9.4 向量的应用【6大题型】-2024-2025学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

9.4 向量的应用 【考点梳理】 · 考点一：向量在物理中的应用 · 考点二：用向量解决夹角问题 · 考点三：用向量解决线段的长度问题 · 考点四：向量与几何最值问题 · 考点五：用向量证明线段垂直问题 · 考点六：平面向量应用的综合问题 【知识梳理】 知识一　向量方法解决平面几何问题的步骤 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题. (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 知识二　向量方法解决物理问题的步骤 用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： (1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题. (2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型. (3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等. (4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题. 技巧：(1)用向量法求长度的策略 ①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解. ②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝. (2)用向量法解决平面几何问题的两种思想 ①几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解. ②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算. 【题型归纳】 题型一：向量在物理中的应用 1．（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图，一条河的南北两岸平行.游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，则游船要从A行到正北方向上位于北岸的码头处，其航行速度的大小（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量加法的几何意义、数量积的运算性质可得，然后再求出即可 【详解】设与所成的角为， 由题意得，， 则 . 故选:A 2．（23-24高一下·河北石家庄·期中）一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，则对该物体所做的功为（    ） A． B． C．1 D．41 【答案】A 【分析】根据功，即可求得物体所做的功. 【详解】由题意可知，，， 所以对该物体所做的功为． 故选：A． 3．（22-23高一下·河南新乡·期末）若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态．已知，，与的夹角为，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三力平衡得到，然后通过平方将向量式数量化得到，代入数据即可得到答案. 【详解】根据三力平衡得，即， 两边同时平方得， 即， 即， 解得. 故选：C. 题型二：用向量解决夹角问题 4．（2022·四川南充·三模）在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三角形放到直角坐标系当中，利用坐标法求向量夹角，即可求解. 【详解】解：建立如图直角坐标系，则, 得, 所以， 故选：D. 5．（21-22高一下·河南南阳·阶段练习）直角三角形ABC中，斜边BC长为a，A是线段PE的中点，PE长为2a，当最大时，与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设与的夹角为，由，可得 ，利用的范围可得答案. 【详解】如图所示，设与的夹角为，，所以， 因为A是线段PE的中点，PE长为2a，所以，， 又因为，所以 ， 因为，所以，所以当时最大， 此时，最大的值为. 故选：A. 6．（20-21高一下·福建三明·期末）中，若，，点满足，直线与直线相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题首先可构建直角坐标系，根据题意得出、、，然后根据、、三点共线以及、、三点共线得出，再然后根据向量的运算法则得出、，最后根据即可得出结果. 【详解】如图所示，以点为原点，为轴构建直角坐标系， 因为，，所以，，， 设， 因为、、三点共线，所以，，， 因为，、、三点共线，所以， 联立，解得，，， 因为，，所以，， 因为， 所以， 故选：A. 【点睛】方法点睛：本题考查向量的几何应用，可借助平面直角坐标系进行解题，考查应用向量的数量积公式求夹角，考查向量共线的相关性质，体现了数形结合思想，是难题. 题型三：用向量解决线段的长度问题 7．（2023·全国·模拟预测）已知向量，线段的中点为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用平面向量基底表示，找到的关系求解即可. 【详解】设， 则， 由， 得，又已知，且， 则有， 故. 故选：A. 8．（22-23高一下·福建·期中）在中，点D是边的中点，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面向量的数量积与模的关系计算即可. 【详解】如图所示，由题意可得： ， 即，解之得. 故选：A 9．（21-22高一下·辽宁锦州·期末）已知，，，，点D在边上且，则长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量数量积去求长度即可. 【详解】中，点D在边上且， 则 又，，， 则 ，即长度为 故选：D 题型四：向量与几何最值问题 10．（23-24高一下·重庆·期末）如图，已知正方形的边长为2，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点，连接，求出的取值范围，再根据 结合数量积的运算律求解即可. 【详解】取中点，连接， 因为是边长为2的正方形，动点在以为直径的半圆上， 所以当在点或点时，取得最大值， 当在弧中点时，取得最小值， 的取值范围为， 又因为，，， 所以 ， 因为的取值范围为， 所以的取值范围为，的取值范围为， 故选：B 11．（23-24高一下·上海闵行·期末）中国文化中的太极八卦图蕴含了现代哲学中的矛盾对立统一规律，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，若点P是其内部任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据向量模长可得，到的距离，再根据平面向量数量积的运算，结合平面向量数量积的几何意义求解即可. 【详解】由八卦图的对称性可得， 故 . 设到的距离为，则， 解得. 又 . 又即在上的投影， 其最大值为， 最小值为. 故， 即. 故选： C 12．（23-24高一下·北京·阶段练习）在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题可以先证明一下极化恒等式，再使用，轻松解决此题. 【详解】如图中，O为AB中点， （极化恒等式） 共起点的数量积问题可以使用. 如图，取中点，则由极化恒等式知， ，要求取值范围，只需要求最大，最小即可. 由图，可知最大时，P在D点，即，此时， 最小时，P在O点，即，此时. 综上所得，取值范围为: . 故选：D. 题型五：用向量证明线段垂直问题 13．（24-25高一下·全国）已知在四边形中，，，，则四边形为（    ） A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 【答案】A 【分析】利用向量的运算得到，即可得到答案. 【详解】因为，，， 所以. 所以. 所以且， 所以四边形为梯形.. 故选：A. 14．（23-24高一下·河北保定·期中）平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，与的夹角为45°，则的大小为（    ） A． B．5N C． D． 【答案】C 【分析】根据平衡状态得，结合向量的数量积求解即可． 【详解】由题意得，， 所以， 故选：C． 15．（23-24高一下·四川绵阳·期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为G，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 【答案】A 【分析】由题意可得，根据模长关系可得，进而逐项分析判断即可. 【详解】由题意可得， 则，解得， 对A：当时，，故A正确； 对B：当时，，即，故B错误； 对于C：对于， 因为在内单调递减，则在内单调递增， 所以越小越省力，越大越费力，且无最小值，故CD错误； 故选：A. 题型六：平面向量应用的综合问题 16．（23-24高一下·山东德州）如图，在中，已知分别为上的点，且.    (1)求； (2)求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)是线段的中点 【分析】（1）记，利用向量的线性运算将表示为的关系式，再利用向量的数量积运算即可得解； （2）将表示为的关系式，从而利用向量的数量积运算计算即可得证； （3）利用向量的中点性质与共线定理即可得解. 【详解】（1）依题意，记， 因为，所以，， 因为， 所以， 则， 故. （2）因为，所以， 所以， 则，即. （3）因为，所以是的中点，故， 因为，所以，即， 所以是线段的中点. 17．（22-23高一下·海南省直辖县级单位·期中）如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.    (1)设，，用，表示，； (2)猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想. 【答案】(1)， (2)，证明见解析 【分析】（1）利用向量的线性运算求解即可； （2）用基底表示两个向量，利用数量积的运算证明即可. 【详解】（1）， ； （2），证明如下： 由（1）知，， 所以， 设，则， 所以，所以，得证. 18．（22-23高一下·湖南常德）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在． 【分析】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，由于就是的夹角，从而利用向量夹角的坐标表示即可求解； （2）根据向量的共线表示联立方程组可求解，分点在上、点在上，结合向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系． 则． 由于就是的夹角．   的余弦值为． （2）设 ． ． 由题得． ①当点在上时，设， ； ②当点在上时，设， ，舍去． 综上，存在 【高分演练】 一、单选题 21．（23-24高一下·江西·期末）在中，点O为的外心，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设D，E分别是，的中点，根据外心性质可得到，同理可得，解得，根据向量乘法可求得，代入到可求得. 【详解】设D，E分别是，的中点，根据外心性质可得到 ， 同理可得， 又因，可得， 可解得， ，所以， 则. 故选：A 20．（2024·天津和平·二模）平面四边形ABCD中，，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知，得，，，四点共圆，从而判断点的轨迹是以为弦，圆周角为的劣弧（不含，两点），根据数量积的几何意义，得出结论． 【详解】由，，， 可得，故， 又，所以， 以为直径作圆，则，，，四点共圆， 如图所示，故点的轨迹是以为弦，圆周角为的劣弧（不含，两点）， 则， 又表示在上的投影， 由图可知，，， 故（此时点在劣弧的中点位置）， 即的最小值为． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：①由，得到，，，四点在以为直径的圆上， ②看作是在上的投影,结合图形特征可得投影的取值范围. 21．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧（含端点）上的一点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量数量积的运算量，结合即可求解. 【详解】取中点为，连接，显然， 则 . 故选：A. 22．（23-24高一下·江苏镇江·期末）已知向量，，满足：，且，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】由三角形重心、外心性质得到是三角形的重心、外心，从而得到三角形为等边三角形. 【详解】因为，所以是三角形的重心，又因为，所以是三角形的外心， 所以三角形是等边三角形. 故选：D. 23．（23-24高一下·辽宁大连·期中）关于平面向量，有下列四个命题，其中说法错误的是（    ） A．点，，与向量同方向的单位向量为 B．若，重心为G，过点G的直线交，与E，F，若，，则 C．若，垂心为H，则与共线 D．若向量，，则向量在向量上的投影向量为 【答案】A 【分析】A选项中根据单位向量的定义公式，求出与向量同方向的单位向量即可，B选项由平面向量的基本定理和根据重心的性质公式可解，C选项根据垂心的性质，利用向量垂直的充要条件以及向量数量积的定义进行化简，结合共线定理可解.D选项根据投影向量的概念公式可解决. 【详解】解：对于A，点，，， 与向量同方向的单位向量为，故A错误； 对于B，∵G为的重心，∴， ∴，又E、G、F三点共线， ∴，得，故B正确； 对于C， ， ∴，又， ∴与共线，故C正确； 对于D，若向量，， 则向量在向量上的投影向量为，故D正确. 故选：A． 二、多选题 24．（23-24高一下·吉林长春·期末）正六边形ABCDEF的边长为2，G为正六边形边上的动点，则的值可能为（    ） A． B． C．12 D．16 【答案】ABC 【分析】利用投影向量求解向量数量积，得到的最小值和最大值，得到答案. 【详解】连接与相交于点，由正六边形的几何性质，⊥，， 正六边形ABCDEF的边长为2，故，， 故， 故点在上的投影为， 当点与点重合时，此时的投影向量为，与方向相同 此时取得最大值，最大值为， 故当与重合时，的投影向量为，与方向相反， 此时取得最小值，最小值为， 故，ABC正确，D错误. 故选：ABC 25．（23-24高一下·山东枣庄·期末）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船在静水中的速度的大小，水流方向为正东方向，其速度的大小为，这艘船到达河对岸的时间精确到0.1min，采用四舍五入法.则（    ） 参考数据：    A．这艘船到达河对岸的渡河时间最短时， B．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3min C．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3.1min D．这艘船到达河对岸的航程最短时，渡河时间最短 【答案】AB 【分析】讨论的大小，分别求出过河的时间，从而判断ABC；由平行四边形法则结合勾股定理判断D. 【详解】对于A：设与的夹角为，船行驶的时间为， ，    当为钝角时， 当为锐角时， 当为直角时， 则当为钝角时，， 当为锐角时，， 所以当船垂直于对岸行驶，即，所用时间最短，故A正确； 对于B：由A可知，这艘船到达河对岸的渡河时间最短为，故B正确，C错误； 对于D：设点是河对岸一点，与河岸垂直， 那么当这艘船实际沿着方向行驶时，船的航程最短， 由下图可知，设，则， 此时，船的航行时间，故D错误；    故选：AB 26．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）如图，正方形的是边长为2，E，F分别是边，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】建立直角坐标系，求出各点的坐标，利用向量逐项判断 【详解】如图建立直角坐标系， 则, 所以，故A错， ，故B对； ，故C对； ，故D对； 故选：BCD 27．（23-24高一下·福建厦门·期中）在正方形中，，点E满足，则下列说法不正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．存在t，使得 D．的最小值为2 【答案】BC 【分析】根据给定的正方形及其边长建立平面直角坐标系，利用向量的坐标表示逐项分析计算判断即可. 【详解】由题可以A为原点，AB、AD分别为和轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则由题意，故， 对于A，当时，则由可知， 所以，又， 故，故A正确； 对于B，当时，则由可知， 所以，， 所以， 故B错误； 对于C，由可得，故，， 则， 故不存在t，使得，故C错误； 对于D，由C得， 故， 又，故当时，取得最小值为，故D正确. 故选：BC. 28．（23-24高一下·湖北武汉·期中）如图，正方形的边长为是中点，如图，点是以为直径的半圆上任意点；，则下列结论正确的有（    ） A．