精品解析：广东省江门市鹤山市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年广东省江门市鹤山市九年级（上） 期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程的根为（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 在下列函数中，是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 在一个不透明的箱子里装有个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在，那么可以估算出的值为（ ） A. 8 B. 12 C. 15 D. 20 4. 已知反比例函数下列结论中不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象位于第二、四象限 C. 若，则 D. y随x的增大而增大 5. 已知圆心角为扇形的弧长为，该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 如图，在的方格中，画有格点（阴影部分）与相似的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，点A，B，C都在上，，点A在上，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，相交于点O，由下列条件不能判定与相似的是（ ） A. B. C D. 10. 如图，抛物线与轴交于点，，将它向右平移个单位得新抛物线，点，是抛物线上两点，且轴，交抛物线于点，已知，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若点在反比例函数图象上，则代数式的值为______． 12. 甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为2，3，4的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽取的两张牌面数字的和为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌面数字的和为偶数，则乙获胜．这个游戏________．（填“公平”或“不公平”） 13. 如图是某风景区的一个圆拱形门，路面宽为，净高，则圆形拱门所在圆的半径为_____． 14. 如图，已知是的内切圆，点是内心，若，则等于___________． 15. 如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点为A，B，点C是劣弧AB上一点，过C的切线交PA，PB于M，N.若⊙O的半径为2，∠P＝60°，则△PMN的周长为______. 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 4件同型号的产品中，有1件不合格品（编号为1）和3件合格品（编号为2，3，4），从这4件产品中随机抽取1件，不放回，接着再随机抽取1件进行检测，求抽取到都是合格品的概率． 17. 云南阳光玫瑰葡萄，近两年被广大消费者所熟知．云南某生态果园阳光玫瑰葡萄2022年产量为60吨，2024年产量为86.4吨，若该生态果园阳光玫瑰葡萄产量的年平均增长率相同，且保持不变．请求该生态果园阳光玫瑰产量的年平均增长率；并预估2025年的阳光玫瑰葡萄产量． 18. 如图，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B、C、O都是格点（每个小方格的顶点叫做格点）． （1）画出关于点O对称的； （2）连接和，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． （1）求证：． （2）若，，求的长． 20. 小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流（单位：）与电阻（单位：）满足反比例函数关系，其图象如图2所示． （1）求关于的函数解析式； （2）当时，求的值； （3）若该台灯工作的最小电流为，最大电流为，求该台灯的电阻的取值范围． 21. 如图，中，，以为直径交于点D，，垂足为E． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5，，求的长． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，在平面直角坐标系中，绕原点O逆时针旋转得到，其中． （1）若二次函数经过A、B、C三点，求该二次函数的解析式； （2）在（1）条件下，在二次函数的对称轴l上是否存在一点P，使得最小？若点P存在，求出点P坐标；若点P不存在，请说明理由． 23. 【综合与实践】九年级同学小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”的数学活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．继续探究如下： 【提出问题】 如图1，在线段同侧有两点B，D，连接，如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上． 探究证明过程展示： 如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合），连接，，则（依据1）． ∵， ∴， ∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（依据2）， ∴点B，D在点A，C，E所确定的上． ∴点A，B，C，D四点在同一个圆上． 【反思归纳】 （1）上述探究过程中“依据1”、“依据2“分别是指什么？ 依据1：；依据2：． 【拓展延伸】 （2）如图3，在中，，，将绕点A逆时针旋转，得到，旋转角为，连接交于点D，连接．小明发现，旋转过程中，点D始终为的中点，为验证这结论，判断A，D，B，C四点共圆后可得出结论． 请你帮小明完成探究过程： ①证明：A，D，B，C四点共圆； ②证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省江门市鹤山市九年级（上） 期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程的根为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程．利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ∴， 则， ∴或， 故选：D 2. 在下列函数中，是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的定义，理解反比例函数的定义：“如果两个变量、之间的关系可以表示为为常数，且，那么是的反比例函数”是解题的关键． 根据反比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：反比例函数的解析式的形式为：为常数，且，因而可知选项C是反比例函数，其余选项均不是反比例函数． 故选：C． 3. 在一个不透明的箱子里装有个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在，那么可以估算出的值为（ ） A. 8 B. 12 C. 15 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，根据红球的个数除以总数等于频率，求解即可． 【详解】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在， ∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为， ∴， ∴． 经检验， 是方程的解，且符合题意． 故选：A． 4. 已知反比例函数下列结论中不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象位于第二、四象限 C. 若，则 D. y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象与性质求解即可． 【详解】解：当，， ∴图象必经过点，A正确，故不符合要求； ∵， ∴图象位于第二、四象限，B正确，故不符合要求； 当，，C正确，故不符合要求； 在第二或第四象限中，y随x增大而增大，D错误，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 5. 已知圆心角为的扇形的弧长为，该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查弧长公式和扇形面积公式，熟练掌握弧长和扇形面积公式是解题关键． 设扇形的半径为．利用弧长公式构建方程求出，再利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：设扇形的半径为根据题意得： ， ， ， 故选：D． 6. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式， 根据一元二次方程有两个实数根，可知且，求出解即可． 【详解】∵一元二次方程有两个实数根， ∴，且， 解得且． 故选：C． 7. 如图，在的方格中，画有格点（阴影部分）与相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似对各选项进行判断． 【详解】解：， A选项中，三条线段的长为，因为，此三角形为直角三角形，长直角边与短直角边的比为2，所以A选项的方格中所画格点三角形（阴影部分）与相似；而B选项中长直角边与短直角边的比为3，C、D选项中的两直角边的比为． 故选：A． 8. 如图，点A，B，C都在上，，点A在上，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键． 根据等边三角形的判定和性质，再利用圆周角定理解答即可 【详解】解∶ ，， ， 即是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：A． 9. 如图，相交于点O，由下列条件不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，熟记相关结时解题的关键．根据相似三角形的判定，逐项分析即可得出答案． 【详解】解：由图可知：， 若，则，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故A不符合题意； 若，根据“若两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相似” 可判定与相似，故C不符合题意； 若，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故D不符合题意； 若，不能判定与相似，故B符合题意； 故选：B． 10. 如图，抛物线与轴交于点，，将它向右平移个单位得新抛物线，点，是抛物线上两点，且轴，交抛物线于点，已知，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意和二次函数的性质、平移的性质可以求得点C的横坐标，本题得以解决． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线向右平移2个单位得新抛物线，点M，N是抛物线上两点，且轴，交抛物线于点C，， ∴， ∴， ∴点C与在抛物线上的对称点的距离为3， ∴点C的横坐标为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数和平移的性质解答． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找．解决该题型题目时，由点在反比例函数图象上可以得出点的横纵坐标之积为定值，将其代入代数式即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为2，3，4的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽取的两张牌面数字的和为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌面数字的和为偶数，则乙获胜．这个游戏________．（填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平 【解析】 【分析】本题考查利用概率判断游戏公平性，熟练掌握列举法求概率是解题的关键，利用列表法表示出所有可能，进而利用概率公式求出即可． 【详解】解：由题可列表如下： 2 3 4 2 4 5 6 3 5 6 7 4 6 7 8 由表知，共有9种等可能结结果，其中和为奇数的有4种结果，和为偶数的有5种结果， ∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， ∵， ∴这个游戏不公平， 故答案为：不公平． 13. 如图是某风景区的一个圆拱形门，路面宽为，净高，则圆形拱门所在圆的半径为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，连接，设⊙O的半径为r，则，利用垂径定理得到，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，设⊙O的半径为r，则， ∵， ∴， 由勾股定理，得：，即：， 解得， ∴圆拱形门所在圆的半径为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 14. 如图，已知是的内切圆，点是内心，若，则等于___________． 【答案】##104度 【解析】 【分析】本题考查了三角形内切圆与内心，熟练掌握三角形内心的意义是解题的关键． 先利用三角形内角和定理求出，可得平分，平分，最后再利用三角形内角和定理进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的内切圆，点是内心， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 故答案为： ． 15. 如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点为A，B，点C是劣弧AB上一点，过C的切线交PA，PB于M，N.若⊙O的半径为2，∠P＝60°，则△PMN的周长为______. 【答案】4 【解析】 【详解】【分析】连接PO，根据含有30°的直角三角形性质求出PO,再根据勾股定理求出PA，由切线性质推出△PMN的周长=PA+PB. 【详解】连接PO， 因为，PA,PB是⊙O的切线，∠P＝60° 所以，∠APO=∠P=30°，PA=PB, 所以，OP=2OA=2×2=4, 所以，在直角三角形APO中，PA=, 又因为MN与 ⊙O相切， 所以，MC=MA,NC=NB, 所以，△PMN的周长=PA+PB=4 【点睛】本题考核知识点：切线长. 解题关键点：熟记圆的切线长定理. 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 4件同型号的产品中，有1件不合格品（编号为1）和3件合格品（编号为2，3，4），从这4件产品中随机抽取1件，不放回，接着再随机抽取1件进行检测，求抽取到都是合格品的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．首先根据题意画出表格，然后求得所有等可能的结果以及满足条件的结果数，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 一共有12种等可能的结果数，其中抽取到都是合格品的概率有6种结果， ∴抽取到都是合格品的概率为． 17. 云南阳光玫瑰葡萄，近两年被广大消费者所熟知．云南某生态果园阳光玫瑰葡萄2022年产量为60吨，2024年产量为86.4吨，若该生态果园阳光玫瑰葡萄产量的年平均增长率相同，且保持不变．请求该生态果园阳光玫瑰产量的年平均增长率；并预估2025年的阳光玫瑰葡萄产量． 【答案】该生态果园阳光玫瑰产量的年平均增长率为；预估2025年该生态果园阳光玫瑰葡萄产量为103.68吨 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，设该生态果园阳光玫瑰产量的年平均增长率为x，根据2024年的产量年的产量年平均增长率，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；然后根据平均增长率，列式计算即可． 【详解】解：设该生态果园阳光玫瑰产量的年平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 所以，该生态果园阳光玫瑰产量的年平均增长率为； 根据题意得，（吨）， 因此，预估2025年该生态果园阳光玫瑰葡萄产量为103.68吨． 18. 如图，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B、C、O都是格点（每个小方格的顶点叫做格点）． （1）画出关于点O对称； （2）连接和，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】（1）图见解析； （2）四边形为菱形，证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换、平行四边形的判定，菱形的判定等知识，熟练掌握中心对称的性质、菱形的判定是解题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可． （2）由中心对称性质可得，，则四边形为平行四边形，再结合勾股定理可得，则可得四边形为菱形． 【小问1详解】 解：如图，分别连接并延长，再取，，，依次连接，则即为所求， 【小问2详解】 解：四边形为菱形，理由如下： ∵与关于点对称， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 由网格得，， ∴， ∴四边形为菱形． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定，含直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由平行的性质结合条件可得到和，可证得结论； （2）由平行可知，在中，由含直角三角形的性质结合勾股定理可求得． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得：． 20. 小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流（单位：）与电阻（单位：）满足反比例函数关系，其图象如图2所示． （1）求关于的函数解析式； （2）当时，求的值； （3）若该台灯工作的最小电流为，最大电流为，求该台灯的电阻的取值范围． 【答案】（1） （2）015A （3） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式，掌握反比例函数的性质，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式； （2）将代入解析式，求出I的值即可； （3）求出最小电流和最大电流对应的电阻R的阻值，根据增减性即可得出结果． 【小问1详解】 解：设，由图象可知， 当时，， ， ； 【小问2详解】 解：当时，； 【小问3详解】 解：当，， 当，， 该台灯的电阻的取值范围为． 21. 如图，中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线性质，勾股定理等知识，掌握切线的判定是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理，结合等腰三角形的性质和三角形中位线可证得，即可证得结论； （2）如图，作于点F，得到矩形，再通过勾股定理进行计算即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接． ∵为的直径， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴是的中位线． ∴， 又∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图，作于点F， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， 中，， ∴， 中，． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，在平面直角坐标系中，绕原点O逆时针旋转得到，其中． （1）若二次函数经过A、B、C三点，求该二次函数的解析式； （2）在（1）条件下，在二次函数的对称轴l上是否存在一点P，使得最小？若点P存在，求出点P坐标；若点P不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，得到，进而求出的坐标，两点式设出函数解析式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据对称性得到，进而得到当点线段上时，最小，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵绕原点O逆时针旋转得到， ∴， ∴， 设二次函数的解析式为：，把代入解析式，得： ，解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴对称轴为直线， ∵关于对称轴对称，点在对称轴上， ∴， ∴， ∴当点在线段上时，最小， ∵， ∴设直线的解析式为，把代入解析式，得：， ∴， ∴当时，， ∴． 23. 【综合与实践】九年级同学小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”的数学活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．继续探究如下： 【提出问题】 如图1，在线段同侧有两点B，D，连接，如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上． 探究证明过程展示： 如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合），连接，，则（依据1）． ∵， ∴， ∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（依据2）， ∴点B，D在点A，C，E所确定的上． ∴点A，B，C，D四点在同一个圆上． 【反思归纳】 （1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2“分别是指什么？ 依据1：；依据2：． 【拓展延伸】 （2）如图3，在中，，，将绕点A逆时针旋转，得到，旋转角为，连接交于点D，连接．小明发现，旋转过程中，点D始终为的中点，为验证这结论，判断A，D，B，C四点共圆后可得出结论． 请你帮小明完成探究过程： ①证明：A，D，B，C四点共圆； ②证明： 【答案】（1）圆内接四边形的对角互补，过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆 （2）①详见解析 ②详见解析 【解析】 【分析】本题考查四点共圆，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． （1）根据圆内接四边形的性质，确定圆的条件解决问题即可； （2）①根据旋转的性质，等腰三角形的性质推出A，C，B，D四点共圆； ②根据点A，C，B，D四点共圆，得到，求得，根据垂直的定义得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：依据1：圆内接四边形的对角互补；依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； 故答案为：圆内接四边形的对角互补，过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； （2）①证明：设交于点O． 由旋转变换的性质可知 ， ， ， ∴点A，C，B，D四点共圆； ②证明：∵点A，C，B，D四点共圆， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $