的渐近线及焦距列方程求解即可； （2）联立直线与双曲线方程，根据相切求出切点横坐标，再联立直线与双曲线方程，利用根与系数关系可得出为中点得证； （3）法一可由直线，联立求出点坐标，代入双曲线方程求出，再由三角形面积公式得解，法二利用，，求出即可得解. 【小问1详解】 的渐近线方程为，， 的渐近线方程为，， 所以，得，，所以双曲线的方程为． 【小问2详解】 已知，且满足， 设切点，，， 根据题意得，直线AB方程为． 直线AB与联立，得， 化简得，， 所以直线AB与切于点． 所以，． 直线AB与联立，得，即， 得， 所以，即为中点， 所以． 【小问3详解】 法一：因为，则， 直线与直线联立， 得，即， 将点代入， 得，化简得， 由得，， 所以． 法二：因为，，点与点关于原点对称，所以． 因为，所以， 因为，所以，所以， ， 所以． 【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于直接算面积需要求出，或者利用三角形面积之间关系可转化为求，不论那种方法，都需要较强的运算能力. 19. （1）证明：； （2）当时，利用所给图形证明（1）中等式； （3）如图，的外接圆半径为1，，的一个外角的角平分线交外接圆于点D，过D作于点M，利用（1）中等式，证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据，利用两角和的、差的正弦公式可证明结论. （2）过作垂直于轴，交轴于，结合图形表示可证明结论. （3）根据三角形的性质转化角，利用正弦定理结合（1）中等式可证明结论. 【详解】（1）由题意得，， ， 两式相加得，． （2）由题意得，线段的中点的坐标为． 如图，过作垂直于轴，交轴于，则，． 在中，， 在中，， ∴，即． （3）设，，，则，， ∴， 在中，由正弦定理得，，∴， 在中，由正弦定理得，，∴， ∴， 由（1）式，得． 【点睛】关键点点睛：解决第（3）问的关键是根据三角形性质表示各角，利用正弦定理表示和，借助（1）中等式证明结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁波市2024学第一学期期末九校联考 高三数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 2. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 展开式中的系数为（ ） A. B. 5 C. 15 D. 35 5. 圆台的上下底面半径分别为1和3，圆台的母线与下底面所成角为，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 下列不等式正确的为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线与函数交点的横坐标分别为，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 1 8. 在平面直角坐标系中，若点到直线的距离不小于2，则的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 从40个能歌善舞的人中选择15个人参加艺术节表演，其中7个人唱歌，8个人跳舞，共有多少种选择方式，下列各式表述正确的为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，圆锥SO的底面圆直径为AB，，，D为底面圆上的动点，则（ ） A. 当直线SD与AB所成角为60°时，直线SD与OC所成角为30° B. 当直线SD与AB所成角为60°时，直线SD与OC所成角为60° C. 直线SD与AB所成角的最小值为45° D. 直线SD与AB所成角的最大值为60° 11. 已知函数，数列满足，前项和为．则（ ） A. 函数的对称中心为 B. 函数为奇函数 C. 不等式的解集为 D. 若，，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数据的平均数为3，方差为1，则数据，，，…，的平均数与方差的和为__________． 13. 过点的直线与抛物线交于两点，且，，则__________． 14. 已知函数有两个极值点，，当时，的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5个白球和3个黑球，乙箱中有4个白球和3个黑球． （1）若从甲箱中任取2个小球，求这2个小球同色的概率； （2）若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个小球，求从乙箱中取出的球是白球的概率． 16. 已知函数．数列的首项．以后各项按如下方式取定：记曲线在处的切线为，若，则记与轴交点的横坐标是． （1）证明：数列为等比数列； （2）设，求数列的前项和． 17. 如图，三棱锥中，，．异面直线和所成角的余弦值为，点是线段上的一个动点． （1）证明：平面平面； （2）若二面角的正弦值为，求． 18. 如图，双曲线的左右焦点分别为，，双曲线与有相同的渐近线和焦距．过上一点作的两条切线，切点分别为A，B，A在轴上方，连接AB交于点M． （注：过曲线外一点作曲线的两条切线，则两切点所在直线方程为） （1）求双曲线的方程； （2）证明：直线AB与切于点M，且； （3）当点在第三象限，且时，求的值． 19. （1）证明：； （2）当时，利用所给图形证明（1）中等式； （3）如图，的外接圆半径为1，，的一个外角的角平分线交外接圆于点D，过D作于点M，利用（1）中等式，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $