微专题：平行线中的拐点问题（课时练）-2024-2025学年七年级下册数学同步课时练（人教版2024）

1．如图，已知，下列结论正确的是（    ）    A．∠BAC＝∠DCE B．∠BAC＝∠CEF C．∠BAC＋∠ACE＝180° D．∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360° 2．如图，，则，，的关系是 .    3．中华武术，博大精深．小明把如图1所示的武术动作抽象成数学问题．如图2，已知AB∥CD，∠C＝90°，∠B＝78°，∠E＝98°，则∠F的度数是（　　） A．106° B．110° C．118° D．120° 4．如图是汽车灯的剖面图，从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线都是水平线，若∠ABO=20°, ∠DCO=60°，则的度数为 . 5．如图，一大门的栏杆如右图所示，BA⊥AE，若CDAE，则∠ABC+∠BCD＝ 度； 6．如图，已知， 则 ．    7．下列各图中的与平行．    图中的， 图中的， 图中的， 图中的 ， 据此推测，图中的 8．如图，直线与射线平行，点E是上一点，点G是上一点，，平分．若，求的度数．      9．小刀，是我们生活中经常接触的工具，由刀片和刀柄组成。在刀柄ABCD中，∠A和∠B都是直角，在刀片EFGH中，EF∥GH．转动刀片时会形成∠1、∠2，试判断∠1与∠2的度数和是一个定值吗？若是，请求出∠1与∠2的度数和；若不是，请说明理由． 10．如图是一个汉字“互”字，其中，，，M、H、G三点在同一直线上，N、E、F三点在同一直线上．    求证：(1)；(2)． 11．如图①，，且，    (1)求的度数． (2)如图②，试猜想与、之间的关系． 12．如图，已知直线、被直线所截，，E是平面内任意一点（点E不在直线、、上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（　　） A．②③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 13．如图，点、为平面内两个定点，定直线，是直线上一动点，对下列各值：①的周长；②的面积；③点到的距离；④的大小.其中会随点的移动而变化的是（    ）    A．②③ B．②④ C．①④ D．①③ 14．如图，已知直线，点M，N分别在直线，上，点E为，之间一点，且点E在线段的右侧，．若与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，……以此类推，若，则n的值是 ． 15．如图，，在上、在上，连接，线段上有一动点，作，在左侧，连接、，作的角平分线，满足，若，则的度数为 ． 16．如图（1），． (1)求证：； (2)在（1）的条件下，如图（2）若，，、分别平分、，求的度数； (3)在（1）的条件下，如图（3），作，与的平分线交于点，若的余角等于的补角，求的度数． 17．已知直线MN、PQ，点A、B为分别在直线MN、PQ上，点C为平面内一点，连接AC、BC，且∠C＝∠NAC+∠CBQ． （1）求证：MN∥PQ； （2）如图2，射线AE、BD分别平分∠MAC和∠CBQ，AE交直线PQ于点E，BD与∠NAC内部的一条射线AD交于点D，若∠C＝2∠D，求∠EAD的度数． 18．【感知探究】（1）如图①，已知，，点在上，点在上．求证：． 【类比迁移】（2）如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明） 【结论应用】（3）如图③，已知，，，则 °． 19．如图，． (1)如图1，请探索，，三个角之间的数量关系，并说明理由； (2)已知． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，若和的平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 20．光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有．    (1)如图2，已知镜子与镜子的夹角，请判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由； (2)如图3，有一口井，已知入射光线与水平线的夹角为，问如何放置平面镜，可使反射光线正好垂直照射到井底？（即求与水平线的夹角） (3)如图4，直线上有两点A、C，分别引两条射线．，，射线分别绕A点，C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得与平行？若存在，求出所有满足条件的时间t． 试卷第 1 页，共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．如图，已知，下列结论正确的是（    ）    A．∠BAC＝∠DCE B．∠BAC＝∠CEF C．∠BAC＋∠ACE＝180° D．∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360° 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质逐项判断即可． 【详解】解：A.由无法得出，错误； B.由无法得出，错误； C.∵， ∴， ∴，错误； D.∵， ∴，， ∴，正确； 故选：D． 2．如图，，则，，的关系是 .    【答案】 【解析】 【分析】过作，利用两直线平行同旁内角互补可得，，的关系． 【详解】解：过作，    ， ， ，， ，， ， ． 故答案为：． 3．中华武术，博大精深．小明把如图1所示的武术动作抽象成数学问题．如图2，已知AB∥CD，∠C＝90°，∠B＝78°，∠E＝98°，则∠F的度数是（　　） A．106° B．110° C．118° D．120° 【答案】B 【解析】 【分析】过点E作EG∥AB，过点F作FH∥AB，从而可得AB∥FH∥EG∥CD，然后利用平行线的性质可得∠B+∠HFB＝180°，∠EFH＝GEF，∠C+∠CEG＝180°，从而可得∠HFB＝102°，∠CEG＝90°，进而可得∠EFH＝∠GEF＝8°，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点E作EG∥AB，过点F作FH∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥FH∥EG∥CD， ∴∠B+∠HFB＝180°，∠EFH＝GEF，∠C+∠CEG＝180°， ∴∠HFB＝180°﹣∠B＝102°，∠CEG＝180°﹣∠C＝90°， ∴∠GEF＝∠CEF﹣∠CEG＝98°﹣90°＝8°， ∴∠EFH＝∠GEF＝8°， ∴∠EFB＝∠EFH+∠HFB＝102°+8°＝110°， 故选：B． 4．如图是汽车灯的剖面图，从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线都是水平线，若∠ABO=20°, ∠DCO=60°，则的度数为 . 【答案】80° 【解析】 【分析】连接BC，由AB∥CD可以推出∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠OCD=180°，而∠CBO+∠BCO+∠O=180°，由此可以证明∠O=∠ABO+∠DCO． 【详解】解：连接BC．∵AB∥CD，∴∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠OCD=180°，而∠CBO+∠BCO+∠O=180°，∴∠O=∠ABO+∠DCO=60°+20°．     故答案为80°．      5．如图，一大门的栏杆如右图所示，BA⊥AE，若CDAE，则∠ABC+∠BCD＝ 度； 【答案】270 【解析】 【详解】解：过点B作BFAE， ∵CDAE， ∴CDBFAE， ∴∠BCD+∠CBF=180°，∠ABF+∠BAE=180°， ∴∠BAE+∠ABF+∠CBF+∠BCD=360°， 即∠BAE+∠ABC+∠BCD=360°， ∵BA⊥AE， ∴∠BAE=90°， ∴∠ABC+∠BCD=270°． 故答案为：270． 6．如图，已知， 则 ．    【答案】/540度 【解析】 【分析】可过点，分别作，，进而利用同旁内角互补得出结论． 【详解】解：如图，过点，分别作，，    ， ， 则，，， ， 故答案为． 7．下列各图中的与平行．    图中的， 图中的， 图中的， 图中的 ， 据此推测，图中的 【答案】 【解析】 【分析】由特殊情况发现规律，即可得答案． 【详解】解：图中的， 图中的， 图中的， 图中的， 图中的． 故答案为：，． 8．如图，直线与射线平行，点E是上一点，点G是上一点，，平分．若，求的度数．      【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，掌握判定及性质，作出辅助线构建平行线是解题的关键．过点F作，由平行线的判定方法得 ，由平行线的性质得，，由角的和差得，即可求解； 【详解】解：如图，过点F作，    ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．小刀，是我们生活中经常接触的工具，由刀片和刀柄组成。在刀柄ABCD中，∠A和∠B都是直角，在刀片EFGH中，EF∥GH．转动刀片时会形成∠1、∠2，试判断∠1与∠2的度数和是一个定值吗？若是，请求出∠1与∠2的度数和；若不是，请说明理由． 【答案】是，90° 【解析】 【分析】过点B作BP∥EF，则∠1=∠ABP．依据平行线的性质，即可得到∠ABP+∠PBC=∠1+∠2=90°． 【详解】解：∠1与∠2的度数和是一个定值，∠1+∠2＝90°． 过点B作BP∥EF， 则∠1＝∠ABP．（两直线平行，内错角相等） ∵EF∥GH， ∴BP∥GH  （平行于同一直线的两直线平行） ∴∠2＝∠PBC， （两直线平行，内错角相等） ∵∠ABP+∠PBC＝90°， ∴∠1+∠2＝90°． 10．如图是一个汉字“互”字，其中，，，M、H、G三点在同一直线上，N、E、F三点在同一直线上．    求证：(1)；(2)． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【解析】 【分析】（1）根据，得出，则，即可求证； （2）延长交直线于点P，根据，得出，根据，得出，即可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：延长交直线于点P，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．如图①，，且，    (1)求的度数． (2)如图②，试猜想与、之间的关系． 【答案】(1)(2) 【解析】 【分析】（1）过作，根据两直线平行，同旁内角互补进行计算； （2）过点作，根据两直线平行，内错角相等，以及两直线平行，同旁内角互补进行计算． 【详解】（1）解：过作，    ， ， ， 又，， ； （2）猜想：． 证明：过点作，    则， ，， ， ， ． 12．如图，已知直线、被直线所截，，E是平面内任意一点（点E不在直线、、上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（　　） A．②③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】由题意根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可． 【详解】解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β， ∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C， ∴∠AE1C=β-α． （2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β， ∴∠AE2C=α+β． （3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3=∠DCE3=β， ∵∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C， ∴∠AE3C=α-β． （4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°， ∴∠AE4C=360°-α-β． （5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得∠AEC=α-β或β-α． 综上所述，∠AEC的度数可能为β-α，α+β，α-β，360°-α-β，即①②③④． 故选：D． 13．如图，点、为平面内两个定点，定直线，是直线上一动点，对下列各值：①的周长；②的面积；③点到的距离；④的大小.其中会随点的移动而变化的是（    ）    A．②③ B．②④ C．①④ D．①③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线间的距离不变即可判断③；根据三角形的周长和点M的运动变化可判断①④；根据同底等高的三角形的面积相等可判断②；进而可得答案． 【详解】解：∵直线， ∴点M到直线的距离不会随点M的移动而变化，故③正确； ∵，的长随点M的移动而变化， ∴的周长会随点M的移动而变化，的大小会随点M的移动而变化，故①④错误； ∵点M到直线的距离不变，的长度不变， ∴的面积不会随点M的移动而变化，故②正确； 综上，不会随点M的移动而变化的是①④． 故选：C． 14．如图，已知直线，点M，N分别在直线，上，点E为，之间一点，且点E在线段的右侧，．若与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，……以此类推，若，则n的值是 ． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理的应用，探索图形规律、角平分线的定义等知识点，正确的识别图形、归纳图形规律是解答本题的关键．作则，根据平行线的性质得出，同理，，可归纳规律，依此建立方程，再求解即可解答． 【详解】解：如图：作， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵与的平分线相交于点， ∴， ∴， 同理：作可证明： 作可证明：，， … 归纳可得： 由题意得：，解得． 故答案为：5． 15．如图，，在上、在上，连接，线段上有一动点，作，在左侧，连接、，作的角平分线，满足，若，则的度数为 ． 【答案】/4度 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质和角平分线性质，根据题意得和，由即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则，解得． 故答案为：． 16．如图（1），． (1)求证：； (2)在（1）的条件下，如图（2）若，，、分别平分、，求的度数； (3)在（1）的条件下，如图（3），作，与的平分线交于点，若的余角等于的补角，求的度数． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，余角、补角的定义以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． （1）首先过点作，由平行线的性质可得，又由，即可证得，则，继而证得结论； （2）过点作，可得，由（1）得，根据平行公理可以得到，根据平行线的性质可以得到，由，，、分别平分、可以得出，，由可以得出答案； （3）首先设，，过点作，过点作，根据平行线的性质，可得，，又由的余角等于的补角，可得方程：，继而求得答案． 【详解】（1）证明：如图，过点作， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作， ， 由（1）得 ， ， ， ， 、分别平分、， ，， ，， ，， ； （3）解：设，， ，与的平分线交于点， ，，，， 如图，过点作，过点作， ， ， ，，，， ，， 的余角等于的补角， ， 解得：， ． 17．已知直线MN、PQ，点A、B为分别在直线MN、PQ上，点C为平面内一点，连接AC、BC，且∠C＝∠NAC+∠CBQ． （1）求证：MN∥PQ； （2）如图2，射线AE、BD分别平分∠MAC和∠CBQ，AE交直线PQ于点E，BD与∠NAC内部的一条射线AD交于点D，若∠C＝2∠D，求∠EAD的度数． 【答案】（1）见解析（2）90° 【解析】 【分析】（1）过C作CS∥MN，由已知可以得到PQ∥CS，从而得到MN∥PQ； （2）连接DC并延长交AE于点F，由已知可以得到∠DAC∠NAC，再由∠EAD＝∠EAC+∠CAD及平角的意义可以得到解答． 【详解】（1）证明：过C作CS∥MN，如图， ∵CS∥MN， ∴∠NAC＝∠ACS， ∵∠ACB＝∠ACS+∠BCS＝∠NAC+∠CBQ， ∴∠BCS＝∠CBQ， ∴PQ∥CS， ∴MN∥PQ； （2）解：如图，连接DC并延长交AE于点F，则： ∠ACF＝∠DAC+∠ADC，∠BCF＝∠DBC+∠BDC， ∴∠ACB＝∠DAC+∠DBC+∠ADB＝2∠ADB， ∴∠ADB＝∠DAC+∠DBC， ∴2∠ADB＝2∠DAC+2∠DBC＝2∠DAC+∠QBC， 又∠ACB＝∠NAC+∠CBQ＝2∠ADB． ∴∠NAC+∠CBQ＝2∠DAC+∠QBC，即∠NAC＝2∠DAC， ∴∠DAC∠NAC， ∴∠EAD＝∠EAC+∠CAD ∠MAC∠NAC （∠MAC+∠NAC） ＝90°． 18．【感知探究】（1）如图①，已知，，点在上，点在上．求证：． 【类比迁移】（2）如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明） 【结论应用】（3）如图③，已知，，，则 °． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）20 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，作辅助线是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质可求解； （2）如图②，过作，根据平行线的性质即可得到结论； （3）如图③，过作，根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图①，过点作， 则， 又∵， ∴， ， ， 即； （2）解：． 证明：如图②，过作， ， ∵， ∴， ， ， 即：． 故答案为：； （3）如图③，过作， ， ∵， ∴， ， ， 故答案为：20． 19．如图，． (1)如图1，请探索，，三个角之间的数量关系，并说明理由； (2)已知． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，若和的平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)．理由见解析 (2)①；② 【解析】 【分析】（1）过点作，结合，利用平行线的性质，结合角的和的意义计算即可． （2）①过点作，结合，得到，利用平行线的性质，结合（1）的结论变形计算即可． ②过作，而，则，利用平行线的性质解答即可． 本题考查了利用平行线探究角的之间关系，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，，三个角之间的数量关系是：． 理由如下： 过点作， ， ， ，， ， 即：． （2）解：①过点作， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ， 即：， ，， ． ②解：与的数量关系是：． 理由如下： 为的平分线，为的平分线， ，， 过作，而， ， 则 设， 则， 故， 故． 20．光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有．    (1)如图2，已知镜子与镜子的夹角，请判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由； (2)如图3，有一口井，已知入射光线与水平线的夹角为，问如何放置平面镜，可使反射光线正好垂直照射到井底？（即求与水平线的夹角） (3)如图4，直线上有两点A、C，分别引两条射线．，，射线分别绕A点，C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得与平行？若存在，求出所有满足条件的时间t． 【答案】(1)，理由见解析； (2)当平面镜与水平线的夹角为或时，可使反射光线正好垂直照射到井底； (3)存在，或 【解析】 【分析】（1）计算的值即可求解； （2）先计算，进一步得的值，根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等即可求解 ； （3）分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （2）解：∵ ∴ ∴当平面镜与水平线的夹角为或时，可使反射光线正好垂直照射到井底； （3）解：时，如图：    若，则 解得：； 时，如图：    ，不满足题意； 时，如图：    不满足题意； 时，如图：    若，则 解得：； 综上所述：当或时，使得与平行 试卷第 1 页，共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $$