精品解析：云南省西双版纳州景洪市第三中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

景洪市第三中学2024-2025学年上学期期末考试 高二数学考试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答题前请在答题卡上写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量的坐标运算计算． 【详解】由已知， 故选：C． 2. ，，若，则的值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的平行时坐标的关系列式即可得解. 【详解】因为，，， 所以，解得. 故选：A. 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用直线的倾斜角和斜率的关系求出结果. 【详解】因为直线的斜率为，设倾斜角为，所以，故. 故选：D. 4. 若直线与直线垂直，则（ ） A. 8 B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线垂直的条件列出方程求解. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得， 故选：A 5. 圆：和圆：的位置关系是（ ） A. 外离 B. 相交 C. 外切 D. 内含 【答案】C 【解析】 【分析】求出两圆的圆心和半径，得到圆心距等于两半径之和，求出答案. 【详解】变形为，故圆心为， 半径为， 变形为，故圆心为，半径为， 故， 由于，故两圆外切. 故选：C 6. 双曲线C：的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程直接得出结果. 【详解】由题意知，，双曲线C的焦点在y轴上， 其渐近线的方程为，即. 故选：B. 7. 已知数列是等比数列，，，若，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，根据等比数列通项公式基本量的计算可得，结合等比数列前n项求和公式计算即可求解. 【详解】设等比数列的公比为q， 由，解得， 所以，解得. 故选：B 8. 已知数列的前项和，则等于（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】根据前项和的性质即可求解. 【详解】因为， 则． 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若满足，则一定是等差数列 B. 若满足，则一定是等比数列 C. 若，则既是等差数列也是等比数列 D. 若成等比数列，则 【答案】AD 【解析】 【分析】借助等差数列与等比数列的性质逐项判断即可得. 【详解】对A：由满足，则是的等差中项， 故一定是等差数列，故A正确； 对B：若，满足，但此时不为等比数列，故B错误； 对C：若，满足，但此时不为等比数列，故C错误； 对D：若成等比数列，设公比为， 则有，，则，故D正确. 故选：AD. 10. 下列关于空间向量的说法中不正确的是（ ） A. 方向相反的两个向量是相反向量 B. 空间中任意两个单位向量必相等 C. 若向量，满足，则 D. 相等向量其方向必相同 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据空间向量的定义直接判断. 【详解】A选项：长度相等，方向相反的两个向量是相反向量，A选项错误； B选项：空间中任意两个单位向量的模长相等，但方向不一定一样，所以不一定相等，B选项错误； C选项：向量模长可比较大小，向量不能比较大小； D选项：两个向量相等，则方向相同，模长相等，D选项正确； 故选：ABC. 11. 已知椭圆与双曲线，下列关于两曲线的说法正确的是（ ） A. 的长轴长与的实轴长相等 B. 的短轴长与的虚轴长相等 C. 焦距相等 D. 离心率不相等 【答案】CD 【解析】 【分析】根据椭圆与双曲线的几何性质直接判断. 【详解】椭圆：长轴长，短轴长，焦距，离心率； 双曲线：实轴长，短轴长，焦距，离心率； ，选项A不正确； ，选项B不正确； ，选项C正确； ，选项D正确； 故选：CD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为______. 【答案】##0.3 【解析】 【分析】利用平行线间距离公式计算即得. 【详解】直线为：，显然时，两条直线平行， 所以这两条直线间的距离为. 故答案为： 13. 从集合中取个元素，若这个元素的和不大于50，则的最大值为__________. 【答案】7 【解析】 【分析】记，则是首项为1，公差为2的等差数列，且为递增数列，要使最大，则中的元素从小到大依次取个，根据等差数列的前项和公式求解即可． 【详解】记， 则是首项为1，公差为2的等差数列，且为递增数列， 由题意，集合中取出个不同元素，它们的和， 要使最大，则中的元素从小到大依次取个， ∴， ∵，∴的最大值为7． 故答案为：7． 14. 设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用双曲线定义，可得，又由勾股定理得，联立求得，即得的面积. 【详解】 如图，由可知， 由对称性不妨设，由定义， 因为，所以， 所以，所以，解得， 所以的面积为. 故答案为：3. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，且． （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值． 【答案】（1）9； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据，可得，从而可得，再根据向量模的坐标求法计算即可； （2）结合（1）可得，，再由夹角公式求解即可. 