精品解析：陕西省西安市新城区2024-2025学年高二上学期期末数学试题

2024~2025学年度第一学期期末质量检测 高二数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分120分，时间100分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收． 第I卷（选择题 共47分） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知等比数列中，，，则公比（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的性质可求. 【详解】由题可得，则. 故选：C. 2. 若函数在处可导，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】因为函数在处可导， 所以， 故选：B 3. 已知向量为直线的方向向量，为平面的法向量，若，则实数等于（ ） A 5 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与平面垂直可得直线的方向向量与平面的法向量平行，利用两向量平行的充要条件即可求解. 【详解】因为直线与平面垂直， 所以. 所以存在，使得，即. 解得：，. 故选：D 4. 平行直线与之间的距离是（ ） A. 1 B. 4 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据直线平行求参，再应用平行线间距离公式计算即可. 【详解】因为直线与平行， 所以且不是，所以， 则直线与的距离为. 故选：D. 5. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】利用几何法可判断出两圆的位置关系. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆心距为， 故圆与圆外切. 故选：C. 6. 设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，可以判断数列的特点，确定何时最大. 【详解】因为数列为等差数列， 由； 由. 所以. 所以等差数列是首项为正数的递减数列，且前6项为正，从第7项开始为负数. 所以最大 故选：B 7. 如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用向量法求点到面的距离即可. 【详解】以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系，如图所示. 所以，，，，所以，. 设平面的法向量， 所以令，解得，， 所以平面的一个法向量，又， 所以点到平面的距离. 故选：B. 8. 如图，已知，，是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若，则（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为基底，表示出向量，利用空间向量的数量积求向量的模. 【详解】以为基底，则，，，，. 因为，所以， 则 ， 所以. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等比数列是递减数列，是其公比，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据等比数列的单调性求解判断. 【详解】，为递减数列， 则或. 故BD正确. 故选：BD. 10. 已知直线和圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过点 B. 直线与圆恒有两个交点 C. 存在实数，使得直线与直线垂直 D. 直线被圆截得的最短弦长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A.由判断；B. 由判断；C.由判断；D.由当圆心与定点的连线与直线垂直时，直线被圆截得的弦最短判断. 【详解】A.，即为 ，所以直线恒过点，故错误； B. 因为，所以点在圆的内部，所以直线与圆恒有两个交点，故正确； C.当时，直线与直线垂直，故正确； D. 当圆心与定点的连线与直线垂直时，直线被圆截得的弦最短， 最短弦长为，故正确； 故选：BCD 11. 已知双曲线与直线无公共点，过的右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，若，则的离心率可以是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意可得：渐近线方程为，分析，，进而可得，再结合渐近线的结合性质可得，即可得离心率. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 则的右焦点到的距离，即， 因为，则， 又因为，则，可得， 又因为与直线无公共点，则， 所以的离心率． 故选：BC． 第II卷（非选择题 共73分） 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分． 12. 设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据抛物线的焦半径公式可求得结果. 【详解】因为为抛物线上一点，， 所以，解得. 故答案：2. 13. 若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，可知存在，使得，结合空间向量基本定理运算求解. 【详解】由不能构成空间的一个基底，则存在，使得， 即， 所以，解得. 故答案为：. 14. 若圆与曲线有两个公共点，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆、曲线的对称性，只需分析与圆只有一个交点即可，分相切与相交两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】圆的圆心为坐标原点，关于轴对称， 因为为偶函数，函数图象关于轴对称，所以曲线的图象也关于轴对称， 所以只需研究与圆只有一个交点即可， 当与圆相切时，则， 当与圆相交时（只有一个交点），则， 综上可得的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共61分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求下列函数的导函数． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】利用导数的运算法则及复合函数求导求解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 . 16. 已知点和点是圆直径的两个端点． （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据中点坐标公式得出圆心，应用两点间距离得出半径，进而得出圆的方程； （2）先应用斜率乘积为得出斜率，再点斜式得出切线方程. 【小问1详解】 由题意可得的中点， ∴圆心，故半径， ∴圆的标准方程为． 【小问2详解】 ∵为圆的切线，∴，则， ∵，∴， ∴过点的切线方程为，即切线的方程为． 17. 已知椭圆的离心率为，且椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为.直线交椭圆于不同的两点， （1）求椭圆的方程； （2）椭圆左焦点为，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用离心率以及距离之和即可求解，得到椭圆方程. （2）联立直线与椭圆的方程，得到交点坐标，计算弦长结合点到直线的距离公式即可求解面积. 【小问1详解】 由已知有，解得，则椭圆的方程为. 【小问2详解】 消去，整理得，解得，， 如图 则，，则， 直线的方程为，到直线的距离. 所以的面积为. 18. 如图，在四棱锥中，底面，四边形为矩形，且，为线段上一点，满足，设，． （1）求实数的值； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，根据，由求解； （2）分别求得平面的法向量为和平面的法向量为，由求解. 【小问1详解】 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， ∴， 设，∵，， ∴， ∴，，，∴， ∵，∴，解得． 【小问2详解】 由（1）中建立空间直角坐标系得，，，，， ∴，， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设平面的法向量为， 则，取，得， ∴， 由图知，二面角的平面角为钝角， ∴二面角的余弦值为． 19. 设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令，数列的前项和为. （1）求的和公比; （2）求; （3）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）4 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，前项和为，由题意，化简可得值； （2）由（1）得，用错位相减法求和； （3）设，，按的奇偶性分类求解可得参数范围． 【小问1详解】 设等差数列的公差为，前项和为，则， 所以， 因为是“和等比数列”，所以，即，对任意恒成立， 所以，解得， 所以的和公比为4； 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 所以， 相减得， 所以； 【小问3详解】 设， ， ，是递增数列， 不等式对任意的恒成立，即不等式对任意的恒成立， 当为奇数时，，则， 当为偶数时，，则， 综上，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第一学期期末质量检测 高二数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分120分，时间100分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收． 第I卷（选择题 共47分） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知等比数列中，，，则公比（ ） A. 2 B. C. D. 2. 若函数在处可导，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量为直线的方向向量，为平面的法向量，若，则实数等于（ ） A. 5 B. 2 C. D. 4. 平行直线与之间的距离是（ ） A. 1 B. 4 C. 3 D. 5. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 6. 设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（ ） A B. C. D. 7. 如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，则点到平面的距离为（ ） A B. C. D. 8. 如图，已知，，是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若，则（ ） A B. C. 6 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等比数列是递减数列，是其公比，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线和圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过点 B. 直线与圆恒有两个交点 C. 存在实数，使得直线与直线垂直 D. 直线被圆截得的最短弦长为 11. 已知双曲线与直线无公共点，过的右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，若，则的离心率可以是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 第II卷（非选择题 共73分） 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分． 12. 设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若，则的值为________． 13. 若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数________． 14. 若圆与曲线有两个公共点，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共61分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求下列函数的导函数． （1）； （2）． 16. 已知点和点是圆直径的两个端点． （1）求圆标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程． 17. 已知椭圆离心率为，且椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为.直线交椭圆于不同的两点， （1）求椭圆的方程； （2）椭圆左焦点为，求的面积. 18. 如图，在四棱锥中，底面，四边形为矩形，且，为线段上一点，满足，设，． （1）求实数的值； （2）求二面角的余弦值． 19. 设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令，数列的前项和为. （1）求的和公比; （2）求; （3）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$