最大值为1 B．最大值为1 C．最大值是2 D．最大值是 【答案】ACD 【分析】建立平面直角坐标系，由向量的坐标运算可得，且，,，再逐一分析各选项即可． 【详解】以中点为原点，建立平面直角坐标系， 则，，， 设，则，,， 所以，，， 由，得，且，,， 对于A，当时，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题 29．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度大小为，水流速度的大小为，当航程最短时，这艘船行驶完全程共需要时间 ． 【答案】 【分析】当实际速度垂直于河岸航程最短，根据向量加法的平行四边形法则求解即可. 【详解】当实际速度垂直于河岸，船的航程最短． 设实际速度、船速、水流速度分别为、、， 如图，，已知， 则，河宽， 所以，船的航行时间． 所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要． 故答案为：. 30．（23-24高一下·四川德阳·阶段练习）边长为4的正方形，点在正方形内（含边界），满足，当点在线段上时，则的最小值为 . 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，求出线段方程，由在线段上可得，利用二次函数值域计算即可得出结果. 【详解】建立平面直角坐标系如图所示，根据题意可得： ，，，， 设为，则，，， 因为， 所以，，，，所以， 易知线段方程为：，，， 因为点在上，所以，，， 所以，，， 所以，，，，， 则， 当时取得最小值为. 故答案为： 31．（23-24高一下·上海·期中）已知线段经过半径为12的圆的圆心，且，，若，为此圆上的两个动点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】构建直角坐标系，设，求出，结合辅助角公式可求最值，故可得范围. 【详解】构建如下图示，以为原点的直角坐标系，且， 由圆的半径为12， 设， 则，， 所以， ， 令，则， 故， 又 则，故， 综上， 故答案为： 32．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）在中，，，点是边的中点，点为线段的中点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，，利用向量的数量积，向量的线性运算可得，从而可得答案. 【详解】设，则由三角形性质可得：， 由条件可知： . 故答案为： 四、解答题 33．（23-24高一下·四川泸州·期中）如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站在图中的D，E，F上，岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的BC的三等分点上，设．    (1)用表示； (2)从岛屿望岛屿和岛屿成的视角，海里，且，求岛屿到岛屿的距离． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用向量的加减法法则，结合图形即可得解； （2）利用向量垂直的向量表示与数量积运算法则求得，从而再次利用数量积运算法则即可得解. 【详解】（1）依题意，得，点为中点，， 又，， 所以， . （2）依题意，得，， 所以，即， 所以，则， 又，所以， 所以， 所以. 34．（23-24高一下·广西河池·阶段练习）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据AM是中线，由求解； （2）易知为向量的夹角，然后利用平面向量的夹角公式求解. 【详解】（1）解：因为AM是中线， 所以， 所以， 则； （2）由图象知：为向量的夹角， 因为， 所以， ，则， 又， ， 所以， 因为， 所以. 35．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）如图，正方形ABCD中，是AB的中点，是BC边上靠近点的三等分点，AF与DE交于点. (1)设，求的值； (2)求的余弦值； (3)求和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得，进而求解； （2）如图，根据勾股定理和相似三角形的性质可得，结合建立方程，解得，进而求解； （3）由（2），根据计算即可求解. 【详解】（1）由题意知，， 又，所以，故； （2）如图，过点E作交于AF于点N，过A作于点H， 设正方形的边长为，则， 由，得，， 所以， 由，得， 所以， 因为，所以， 所以，即， 解得， 所以. （3）由（2）知，，得， 故. 36．（23-24高三上·河南新乡·阶段练习）如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P， (1)求； (2)求的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先通过向量线性运算求得，再将用、表示，利用平面向量数量积的运算性质可求得的长，即可求解的长； （2）把视作与夹角，运用平面向量的夹角公式求解.计算出的值，结合平面向量的数量积可计算出的值，最后利用同角三角函数关系求出正弦值即可. 【详解】（1）由是上的中线，所以， 设，则， 又三点共线，所以，解得，所以， 因为是上的中线，所以， 所以， 所以，故. （2）为与夹角，且， 因为是BC上的中线，所以， 所以 ，所以， 又 ， 所以， 所以. 37．（22-23高一下·山东·期中）如图，为半圆的直径，，为上一点（不含端点）. (1)用向量的方法证明； (2)若是上更靠近点的三等分点，为上的任意一点（不含端点），求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用向量垂直的坐标表示可证； （2）利用坐标表示出，然后由三角函数性质可得. 【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系. （方法一）由题意可知，设，则， ，，，得，， 所以，故，即. （方法二）由题意可知，，，设， 则，得，得，， 所以，故，即. （2）由题意得，则，设，则，， 由（1）得，， 所以， 由，得，当，即时，. 故的最大值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9.4 向量的应用 【考点梳理】 · 考点一：向量在物理中的应用 · 考点二：用向量解决夹角问题 · 考点三：用向量解决线段的长度问题 · 考点四：向量与几何最值问题 · 考点五：用向量证明线段垂直问题 · 考点六：平面向量应用的综合问题 【知识梳理】 知识一　向量方法解决平面几何问题的步骤 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题. (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 知识二　向量方法解决物理问题的步骤 用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： (1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题. (2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型. (3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等. (4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题. 技巧：(1)用向量法求长度的策略 ①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解. ②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝. (2)用向量法解决平面几何问题的两种思想 ①几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解. ②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算. 【题型归纳】 题型一：向量在物理中的应用 1．（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图，一条河的南北两岸平行.游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，则游船要从A行到正北方向上位于北岸的码头处，其航行速度的大小（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·河北石家庄·期中）一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，则对该物体所做的功为（    ） A． B． C．1 D．41 3．（22-23高一下·河南新乡·期末）若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态．已知，，与的夹角为，则的大小为（    ） A． B． C． D． 题型二：用向量解决夹角问题 4．（2022·四川南充·三模）在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（21-22高一下·河南南阳·阶段练习）直角三角形ABC中，斜边BC长为a，A是线段PE的中点，PE长为2a，当最大时，与的夹角是（    ） A． B． C． D． 6．（20-21高一下·福建三明·期末）中，若，，点满足，直线与直线相交于点，则（    ） A． B． C． D． 题型三：用向量解决线段的长度问题 7．（2023·全国·模拟预测）已知向量，线段的中点为，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一下·福建·期中）在中，点D是边的中点，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．（21-22高一下·辽宁锦州·期末）已知，，，，点D在边上且，则长度为（    ） A． B． C． D． 题型四：向量与几何最值问题 10．（23-24高一下·重庆·期末）如图，已知正方形的边长为2，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·上海闵行·期末）中国文化中的太极八卦图蕴含了现代哲学中的矛盾对立统一规律，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，若点P是其内部任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一下·北京·阶段练习）在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五：用向量证明线段垂直问题 13．（24-25高一下·全国）已知在四边形中，，，，则四边形为（    ） A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 14．（23-24高一下·河北保定·期中）平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，与的夹角为45°，则的大小为（    ） A． B．5N C． D． 15．（23-24高一下·四川绵阳·期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为G，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 题型六：平面向量应用的综合问题 16．（23-24高一下·山东德州）如图，在中，已知分别为上的点，且.    (1)求； (2)求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 17．（22-23高一下·海南省直辖县级单位·期中）如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.    (1)设，，用，表示，； (2)猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想. 18．（22-23高一下·湖南常德）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【高分演练】 一、单选题 21．（23-24高一下·江西·期末）在中，点O为的外心，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 20．（2024·天津和平·二模）平面四边形ABCD中，，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高一下·江苏南京）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧（含端点）上的一点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高一下·江苏镇江·期末）已知向量，，满足：，且，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 23．（23-24高一下·辽宁大连·期中）关于平面向量，有下列四个命题，其中说法错误的是（    ） A．点，，与向量同方向的单位向量为 B．若，重心为G，过点G的直线交，与E，F，若，，则 C．若，垂心为H，则与共线 D．若向量，，则向量在向量上的投影向量为 二、多选题 24．（23-24高一下·吉林长春·期末）正六边形ABCDEF的边长为2，G为正六边形边上的动点，则的值可能为（    ） A． B． C．12 D．16 25．（23-24高一下·山东枣庄·期末）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船在静水中的速度的大小，水流方向为正东方向，其速度的大小为，这艘船到达河对岸的时间精确到0.1min，采用四舍五入法.则（    ） 参考数据：    A．这艘船到达河对岸的渡河时间最短时， B．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3min C．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3.1min D．这艘船到达河对岸的航程最短时，渡河时间最短 26．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）如图，正方形的是边长为2，E，F分别是边，的中点，则（   ） A． B． C． D． 27．（23-24高一下·福建厦门·期中）在正方形中，，点E满足，则下列说法不正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．存在t，使得 D．的最小值为2 28．（23-24高一下·湖北武汉·期中）如图，正方形的边长为是中点，如图，点是以为直径的半圆上任意点；，则下列结论正确的有（    ） A．最大值为1 B．最大值为1 C．最大值是2 D．最大值是 三、填空题 29．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度大小为，水流速度的大小为，当航程最短时，这艘船行驶完全程共需要时间 ． 30．（23-24高一下·四川德阳·阶段练习）边长为4的正方形，点在正方形内（含边界），满足，当点在线段上时，则的最小值为 . 31．（23-24高一下·上海·期中）已知线段经过半径为12的圆的圆心，且，，若，为此圆上的两个动点，则的取值范围为 . 32．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）在中，，，点是边的中点，点为线段的中点，则的取值范围是 . 四、解答题 33．（23-24高一下·四川泸州·期中）如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站在图中的D，E，F上，岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的BC的三等分点上，设．    (1)用表示； (2)从岛屿望岛屿和岛屿成的视角，海里，且，求岛屿到岛屿的距离． 34．（23-24高一下·广西河池·阶段练习）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 35．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）如图，正方形ABCD中，是AB的中点，是BC边上靠近点的三等分点，AF与DE交于点. (1)设，求的值； (2)求的余弦值； (3)求和. 36．（23-24高三上·河南新乡·阶段练习）如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P， (1)求； (2)求的正弦值. 37．（22-23高一下·山东·期中）如图，为半圆的直径，，为上一点（不含端点）. (1)用向量的方法证明； (2)若是上更靠近点的三等分点，为上的任意一点（不含端点），求的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$