【小问1详解】 解：因为， 所以，解得， 所以， 则， 所以； 【小问2详解】 解：， ， ， 设向量与夹角为， 所以， 所以向量与夹角的余弦值为． 16. 已知在等差数列中，. （1）求数列的通项公式： （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）等差数列通项公式基本量运算求参得出通项公式； （2）应用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，可得 解得， 所以等差数列的通项公式可得； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以. 17. 如图，在直三棱柱中，为线段的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的大小. 【答案】（1）证明：由直三棱柱性质以及可知，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 又可得 则, 所以， 可得，即； 所以，又平面， 可得平面 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量可证明，由线面垂直判定定理即可得出证明； （2）根据面面角的向量求法求得两平面的法向量，即可得出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易知， 设平面的一个法向量为， 则，令，解得， 即； 由（1）可知为平面的一个法向量， 所以，又， 可得. 所以平面与平面夹角的大小为. 18. 已知圆的圆心为，且圆经过直线与的交点． （1）求圆的标准方程； （2）求过点且与圆相切的直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出直线交点，然后由两点间距离公式求半径即可得圆方程； （2）分斜率存在和不存在两种情况，根据圆心到直线距离等于半径求解可得. 【小问1详解】 由得， 记，圆的半径， 圆的标准方程为：． 【小问2详解】 易知，当直线斜率不存在时，直线与圆相切，方程为； 当直线斜率不存在时，设直线方程为，即， 圆心到直线的距离，解得， 为所求． 综上所述，所求切线方程为：或． 19. 已知抛物线，过点作直线． （1）若直线的斜率存在，且与抛物线只有一个公共点，求直线的方程． （2）若直线过抛物线的焦点，且交抛物线于两点，求弦长． 【答案】（1）或；（2）8 【解析】 【分析】 （1）根据题意设直线的方程为，联立，消去得，因为只有一个公共点，则求解. （2）抛物线的焦点为，设直线的方程为，联立，消去得，再根据过抛物线焦点的弦长公式求解. 【详解】（1）设直线的方程为，联立， 消去得， 则，解得或， ∴直线的方程为：或． （2）抛物线的焦点为，则直线的方程为， 设， 联立，消去得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 景洪市第三中学2024-2025学年上学期期末考试 高二数学考试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答题前请在答题卡上写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 2. ，，若，则的值为（ ）. A. B. C. D. 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 若直线与直线垂直，则（ ） A. 8 B. 8 C. D. 5. 圆：和圆：的位置关系是（ ） A. 外离 B. 相交 C. 外切 D. 内含 6. 双曲线C：的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列是等比数列，，，若，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 已知数列的前项和，则等于（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若满足，则一定是等差数列 B. 若满足，则一定是等比数列 C. 若，则既是等差数列也是等比数列 D. 若成等比数列，则 10. 下列关于空间向量的说法中不正确的是（ ） A. 方向相反的两个向量是相反向量 B. 空间中任意两个单位向量必相等 C. 若向量，满足，则 D. 相等向量其方向必相同 11. 已知椭圆与双曲线，下列关于两曲线的说法正确的是（ ） A. 的长轴长与的实轴长相等 B. 的短轴长与的虚轴长相等 C. 焦距相等 D. 离心率不相等 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为______. 13. 从集合中取个元素，若这个元素的和不大于50，则的最大值为__________. 14. 设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，且． （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值． 16. 已知在等差数列中，. （1）求数列的通项公式： （2）设，求数列的前项和. 17. 如图，在直三棱柱中，为线段的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的大小. 18. 已知圆的圆心为，且圆经过直线与的交点． （1）求圆的标准方程； （2）求过点且与圆相切的直线的方程． 19. 已知抛物线，过点作直线． （1）若直线的斜率存在，且与抛物线只有一个公共点，求直线的方程． （2）若直线过抛物线的焦点，且交抛物线于两点，求弦长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $