精品解析：广东省广州市华南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期1月模拟训练数学试题

6学科网6组卷网 广州市华南附中2025届高三1月模拟训练试题数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求 1.已知柴合A={x∈Z+x-2<0吲，B={xeNI0≤10g,(x+)<2,则4UB的直子失的个数为 () A.16 B.15 C.14 D.8 【答案】B 【解析】 【分析】先分别确定集合A,B,确定AUB中元素的个数，可得AUB真子集的个数 【详解】由X2+x-2<0→(x+2x-)<0今-2<x<1, 又x∈Z,所yA={l,0叫 由0≤1og2(x+)<2→1≤x+1<4→0≤x<3, 又x∈N,所以B={0,12 所以1UB=0,L2头，有4个元素 所以U 真子集的个数为：24-1=15 故选：B 2.若复数乙满 20+2=3+i,则2=() A.1+i B.I-i c 2+i D 2-i 【答案】A 第1页/共23页 6学科网列组卷网 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简2，从而求出其共轭复数 3+i_3+i000-2）_3-6i+i-2=-1-i 【详解】因为z0+20）=3+i,所以2=1+2i0+21-2 所以z=1+i. 故选：A 3爱=了水+定义装为14，则-化到 √x-1的定义域为() A.(包2] B.【-19] c(1,9] D.[-1,2] 【答案】A 【解析】 【分所1末出国数（钊白定义线，对干少=2x+ √x一1，可得出关于实数x的不等式组，即可解得函数 y=f(2x+) √x-1的定义域 【详解】对于函数'=f(x+,有1≤x≤4，则0≤x+1≤5， 所以，函数()的定文诚为[D,5], f(2x+1) 0≤2x+1≤5 对于函数少= √x-1,则有x-1>0,解得1<x≤2， f(2x+1) 因此，函数少 √x-1的定义域为(1,2]， 故选：A 4已知直线4：+2y-4=0,:x-(a-3y-2=0,则4L”是“a=1"的() 第2页/共23页 6学科网6组卷网 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行求出的值，即可得出结论 [-a(a-3)=2 【详解】若1，：则1-2a≠4，解得a=1 所以， 。,”是“a=1”的充要条件 故选：A sina-2cosa 5.已知向量a=(L,-2),b=(cosa,sina),若a⊥i,则2sinu+cosa的值为() 4 3 3 2 A.3 B.4 C.2 D.3 【答案】B 【解析】 sina-2cosa 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示可得cosa=2sina,进而代入2sina+cosa计算即可. 【详解】由a1万知 b,得a-b=cos-2sina=0,则cosa=2sina, sina-2cosa sina-4sina 3 所以2sina+cosa2sina+2sina4. 故选：B. 6.E、E分别是双曲线2示/ 左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰落在以为圆心， O为半径的圆上，则双曲线C的离心率为（） 第3页/共23页 命学科网 组卷网 A.2 B.2 C 3 D.V3 【答案】A 【解析】 【分析】由对称可知OE=OP=OF=FP,再由中位线可知FP⊥FP,即可得 P5 3, ∠MOE= 3，即可得渐近线斜率，进而可得离心率。 【详解】如图所示，设B关于渐近线的对称点为P, 易知IOE=|OP=OE=BP,且M为PB中点，P51OM 则F=2FF.FPOM. 所FP1gP.∠F5=. 则<M05 3, 元 即一条渐近线倾斜角为3， b=tan=3 所以斜率a 3 第4页/共23页 6学科网命组卷网 所以离心率e= a 故选：A. 37 7.己知圆台的高为1，下底面的面积16π，体积为3，则该圆台的外接球表面积为() A.64n B.81r c100m D.121r 【答案】C 【解析】 【分析】首先画出组合体的截面图，再利用几何关系，列方程组，即可求解，最后代入表面积公式 【详解】如图，圆台与外接球的轴截面，如下， D 设上底面的半径为1，下底面的半径为5，外接球的半径为R, 由下底面的面积为16元，则片=4， 国台的作-（行++）写+16+4)。 即+4析-21=0，解得5=3或-7（合）， OA=x,OB=1+x △0AC和△0BD中，3+(1+x=R,4+x2=R2,两式联立， 解得x=3.R2=25 第5页/共23页 6学科网6组卷网 4πR2=100元 所以圆台外接球的表面积为 故选：C 8,.己知函数f(~)的定义域为R,且对任意x∈R,满足 f(x+)-f(x-1)≥xf(x+3)-f(-3)≤3x,且f0=1.则f(51)=() A.651 B.676 C.1226 D.1275 【答案】A 【解析】 【分析1由条件f(x+)小-f(x-)≥xf(x+3)-f(x-3列s3x可以推出(+)-f(x-)=x,结 合(0=1，即可求解 【详解】由3x≥f(x+3列-f(x-3列=f(x+3列-f(x+)+f(x+)-f(x-1)+f(x-1)-f(x-3) ≥(x+2)+x+(x-2)≥3x 所以f(x+)-f(x-)=x. 即/(x+2）小-f(x)=x+1 所以 f(51)=f(51)-f(49)+f(49)-f(47)+..+f(3)-f()+f(1)=(50+48+.+2)+1=651 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分 9.已知a,b>0,且ab=a+2b+6,则() 第6页/共23页 命学科网命组卷网 A.ab 的最小值为18 B.a2+b2 的最小值为36 2,1 2 C.ab的最小值为3 D.a+b的最小值为3+4√2 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A,根据基本不等式可得b=a+2b+6≥2W2b+6,进而求解即可判断；对于B,根据 2,1 6 ,=1- 基本不等式可得a2+b2≥2ab≥36，验证取等条件即可判断；对于C,由题意可得abab,进而 b=0+6 +b=a-2+8 +3 结合ab≥18即可判断；对于D,结合题意可得a-2,a>2,进而得到" -2,再 根据基本不等式求解即可判断： 【详解】对于A,由于ab=a+2b+6≥2N2ab+6,即(ab-32(Nab+V2)≥0， 则ab≥32，即b≥18，当且仅当a=2b=6时等号成立， 所以ab的最小值为18，故A正确： 对于B,由+≥2ab≥36，当且仅当0=b且a=2b。 时等号成立， 显然不能同时成立，取不到等号，故B错误； 2+a+2b_b6-1-621-6-3 对于C,由于ab=a+2b+6,所以有a b ab ab ab 183, 当且仅当a=2b=6时等号成立， 2.1 y 即ab的最小值为3，故C正确： 第7页/共23页 6学科网6组卷网 6=a+6>0 对于D,因为a>0,a-2,所以a>2, 所以a+b=a+a+6 又9=a-2+82322a-2)a22+3=4v2+3 当且仅当 -2=8 a-2,即a=2+2V2,b=1+2V2时等号成立， 则a+力的最小值为3+42，故D正确 故选：ACD 10直线=X-2与抛物线C:少=2x相交于AB两点，下列说法正确的是(） A抛物线C的准线方程为y=一 2 B能箱线C的：有为(0 C.若O为原点，则∠AOB=90 D.若A(x,),B(,乃），则MB=x+为+1 【答案】BC 【解析】 【分析】根据抛物线的方程即可得准线和焦点坐标，进而可判断AB,联立直线与抛物线方程，根据韦达 定理，结合向量垂直的坐标运算即可判断C,由焦半径公式即可判断D. 【详解】 准线方程为=2A错，B对： 联立直线与抛物线得y-2y-4=0,设1(，)，B(,少），则 第8页/共23页 6学科网命组卷网 为+为=2%=4，所5=经=4 4 OA.0B=x+%=0.即OA1OB 故C对 显然直线y=x-2不过焦点F,由抛物线定义有 =x+BF=+2,所以 A+BF=x+x+I>ABD错 故选：BC 1.已知等差数列a,}的首项为4，公差为d,前n项和为S,若S<S<S4,则下列说法正确的是 A当n=24,8最大 B使得、<0 成立的最小自然数n=48 C.as+azs as+azo S S25 中最小项为a5 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件，结合等差数列的性质，可得4+a5<0,44>0.4,<0 ,由此可判断ABC的真 Sm70, 假；再由n≤24和n≥48时，a 0253a时.令<0铸合何.恐的单调D 的真假 【详解】因为5<S,所以-S:=a+a<0, 第9页/共23页 命学科网组卷网 由5<4，所以84-8=4>0 所以65<0 所以=45-44<0 所以，当”=24时，8录大，放A正确： t。-a主小.4x2-4a>0.S4a*小.48色，*a0 2 2 2 所以使得<0 成立的最小自然数n=48,故B正确： 由a>a4>0>as>46,且4+a+as+as=2(4+4s)<0 所以s+a4<-a,as=as+a,即a:+a<a+a,救C错误 S>0 因为当n≤24时，an>0,Sn>0,所以a.: S0 当n≥48时，a.<0,Sn<0,所以a: 0 当25≤n≤47时，an<0,Sn>0,所以an 0>a25>a6>…>a47S25>S26>…>S47>0 且 S S2s 所以an】 中最小项为a,故D正确 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12过点(，0)且领斜角为30°的直线被圆(x-2+y=l所截得的弦长为. 【答案】V3 第10页/供23页 6学科网命组卷网 【解析】 【分析】由直线的点斜式方程可得直线【的方程，由点到直线的距离可得圆心到直线的距离，，结合勾股 定理，即可得结论 【详解】根据题意，设过点L,0)且倾斜角为30的直线为1， 其y=m0红-，n少-5(x-). 变形可得x-V3y-1=0, 圆(x-2+y=1的圆心为(2,0)，半径r=1, 设直线与圆交于点AB, 2-11 d= 圆心到直线的距离“√1+32， 。1 则=2×-4-5 故答案为： 3 13.已知单位向量a,b满足la+36B,则d与b的夹角为 【答案】3#601 【解析】 【分析】将等式ā+363 两边平方即可 第11页/共23页 6学科网 命组卷网 【详解】因为à+36=+6a.6+9奶2-=13 所y0.61 2, 所oa=号，a,6eo小a,6)=号 案为：了 14已知函数f(y-V5s血ox-cos0r-1@>0)在区间(0，m)上恰有两个零点，则0的取值范围是 17 【答案】 【解析】 【分析】先根据辅助角公式化简，然后结合x的范围及正弦函数的性质即可得解. =2nor}1-0,用mar}2 由e0小.背咖吾君0司 因为函数（田）在区间(0，π)上恰有两个零点， 0>0 所以 <0-元≤13π，解得1<0≤7 5π 6 66 所以o的取值范围是( 第12页/供23页 6学科网命组卷网 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,已知向量 m=(cosA,cosB),n=(a,2c-b ,且m1 (1)求角A的大小： (2)若a=2,求△ABC周长的取值范围. 【答案】)1= 3 (2)(2V3+2,6 【解析】 【分析】(1)由共线向量的坐标表示表示，利用正弦定理边化角，结合两角和差公式化简求得COsA,由 此可得A. (2)利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得 b+c=4sin(B+" ,再利用正弦函数的性质求出周 长范围。 【小问1详解】 由m/优，有2c--b)cos1=aosB,由L弦定理，行（2sinC-smB)cos1=smn4 Acos sinCeos4-sinAcos+cosAsinB=sin(B)=sinc Ce(0,x) 1 而 2,sinC≠0，则 2, 第13页供23页 6学科网列组卷网 3 【小问2详解】 =c=243 b 由正弦定理得：sinB sinc53,则6=4v5 4v3 -sinB,c=- sinC, 2 3 3 b+c=4 3 3(6inB+sng=45smB+5(+B1-45inB+5。 3 32 os)=4sin() 0<B<π 2 由锐角 ,得 2-B<即B 0< △ABC3 因此(B+∈( .即4sn(8+2e5,4利，a+b+e=2+b+ce25+2.6] ,即 6 所以áABC周长的范围为(2V5+2,6 16.已知数列{a.}满足01=20.+3×2”，4=2 an (1)证明：数列2”是等差数列，并求数列{an}的通项公式 (2)求数列{a,}的前u项和S。 【答案】(1)证明： 根据题意由an1=2an+3×2”易知2H 4_20,+3×2”=4+3 21 2m2, ant an= 3 即可得2一2”2为定值， 第14页/供23页 6学科网命组卷网 自此可得数别径是以分-1为首项：公装4的等茶数列 an 3 =1+a-=” 所以2” 2,可得a=(3n-1)2"； 即数列a,的通项公式为0，=(3n-)2 (2)S。=(3n-4)2”+4 【解析】 an 【分析】(1)根据等差数列定义即可得数列2”」是以1为首项，2为公差的等差数列，并求出通项公式； (2)利用错位相减法求和即可： 【小问1详解】 证明略，通项公式为。=(3n-)小2 【小问2详解】 由(1)知，a。=(3n-1)2-1 所以5=2×2°+5×2+…+(3n-1)-2 所以2S,=2×2'+5×2++(3n-4）-21+(3m-10-2 所以-8=2+3×(2'+…+2）-(3n-1)-2” =2+3×20-2）-3m-)2=4-3a0x-4. 1-2 所以5，=(3n-4)2”+4 17.如图，在二楼柱4BC-4BG中，侧面BB,CC是边长为2的菱形，其对角线交于点0且A0上平面 第15页/共23页 6学科网组卷网 BBCC (1)求证： BCL平面MBC: (2若∠BBC=60,0A=0B,求半百1BC与平面4BC夹角的奈弦值 【答案】(1)证明如下： 因为四边 BB,CC是菱形， 所以BCLBC 又因为A01平面BCC,且BCc平面BCC, 所以A0LBC 又10nBG=0,A0,BGC平面MBC 所UBC上平面MBC 5 (2)5 【解析】 【分析】(1)通过证 BC⊥BC,A0⊥B,C可证明结论 (2)方法1，如图建立空间直角坐标系，求出平面 BC与平面ABC的法向量，然后由空间向量知识可 得答案： 第16页/供23页 6学科网命组卷网 方法2，取4B中点D,连接OD,CD 由题可得平面 BG与平面4BC的夹角即为∠ODC,然后可得 答案 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法1，由B8=2,四边 BB,CC为菱形， ∠BBC=60° 则BBC 是边长为2的等边三角形 所以OC=OB=BCsin60=2x3=V3,OB=OC=,OA=OB=3 因为A0L平面B,CC.OB LOB,则以点O为坐标原点， OB,OB,OA 所在直线分别为”乙轴建立如图所示的空间直角坐标系 则B(V5,0,G(50,0,B(0,10),A0,0,3),C(0,-1,0). 则4B=(v50,-V5,Bc=(5,-l,0）)】 设平面4BC的一个法向量为i=(比，八2)。 [i.AB=√3x-V3z=0 则n-BC=3x-y=0·取x=1则y=-原z=故i=-3,小 易知平面1BG的一个法向是为m=(01,0)】 则平面1BG与平面ABC夹角9的余弦值 m.n -35 cos=cos(m,n)= m列 5×1 5, 第17页供23页 6学科网6组卷网 √15 故平面ABC,与平面ABC夹角的余弦值为5： ZA B B 方法2，由B8=2,四边形BB,CC为菱形， ∠BBC=60° 则△BB,C是边长为2的等边三角形， 所0G=0B=nCin60=2x5-50B=0C=10A=0B=5 2 所以AB=VOAP+OB2=V6 取AB中点D,连接OD,CD, 在等腰直角。AOB中，OD上4B且24B、V6 2 由勾股定理得AC=VOAP+0C2=2 CD-BC-BD- 6 因为BC=2=AC,则CD⊥AB' =2 注忘到OD LAB,.CD1MB,平面4BCn平面ABC=AB 所以平面 ABG与平面ABC的夹角即为∠ODC 在，0，优-hn-5c0- 2,则0C2+0D2=CD2, 第18页/供23页 6学科网 命组卷网 即OC⊥OD →C0s∠ODC= OD 15 CD 5, v15 故平面ABC,与平面ABC夹角的余弦值为5· 18已知椭圆c的中心在坐标原点，两个焦点分别为F(-1,0)5山，0）：点、 在椭圆。上 (1)求椭圆C的标准方程和离心率； (2)己知直线I与椭圆C交于M、W两点，且OM⊥ON,求△OMN面积的取值范围 【答案】12+广-1，e=2 2 2 3’2 【解析】 x2.y2 【分析】(1)设椭圆标准方程为： 在椭圆上，可求椭 圆的标准方程。 (②)按直线OM是香垂直于坐标轴分类，求出lOM,ON, 进而表示出三角形面积，再借助二次函数 求出范围即可： 【小问1详解】 第19页/供23页 6学科网 命组卷网 设椭圆标准方程为：。+京=1(a>b>0) c=1 a2=b2+c2 由题意： 11 d2=2 x2 所以椭圆C的标准方程为：2 +y2=1 -2 椭圆C的离心率为：e=。= a2· 【小问2详解】 如图： M 若直线OM的斜率不存在，则可取M(0,1),因为OM1ON,可取N(N2,0,此时 S.ow--xIxv2-V2 1 2 · 若直线0M的斜率为0，同理可得S.w=)xIx2=V2 2 当直线O 的斜率存在且不为0时，设直线O 的方程为少二： 第20页/共23页 6学科网列组卷网 y=kx +y=1,得1+2g 由x 2 (2 则OM=M+1kw小=2M+ V1+2k2· 2 2k2 用1代替·得1+2 k2+2 kk wow-于影5 kV2+2VR2+2 8-oMow-型 2(k2+1 2(k2+ (k2+12 2V1+2k2)(k2+2 设+1=11> 2 2一= 则sow=V2-+0-V2r+1- s为r>1所eo.+片2=-+2劉 141 所以2+ 综上，S.ow∈ 22 32 f(x)=lnx+2ax(a∈R) 19.已知函数 山当a=时，求函数f(田在f0) 在 处切线方程： 第21页/供23页 6学科网可组卷网 f(x) (2)求函数 的单调区间： )老8()=f)-2x,不等式82-在，+四)上行在实数解，求实数“的取值能国 【答案】(1)0+2e)x-y-1=0 (2) 当a≥ 0时，f)的递增区间为 (0,+o) ,无递减区间： 1 1 当a<0时，f(x)的递增区间 0,-2分，递减区间为2ato) 1 az (3) 2 【解析】 【分析】(1)利用导数的几何意义求切线方程； (2)对函数求导，讨论参数的符号研究函数的单调区间： (3)向题化为0≥nr+2x2- 2x 在[1，+o)上存在实数解，利用导数求右侧表达式在[1，+o)上最小值， 即可得范围. 【小问1详解】 当a=e时，倒=lhx+2cre>0,则f闭=+2e 所以0=2e,f0=1+2,板在0.f0)处切线方程为'-2e=0+2ex-D, 1+2e)x-y-1=0 所以 【小问2详解】 '(x)=-+2a 由题设 ,且x>0, 第22页/供23页 命学科网命组卷网 当4≥0时，(>0，即四的递猪区间为 (0,+∞ ,无递减区间： 当a<0时， 0r<- 2a有fx)>0,x>2a有fx)<0 此时f(的递增区间为0,2a,递减区间为2，+0 【小问3详解】 原条件等价于8)=血X-2X+2xr之-l在，+四)上存在实数解 所以a≥nx+22-1 2x 在1，+o)上存在实数解， g网2g+t2 2x 2x2 2x2 在几，+o)上2r2+nx>0,得h()>0,故h(在山，+o)上单调递增， 所以的最小值为= 91 2,故“2时不等式g()≥-1在山，+o)上存在实数解。 第23页/共23页 广州市华南附中2025届高三1月模拟训练试题数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则的真子集的个数为（ ） A. 16 B. 15 C. 14 D. 8 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 、分别是双曲线左、右焦点，若关于渐近线的对称点恰落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆台的高为1，下底面的面积，体积为，则该圆台的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且对任意，满足，且，则（ ） A. 651 B. 676 C. 1226 D. 1275 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，且，则（ ） A. 的最小值为18 B. 的最小值为36 C. 的最小值为 D. 的最小值为 10. 直线与抛物线相交于两点，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 拋物线的焦点为 C. 若为原点，则 D. 若，则 11. 已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. 当最大 B. 使得成立的最小自然数 C. D. 中最小项为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为________． 13. 已知单位向量满足，则与的夹角为______________． 14. 已知函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知向量，且. （1）求角的大小； （2）若，求周长的取值范围. 16. 已知数列满足. （1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式. （2）求数列的前n项和． 17. 如图，在三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，其对角线交于点.且平面. （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点 在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程和离心率； （2）已知直线与椭圆交于、两点，且，求面积的取值范围. 19. 已知函数. （1）当时，求函数在处切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $