精品解析：广东省汕头市潮阳区河溪中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

河溪中学2024-2025学年度第一学期学月考试 高二数学科试卷 注意事项：1.学生应把试题的各个题目填写在答题卷的相应位置上，考试结束，只交答题卷；2.本试卷共4页，共有19小题，满分150分，考试用时120分钟。 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每一题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔将答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑） 1. 集合＝， ，则 A. B. C. D. 2. 设为虚数单位，若复数，则复数的实部为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“直线与直线垂直”（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设，向量，，，且，，则（ ）． A B. C. 5 D. 6 5. 空间向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 函数 在区间 上的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 若直线在轴上的截距为，且它的倾斜角是直线的倾斜角的倍，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请用2B铅笔将答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑） 9. 若不等式的解集为R，则实数a可能的取值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 10. 一个不透明袋中装有2个红球､2个白球（每个球标有不同编号，除颜色和编号外均相同），从中不放回依次抽取2个球，记事件为“第一次取的球为红球”，事件为“第二次取的球为白球”，则（ ） A. B. 为对立事件 C. 相互独立事件 D. 抽取的2个球中至多1个白球的概率为 11. 在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD，则（ ） A. B. PB与平面ABCD所成角为 C. 异面直线AB与PC所成角的余弦值为 D. 平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则______.（用含a，b的代数式表示） 13. 已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为_________． 14. 甲乙两人下棋，每局甲获胜的概率均为0.6，且没有和棋，在三局两胜制的规则下（即先胜两局者获得最终胜利），则甲获胜的概率为__________. 四、解答题：本题共5小题，满分77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. 已知三个顶点的坐标分别为、、，求： （1）边上的中线所在直线的方程； （2）边上的高所在直线的方程； （3）的平分线所在直线的方程． 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，M是中点，，求的面积． 17. 从出游方式看，春节期间是家庭旅游好时机．某地区消费者协会调查了部分2024年春节以家庭为单位出游支出情况，统计得到家庭旅游总支出（单位：百元）频率分布直方图，如图所示．（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （1）求的值； （2）估计家庭消费总支出的第75百分位数． （3）从和两组中用分层抽样的方法共抽取了6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一组的概率． 18. 如图，在四棱锥中，直线平面PCD，，，，平面平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段PF上一点． （1）证明：； （2）证明：； （3）当EF为何值时，直线BE与平面PAD夹角的正弦值为． 19. 如图，在三棱柱中，平面. （1）求证：平面平面； （2）设点为的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河溪中学2024-2025学年度第一学期学月考试 高二数学科试卷 注意事项：1.学生应把试题的各个题目填写在答题卷的相应位置上，考试结束，只交答题卷；2.本试卷共4页，共有19小题，满分150分，考试用时120分钟。 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每一题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔将答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑） 1. 集合＝， ，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，又，故，故选D. 2. 设为虚数单位，若复数，则复数的实部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的除法运算化简，再由复数的实部概念得解. 【详解】因为， 所以复数的实部为， 故选：D 3. “”是“直线与直线垂直”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线垂直可构造方程求得的值，由推出关系可得结论. 【详解】由两直线垂直可得：，解得：或； 或，或， “”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 设，向量，，，且，，则（ ）． A. B. C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由条件结合垂直向量的坐标表示和平行向量的坐标关系求，由此可求的坐标，再求其模即可. 【详解】因为，，， 所以，所以， 因为，，，所以，所以， 所以， 所以. 故选：D. 5. 空间向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出，，根据向量在上的投影向量为求解. 【详解】由题意得， 则向量在上的投影向量为. 故选：D． 6. 函数 在区间 上的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的恒等变换化简，然后结合三角函数的性质求解即可 【详解】， ， 根据正弦函数的性质，. 所以最小值为1， 故选：C. 7. 若直线在轴上的截距为，且它的倾斜角是直线的倾斜角的倍，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线在轴上的截距可求得，设直线的倾斜角为，求出即直线的斜率，即可求出. 【详解】令，则，所以， 设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为， 因为直线的斜率为，所以， 故， 则直线的斜率，所以. 故选：D. 8. 已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出直线、的斜率，然后结合图象即可写出答案． 【详解】记为点，直线的斜率，直线的斜率， 因为直线l过点，且与线段相交， 结合图象，可得直线的斜率的取值范围是． 故选：B． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请用2B铅笔将答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑） 9. 若不等式的解集为R，则实数a可能的取值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用一元二次型不等式恒成立求出a的取值范围即得. 【详解】因为不等式的解集为R，则当时，恒成立，即有符合题意， 当时，，解得， 所以实数a的取值范围是，选项A不满足，BCD都满足. 故选：BCD 10. 一个不透明袋中装有2个红球､2个白球（每个球标有不同的编号，除颜色和编号外均相同），从中不放回依次抽取2个球，记事件为“第一次取的球为红球”，事件为“第二次取的球为白球”，则（ ） A. B. 为对立事件 C. 为相互独立事件 D. 抽取的2个球中至多1个白球的概率为 【答案】AD 【解析】 【分析】记个红球编号为,个白球编号为，写出样本空间及事件的样本点，对于A，用古典概率公式计算事件概率即可；对于B，事件包含共同的样本点，故不对立；对于C，根据独立事件的概念判断即可；对于D，记事件为“抽取的2个球中至多一个白球”，用古典概率公式计算即可. 【详解】记个红球编号为,个白球编号为， 所以样本空间为 ， 事件包含的样本点为， 事件包含的样本点为， 对于A，因为，故A正确； 对于B，因为事件包含共同样本点，故事件不对立，故B错误； 对于C，因为，所以不独立，故C错误； 对于D，记事件为“抽取的2个球中至多一个白球”， 则事件包含的样本点为 ， 所以，故D正确. 故选：AD. 11. 在四棱锥中，底面ABCD平行四边形，，，底面ABCD，则（ ） A. B. PB与平面ABCD所成角 C. 异面直线AB与PC所成角的余弦值为 D. 平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由线面垂直的判定定理及异面直线所成角的求法，结合空间向量的应用逐一判断即可得解． 【详解】对于选项A，因为，，由余弦定理可得，从而，即， 由底面，底面，可得，又面，即面， 又面，即，故选项A正确； 对于选项B，因为底面，所以就是与平面所成的角，又，即，故选项B正确； 对于选项C，显然为异面直线与所成的角，易得，故选项C正确； 对于选项D，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则,0,，,0,，,,，,,，,0,， 设平面的一个法向量为，则，即，令，则，即， 设平面的一个法向量为，则，则，令，则，，即， 则，即平面与平面夹角的余弦值为，故选项D不正确. 故选：ABC． 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则______.（用含a，b的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】利用换底公式及对数的运算可得解. 【详解】. 故答案为：. 13. 已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用点到平面的向量求法，列式计算作答． 【详解】依题意，，而为平面的一个法向量， 所以点到平面的距离, 故答案为： 14. 甲乙两人下棋，每局甲获胜的概率均为0.6，且没有和棋，在三局两胜制的规则下（即先胜两局者获得最终胜利），则甲获胜的概率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】分别计算出甲前两局赢的概率和前两局赢一局，第三局赢的概率，然后利用独立事件乘法公式及互斥事件求和公式即可得结果. 【详解】根据题意，甲获胜一种是前两局赢，另一种是前两局赢一局，第三局赢这两种情况， 故分别计算这两种情况的概率，前两局赢的概率为， 前两局赢一局，第三局赢的概率为， 则甲获胜的概率为， 故答案为：0.648 四、解答题：本题共5小题，满分77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. 已知三个顶点的坐标分别为、、，求： （1）边上的中线所在直线的方程； （2）边上的高所在直线的方程； （3）的平分线所在直线的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出线段的中点坐标，利用两点式可得出边上的中线所在直线的方程； （2）求出直线的斜率，可得出边上的高所在直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程； （3）分析可得，数形结合可得出的平分线所在直线的方程. 【小问1详解】 解：的中点为，所以边上的中线所在直线的方程为， 整理可得. 【小问2详解】 解：，则边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的方程为，整理可得. 【小问3详解】 解：，，所以， 所以，的平分线所在直线的方程为. 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，M是中点，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求得，结合角范围即得； （2）由，考虑取中点N，连接，得，设，利用和题设条件求出,借助于勾股定理求得，即可求得三角形的面积. 【小问1详解】 由正弦定理，， 化简得． 由余弦定理，可得． 又因为，所以； 【小问2详解】 如图，由，可得为等腰三角形， 取中点N，连接，则， 不妨设，则， ，， 在中，， 解得，则，， 故的面积为． 17. 从出游方式看，春节期间是家庭旅游好时机．某地区消费者协会调查了部分2024年春节以家庭为单位出游支出情况，统计得到家庭旅游总支出（单位：百元）频率分布直方图，如图所示．（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （1）求的值； （2）估计家庭消费总支出的第75百分位数． （3）从和两组中用分层抽样的方法共抽取了6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一组的概率． 【答案】（1）； （2）85； （3）； 【解析】 【分析】（1）根据频率之和等于1即可得解； （2）先判断第75百分位数所在区间，然后根据在区间内的矩形面积等于即可得解； （3）先根据分层抽样确定，内所抽取的人数，然后使用列举法，结合古典概型概率公式可得. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得， ． 【小问2详解】 因为前3组的频率之和， 前4组的频率之和， 所以第75百分位数，则， 解得 所以，第75百分位数为85． 【小问3详解】 因为组的频率为，组的频率为， 所以由分层抽样可知，组抽取了人，设为A、B， 从组抽取了人，设为， 则从这6人中随机抽取2人的样本点有： 共15种， 满足来自同一组的有共7种， 所以所抽取的2人来自同一组的概率是. 18. 如图，在四棱锥中，直线平面PCD，，，，平面平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段PF上一点． （1）证明：； （2）证明：； （3）当EF为何值时，直线BE与平面PAD夹角的正弦值为． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）2 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的性质定理即可证明； （2）过作，垂足为，分析可知为等边三角形，可得，结合面面垂直的性质可得平面ABCD，即可得结果； （3）取线段的中点，连接，建系，设，求平面PAD的法向量，利用空间向量处理线面夹角的问题. 【小问1详解】 因为直线平面平面， 且平面平面，所以； 【小问2详解】 过作，垂足为， 由题意知：为矩形，可得， 由，则为等边三角形，且F为线段BC的中点，则， 又因为平面平面ABCD，平面平面，平面， 可得平面ABCD，且平面， 所以. 【小问3详解】 由（1）可知：平面ABCD， 取线段的中点，连接，则，， 又因为，可知， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为E为线段PF上一点，设， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 由题意可得：， 整理得，解得， 所以当，直线与平面夹角的正弦值为. 19. 如图，在三棱柱中，平面. （1）求证：平面平面； （2）设点为的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到，结合证明出平面，故，结合得到平面，证明出面面垂直； （2）求出各边长，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用面面角的夹角余弦公式进行求解. 【小问1详解】 证明平面平面， . 又，且平面， 平面. 平面. 又，且平面， 平面. 平面， 平面平面. 小问2详解】 由（1）知，所以四边形正方形，即，且有. 以点为原点，以所在直线分别为轴，以过点和垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 设平面的一个法向量， 则即取， 同理可得平面的一个法向量， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$